第二章 数列课时作业
高中数学 第2章 数列 2_5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和课时作业 新人教A版必修5
2017春高中数学 第2章 数列 2.5 等比数列的前n 项和 第2课时数列求和课时作业 新人教A 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．(2016·江苏启东中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为导学号 54742500( A )A ．100101 B ．99101 C ．99100D ．101100[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5× 5－12d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 2．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2016等于导学号 54742501( A )A ．1008B ．2016C ．504D ．0[解析] ∵函数y ＝cosn π2的周期T ＝2ππ2＝4，且第一个周期四项依次为0，－1,0,1. ∴可分四组求和：a 1＋a 5＋…＋a 2013＝0，a 2＋a 6＋...＋a 2014＝－2－6－ (2014)504× －2－20142＝－504×1008，∴a 3＋a 7＋…＋a 2015＝0，a 4＋a 8＋…＋a 2016＝4＋8＋…＋2016＝504× 4＋20162＝504×1010.∴S 2016＝0－504×1008＋0＋504×1010＝504×(1010－1008)＝1008，故选A ． 3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，设b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }前n 项的和为导学号 54742502( A )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)C ．1－1n ＋1D ．12－1n ＋1[解析] ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1 ＝4(1n －1n ＋1)．∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)．4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于导学号 54742503( B )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．(2016·湖北孝感高中月考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1.设S n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，则S 2016导学号 54742504( C )A ．2016B ．－2016C ．3024D ．－3024[解析] ∵a 1＝tan225°＝1，∴a 5＝13a 1＝13， ∴数列{a n }的公差d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3.∴S 2016＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 2016－a 2015)＝1008d ＝3024.6．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为导学号 54742505( D )A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30× 30－12×4＝1830.二、填空题7．数列22，422，623，…，2n 2n ，…前n 项的和为4－n ＋22n －1.导学号 54742506[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n ①12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1② ①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．(2015·广东理，10)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝10.导学号 54742507[解析] 因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25 即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.三、解答题9．(2015·山东理，18)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3.导学号 54742508 (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3， n ＝1.，3n －1，n ≥2.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n)， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]．两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n . 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .10．(2016·浙江文，17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *.导学号 54742509(1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n .所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1>n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3. 当n ≥3时，T n ＝3＋9 1－3n －21－3－ n ＋7 n －2 2＝3n－n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.能 力 提 升一、选择题11．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝导学号 54742510( A )A ．315B ．325C ．6D ．7[解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝ a 2＋a 22 ＋ a 5＋a 17 b 8＋b 16 ＋ b 10＋b 12 ＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22，又∵S 22T 22＝ a 1＋a 22 ×22 b 1＋b 22 ×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22， ∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315. ∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315.12．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为导学号 54742511( A )A ．0B ． 2C ．－ 2D ．1[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1，a 2＝2sin(π＋π4)＝－1，a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1，a 4＝2sin(2π＋π4)＝1， 同理，a 5＝1，a 6＝－1，a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1，a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1，∴S 12＝0.13．(2015·江西省质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2015项的和S 2015等于导学号 54742512( A )A ．31008－2 B ．31008－3 C ．32015－2D ．32015－3[解析] 因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3， 所以S 2015＝(a 1＋a 3＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2014)＝1－310081－3＋3 1－310071－3＝31008－2.二、填空题14．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1＋a (a 为常数)，b n ＝1a 2n，则数列{b n }的前n 项和为132×(1－19n ).导学号 54742513 [解析] ∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S n ＝3(3n＋a3)．∴a3＝－1，∴a ＝－3，∴S n ＝3n ＋1－3，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1－3)－(3n－3)＝2×3n①，又∵a 1＝S 1＝6符合①式，∴a n ＝2×3n， ∴b n ＝1a 2n ＝14×9n ＝14·(19)n，∴{b n }的前n 项和为T n ＝136×[1－ 19 n ]1－19＝132×(1－19n )．15．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋33)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝34(3n－1)－n2.导学号 54742514 [解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)，∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋......＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋ (3))－n ]＝34(3n －1)－n2.三、解答题16．(2015·全国Ⅰ理，17)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.导学号 54742515(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)当n ＝1时，a 21＋2a 1＝4S 1＋3＝4a 1＋3，因为a n ＞0，所以a 1＝3， 当n ≥2时，a 2n ＋2a n －a 2n －1－2a n －1 ＝4S n ＋3－4S n －1－3＝4a n ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝2(a n ＋a n －1)， 因为a n ＞0，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n ＋1；(2)由(1)知，b n ＝ 12n ＋1 2n ＋3＝12(12n ＋1－12n ＋3)， 所以数列{b n }前n 项和为b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝16－14n ＋6＝n3 2n ＋3. 17．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上.导学号 54742516(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n.T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1.两式相减得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.。
高中数学人教A版必修5 40分钟课时作业 第二章 数列：2-4-15 等比数列的性质
答案：C
2．(2012· 济南高二检测)已知在等比数列{an}中，a3＝－2，a6 ＝54，则 a9＝( A．1 458 C．27 ) B．－1 458 D．－54
2 54 解析：a3，a6，a9 成等比数列，所以 a3a9＝a2 ＝－1 6，a9＝ －2
458.
答案：B
3．已知{an}是等比数列，a4· a7＝－512，a3＋a8＝124，且公 比为整数，则公比 q 为( A．2 1 C.2 )
答案：5
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 8 27 10．在 和 之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，求 3 2 插入的三个数的乘积．
8 17 解：在3和 2 之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设 8 27 插入的三个正数为 a，b，c，则 b ＝ac＝3× 2 ＝36，因此插入的
解析：由题意得，amam＋1＝q，此数列各项积为(amam＋1)m＝qm.
பைடு நூலகம்答案：C
5．已知各项均为正数的等比数列 {an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9 ＝10，则 a4a5a6＝( A．5 2 C ．6 ) B．7 D．4 2
3 解析：由等比数列的性质知 a1a2a3＝(a1a3)a2＝a2 ＝5，a7a8a9 3 ＝(a7a9)· a8＝a8 ＝10，所以
3 解析：∵a1a2a3＝a3 ， a a a ＝ a 2 4 5 6 5， 3 a7a8a9＝a3 ， … ， a a a ＝ a 8 28 29 30 29，
∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230. ∴a2a5a8…a29＝210. 则 a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q) ＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220.
高中数学第二章2.1数列的概念与简单表示法(一)课时作业新人教A版必修5
第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法（一）课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1 •按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项•数列 ___ 中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1项（通常也叫做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第 n 项.2•数列的一般形式可以写成 a i , a 2,…，a n ,…，简记为｛a n ｝. 3•项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.4•如果数列｛a n ｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子 叫做这个数列的通项公式.一、选择题1.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为（）A. a n = nB C. a n = n + 2 D答案 B2•已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =- 2，则该数列的前 4项依次为（ ------------------------------- ）A. 1,0,1,0 B • 0,1,0,1 1 1C.2，0, 2，0 D• 2,0,2,0答案 A.a n = n + 1 .a n = 2n1+ — 13•若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是 ( )A a n =尹 + ( - 1) 1]1B. a n =尹—cos( n • 180° )] 2C. a n = sin ( n • 90°)1 n — 1D a n = (n — 1)( n -2) + 空[1 + ( — 1)] 答案 D解析 令n = 1,2,3,4 代入验证即可.4.已知数列｛勿｝的通项公式为a n = n 2— n -50,则一8是该数列的()A.第5项 B .第6项 C.第7项 D .非任何一项答案 C解析 n 2— n — 50 = — 8, 得n = 7或n = — 6（舍去）5. 数列 1,3,6,10 , ■ …的一个通项公式是(A. 2 “a n = n — n + 1 n n — 1B . a n =2C. n n +1 a n —22D. a n = n + 1答案 C解析 令门=1,2,3,4，代入A 、B C D 检验即可.排除 A 、B 、D,从而选C.1 1 1 1 *6•设 a n =卄 1 + 卄 2 + n + 3 + …+ 2^( n N)，那么 an +1— an等于( )1A.2 n + 11 1 1 1an= n +7+n +2+卫+…+ 2n1 1 1 1 1 + +■■■+ --- + +n +2 n + 3 2n 2n + 12 n + 2'11 1 1 1…a n + 1 — a n = + — = — . 2n + 1 2n + 2 n + 1 2n + 1 2n + 2 二、填空题3n +1 n 为正奇数7.已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =.则它的前 4项依次为4n — 1 n 为正偶数答案 4,7,10,15&已知数列｛a n ｝的通项公式为a n= ——(n € N)，那么-2-是这个数列的第 n n + 2 120项.答案 101 1解析• n n + 2 = 120，1 1C ----- + -----2n + 1 +2n + 2D.1_ _l_ 2n + 1 —2n + 2B.1_ 2n + 2答案 解析 a n +1=••• n(n+ 2) = 10X 12,「. n= 10. 9. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:17,按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是答案a n= 2n+ 1解析a i = 3, a2 = 3+ 2= 5, a3= 3+ 2+ 2 = 7, a4= 3 + 2+ 2 + 2 = 9,…，二a n= 2n+ 1.10. 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年一公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数. 比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15 ，…，第10个三角形数为：1 + 2+ 3+ 4+-+ 10 =55.三、解答题11. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)—1,7 , - 13,19，…(2)0.8,0.88,0.888 ，…11 5 13 29 61(3)2，4，—8，16，—32，64，…17,(5)0,1,0,1 ，…解(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n +1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面 的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 8 8 (2) 数列变形为 9(1 - 0.1) , 9(1 - 0.01), 8 89(1 - 0.001)，…，二 a n= 9 n * a n = (— 1) (6 n -5)( n € N). (3) 各项的分母分别为 21,22,23,24, 2- 3 1项变为一~2—，因此原数列可化为一 1 * 1-帀(n € N). …易看出第2,3,4 21 - 3 22- 3项的分子分别比分母少 3.因此把第 23- 3 丁，丁，-〒 24 - 3 丁，.… n 2n- 3 *•• a n = ( — 1) • -2^~(n € N). 、 3 5 7 9(4)将数列统一为 亍，二，=,—子的通项公式为 b n = 2n +1,对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{ n 2}, 可得分母的通项公式为 6= n 2+ 1, 2 5 10 17' …对于分子3,5,7,9，… 是序号的2倍加1，可得分 •••可得它的一个通项公式为 2n +1 *an=T +r(n € N). n1 + — 1 *或 a n = 2 ( n €N) 0 n 为奇数 (5) a n =1 n 为偶数亠 1 + cos n n * 或 a n = 2 ( n € N). 2 9n — 9n + 2 12.已知数列 9n 2— 1 ； 求这个数列的第10项；98而是不是该数列中的项，为什么？ 求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内；、1 2⑷在区间3，§内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由..9n — 9n + 2(1)解设 f (n )= -9n — 1 3n — 1 3n — 2 3n — 2=3n -13n +1 = 3n + 1.28令 n = 10,得第 10 项 a 10= f (10) = 3^.&入 3n — 2 98 /口⑵解令，得9n = 300.3n +1 10198此方程无正整数解，所以 而不是该数列中的项.3n - 2 3n +1 - 3⑶证明V an =时=*3又 n € N ,• 0< ---- <1,3n +1 .•.数列中的各项都在区间3n+ 1 = 1 —dh ，…0<a n <1.(0,1)内. 1 3n - 2 2 3n + 1<9n — 6 (4)解令7<a n = Q 丄彳<2，贝V,33n +1 39n - 6<6 n + 2n>68又••• n € N ,「.当且仅当n = 2时，上式成立，故区间 4项为a 2=7.能 力 提 升1, 2上有数列中的项，且只有13.数列 a , b , a , b , a + ba n = ~~2~ +（ —1）a +b a — b a = ~T+ ~T , 步+（—才-2a ， 答案解析故a n = …的一个通项公式是+i a _ b 2 a + b a — b b =— -,2 2a —b 2 .14•根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点.解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有 1 个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分. . 2支有(n—1)个点，故第n个图中点的个数为 1 + n(n—1) = n—n+ 1.1 •与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1) 确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.(2) 可重复性：数列中的数可以重复.(3) 有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.2 •并非所有的数列都能写出它的通项公式•例如，n 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141 ，…，它没有通项公式.3•如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式•例如：数列—1,1 ,—1,1 , —1,1，…的通项公式可写成a n= ( —1)n，也可以写成a n= ( —1)n"，还可以写成—1 n = 2k — 1 , *13n= 其中k € N .n= 2k , 1。
高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式课时作业含解析新人教A版必修52020082111
第二章 数列课时作业7 数列的概念与通项公式时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12(n ∈N *)，则该数列的前四项依次为( A )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0解析：把n ＝1,2,3,4代入通项公式计算即可．2．已知数列{a n }前三项分别为－1,0,1，下列各式：①a n ＝n －2；②a n ＝(－1)n －12；③a n＝(n －2)5；④a n ＝(n －2)＋(n －1)(n －2)(n －3)．其中能作为数列{a n }的通项公式的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：把n ＝1,2,3代入各通项公式进入检验．3．已知数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2a 3等于( C )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：把a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1， n 为奇数2n －2， n 为偶数，得a 2a 3＝2×10＝20.故选C.4．在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的( C ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项 解析：数列各项可化为1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，故a n ＝3n －2(n ∈N *)，由3n －2＝219可得n ＝26，即219是这个数列的第26项．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n2n －1，按项的变化趋势，该数列是( B )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n2n －1＝－1(2n ＋1)(2n －1)<0，n ∈N *，∴a n ＋1<a n .故该数列是递减数列．6．数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( B ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：当n ＝143时，a n 最小；又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．二、填空题7．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝2.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a ＋m ，4＝a 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n ＋3.∴a 3＝(－1)3＋3＝2.8．已知数列{a n }的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为a n ＝10n＋n .解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2， 1 003＝103＋3,10 004＝104＋4，…， 所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n .9．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键5n ＋1个．解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上都有5个化学键，故第n 个结构简图有5n ＋1个化学键．三、解答题10．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)23，－1，107，－179，2611，…； (3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，….解：(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n ＝43n ＋2.(2)数列可写为23，－55，107，－179，2611，…，奇数项为正，偶数项为负，且分母是奇数，分子是n 2＋1，所以它的一个通项公式可写为(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1)．11．根据数列的通项公式，用列表法和图象法表示下列数列(n ≤5且n ∈N *)． (1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝n ＋1n.解：用列表法分别表示出这两个数列.n 1 2 3 4 5 a n ＝(－1)n ＋2 1 3 1 3 1 a n ＝n ＋1n232435465它们的图象如图(1)(2)所示．——能力提升类——12．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( C ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．8解析：∵已知数列中数字为1的有1项，数字为2的有2项，数字为3的有3项，∴按照此规律．当数字为6时，共有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，当数字为7时，共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28项．∴第25项为7.13．下列叙述中正确的个数为( C )①数列a n ＝2是常数列；②数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫(－1)n ·1n 是摆动数列；③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ＋1是递增数列；④若数列{a n }是递增数列，则数列{a n ·a n ＋1}也是递增数列．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①②③正确，④是错误的，④中若a n ＝n －3，则a n a n ＋1＝(n －3)(n －2)＝n 2－5n ＋6，它不是递增数列．14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有3项． 解析：令a n ＝n 2－8n ＋12<0，解得2<n <6，又因为n ∈N *，所以n ＝3,4,5，一共有3项． 15．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋6n .(1)求a 10.(2)5350是否是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少整数项？(4)是否有等于序号的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 解：(1)a 10＝10＋610＝85.(2)令n ＋6n ＝5350，得n ＝100.故5350是这个数列的第100项．(3)∵a n ＝1＋6n ，∴当n ＝1,2,3,6时，a n 为整数．故这个数列中有4项是整数项． (4)令n ＋6n＝n 得n 2－n －6＝0， 解得n ＝3或n ＝－2(舍去)．故该数列中有等于序号的项，即a 3＝3.。
高中数学(苏教版,必修五) 第2章 数列 2.3.3(一) 课时作业(含答案)
2.3.3 等比数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1) (q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝__________.3．推导等比数列前n 项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、填空题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.3．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5＝________.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝____________.9．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.10．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的值为________．二、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．能力提升13．已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．2．3.3 等比数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 1 2.a 1q －13.错位相减作业设计 1．－11解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.2．3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 3．33解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 4.152解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.5．1解析 方法一 ∵S n －S n －1＝a n ，a n 为定值，∴q ＝a n ＋1a n＝1.方法二 ∵a n 是等比数列，∴a n ＝a 1q n －1， ∵{S n }是等差数列．∴2S 2＝S 1＋S 3. 即2a 1q ＋2a 1＝a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2， 化简得q 2－q ＝0，q ≠0，∴q ＝1. 6．10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1，∴n ＝10. 7．510解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.8.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.9．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.10．－13解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1＋k )－(3n －2＋k )＝3n －1－3n －2＝2·3n －2.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝1＋k ＝23，∴k ＝－13.11．解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．解 分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n)1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x .综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).13．证明 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，则S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝⎛⎭⎫a 11－q2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n)． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.。
2020_2021学年高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质课时作业含解析新人教A版必修5
高中数学新人教A 版必修5第二章数列：课时作业14 等比数列的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是( C )A ．1B ．2 C.12D.14解析：a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14，所以a 3a 6＋a 4a 5＝12. 2．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝( B )A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝1q＝－3，所以选B.3．公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝( B ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：a 3a 11＝16⇒a 27＝16⇒a 7＝4(负值舍去)⇒a 16＝a 7×q 9＝32⇒log 2a 16＝5.4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15的值为( A ) A ．10 000 B ．1 000 C ．100D ．10解析：根据等比数列的性质得a 3a 13＝a 28， 所以a 3a 8a 13＝a 38.又lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，所以a 8＝100. 所以a 1a 15＝a 28＝10 000.故选A.5．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( C )A ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列解析：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．6．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( C )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题7．在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝51.解析：因为a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 所以a 28＋a 24＝41.又因为a 4a 8＝5， a n >0， 所以a 4＋a 8＝(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝51.8．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是3或27.解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于2_048平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211 ＝2 048.三、解答题10．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，a n ＝a 1q n －1＝2n . (2)由第一问得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，首项为b 1，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.11．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 因为a 25＝a 10,2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9，①2(q 2＋1)＝5q ，②由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列， 所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n .——能力提升类——12．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10·b 11＝2，则a 21＝( D )A ．20B ．512C ．1 013D ．1 024解析：因为b n ＝a n ＋1a n ，且b 10·b 11＝2，又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2，则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024，从而a 21＝1 024a 1＝1 024.13．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2013年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2014年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2018年该地区农民人均收入介于( B )A ．4 200元～4 400元B ．4 400元～4 600元C ．4 600元～4 800元D ．4 800元～5 000元解析：将2013年记作第1年，该地区农民人均收入第n 年为a n ，则a 1＝3 150，a 2＝1 800×(1＋6%)＋1 350＋160，…，a n ＝1 800×(1＋6%)n －1＋1 350＋(n －1)×160.2018年该地区农民人均收入为a 6＝1 800×(1＋6%)6－1＋1 350＋(6－1)×160≈4 558.81.故选B. 14．已知递增的等比数列{a n }，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝ 2.解析：设公比为q .∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2.又a 2＋a 8＝3， ∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 2＝1，a 8＝2， ∴q 6＝a 8a 2＝2，∴q 3＝2，∴a 13a 10＝q 3＝ 2.15．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n (n ≥2，n ∈N *)的前n 项和．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 23＝9a 2a 6＝9a 24，所以q 2＝a 24a 23＝19，因为a n >0，所以q >0，所以q ＝13，因为2a 1＋3a 2＝2a 1＋3a 1q ＝1， 所以3a 1＝1，a 1＝13，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝log 3(a 1·a 2·…·a n )＝log 3⎝⎛⎭⎫131＋2＋3＋…＋n ＝－n (n ＋1)2. 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为S n ，则S n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝－2n n ＋1.。
课时作业2：2.1 数列的概念与简单表示法(一)
2．1 数列的概念与简单表示法(一)一、基础达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0D ．2,0,2,0答案 A解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项 答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.4．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.1819C.2021D.2223 答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.5．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝sin nθ，0＜θ＜π6，若a 3＝12，则a 15＝________. 答案 12解析 a 3＝sin 3θ＝12，又0＜θ＜π6，∴0＜3θ＜π2， ∴3θ＝π6，∴a 15＝sin 15θ＝sin 56π＝12.7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程)(1)3,5,9,17,33，…；(2)23，415，635，863，…；(3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，…. 解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sin n π2n . 8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，∴a 8＝80，a 20＝440. (2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17. ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项．二、能力提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n等于()A.19(10n－1) B.13(10n－1)C.13(1－110n) D.310(10n－1)答案 C解析代入n＝1检验，排除A、B、D，故选C.10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为a n＝________.答案n解析∵OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…，OA n＝n，…，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，a n＝n.11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)35，48，511，614，…；(2)－1，85，－157，249，…；(3)1,0,1,0，….答案见解析解析(1)分子依次为3,4,5,6…其规律是后续项等于前项加1，又首项为3＝1＋2，故分子的通项为n＋2；分母依次为5,8,11,14，…其规律是后继项等于前项加3，又首项为5＝3×1＋2，故分母的通项为3n＋2.因此，数列的通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.(2)数列的符号规律是(－1)n ，若将第1项看作－33，先不考虑每一项的符号，则分母为3,5,7,9，…其通项公式为2n ＋1；分子为3,8,15,24，…其通项公式为(n ＋1)2－1.将以上规律统一起来，数列的通项公式为a n ＝(－1)nn 2＋2n2n ＋1.(3)数列的奇数项为1，可写成1＋12，偶数项为0，可写成1－12.因此数列的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12.12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎨⎧ a 1＝k ＋b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66解得⎩⎨⎧k ＝4b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *. ∴88不是数列{a n }中的项． 三、探究与创新13．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎨⎧3n ＋1＜9n －69n －6＜6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＞76n ＜83.∴76<n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。
高中数学第二章数列课时作业5数列新人教B版必修5
(4)令 ＝n得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)，
故该数列中有等于序号的项，即a3＝3.
12．设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列的单调性．
解：(1)∵f(2an)＝log22an－log2an2＝an－ ，
此方程无整数解，所以 不是该数列中的项．
(3)∵an＝ ＝ ＝1－ ，
又n∈N*，∴0< <1，∴0<an<1.
即数列中的各项都在区间(0,1)内．
B组
(限时：30分钟)
1．数列 ， ，2 ， ，…，则2 是该数列的()
A．第6项B．第7项
C．第10项D．第11项
解析：由an＝ ＝2 ，解得n＝7.
解析：an＝ ＝ － ，令n＝9，则a9＝ － ＝ －3.
答案：9
5．已知数列 ，
(1)求这个数列的第10项；
(2) 是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
解：设f(n)＝ ＝ ＝ .
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝ .
(2)令 ＝ ，得9n＝300.
答案：①②③
9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
解析：第1个图案有白色地面砖6块，第2个图案有10块，第3个图案有14块，可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖．
答案：4n＋2
10．根据下列各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
4．已知数列{an}满足：a1>0， ＝ ，则数列{an}是()
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2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ ） A. (1)n n a =- B. 1(1)n n a +=- C. 1(1)n n a -=- D. {11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n a =B. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项.A. 9B. 10C. 11D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 （ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项 6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6- 二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1） ，14 ，19 ，116， ；（2）32 ，54 ， ，1716 ，3332， 。
8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = . 9. 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 . （2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 . （3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为 .10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a = .三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2 等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（ ） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-60 2、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（ ）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 123.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ） A.公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（ ）A 、36B 、30C 、24D 、185.等差数列3,7,11,,--- 的一个通项公式为 （ ） A. 47n - B. 47n -- C. 41n + D. 41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++， ，32313n n n a a a --++，是 （ ）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列 二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = . 8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = . 9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .10. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= . 三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,--- 中的项，若是，是第几项？12. 等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6>0,a 7<0.（1）求公差d 的值; （2）求通项a n .13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为 （ ）A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +=（ ） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上. 7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .9. 有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n= . 10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n nS n T n +=+，则88a b = .三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++ .12. 已知等差数列｛a n ｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。
13、求在小于200的正整数中所有被6除余2的正数和。
2.4等比数列一.选择题：1．数列｛a n ｝为等比数列，a 1=2,a 5=8,则a 3=………………………………… （ ） A 、4 B 、-4 C 、±4 D 、±82.下列各组数能组成等比数列的是 （ ）A. 111,,369B. lg 3,lg 9,lg 27C. 6,8,10D. 3,3- 3.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q = （ ）A. 4B. 2C.D.124.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知a 2 a 4+2a 3 a 5+a 4 a 6=25，那么35a a += （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 205.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若a m =a 1a 2a 3a 4a 5，则m 为 （ ）A. 9B. 10C. 11D. 12 6. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（1个分裂为2个），经过3小时，这种细菌由一个可以分裂成…………………………………………………………… （ ） A 、511个 B 、512个 C 、1023个 D 、1024个 7.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 48．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（ ） A 、5 B 、10 C 、20 D 、2或4 二.填空题：9.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .10.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 11. 若公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，则公比q= 。
12.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a三.解答题13.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +.14.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.2．5等比数列的前n 项和(1)一.选择题：1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是 ( ) A.179 B.211 C.243 D.2752.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为 ( ) A.3 B.−4 C.3或−4 D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于 ( ) A.3 B.1 C.0 D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =( ) A.64 B.66 C.2603D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,a 5a 6=9,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++= ( )A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n-二.填空题：7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482nn +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = .10．数列0.9,0.99,0.999,…的前n 项和是 。
11.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .三.解答题12.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,a 2a n-1=128,且前n 项和126n S =，求n 以及公比q.13.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.2．5等比数列的前n 项和(2)一.选择题：1.已知数列{}n a 的通项公式为212n n a -=,则数列{}n a 的前5项和5S = ( ) A.312B.62C.3412D.6822.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S = ( )A.31n- B.3(31)n- C.914n- D.3(91)4n-3.等比数列{}n a 中,37a =,前三项和321S =,则公比q 的值为 （ ）A.1B.12-C.1或12-D.1-或124.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果1418a a +=, 2312a a +=,则这个数列的前8项之和8S = ( )A.513B.512C.510D.22585. 在等比数列｛a n ｝中，a n =2×3n-1,则数列中前n 个偶数项的和等于………… （ ）A 、3n -1B 、3（3n -1）C 、14 （9n -1）D 、34（9n-1）6.数列2211,12,122,,1222,n -+++++++ 的前99项和为 （ ） A.1002101- B. 992101- C. 100299- D. 99299- 二.填空题：7.数列{}n a 满足1a ,21a a -,32a a -,…, 1n n a a --是以1为首项，13为公比的等比数列，则{}n a 的通项公式n a = .8. 已知lgx+lgx 2+…+lgx 10=110，则lgx+lg 2x+…+lg 10x= . 9.某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则年平增长率为 .10.在等比数列{}n a 中，14a =,5q =,前n 项和为n S ，则满足510n S >的最小自然数n 的值是 . 三.解答题11．求和S n =1+2x+3x 2+…nx n-1（x ∈R ）12.项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项的和的4倍,第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍,求该数列的通项公式.13.某放射性物质，它的质量每天衰减3%,则此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要的天数是多少？（lg0.97= −0.0132, lg0.5= −0.3010）必修五第二章数列综合测试一、选择题：1. 将自然数的前5个数：（1）排成1，2，3，4，5；（2）排成5，4，3，2，1；（3）排成2，1，5，3，4；（4）排成4，1，5，3，2.那么可以叫做数列的只有( )(A)（1）(B)（1）和（2）(C)（1），（2），（3）(D)（1），（2），（3），（4）2. 若数列{a n}的通项公式是a n=2(n＋1)＋3，则此数列( )(A)是公差为2的等差数列(B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列(D)不是等差数列3.等差数列{a n}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7= ( )（A）9 （B）12 （C）15 （D）16满足：>0，，，则数列{}是：（）4.已知数列(A)递增数列( B)递减数列(C)摆动数列(D)不确定5.等差数列0，，－7，…的第n+1项是：（）(A)(B)(C)(D)中，，则的值为：（）6.在数列（A）49 （B）50 （C）51 (D)527．已知数列10,…10…,使数列前n项的乘积不超过10最小正整数n是(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 ( )8. 在首项为81，公差为－7的等差数列中，最接近零的是第( )(A)11项(B)12项(C)13项(D)14项9. 已知等差数列{a n}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么公比为( )(A)(B)(C)(D)10.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )(A)9 (B)10 (C)19 (D)29二、填空题：11．等差数列110，116，122，128，……，在400与600之间共有________项.12. 设等比数列{a n}的前n项和S n，S3 +S6 =2S9，则数列的公比为______________13．已知数列1,，则其前n项的和等于14．数列的第一项为1，并且对n∈N,n≥2都有：前n项之积为n2，则此数列的通项公式为_______三．解答题：15．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数。