必修第二册课时作业：4.2.2.1 等差数列的前n项和 Word版含解析
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时 同步作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业（原卷版）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝()A．1 B.53C．2D．32．等差数列{a n}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2.则其前n项和S n＝()A．8＋n－n2B．9n－n2C．5n－n2 D.9n－n223．数列{a n}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和S20＝()A．160B．180C．200D．2204．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝()A．17B．29C．23D．355．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S156．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是()A．137B．217C ．267D ．3477．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a1d ＝()A.12B ．2C.14D ．48．(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝()A ．5B ．7C ．9D ．119．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝()A ．72B ．54C ．36D ．1810．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a13b 13的值为________．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝()A ．38B ．2012．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．14．在等差数列{a n }中．(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n.15．(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．616．甲、乙两人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？1．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且S nT n＝2n＋14n－2(n∈N*)，则a10b3＋b18＋a11b6＋b15＝________．2．等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10＝30，a20＝50.(1)求{a n}的通项公式；(2)若S n＝242，求n.人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业（解析版）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝()A．1 B.53C．2D．3答案C解析6，解得d＝2.2．等差数列{a n}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2.则其前n项和S n＝()A．8＋n－n2B．9n－n2C．5n－n2 D.9n－n22答案B解析∵a2－a3＝2，∴公差d＝a3－a2＝－2.又a1＋a4＝a1＋(a1＋3d)＝2a1－6＝10，∴a1＝8，∴S n＝9n－n2.3．数列{a n}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和S20＝()A．160B．180C．200D．220答案B解析∵{a n}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.∴3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18，∴S20＝20（a1＋a20）2＝180.4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝()A．17B．29C．23D．35答案B解析依题意{a n}为等差数列，且d＝－3，S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝207，∴a5＝23，∴a3＝a5－2d＝29.故选B.5．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15答案C解析由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为定值，则S13＝13（a1＋a13）2＝13a7也为定值．故选C.6．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是()A．137B．217C．267D．347答案B解析记某连续7项分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝0，∴a4＝0.∴a1＝a4－3d＝0－3＝157，即a1＝217.7．等差数列{a n}中，S10＝4S5，则a1d＝()A.12B．2C.14D ．4答案A8．(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝()A ．5B ．7C ．9D ．11答案A解析∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得3a 3＝3，则a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝()A ．72B ．54C ．36D ．18答案A10．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a13b 13的值为________．答案745311．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a m 2，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1，得(2m －1)a m ＝38.故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．答案13解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d)＝2，所以a 4＝13.13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知a n ＝3－2n.所以S n ＝n[1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35.又k ∈N *，故k ＝7.14．在等差数列{a n }中．(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n.解析(1)方法一：由已知条件，得5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，1＝3，＝4.∴S 10＝10×3＋10×9×42＝210.方法二：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4.由a 4＋a 9＝50，即2a 1＋11d ＝50，得a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210.(2)∵S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 4＋a n －3）2＝n （6＋45）2＝510.∴n ＝20.15．(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.16．甲、乙两人分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析(1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0，解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________．答案4178解析∵S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，∴a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝40＋180－2＝4178.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S n ＝242，求n.解析(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 20－a 10＝10d.∴d ＝a 20－a 1010＝2.∴a n ＝a 10＋(n －10)d ＝30＋2(n －10)＝2n ＋10.(2)由(1)可得a 1＝12，代入等差数列前n项和公式得S n＝n（a1＋a n）2＝n（12＋2n＋10）2＝n(n＋11)．又S n＝242，∴n(n＋11)＝242，解得n＝11.。
4.2.2等差数列的前n项和公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
n（n 1)
S n na1
d
2
公式二
n（n 1)
S n nan
d
2
公式二变式
类比梯形面积公式 :
公式的使用:
（上底 下底） 高
S
2
已知a1 , an , n ,求S n时，优先考虑公式 1
已知a1 , d , n, 求S n时，优先考虑公式 2
求和；
2
对于(2),可以先利用a1和2 的值求出d ，再利用公式 = 1 +
对于(3),已知公式 =
(−1)
1 +
2
(−1)
2
求和；
中的1 ，和 ，解方程即可求得.
典例解析
典型例题
新教材《选择性必修二》
例1.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, 50 =101,求50 ；
东家半落西家.
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯.
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
探究新知
新知学习
新教材《选择性必修二》
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从
第1行到第n行一共有多少个字？
按照n取值的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时，
Sn 1 2 3
n(n 1)
2
Sn 1 2 3
n
(1 n) [2 (n 1)]
(1 n) (1 n)
当n为奇数时，
n n
( 1)
2 2
(1 n).
(1 n) [2 (n 1)]
数学人教A版选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式
S5 S6 S7
.
也就是说，当 n 5 或 6 时， S n 最大.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
因为 S5 [2 10 (5 1) (2)] 30 ，所以 S n 的最大值为 30.
2
2
d
d
11 121
解法 2：因为 Sn n 2 a1 n n 2 11n n
9
.
2
（1）求 an 的通项公式；
（2）若 Sm 27 ，求 m .
a1 4d 3
1
解析：（1）设等差数列 an 的公差为 d ，则
3 2
9 ，解得 a1 1, d ，
2
3a1
d
2
2
1
1
所以 an 1 (n 1) (n 1) .
例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.
由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
解：由题意，知 S10 310 ，
S20 1220 .
把它们代入公式 Sn na1
n(n 1)
d，
2
10a1 45d 310
a1 4
n
n(n 1)
作变形，可得 2Sn 2(1 2 3
2
它相当于两个 S n 相加，而结果变成 n 个 (n 1) 相加.
可以得到
Sn 1 2 3
n，
Sn n (n 1) (n 2)
1，
将两式相加，可得
2Sn (n 1) [(n 1) 2] [(n 2) 3]
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列前n项和(第1课时)【课件】
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示
= + + ⋯ +
①
= + − + ⋯ +
②
①+②, 得
= ሺ + ൯ + + − + ⋯ + +
首尾配对要分
奇、偶数讨论
于是有
= + + + ⋯ + = + + + − + ⋯ + +
+
+
= + + + + ⋯+ + =
个
当n是奇数时，有
+
+
= + + + ⋯ + = + + + − + ⋯ +
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，…，n，… ①
前100项的和的问题.
新知讲解
思考
你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？
答： 高斯在计算中利用了
+ = + = ⋯ = +
这一特殊关系
等差数列中，
下标和相等的
两项和相等
即上节课例5性质的应用
倒序相加法可避免
分类讨论
= + − + − + ⋯ +
人教版高中数学选择性必修第二册等差数列的前n项和公式第2课时 同步作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n 项和公式第2课时同步作业（原卷版）1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝()A ．15B ．16C ．49D ．642．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8＝()A ．3B ．4C ．6D ．123．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是()A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在4．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)所确定的数列{b n }的前n 项和T n ＝()A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2C.n （n ＋5）2D.n （n ＋7）25．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝()A ．99B ．66C ．33D ．06．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为()A ．7B ．8C ．11D ．167．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．【多选题】等差数列{a n}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是()A．d>0B．a1<0C．当n＝5时S n最小D．S n>0时n的最小值为89．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝15，a n＋a n－1＋a n－2＝78，S n＝155，则n＝________．10．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．11．等差数列{a n}中，前n项和S n＝an2＋(a－1)·n＋(a＋2)，则a n＝()A．－4n＋1B．－2an－1C．－2an＋1D．－4n－112．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8B．7C．6D．513．(2016·山东)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.求数列{b n}的通项公式．14．在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10.求S110.15．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当S n最大时n的值为()A．16B．8C．9D．1016．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝3，且数列{S n}也为等差数列，则a11＝________．17．设等差数列的前n项和为S n，已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n 项和公式第2课时同步作业（解析版）1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝()A ．15B ．16C ．49D ．64答案A解析a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.2．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8＝()A ．3B ．4C ．6D ．12答案C解析∵S 15＝15a 8＝90,∴a 8＝6.3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是()A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在答案B解析∵d ＜0，∴a 3＝－a 9，∴a 3＋a 9＝0.又a 3＋a 9＝2a 6,∴a 6＝0.又d ＜0，∴S 5或S 6最大．4．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)所确定的数列{b n }的前n 项和T n ＝()A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2C.n （n ＋5）2D.n （n ＋7）2答案C 解析∵b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋a n 2＝3＋2n ＋12＝n ＋2，∴{b n }为等差数列．∴{b n }的前n 项和T n ＝n （3＋n ＋2）2＝n （n ＋5）2.5．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝()A ．99B ．66C ．33D ．0答案B解析由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×982＝99.∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3＝33(48－46)＝66.6．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为()A ．7B ．8C ．11D ．16答案C7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S6S 12＝()A.310B.13C.18D.19答案A解析据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列，设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ，∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ，∴S 6S 12＝3k 10k ＝310.8．【多选题】等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是()A ．d>0B ．a 1<0C ．当n ＝5时S n 最小D ．S n >0时n 的最小值为8答案ABD解析由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝3a 5，可得a 1＋6d ＝3(a 1＋4d)，解得a 1＝－3d ，又由等差数列{a n }是递增数列，可知d>0，则a 1<0，故A 、B 正确；因为S n ＝d 2n 21＝d 2n 2－7d2n ，由n＝－－7d2nd＝72可知，当n＝3或4时S n最小，故C错误，令S n＝d2n2－7d2n>0，解得n<0或n>7，即S n>0时n的最小值为8，故D正确．故选ABD.9．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝15，a n＋a n－1＋a n－2＝78，S n＝155，则n＝________．答案10解析1＋a2＋a3＝15，n＋a n－1＋a n－2＝78，可得3(a1＋a n)＝93.∴a1＋a n＝31.又S n＝n（a1＋a n）2，∴155＝31n2，∴n＝10.10．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．答案5或611．等差数列{a n}中，前n项和S n＝an2＋(a－1)·n＋(a＋2)，则a n＝()A．－4n＋1B．－2an－1C．－2an＋1D．－4n－1答案D解析∵{a n}为等差数列，且S n＝an2＋(a－1)·n＋(a＋2)，∴a＋2＝0，a＝－2，∴S n＝－2n2－3n.∴a n＝－4n－1.12．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8B．7C．6D．5答案D解析∵S k＋2－S k＝a k＋1＋a k＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.13．(2016·山东)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.求数列{b n}的通项公式．解析由题意知当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以a n＝6n＋5.设数列{b n}的公差为d，1＝b 1＋b 2，2＝b 2＋b 3，＝2b 1＋d ，＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.14．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110.解析(基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d，则1＋10（10－1）2d ＝100，1＋100（100－1）2d ＝10，1＝1099100，＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1099100＋110×1092×110.15．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为()A ．16B ．8C ．9D ．10答案B 解析S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)＞0，S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＜0，∴a 8＞0且d ＜0，∴S 8最大．16．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________．答案63解析可设S n ＝An 2＋Bn ＝an ＋b ，平方比较系数得，b ＝0，B ＝0，故S n ＝An 2，结合S 1＝a 1＝3，得S n ＝3n 2，则a 11＝S 11－S 10＝63.17．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解析(1)12＝12a 1＋12×112d>0，13＝13a 1＋13×122d<0，1＋11d>0，①1＋6d<0.②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③将③分别代入①＋7d>0，＋d<0，解得－247<d<－3.(2)S 6的值最大，理由如下：由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大．由S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．。
高二数学北师大必修课时作业： 等差数列的前n项和 含解析
2.2等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和一、非标准1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m=()A.38B.20C.10D.9解析:由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0,解得a m=2(a m=0舍去).又因为S2m-1=(2m-1)a m,所以38=(2m-1)×2,解得m=10.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:由于,所以.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.答案:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于. 解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.答案:39.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,已知S7=7,S15=75,T n为数列的前n项和,求T n.解:设等差数列{a n}的公差为d,则S n=na1+n(n-1)d.由S7=7,S15=75,得即解得∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=(n-5),∴(n+1-5)-(n-5)=,∴数列是首项为-2,公差为的等差数列,∴T n=-2n+n(n-1)×n2-n.10.在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=。
等差数列的前n项和公式(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
n(a1 an )
.
2
（1）
把 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ＝1 +
（ − 1）代入公式（1），
可得 ＝1 +
(−1)
.
2
（2）
思考:
不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公
式（2）吗？
＝1 + 2 + ⋯ +
＝1 + 1 + + ⋯ + 1 + ( − 1)
A
B
C
D
1
1
3
3
2
2
8
5
3
0
15
7
4
24
9
5
35
11
结论：已知数列{ }的前项和为＝2 + + （，，为常数且 ≠ 0），则当＝0
时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 0时，数列{ }从第二项起为等差数列.
证明：当 ≥ 2时，＝ − −1
＝ 2 + + − − 1
＝1 + （ − 1）＝.
证明： 奇数项共n项，偶数项共(n 1)项，
S奇
n
.
S奇
S偶 n 1
n(a1 a2 n 1 )
(n 1)(a2 a2 n 2 )
n
S奇
nan , S偶
(n 1)an ,
.
2
2
S偶 n 1
若项数为偶数2，则2＝（1 + 2）＝（ + +1 ）（，+1 为中间两项）；
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
高中数学选择性必修二 4 2 2第1课时等差数列的前n项和-练习
第四章数列4.2 等差数列4.2.2 等差数列的前n 项和公式第1课时 等差数列的前n 项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 5=4,S 7=21,则a 7的值为( )A.6B.7C.8D.9{a n }的公差为d ,则{a 1+d +a 1+4d =4,7a 1+7×62d =21,解得{a 1=-3,d =2,所以a 7=a 1+6d=-3+6×2=9,故选D .2.(多选)(2020山东高三月考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则下列正确的是( )A.a 1=-2B.a 1=2C.d=4D.d=-4{a 4+a 5=2a 1+7d =24,S 6=6a 1+15d =48,所以{a 1=-2,d =4.故选AC .3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A.nB.n 2C.2n+1D.2n-1n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,且a 1=1适合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( ) A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里{a n },则{a n }是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n 项和为A n ,驽马每天所行路程为{b n },则{b n }是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n 项和为B n ,设共用n 天二马相逢,则A n +B n =2×1 125,所以103n+n (n -1)2×13+97n+n (n -1)2(-12)=2 250, 化简得n 2+31n-360=0,解得n=9.A 9=103×9+9×82×13=1 395,B 9=2 250-1 395=855,A 9-B 9=1 395-855=540.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,令b n =1n (a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A.70B.75C.80D.85a n =2n+1, ∴数列{a n }是等差数列,首项a 1=3,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2=n (3+2n+1)2=n 2+2n ,∴b n =1n S n =n+2,∴数列{b n }也是等差数列,首项b 1=3,公差为1.∴其前10项和T 10=10×3+10×92×1=75,故选B .6.已知等差数列{a n}中,a10=13,S9=27,则公差d=,a100=.9=9a5=27⇒a5=3,d=a10-a55=13-35=2,∴a100=a10+90d=13+90×2=193.1937.(2019全国Ⅲ,理14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.{a n}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=100a125a1=4.8.已知数列{a n}的前n项和为S n=n·2n-1,则a3+a4+a5=.3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.9.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S nn)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.,得S nn=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因为a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.∵a n+2=2a n+1-a n+2,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×n(n-1)-(n-1)=n2-2n+1,2∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.能力提升练1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9.2.若公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和,且a 8+a k =0,则正整数k 的值为( )A.20B.21C.22D.23{a n }的前n 项和为S n ,由题意,得S 21=S 8,即a 9+a 10+…+a 21=0.根据等差数列的性质,得13a 15=0,即a 15=0.故a 8+a 22=2a 15=0,即k=22.故选C .3.已知等差数列{a n },a 2=6,a 5=15,若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于( )A .30B .45C .90D .186{a n }易得公差d 1=3.又b n =a 2n ,所以{b n }也是等差数列,公差d 2=6.故S 5=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=5×6+5×42×6=90.4.(2020河北正定中学高一月考)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,已知S 14>0,S 15<0,下列选项正确的是( ) A.a 1>0,d<0B.a 7+a 8>0C.S 6与S 7均为S n 的最大值D.a 8<0,有S 14=14×(a 1+a 14)2=7(a 1+a 14)=7(a 7+a 8)>0,即a 7+a 8>0,S 15=15×(a 1+a 15)2=15a 8<0,即a 8<0,则a 7>0;故等差数列{a n }的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a 1>0,d<0.则有S7为S n的最大值.故A,B,D正确.故选ABD.5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.n≥2时,由S n=2a n-1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.6.(2019北京,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为.{a n}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{a n}的性质得当n≤5时,a n≤0,当n≥6时,a n大于0,所以S n的最小值为S4或S5,即为-10.-107.已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.-a n=2S n S n-1(n≥2),∴-S n+S n-1=2S n S n-1(n≥2).又S n≠0(n=1,2,3,…),∴1S n −1S n-1=2.又1S1=1a1=2,∴{1S n}是以2为首项,2为公差的等差数列.(1)可知1S n =2+(n-1)·2=2n,∴S n=12n.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n (n -1)或当n ≥2时,a n =-2S n S n-1=-12n (n -1);当n=1时,S 1=a 1=12.故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n ≥2. 素养培优练设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =λa n -1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a 3=a 22,求λ的值.(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1. 由a 1=λa 1-1,可知λ≠1,所以a 1=1λ-1,a 2=λ(λ-1)2,a 3=λ2(λ-1)3. 因为a 3=a 22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列,则2a 2=a 1+a 3,由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3, 所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列.。
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课时作业(五) 等差数列的前n 项和 [练基础]
1．已知数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，若a 4＝3，a 9＝5，则S 12＝( )
A ．96
B ．72
C ．48
D ．60
2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 9＝16，则该数列前11项和S 11
＝( )
A ．58
B ．88
C ．143
D ．176
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －
1＝38，则m ＝( )
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4S 8＝13，则S 8
S 16
等于( )
A.310
B.13
C.19
D.18
5．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝________.
6．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n . [提能力]
7．(多选题)数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，满足a 1＋3a 2
＝S 6，则下列四个选项中正确的有( )
A ．a 7＝0
B ．S 13＝0
C ．S 7最小
D ．S 5＝S 8
8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n
＝________.
9．设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *
，所有项a n >0，且S n ＝14a 2
n ＋12a n －34.
(1)证明：{a n }是等差数列． (2)求数列{a n }的通项公式．
[战疑难]
10．对于数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n
＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，对自然数k (k ≥2)，规定{Δk a n }为数列{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n .若a 1＝1，且Δ2a n －Δa n ＋1＋a n ＝－2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )
A ．a n ＝n 2×2n －1
B ．a n ＝n ×2n －1
C ．a n ＝(n ＋1)×2n －2
D ．a n ＝(2n －1)×2n －1。