广东省清远市高三上学期期末考试数学(理)答案

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广东省清远市高三数学上学期期末考试试题理

清远市2016届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（12小题，共60分）1、设集合M ＝{}1,0,1-，N ＝{}2,a a ，则使M N N =I 成立的a 的值是（） A 、－1 B 、1 C 、0 D 、1或－1 2、若复数z 满足iz ＝1＋i ，则z 的虚部为（） A 、1 B 、－1 C 、i D 、－i 3、下列函数是偶函数的是（） A 、1y x x=+ B 、3y x = C 、y x = D 、21y x =+ 4、如图所示程序框图，输出的结果是（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、55、已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =-，则317a a +＝（）A 、36B 、35C 、34D 、336、一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角三角形，则该几何体的体积为 A 、3 B 、23 C 、33 D 、437、已知双曲线C ：2221x my +=的两条渐近线互相垂直，则抛物线E ：2y mx =的焦点坐标是（） A 、（0,1） B 、（0，－1） C 、（0，12） D 、（0，－12） 8、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是偶数”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（） A 、14 B 、12 C 、34 D 、7129、已知实数变量,x y 满足10220x y x y mx y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，且目标函数3z x y =+的最大值为8，则实数m 的值为（） A 、32 B 、12C 、2D 、1 10、下列命题中正确的有①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A ＞B ”的逆命题是真命题； ②:2p x ≠或3y ≠，:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④“若a b >，则22ab>－1”的否命题为“若a b ≤，则22ab≤－1” A 、①② B 、①②③ C 、①②④ D 、②③ 11、已知数列{}n a 满足：111,(*)2n n n a a a n N a +==∈+，12(1)()1n n C a n λ=+-+，若{}n C 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A 、λ13≥B 、λ13>C 、λ43≥D 、λ43> 12、定义：设A ，B 是非空的数集，,a A b B ∈∈，若a 是b 有函数且b 也是a 有函数，则称a 与b 是“和谐关系”。

清远市2019届高三上学期期末数学理科试题及答案解析

1 12 1 1 1 1 1 6
−
6 12
= .故选 D. 12
5
【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概率计算公式，考查利用补集的思想求事件的概率，属于基础题. 6.如图，矩形 ABCD 中曲线的方程分别是 y = sinx， y = cosx，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A. 在ΔABC 中，sin2A = sin2B 是ΔABC 为等腰三角形的充要条件 B. “x > 0”是“x > sinx”成立的充分条件
3
清远市 2019 届高三上学期期末数学理科试题及答案解析
C. 命题“∃x0 ∈ 0, + ∞， lnx0 = x0 − 1”的否定是“∀x ∉ 0, + ∞， lnx ≠ x − 1” D. 命题“若x2 = 2，则 x = 2或 x =− 2”的逆否命题是“若 x ≠ 2或 x ≠− 2，则x2 = 2” 【答案】B 【解析】【分析】利用特殊的等腰三角形排除 A 选项，直接证明 B 选项正确，利用特称命题的否定是全称命题的知识排除 C 选项.利用逆否命题的知识排除 D 选项，由此得出正确选项. 【详解】当 A = C = 6 ,B =
3+i 1−i
） B. − 1， 3 C. 1 D. 0， 1， 2
）
B. 1 − 2i
C. 1 + 2i
D. 2 + i
，再利用复数除法运算化简求得 z 的表达式. ，故 z =
3+i 1−i
【详解】依题意可知 z =
3+i 1−i
= 1− 1+ =
i i
3+i1+i
2+4i 2
16 3

广东省清远市恒大足球学校2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

- 1 - 广东省清远市恒大足球学校2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（6×10=60分） 1.已知集合1,2,3,4,5A，2B320xxx，则A∩B等于（） A. {1，3} B. {1，2} C. {1} D. {2，3} 【答案】B 【解析】【分析】首先求出集合B，再根据交集的定义计算即可；【详解】解：因为2B320xxx 所以B1,2 因为1,2,3,4,5A 所以1,2AB 故选：B 【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题. 2.函数()sinfxx的最小正周期是（） A. 1 B. 2 C.  D. 2 【答案】B 【解析】【分析】

由条件利用函数sin()yAx的周期为2，求得结果．详解】解：()sinfxx 22T

所以函数()sinfxx的最小正周期为2，故选：B． - 2 -

【点睛】本题主要考查函数sin()yAx的周期性，利用了函数sin()yAx的周期为2，属于基础题． 3.已知平面内单位向量a，b的夹角为90°，则43ab（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0ab，再根据24343abab计算可得；【详解】解：依题意a，b为夹角为90°的单位向量，0ab， 2

2243431624916124091255ababaabb

即435ab，故选：A 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，属于基础题.

4.函数f(x)＝21log1x的定义域为( ) A. (0,2) B. (0,2] C. (2，＋∞) D. [2，＋∞) 【答案】C 【解析】【分析】对数函数定义域及分母不为0，结合起来即可求得定义域．

广东省清远市高三数学上学期期末考试试题理新人教A版

清远市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题第一卷（选择题 40分）一、选择题（40分）1、图中阴影部分表示的集合是（）A 、U C AB I （） B 、UC A B U （）C 、U A C B I （）D 、U C A B I （） 2、已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋bi 与2－i 互为共轭复数，则（a ＋bi ）2＝（）A 、5－4iB 、5＋4iC 、3－4iD 、3＋4i3、已知(,2),(1,1)m a n a =-=-u r r，且//m n u r r ，则a ＝（）A 、－1B 、2或－1C 、2D 、－2 4、阅读如图的程序框图，若输入m ＝2，n ＝3，则输出a ＝（）A 、6B 、4C 、3D 、2 5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） A 、y ＝x ＋1 B 、y ＝－x 2C 、y ＝1xD 、y ＝x ｜x ｜ 6、设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、已知实数x，y满足约束条件20x yy xy x b-≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y=+的最小值为3，则实数b＝（）A、9 4B、32C、1 D、348、设定义在（0，＋∞）上的函数212.012(),()()32,12x xxf xg x f x ax x x⎧--<≤⎪⎪==+⎨⎪-->⎪⎩，则当实数a满足522a<<时，函数y＝g（x）的零点个数为（）A、1B、2C、3D、4第二卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）（一）必做题(9～13题)9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿11、某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿12、已知圆C：22240x y x y+-+=，直线：L：x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距2，则a的值为＿＿＿＿13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB AB⊥u u u r u u u r时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为512-，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e 等于＿＿＿＿＿（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14. (几何证明选讲选做题) 如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90º，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则∠ACB ＝＿＿＿＿＿＿15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A （2，6π）与曲线()3R πθρ=∈上的点的最短距离为＿＿＿＿＿三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)已知函数1()3sin cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.17. （本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：（1）估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；（2）从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm 之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。

2021-2022学年广东省清远市高三(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年广东省清远市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<3}，B ={x|−2≤x ≤4}，则A ∩B =( )A. [−4,3)B. [−2,3)C. (−3,2]D. (3,4]2. 已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数z −满足(1+i)z −=|1+√3i|，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i3. 若椭圆C ：x 24+y 2m=1的焦距为6，则实数m =( )A. 13B. 40C. 5D. 2√134. 直线l ：ax +y −1=0被圆C ：x 2+y 2+6x −4y −3=0截得的最短弦长为( )A. √6B. 2√5C. 4√2D. 2√65. 在三棱锥P −ABC 中，AC =1，PB =2，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，若MN =√22，则异面直线AC ，PB 所成角的余弦值为( )A. 35B. 14C. 34D. 256. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F 与其采摘后时间t(天)近似满足的函数关系式为F =1−m ⋅a t ，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为( )A. 30B. 35C. 40D. 457. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( )A. 58B. 59C. 60D. 618. 已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−2λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 16B. 12C. 5D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是()A. 直方图中a=0.005B. 此次比赛得分不及格的共有40人C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5D. 这100名参赛者得分的中位数为6510.将函数y1=cos(ωx+π6)(ω>0)图象上所有的点向右平移π6个单位长度后，得到函数y2=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的图象，若函数f(x)=y1+y2，则()A. f(x)的最小值是−√3B. f(x)的图象关于直线x=π4对称C. f(x)的最小正周期是πD. f(x)的单调递增区间是[kπ−π2,kπ](k∈Z)11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，b=2|OA|，则()A. 双曲线C的渐近线方程为y=±2xB. 双曲线C的渐近线方程为y=±12xC. 双曲线C的离心率为√5D. 双曲线C的离心率为√5212.已知函数f(x)=x+2x −2，若方程af(|e x−1|)+2|e x−1|+3=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是()A. −5B. −4C. −3D. −2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=2，则sin(α−π4)cos(α+π4)sin2α=______．14.已知曲线f(x)=(ax+b)e x在点(0,2)处的切线方程为x+y−2=0，则a−b=______．15.为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有______种．16.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AC//α，则平面α截长方体所得上下两部分的体积比值为______；所得的截面四边形PEBF的面积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面四边形ABCD中，∠ADB=∠BDC=π6，∠BCD=π2，AD=4，CD=3．(1)求AB；(2)求△ABC的面积．18.某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对抗疫进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机抽取了年龄在18～99岁之间的200人进行调查，把年龄在[18,65]和[66,99]内的人分别称为“青年人”和“中老年人”.经统计，“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：3，其中“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1．(1)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识．(2)用频率估计概率从该市18～99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控相关知识了解全面的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．，其中n=a+b+c+d．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．)n−1．①a n=n−S n，②b n=a n−1，③T n=(1220.已知正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=2，D，E，F分别为AC，CC1，AA1的中点．(1)证明：平面BDF⊥平面BDE．(2)求二面角D−BE−A1的正弦值．21.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以PQ为直径的圆上．22.已知函数f(x)=e x−1−a(x−1)．(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2>4．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， B ={x|−2≤x ≤4}，则A ∩B ={x|−2≤x <3}．故选：B ．先求出集合A ，再利用并集定义求解．本题考查集合的运算，考查交集不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由已知，可得z −=|1+√3i|1+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，则z =1+i ，故选：B ．利用复数的运算性质以及共轭复数的定义即可求解．本题考查了复数的运算性质，考查了共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆C ：x 24+y 2m=1的焦距为6，可得√|4−m|=3，m >0且m ≠4，解得m =13．故选：A ．利用椭圆的焦距，列出方程求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】D【解析】解：直线l ：ax +y −1=0经过定点(0,1)，圆的方程即(x +3)2+(y −2)2=16，则圆心与定点之间的距离d =√(0+3)2+(1−2)2=√10，故最短的弦长为2√16−10=2√6．故选：D ．首先确定直线经过的定点，然后计算最短的弦长即可．本题主要考查直线恒过定点问题，圆的弦长的最值问题等知识，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：取AB(或PC)中点Q ，连接QM.QN ，Q 是AB 中点，N 是BC 中点，⇒QN//AC ，QN =12AC =12，同理，可得QM//BP ，QM =12PB =1，所以∠MQN 就是异面直线AC 、PB 所成的角或其补角，在△MQN 中，QM =1，QN =12，MN =√22，cos∠MQN =12+(12)2−(√22)22×1×12=34，∴异面直线AC ，PB 所成角的余弦值为34．故选：C ．取AB 中点Q ，连接QM.QN ，∠MQN 就是异面直线AC 、PB 所成的角或其补角，通过解三角形求解即可．本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由题意可得，{1−ma 10=90%1−ma 20=80%，解得a =2110，m =0.05，所以1−0.05⋅(2110)t ≥60%，解得t ≤30，故采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为30．故选：A ．由题意可得，{1−ma 10=90%1−ma 20=80%，解得a =2110，m =0.05，解出函数的关系式F ，再结合1−0.05⋅(2110)t ≥60%，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：被5除余3且被7除余2的数构成首项为23，公差为35的等差数列，记为{a n }，则a n =23+35(n −1)=35n −12，令a n =35n −12≤2021，解得n ≤58335．∴将1到2021这2021个自然数中满足被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是58．故选：A ．根据“被5除余3且被7除余2的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果．本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，延长AC 到D ，使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−2λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点P 在直线BD 上，取线段AC 的中点O ，连接OP ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |²=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−4，显然当OP ⊥BD 时，|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值，因为BO =2√3，OD =6，则BD =4√3，所以|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最小值为√3×64√3=3，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为3²−4=5，故选：C ．延长AC 到D ，使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点P 在直线BD 上，化简可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |²−4，即可求出最小值．本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：对于A ，由频率分布直方图得： (a +0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1，解得a =0.005，故A 正确；对于B ，此次比赛得分不及格的频率为：(0.005+0.035)×10=0.4， ∴此次比赛得分不及格的人数为：0.4×100=40人，故B 正确；对于C ，得分在[60,80)的频率为(0.030+0.020)×10=0.5，∴以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5，故C 正确；对于D ，[40,60)的频率为(0.005+0.035)×10=0.4，[60,70)的频率为：0.030×10=0.3， ∴这100名参赛者得分的中位数为60+0.5−0.40.3×10=1903，故D 错误．故选：ABC ．对于A ，由频率分布直方图列出方程组，能求出a ；对于B ，先求出此次比赛得分不及格的频率，由此能求出此次比赛得分不及格的人数；对于C ，求出得分在[60,80)的频率，以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，能求出其得分在[60,80)的概率；对于D ，[40,60)的频率为0.4，[60,70)的频率为0.3，由此能求出这100名参赛者得分的中位数．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由题意知，y1=cos(2x+π6),y2=cos[2(x−π6)+π6]=cos(2x−π6)，则f(x)=cos(2x+π6)+cos(2x−π6)=cos2x⋅√32−sin2x⋅12+cos2x⋅√32+sin2x⋅12=√3cos2x,f(x)的最小值是−√3，最小正周期是π，故A，C正确；令2x=kπ(k∈Z)，得x=kπ2(k∈Z)，若kπ2=π4，则k=12∉Z，故B错误；令2kπ−π≤2x≤2kπ(k∈Z)，得kπ−π2≤x≤kπ(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间是[kπ−π2,kπ](k∈Z)，故D正确．故选：ACD．根据题意先求出y2，进而求出f(x)，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案．本题考查了三角函数的性质，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：设F2A的延长线交PF1于B，则由题意可得A为BF2的中点，因为O为F1F2的中点，所以|OA|=|BF1|2，因为PA为∠F1PF2的角平分线，PA⊥BF2，所以可得|PB|=|PF2|，所以|OA|=|BF1|2=|PF1|−|PB|2=|PF1|−|PF2|2=2a2=a，所以2|OA|=2a，而b=2|OA|=2a，可得渐近线的方程为y=±bax=±2x，所以A正确，B不正确；双曲线的离心率e =c a=√1+b 2a 2=√1+22=√5，所以C 正确，D 不正确；故选：AC ．延长F 2A 交PF 1于B ，则由题意可得A 为BF 2的中点，可得|OA|=|BF 1|2，由题意可得|OA|=|BF 1|2=|PF 1|−|PB|2=|PF 1|−|PF 2|2=2a 2=a ，则b =2a ，进而可得渐近线的方程及离心率的值，判断AC 正确，BD 不正确．本题考查双曲线的性质的应用及角平分线的性质的应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：原方程可化为a|e x −1|²−(2a −3)|e x −1|+2a +2=0，令t =|e x −1|，则t ∈(0,+∞)，其图象如下图所示：由题意可得at²−(2a −3)t +2a +2=0有2个不同的实数解t 1，t 2，且0<t 1<1，t 2≥1，记φ(t)=at²−(2a −3)t +2a +2，当φ(1)=0时，解得a =−5，此时两根分别为1，85，不符合题意；则{a <0φ(0)<0φ(1)>0或{a >0φ(0)>0φ(1)<0，解得−5<a <−1，即a 的取值范围是(−5,−1)．故选：BCD ．先化简方程，再通过换元并利用根的分布分类讨论即可求解．本题考查方程根与函数零点的关系，数形结合思想，换元思想，属于中档题．13.【答案】−18【解析】解：因为sin(α−π4)cos(α+π4)sin2α=√22(sinα−cosα)⋅√22(cosα−sinα)2sinαcosα=−sin 2α−2sinαcosα+cos 2α2sinαcosα×12=−tan 2α−2tanα+14tanα=−22−2×2+14×2=−18，故答案为：−18．利用正余弦的和差角公式以及正弦的倍角公式化简所求关系式，然后再利用弦化切即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数的应用，涉及到倍角公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．14.【答案】−5【解析】解：求导得f′(x)=e x(ax+b+a)，曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为x+ y−2=0．f′(0)=−1，f(0)=2，b+a=−1，b=2，∴a=−3，a−b=−5．故答案为：−5．求导函数，利用曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为x+y−2=0，建立方程，可求a、b的值．本题考查导数知识的运用，考查函数导数的几何意义，切线方程的求法，解题的关键是正确求导，是中档题．15.【答案】540【解析】解：根据题意，第一个学校选1名医生和2名护土，有C31C62种选法，第二个学校选1名医生和2名护土，有C21C42种选法，第三个学校只有1种选法，则有C31C62C21C42=540种选法，故答案为：540．三所学校依次选1名医生、2名护士，同一个学校没有顺序，可得不同的分配方法数．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】32√6【解析】解：如图，过点B作AC的平行线分别与DA，DC的延长线交于G，H，连接PG ，PH ，并分别与AA 1，CC 1交于E ，F ， ∵AC//GH ，且AC ⊄平面PGH ，GH ⊂平面PGH ， ∴AC//平面PGH ，∴平面PGH 即为平面α， ∵AB =AD =2，AA 1=4，∴AE =1， ∴V 下=2V B−ADPE =2×13×(1+2)×22×2=4，∴平面α截长方体所得上下两部分的体积比值为V 上V 下=2×2×4−44=3．∵四边形PEBF 是菱形，且EF =2√2，PB =2√3， ∴S PEBF =12×EF ×PB =2√6．故答案为：3；2√6．过点B 作AC 的平行线，分别与DA ，DC 的延长线交于G ，H ，连接PG ，PH ，并分别与AA 1，CC 1交于点E ，F ，可得平面PGH 即平面α，利用体积公式求出V 下，进而求出平面α截长方体所得上下两部分的体积比值；根据四边形PEBF 为菱形，利用面积公式，求出所得的截面四边形PEBF 的面积．本题考查几何体的体积、截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)因为△BCD 为直角三角形，∠BDC =π6,CD =3，所以BC =√3,BD =2√3,∠DBC =π3. (2分) 在△ABD 中，AD =4,BD =2√3,∠ADB =π6，由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos π6=4，(4分) 所以AB =2. (5分)(2)因为AB 2+BD 2=AD 2，所以△ABD 为直角三角形，且∠ABD =π2，(7分) 故S △ABC =12AB ⋅BCsin5π6=√32. (10分)【解析】(1)通过三角形的形状，结合余弦定理，求解AB 即可． (2)利用三角形的面积公式求解即可．本题考查三角形的几何计算，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)因为“青年人”和“中老年人”的人数之比为2：3，所以“青年人”和“中老年人”的人数分别为80和120，因为“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，所以“青年人”中对防控的相关知识了解全面的有40人，了解不全面的有40人，因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2：1，所以“中老年人”中对防控的相关知识了解不全面的有80人，了解不全面的有40人，故2×2列联表如下：因为K 2=200×(40×40−40×80)2120×80×80×120=509≈5.556>3.841，所以有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识． (2)用样本估计总体可知，从该市18～99岁市民中随机抽取1人，抽到的市民对防控相关知识了解全面的概率为35，所以随机变量X ～B(3,35)，X 所有可能取值为0，1，2，3，因为P(X =0)=C 30×(1−35)3=8125,P(X =1)=C 31×35×(1−35)2=36125，P(X =2)=C 32×(35)2×(1−35)=54125,P(X =3)=C 33×(35)3=27125，所以X 的分布列为：E(X)=np =95．【解析】(1)根据已知条件，结合列联表中数据的关系，以及独立性检验公式，即可求解．(2)用样本估计总体可知，从该市18～99岁市民中随机抽取1人，抽到的市民对防控相关知识了解全面的概率为35，所以随机变量X ～B(3,35)，X 所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】解：选①②作为条件证明③，因为a n =n −S n ，所以当n =1时，a 1=12．当n ≥2时，a n−1=n −1−S n−1，两式相减得a n −a n−1=1−a n ，所以2a n =a n−1+1，所以2(a n −1)=a n−1−1．因为b n =a n −1，所以2b n =b n−1，即b nbn−1=12，所以数列{b n }是首项为−12，公比为12的等比数列．因为b n =−(12)n ，所以T n =−12[1−(12)n ]1−12=(12)n −1．选①③作为条件证明②，因为a n =n −S n ，所以当n =1时，a 1=12．当n ≥2时，a n−1=n −1−S n−1，两式相减得a n −a n−1=1−a n ，所以2a n =a n−1+1，所以2(a n −1)=a n−1−1，所以a n −1an−1−1=12，所以数列{a n −1}是首项为−12，公比为12的等比数列．因为a n −1=−(12)n ，所以a n =1−(12)n ．因为T n =(12)n −1，所以当n =1时，b 1=T 1=−12；当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n −(12)n−1=−(12)n ．因为当n =1时也满足上式，所以b n =−(12)n ，故b n =a n −1．选②③作为条件证明①，因为T n =(12)n −1，所以当n =1时，b 1=T 1=−12；当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n −(12)n−1=−(12)n ．因为当n =1时也满足上式，所以b n =−(12)n ．因为b n =a n −1，所以a n =1−(12)n ，所以S n =n −[(12)1+(12)2+⋯+(12)n ]=n −12[1−(12)n ]1−12=n −[1−(12)n ]=n −a n ，故a n =n −S n ．【解析】利用数列的递推关系，构造新的特殊数列即可求得结果．本题考查了数列的递推关系，数列的求和等问题，属于基础题．20.【答案】(1)证明：在正△ABC 中，D 为AC 的中点，则BD ⊥AC ，因为AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BD ，而AA 1∩AC =A ，所以BD ⊥面AA 1C 1C ，又DF ，DE ⊂面AA 1C 1C ，所以BD ⊥DF ，BD ⊥DE ，所以∠FDE 为二面角F −BD −E 的平面角，D ，E ，F 分别为AC ，CC 1，AA 1的中点．AA 1=AB =2，所以AF =AD ，CD =CE ，所以∠ADF =∠CDE =45°，所以∠FDE =90°所以二面角F −BD −E 为直二面角，所以平面BDF ⊥平面BDE ．(2)以D 为坐标原点，DA ，DB ，为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,2)，B(0,√3,0)，E(−1,0,1)，F(1,0,1)，所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−2)，由(1)知，平面BDE 的一个法向量为DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，设面A 1BE 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −z =0n ⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y −2z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−2)，所以cos <DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ∣DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣×∣n⃗⃗ ∣=−1√2×2√2=−14，所以二面角D −BE −A 1的正弦值为√154．【解析】(1)由等边三角形，线面垂直的性质可得BD ⊥AC ，AA 1⊥BD ，根据线面垂直的判定有BD ⊥平面ACC 1A 1，从而∠FDE 为二面角F −BD −E 的平面角，再证明∠FDE 为直角即可．(2)建立空间直角坐标系，求面BDE ，面A 1BE 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求法向量夹角的余弦值，进而求二面角D −BE −A 1的正弦值．本题考查面面垂直的证明，以及面面角的求法，属中档题．21.【答案】解：(解法一)(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y 12=2px 1,y 22=2px 2,所以y 12−y 22=2p(x 1−x 2)，整理得y 1−y 2x1−x 2=2py1+y 2=1，(1分)所以y 1+y 2=2p. (2分)因为直线AB 的方程为y =x −p2，所以x 1+x 2=y 1+y 2+p =3p. (3分) 因为AB 的中点到准线l 的距离为4，所以x 1+x 22+p2=2p =4，得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x. (5分) (2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0，设切线PQ 的方程为x =m(y −t)−1，联立方程组{x =m(y −t)−1,y 2=4x,得y 2−4my +4mt +4=0，(7分)由Δ=16m 2−16(mt +1)=0，得t =m −1m ，即P(−1,m −1m )，(8分) 所以方程y 2−4my +4t +4=y 2−4my +4m 2=0的根为y =2m ，所以x =m 2，即Q(m 2,2m). (10分)因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,m −1m),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 2−1,2m)，所以FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(m 2−1)+2m(m −1m)=0，所以FP ⊥FQ ，即F 在以PQ 为直径的圆上． (12分) 解法二：(1)联立方程组{y =x −p2,y 2=2px,得x 2−3px +p 24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p. (3分) 因为AB 的中点到准线l 的距离为4，所以x 1+x 22+p2=2p =4，得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x. (5分) (2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0，设切线PQ 的方程为y −t =k(x +1)，联立方程组{y −t =k(x +1),y 2=4x,得ky 2−4y +4t +4k =0，(7分)由Δ=16−4k(4t +4k)=0，得t =1k −k ，即P(−1,1k −k)，(8分)所以方程ky 2−4y +4t +4k =ky 2−4y +4k =0的根为y =2k ，所以x =1k 2，即Q(1k 2,2k ). (10分)因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1k −k),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k )，所以FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(1k 2−1)+(1k −k)2k=0，所以FP ⊥FQ ，即F 在以PQ 为直径的圆上． (12分)【解析】(解法一)(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用平方差法，求解p ，得到抛物线C 的方程．(2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0，设切线PQ 的方程为x =m(y −t)−1，联立方程组{x =m(y −t)−1,y 2=4x,通过△=0，求出P 的坐标，通过向量的数量积推出FP ⊥FQ ，得到结果．解法二：(1)联立方程组{y =x −p2,y 2=2px,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理求解p ，然后求解抛物线方程．(2)设P(−1,t)，可知切线PQ 的斜率存在且不为0，设切线PQ 的方程为y −t =k(x +1)，联立方程组{y −t =k(x +1),y 2=4x,由Δ=0，求解P 的坐标，求出Q 的坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】(1)解：因为f(1)=1≠0，所以1不是f(x)的零点．令g(x)=e x−1x−1，则f(x)的零点个数即直线y =a 与g(x)图象的交点个数．因为g′(x)=e x−1(x−2)(x−1)2，所以g(x)在(−∞,1)，(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．因为g(2)=e ，且当x <1时，g(x)<0，所以当a ∈[0,e)时，f(x)没有零点；当a ∈(−∞,0)∪{e}时，f(x)有一个零点；当a ∈(e,+∞)时，f(x)有两个零点．(2)证明：由(1)知，当a ∈(e,+∞)时，f(x)有两个零点．设x 1<x 2，则x 1∈(1,2)，x 2∈(2,+∞)，由{e x 1−1−a(x 1−1)=0,e x 2−1−a(x 2−1)=0,得e x 1−x 2=x 1−1x 2−1，所以x1−x2=ln(x1−1)−ln(x2−1)，即x1−ln(x1−1)=x2−ln(x2−1)．令ℎ(x)=x−ln(x−1)，x∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−1x−1=x−2x−1，所以ℎ(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．要证x1+x2>4，即证x2>4−x1．因为x2>2，4−x1>2，且ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，所以只需证ℎ(x2)>ℎ(4−x1).因为ℎ(x1)=ℎ(x2)，所以即证ℎ(x1)>ℎ(4−x1).令F(x)=ℎ(x)−ℎ(4−x)=x−ln(x−1)−(4−x)+ln(3−x)=2x−4−ln(x−1)+ln(3−x)，x∈(1,2)，则F′(x)=2−1x−1+1x−3=2(x−2)2(x−1)(x−3)<0，所以F(x)在(1,2)上单调递减．因为F(x)>F(2)=0，所以ℎ(x)−ℎ(x−4)>0．因为x1∈(1,2)，所以ℎ(x1)>ℎ(4−x1)，故x1+x2>4．【解析】(1)因为f(1)=1≠0，所以1不是f(x)的零点，构造函数g(x)=e x−1x−1，则f(x)的零点个数即直线y=a与g(x)图象的交点个数，对g(x)求导，结合导数分析函数的性质可求；(2)证明：由(1)知，当a∈(e,+∞)时，f(x)有两个零点．设x1<x2，则x1∈(1,2)，x2∈(2,+∞)，代入已知函数中，结合对数运算进行变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数零点及证明不等式，考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题．。

广东省清远市2020年高三上学期期末数学试卷(理科)C卷

广东省清远市2020年高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合 M={2，4}，集合 N={3，5}，则（∁UM）∩N=（）A . {1，5}B . {3，5}C . {1，3，5}D . {2，4，5}2. （2分）设是虚数单位，则复数的虚部是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·四川月考) 在等差数列中，，且，为数列的前项和，则使得的的最小值为（）A . 23B . 24C . 25D . 264. （2分） (2018高一下·商丘期末) 在区域内任意取一点，则的概率是（）A . 0B .C .D .5. （2分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1 ，x2∈[0，2]，x1＜x2 ，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A . f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B . f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C . f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D . f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）6. （2分） (2018高一下·鹤岗期末) 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（）.A .B .C . 三棱锥的体积为定值D . △ 的面积与△ 的面积相等7. （2分） (2017高一下·定州期末) 点P是双曲线﹣ =1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分） (2015高一下·兰考期中) 已知A，B，C三点共线，且A（3，﹣6），B（﹣5，2）若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为（）A . ﹣13B . 9C . ﹣9D . 139. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 公元前300年欧几里得提出一种算法，该算法程序框图如图所示．若输入m=98，n=63，则输出的m=（）A . 7B . 28C . 17D . 3510. （2分） (2015高二下·上饶期中) 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=CC1=2，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A . 0B .C . ﹣D .11. （2分）在△ABC中，AB=BC，cosB=﹣，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=（）A .B .C .D .12. （2分）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图像分别交于M,N两点，则的最大值为（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为________14. （1分）（﹣2）7的展开式中，x2的系数是________15. （1分） (2017高一下·怀远期中) 已知等比数列{an}，的前n项和为Sn ，且S2=2，S4=8，则S6=________．16. （1分） (2016高一下·和平期末) 设x．y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2020高二上·榆树期末) 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， .（1）求B的大小．（2）若，，求b.18. （10分） (2019高三上·柳州月考) 如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， // , , .（1）证明：平面；（2）当点为半圆的中点时，求二面角的正弦值.19. （10分）(2017·万载模拟) 为响应国建“精准扶贫，产业扶贫”的战略，某市面向全国征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示（1）求图中x的值（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采取分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．20. （15分） (2015高二上·黄石期末) 已知抛物线y2=4 x的交点为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．（1）求椭圆标准方程；（2）求四边形ADBC的面积的最大值；（3）若M（x1，y1）N（x2，y2）是椭圆上的两动点，且满x1x2+2y1y2=0，动点P满足（其中O为坐标原点），是否存在两定点F1，F2使得|PF1|+|PF2|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．21. （10分） (2017高二下·洛阳期末) 设函数f（x）=x•lnx+ax，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对∀x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，求整数b的最大值．22. （5分）(2017·江门模拟) 极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同．已知曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C上到直线l的距离为d的点的个数为f（d），求f（d）的解析式．23. （5分）已知函数f（x）=x|lnx﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的a≥2，方程f（x）=x+b恒有三个不等根，试求实数b的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、23-1、。

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高三理科数学答案一、选择题序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B D A D B A A C C 6．解析：结合正、余弦函数的图像可知(,1),(0,1)2BD，22OABCS，

(cossin)(sincos)2Sxxdxxx阴，故在矩形OABC内随机取一点，则

此点取自阴影部分的概率为2，故选A． 9．解析：可设()sin()(0,)2gxAx，1(1)12A，由

02()652()125212kkZkkZT







62

()sin(2)6gxx

()sin[2()]sin(2)666fxxx，故选A．

12.如图:(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2|PO→|·|PC→| ≥－2·2||||()2popc＝－2，等号在|PO→|＝|PC→|，即P为OC的中点时成立．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13. -7； 14.35；15. 50n；34 ； 16. 12 817

15.由110024.0018.0016.0012.0x 得03.0x 依题意得，810016.0n，则50n 成绩在[50,60)的人数为65010012.0 X的可能取值为0,1,2.

1562,1581,151026242614122622CCCCCCCXPXPXP. 34156215811510XE 16.axxgbaxxxg26'',23'2，则3a，又31g，得4b，所以1cossincos2sin2xxxxxh=14sin2x，当4sinx时，xh有

最大值12。三、解答题 17.（本题满分12分）在ABC中，角CBA、、的对边分别为cba、、，且

03sin2sin322AA。

（I）求角A的大小；（II）若ABC面积为3，且外接圆半径3R，求ABC的周长。

【解析】（1）03sin2sin322AA 03sin2cos132AA，即0cos3sinAA…………2分

3tanA …………4分

又A0 3A …………6分（2）RAa2sin …………7分 33sin32sin2ARa…………8分 ABC面积为3 3sin

1Abc 得4bc …………9分

∵a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣bc=9， …………10分 ∴（b+c）2=9+3cb=9+12=21，∴b+c=21 ………11分

∴周长a+b+c=3+21． …………12分 18. （本小题满分12分）一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：（I）根据散点图判断abxy与abxey

哪一个更适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（数字保留2位小数）；

（III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少C以下？（最后结果保留到整数）参考数据:

1497541iiiyx,8.44741iiizx3150412iix,91.350ln 解：（I）依散点图可知，选择abxey更适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型。………… 2 分（II）因为abxey，令abxyzln，………… 3 分所以z与x可看成线性回归 5.27435302520x，

75.3478.561.4361.1z，…………4 分

所以，28.05.275.274315075.35.2748.447412241iiiiixnxzxnzxb …………5分 95.35.2728.075.3xbza …………6分

所以，95.328.0xz …………7分

即，95.328.0xey …………8分

（III）由50y即5095.328.0xe， …………9分 91.350ln95.328.0x …………10分

解得07.28x， …………11分要使得产卵数不超过50，则温度控制在28C以下。 …………12分本题考查了非线性回归方程及应用，本题为书本选修2-3第86页例题2改编，难度为中档题。难度系数为0.5，平均得分6分。

y 5 20 100 325

yzln 1.61 3 4.61 5.78

050100150200250300350010203040系A

BCC

19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC是菱形，1ABBC．

（I）证明：1ACAB；（II）若22ABBCAC，31CBB，

求直线1AB与平面111ABC所成角的余弦值．解：（I）证明：连接1BC交1BC于点O，连接AO，四边形11BBCC为菱形，11BCBC且O为1BC中点 ……1分

111,,ABBCABBCBBC平面 1ABC ……2分

AO平面1ABC，1BCAO ……3分 O为1BC中点，AO为1BC的垂直平分线，1ACAB ……4分（II）已知2ABBC，31CBB，故21CB

由（I）知21ABAC则21221ABACCB，21

CAB

又2221,1,4,2CABAOABBOAOAOBO

……5分

又11,,AOBCBCBOOAO平面11BBCC ……6分故以O为原点，OB、1OB、OA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ……7分则(0,0,1)A、(3,0,0)B、1(0,1,0)B、(0,1,0)C…8分设平面ABC的一个法向量为(,,)nabc，

则300nABacnACbc ……9分 3bca，设

(1,3,3)n ……10分

ABCC

z设直线1AB与平面111ABC所成角为 则1112342sincos,727nABnABnAB ……11分

故直线1AB与平面111ABC所成角的余弦值为77……12分 20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为

12,FF，短轴的两端点分别为12,AA，线段

12,OFOF的中点分别为12,BB，且四边形

1122ABAB是面积为8的矩形．

（1）求椭圆C的方程；（2）过1B作直线l交椭圆于P，Q两点，若228BPBQ，求直线l的方程．

解析：（1）在矩形1122ABAB中，1212

,2cOBOBOAOAb

所以四边形1122ABAB是正方形

112222()822ABABcSbcb









……………………………………2分

又222abc

22220,4,16abc，………………………………….3分

∴椭圆C的方程为221204xy．…………………………...…4分（2）由（1）可知12(2,0),(2,0)BB， 1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2,

由22244(2,),(2,)551204xPQxy







…..……....5分

O x y F2 B2 F1 B1 A1 A2