第一章 函数与极限部分作业答案
高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)
时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2
高等数学第一章课后习题答案
高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限第一节 映射与函数1.填空题:（1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 x y = 对称.（2）函数21()1f x x =+-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} .（4）设b ax x f +=)(，则=-+=h x f h x f x )()()(ϕ a .（5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x .（6）函数2xx e e y --=的反函数为 。
（7）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <12. 选择题:（1）下列正确的是：(B ，C )A.2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数.B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数.C.⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x xx y 是x 的奇函数.D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. .（2）)sin()(2x x x f -=是( A ).A.有界函数；B. 周期函数；C. 奇函数；D. 偶函数.（3）设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ).A.1；B.–1；C.2；D.–2.（4）函数21arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）(A)1≤x ； (B)13≤≤-x ；(C))1,3(-； (D){}{}131≤≤-⋂<x x x x .（5）函数⎩⎨⎧≤<+≤≤--=30,104,3)(2x x x x x f 的定义域是（ ）(A)04≤≤-x ； (B)30≤<x ;(C))3,4(-; (D){}{}3004≤<⋃≤≤-x x x x .（6）函数x x x y sin cos +=是（ ）(A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数； (D)奇偶函数.（7）函数xx f 2cos 1)(π+=的最小正周期是（ ）(A)2π； (B)π； (C) 4 ； (D)21 .（8）函数21)(x xx f +=在定义域为（ ）(A)有上界无下界； (B)有下界无上界；(C)有界，且 2121)(≤≤x f ； (D)有界，且2122≤+≤-x x .（9）与2)(x x f =等价的函数是（ ）(A) x ； (B) 2)(x ； (C) 33)(x ； (D) x .3．设132)1(2--=-x x x g（1） 试确定c b a ,,的值使c x b x a x g +-+-=-)1()1()1(2 ；（2） 求)1(+x g 的表达式解. 352)1(,0,1,22++=+===x x x g c b a4．求x x x f sgn )1()(2+=的反函数)(1x f -.解：⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=-1,)1(0,01,1)(1x x x x x x f5．设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域及)]7([-f f 。
高数练习册答案
第一章 函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、 充要 2、1 3、1；不存在 二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则 两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、 计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、 计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、 填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点 三、跳跃间断点 四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。
§2.2 二、2,e e ππ--； 三、（1； （2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。
考研高数--巩固测试题 第一章极限习题附答案(包含全书考点)
第一章函数与极限答案解析一、选择题（本题共 15小题，每小题３分，满分 45 分）1、函数 x x x y sin cos + = 是【 】(A)偶函数 (B)奇函数(C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数【答案】B2、函数 21arccos 1 + + - = x x y 的定义域是【 】(A) ] 1 , (-¥ (B) ]1 , 3 [ - - (C) )1 , 3 (- (D) ]1 , 3 [- 【答案】Ｄ【解析】 0 1 ³ -x 且 1 211 £ + £- x ，解得 1 3 £ £ - x 3、设 îíì > £ = 10 11) ( x x x f 则 ( ) [ ]{ } x f f f 等于【 】（A ）0 （B ）1(C) îíì > £ 1 0 1 1 x x (D) îíì > £ 1 1 1 0 x x 【答案】B4、当 +®0 x 时，与 x 等价是无穷小量的是【 】（A ） xe - 1 （B ） xx- + 1 1 ln（C ） 11 - + x （D ） xcos 1- 【答案】B【解析】 +®0 x 时， 等价 与 x 1 - - x e ， 等价 与x x 2 1 1 1 - + ， 等价 与 x x 21cos 1- 1 1 1lim 11 1 lim 1 1 ln lim 0 0 0 = - + = - - + - + +++® ® ® x x x x xx x x x x x 等价代换 ，等价 与 x xx - + \ 1 1 ln 5、设 tx tx t ee x xf + + = ® 1 lim ) ( 0 ，则 0 = x 是 ) (x f 的【 】（A ）连续点 （B ）第一类间断点 （C ）第二类间断点 （D ）不能判断连续性的点【答案】A【解析】 211 e lim 1 lim ) ( 0 00 0 + = + + = + + = ® ® x e x e e x x f t tx tx t 是R 上的连续函数， 0 = \x 是 ) (x f 的连续点 6、 n n x ¥® lim 存在是数列{ }n x 有界的【 】(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件【答案】B7、如果 ) ( lim 0x f x x + ® 与 ) ( lim 0x f x x -® 存在，则【 】（A） ) ( lim 0x f x x ® 存在且 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （B） ) ( lim 0x f x x ® 不存在（C） ) ( lim 0x f x x ® 存在但不一定有 )( ) ( lim 0 0x f x f x x = ® （D） ) ( lim 0x f x x ® 不一定存在【答案】D 8、设 xx x x x f 3 4 2 ) ( - + =，则 ) ( lim 0x f x ® 为【】（A ）12(B)1 3(C)1 4(D)不存在【答案】D9、如果 ) ( ), ( x g x f 都在 0 x 点处间断，那么【 】（A） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处间断 （B） ) ( ) ( x g x f - 在 0 x 点处间断 （C） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处连续 （D） ) ( ) ( x g x f + 在 0 x 点处可能连续【答案】D10、方程 0 1 4= - - x x 至少有一个根的区间是【 】（A） （0,1/2） （B） （1/2,1）（C） （2,3）（D） （1,2）【答案】D 11、设ï îïí ì = ¹ - + = 0 , 0 0 , 11 ) ( x x xx x f ，则 0 = x 是函数 ) (x f 的【 】 ‘（A）可去间断点（B）无穷间断点（C）连续点 （D）跳跃间断点【答案】A 12、已知 0 )( lim0 = ® xx f x ，且 1 ) 0 ( = f ，那么【】（A） ) (x f 在 0 = x 处不连续 （B） ) (x f 在 0 = x 处连续 （C） ) ( lim 0x f x ® 不存在（D） 1) ( lim 0= ® x f x 【答案】A13、已知当 0 ® x 时， 1 ) 1 312 - +ax （ 与 1 cos - x 是等价无穷小，则常数a 为【 】（A ）32 (B) 32 -(C)23 (D) 23 -【答案】D【解析】 2 31 32 21 3 1 lim 1 1 cos 1 ) 1 ( lim 22 0 31 2 0 -= Þ = - = - Þ = - - + ® ® a a x axx ax x x14、设 () f x 和 () g x 在(,) -¥+¥ 内有定义, () f x 为连续函数,且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点, 则必有间断点的 函数是【】（Ａ） [()] g f x （Ｂ） 2 [()]g x （Ｃ） [()]f g x （Ｄ）()()g x f x 【答案】D【解析】 设 1 ) ( 2+ = x x f ， îí ì< - ³ = 0 , 1 0 x 1 ) ( x x g ， 则 ) (x f 为连续函数，且 ()0,() f x g x ¹ 有间断点 0= x 则 2 )] ( [ = x g f ， 1 ) 1 ( )] ( [ 2 = + = x g x f g ， 1 )] [( 2= x g 均为连续函数，所以 A,B,C 选项错 下面证明D 选项是对的，用反证法 假设()()g x f x 是连续函数，由于 () f x 是连续函数且 0 ) ( ¹ x f ) (x g Þ 也为连续函数，与假设矛盾 15、设数列 n x 与 n y 满足 0 lim = ¥® n n n y x ，则下列断言正确的是【】（A）若 n x 发散，则 n y 必发散 （B）若 n x 无界，则 n y 必有界（C）若 n x 有界，则 n y 必为无穷小 （D）若 nx 1为无穷小，则 n y 必为无穷小 【答案】D 【解析】 设 îí ì= 为奇数 ， 为偶数 n n n x n 0 , ， îíì= 为偶数 ， 为奇数 n n n y n 0 , ，满足 0 lim = ¥® n n n y x ，但 n x 和 n y 均无界，所以（B）选项错； 设 2 1 n x n = ， n y n = ，满足 0 1lim 1 lim lim 2 = = × = ¥ ® ¥ ® ¥ ® nn n y x n n n n n ， n x 有界，但 n y 为无穷大，所以（C）选项 错；0 1 lim0 lim = Þ = ¥ ® ¥® nnn n n n x y y x 极限存在， 若 n x 1 为无穷小， 则 n y 必为无穷小， 否则极限是不存在的， 所以 （D） 选项正确；二、 计算题（满分 105分）1.求下列极限（本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24分） (1))1 ( lim 1- ¥® xx e x解： 等价 与 x1 1 , 0 ) 1 ( lim 1 1- \ = - ¥ ® xx x e e ， 1 1 lim 1 e lim 1= = - ¥ ® ¥ ® x x x x xx ） （ (2) )( lim x x x x x - - + +¥® 解： 11 1 1 1 2limx 2 lim= -+ + = - + + = +¥® +¥® xx xx x x x x 原式 (3) xxx x 2 sin sin tan lim3 0 - ® 解： 161 )2 ( 2 1 lim 2 sin sin tan lim3 30 3 0 = = - ® ® x xx x x x x (4) xx x 2 sin ln 5 sin ln lim 0+® 解： 1 5 sin 2 sin lim . 2 cos 2 5 cos 5 lim 2 cos 2 . 2 sin 1 5 cos 5 . 5 sin 1lim 2 sin ln 5 sin ln lim 0 0 0 0 = = = ++++® ® ® ® x x x x xxxx x x x x x x (5) xe x x x 1 ln 1 lim 0 - ® 解：方法一： 等价与 1 1 ) 1 1 1 ln( 1 ln - - - - + = - x e x e x e x x x Q 212 1 lim 1 . 1 lim ) 1 1 ( 1 lim 1 ln 1 lim 0 0 0 0 = - = - - = - - = - ® ® ® ® x e x x e x x e x x e x x x x x x x x x 方法二：洛必达法则21 2 lim 1 lim 1 1 lim 1lnlim 1 ln 1 lim 0 2 0 2 0 0 0 = = + - = + - × - = - = - ® ® ® ® ® x xe x e xe x e xe e x x x e x e x x x x x x x x x x x x x x (6) ) cos 1 ( cos 1 lim 0x x x x - - +® 解： 2 1cos 1 1 21 cos 1 lim cos 1 cos 12 1 . cos 1 lim )cos 1 ( cos 1 lim 2 0 0= + × - = + + × - = - - +++® ® ® x x x x x x x x x x x x x x 2.求下列极限（本题共 6 小题，每小题7 分，满分 42分）(1) () xx x 2 tan 4tan lim p®解：原式= )1 .(tan2 tan . 1tan 14)1 tan 1 ( lim - - ®- + x x x x x p1sin cos sin 2 lim cos 2 cos ) cos (sin 2 sin lim) 1 (tan 2 tan lim 444- = + - = - = - ®® ®x x xx x x x x x x x x x p p p1e- = \原式 (2) 21) 2 (cos lim xx x ® 解： 212 cos lim 12 cos .1 2 cos 1 012 0 22)1 2 cos 1 ( lim ) 2 (cos lim - - - - ® ® = = - + = ® eex x xx x x x x x x x (3) x x x 2tan 1)2 ( lim p- ® 解： xx x x x x x x x ex x 2tan ) 1 ( lim 2tan ) 1 ( 1 1 12tan 11 )1 1 ( lim )2 ( lim ppp- - - ® ® ® = - + = - p p p pp p p p p 2 2sin 2 2 cos ) 1 (2 2 sin lim2 cos 2 sin ) 1 ( lim 2 tan ) 1 ( lim 1 1 1 = - - + - = - = - ® ® ® xxx x x x x x x x x x p2e= \原式 (4) )33 ( lim 11 1 2+ ¥® - x x x x 解： 3ln 3 ln )1 ( 1lim ) 1 3( 3 lim ) 3 3 ( lim 2 111 1121112= + ×= - × = - ¥® + - + ¥® + ¥® x x x x x x x x x x x xx 其中 等价 与 )1 ( 11 3111 + - + - x x x x ， 13 lim 1 1= + ¥ ® x x (5) ) cos 1sin 1 (lim 2 2 2 0xx x x - ® 解： 42 22 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin cos lim cos sin sin cos lim ) cos 1 sin 1 ( lim x xx x x x x x x x x x x x x x - = - = - ® ® ® 32) 3 1 ( 2 3 sin lim 2 sin cos lim sin cos lim2 0 03 0 - = - × = - = + × - = ® ® ® x x x x x x x x x x x x x x (6) xx xx ) 1cos 2 (sin lim + ¥ ® 解：令 x t 1 = 则 ) cos 2 ln(sin 10 10 lim ) cos 2 (sin lim ) 1 cos 2 (sin lim t t t t t t x x et t xx + ® ® ¥ ® = + = +2 1 cos 2 sin lim ) cos 2 ln(sin lim0 0 = - + = + ® ® tt t t t t t t ， 2e= \原式 3. 2 2lim 2 2 2 = - - + + ® x x b ax x x ,求: b a , （本题满分 8 分） 解： b ax + + 2 x 和 2 x 2 - -x 均为多项式，它们都是连续函数且n 阶可导， 2 ® x 时 0 2 x 2 ® - - x 故一定符合洛必达法则的条件2 = \x 时 0 x 2 = + + b ax 即 02 4 = + + b a 2 234 1 2 2 lim 2 lim 2 2 2 2 = Þ = + = - + = - - + + \ ® ® a a x a x x x b ax x x x 8, 2 - = = \ b a 4.设 î íì > - £ = 1 , 1 1 , ) ( 2 x x x x x f ， ï îïí ì > + £ < - £ = 5 , 3 5 2 ), 1 ( 2 2 , ) ( x x x x x xx g , 考察 )] ( [ x g f 的连续性. （本题满分 11 分） 解： ï ï îïïíì > - - £ < - £ < - £ = îí ì > - £ = = 5 , 2 5 2 , 2 3 2 1 , 1 1 , 1 ) ( ), ( 1 1 ) ( ), ( )] ( [ ) ( 22 x x x x x x x x x g x g x g x g x g f x F 0 1 1 ) ( lim 1= - = + ® x F x ， 1 ) ( lim 1= - ® x F x ， ) (x F \ 在 1 = x 处不连续1 4 3 ) ( lim2 - = - = +® x F x ， 1 2 1 ) ( lim 2 - = - = -® x F x ， ) (x F \ 在 2 = x 处连续7 2 5 ) ( lim 5- = - - = + ® x F x ， 7 10 3 ) ( lim 5- = - = - ® x F x ， ) (x F \ 在 5 = x 处连续综上可得， )] ( [ x g f 在 ）， （ ） ， （ ¥ + È ¥ 1 1 上连续，在 1 = x 处间断， 1 = x 为其跳跃间断点。
上海财经大学出版的高数习题集答案 第一章 函数与极限
（3）举例证明不一定存在，
x6 x6 x6 x6 x6 ， lim ( ) x 4 3 x 4 2 x 4 1 x x 4 1 x 4 3
lim(
x 0
sin 2 x e 2 ax 1 ) 2 2a a ，即 a 2 。 x x
x 1 x 1
由题知 lim x(
x
ln(1
f ( x) f ( x) ) tan x lim tan x lim f ( x) 2, x 0 x ln 3 x 0 x 2 ln 3 3x 1
x2 1 b x2 1 b a ) 0 ，则 lim ( a )0 x x ( x 1) x( x 1) x x
（4） lim
2 sin x sin 2 x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x(1 cos x) lim lim x 0 x 0 x 0 xa xa xa 2 x 2x lim a2 lim x a 3 1, 所以 a 3 。 x 0 x 0 x
sin x 2 x2 sin x 2 为 x 0 时的无穷小， lim 0 ，所以 x 0 ln(1 2 x ) x 0 2 x ln(1 2 x)
1 1 （7）A： lim (1 ) x 1 ，因为由第三章第三节介绍的罗比达法则 lim (1 ) x x 0 x 0 x x
f (5) 11 。由 f (0) 1 和 f (1) 1 知 f ( x) 在 (0,1) 内至少有一个实根。
（1） ① lim
x 0
由 f (0) 1 和 f (1) 5 知 f ( x) 在 (1,0) 内至少有一个实根。由 f (0) 1 ，
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。
（ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）有关确定函数定义域的题型1．（4分）1)2ln()(+-=x x x f 的定义域为 21<<-x2．（4分）)2ln(1)(x x x f -+=的定义域为 [))2,1(1,1 -3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2x f []1,1-∈x（2）（6分）)2(xf (]0,∞-∈x（3）（7分）)31()31(-++x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x xf cos 1)2(sin+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00,1)(x x x x f7．求下列函数的反函数（1）（4分）31+=x y 1,133-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=11 xxy y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x8．（7分）已知：,2sin )(,)(3x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=)(,1||,11||,01||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这两个函数的图形。
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第一章 函数与极限 部分作业答案习题1---1（P17）4、求下列函数的定义域： （1）1y x=-解：因2200010111x x x x x x ≠≠≠⎧⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-≥≤-≤≤⎩⎩⎩[10)(01]⇔-，，，所以定义域为[10)(01]-，，。
（2）2232xy x x =-+ 解：因2320(2)(1)021x x x x x x -+≠⇔--≠⇔≠≠，且，所以定义域为{}|21x x x ≠≠，且。
（3）arcsin(3)y x =-解：因13124x x -≤-≤⇔≤≤，所以定义域为[24]，。
（4）1arctany x= 解：因30300x x x x -≥≤⎧⎧⇔⎨⎨≠≠⎩⎩，所以定义域为{}|30x x x ≤≠，且。
（5）ln(1)y x =+解：因101x x +>⇔>-，所以定义域为{}|1x x >-。
（6）1xy e =解：因0x ≠，所以定义域为{}|0x x ≠。
6、设sin 3()03x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，当，当，求()()()(2)644πππϕϕϕϕ--，，，。
解：66441()s i n ()s i n ()s i n (2)0.24242ππππππϕϕϕϕ===-=--=；；=；10、下列哪些函数是偶函数，哪些函数是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？ （1）22(1)y x x =-解：因()()2222()1(1)()f x x x x x f x ⎡⎤-=---=-=⎣⎦，于是22(1)y x x =-为偶函数。
（3）(1)(1)y x x x =-+解：因()()1222()(1)()(1)()f x x x f x x x x x f x ⎡⎤=--=---=--=-⎣⎦，且，于是(1)(1)y x x x =-+为奇函数。
（5）2x xa a y --=解：因222()()()x x x x x x a a a a a a f x f x ---------===-=-，于是2x xa a y --=为奇函数。
15、下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于所给自变量的函数值： （1）212sin 63y u u x x x ππ==，，=，=；解：2222263113sin |sin |sin 62434x x y x y y ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==；；； （3）212tan 04u y e u x x t t t π====，，，，=解：()2222tan tan0tan 01404|1|t t t y e y e e y ee e ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=========；；。
习题1---2（P27）1、观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n nx =; 解：1lim 02n n →∞=；（2）1(1)n n x n=-; 解：1lim(1)0n n n →∞-=；（3）212n x n =+; 解：21lim 2202n n →∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭； （4）11n n x n -=+; 解：11110limlim 111101n n n n n n→∞→∞---===+++； （5）(1)n n x n =-; 解：lim (1)n n n →∞-=∞（极限不存在）；3、根据数列极限的定义证明： （1）21lim0n n →∞= 证：对0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有2211110n N n n ε-=<<≤，于是21lim 0n n →∞=。
（2）313lim212n n n →∞+=+证：对0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有()()3131111121222122121n n n n n n Nε+--==<<<≤++++，于是21lim 0n n →∞=。
习题1---3（P36）1、根据函数极限的定义证明： （1）()3lim 318x x →-=证：对0ε∀>，取3εδ=，当03x δ<-<时，有()()318313f x A x x δε-=--=-<=， 于是()3l i m 318x x→-=。
（2）224lim 42x x x →--=-+证：对0ε∀>，取δε=，当0(2)x δ<--<时，有24()(4)24(2)2x f x A x x x δε⎛⎫--=--=-+=--<= ⎪+⎝⎭，于是224lim 42xx x →--=-+。
6、求()()x xf x x x xϕ==，当0x →时的左右极限，并说明它们当0x →时的极限是否存在。
解：因+++000000lim ()lim lim 11lim ()lim lim 11x x x x x x x xf x f x x x ---→→→→→→======；，所以10lim ()x f x →=；因+++000000lim ()lim lim 1lim ()lim lim 1x x x x x x x x x xx x x x x xϕϕ---→→→→→→-===-===；，所以0lim ()x x ϕ→不存在。
习题1---4（P43）2、求利用无穷小的性质，计算下列极限： （1）201lim cosx x x →； 解：因1c o s 1x ≤，且20l i m 0x x →=，于是201l i m c o s 0x x x→=； （2）arctan lim x x x→∞； 解：因a r c t a n 2x π<，且1l i m 0x x →∞=，于是a r c t a n 1l i ml i m a r c t a n 0x x x x x x →∞→∞==；习题1---5（P49）1、计算下列极限：（1）2225259lim 93231x x x→++===----；（3）()2222333303411x x x ---===+++；（5）22211121(1)111limlim lim 0(1)(1)1111x x x x x x x x x x x →→→-+---====+-++- （7）2222220000()22lim lim lim lim(2)202h h h h x h x x xh h x xh h x h x x h h h→→→→+-++-+===+=+=；（9）2222111101limlim112002212x x x x x x x x →∞→∞---===------；（11）23222111122221142181(21)(421)421322lim lim lim lim 611(21)(31)316513122x x x x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪--++++⎝⎭=====----+-；（13）221111lim 121lim 2lim (10)(20)2x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（15）[]222(1)1(1)123(1)(1)11112lim lim lim lim (1)(10)2222n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-+-++++--===-=-=； （17）22322211113132lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫+++-⎛⎫-=-= ⎪⎪---++-++-++⎝⎭⎝⎭22211(1)(2)2123limlim 13(1)(1)1111x x x x x x x x x x →→-+++==-=-=-=--++++++。
2、计算下列极限：（1）32222lim (2)x x x x →+- 解：因2232322(2)(22)0lim 0162222x x x x →--===++⨯，于是32222lim(2)x x xx →+=∞-； （3）3lim(21)x x x →∞-+ 解：因31l i m021x x x →∞=-+，于是3l i m (21)x x x→∞-+=∞。
3、计算下列极限：（1）x →（3）(()(()2222222111limlim 111x x x x x x x x →→→→+++===-+-((0lim 112x →=-+=-+=-；习题1---6（P59）1、计算下列极限：（1）00sin sin limlim 1x x x x x x ωωωωωω→→=== 或 000s i n l i m l i m l i m x x x x xx x ωωωω→→→===；（3）00sin2sin25222lim lim 11sin52sin5555x x x x x x x x →→=== 或 000s i n 2222l i m l i m l i m s i n 5555x x x x x x x →→→===；（5）()()()2000022121cos 21cos 21cos 22limlim lim 2lim 121211sin sin5sin52222x x x x x x x x xx x x x x x x →→→→---==== 或 ()2220000121c o s 222l i ml i m l i m l i m 22s i n x x xx x x x x x x xx →→→→-====; （7）2cossin 2cos sin sin 2222limlimlim x a x a x a x a x a x a x ax ax ax a x a→→→+-+--==---limcos cos cos 22x ax a a aa →++===； （8）0lim2sin2n n n x→（x 为不等于0的常数） 解：000lim2sin lim2lim 22n n n n n n n x xx x →→→===2、计算下列极限：（1）1111110001lim(1)lim (1)lim(1)xxx x x x x x x e e -----→→→⎡⎤⎡⎤-=-=-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（3）1112222111lim 1lim 1lim 1xxxx x x e x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+==⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5）1122112321lim lim 1lim 1121212x x x x x x x x x x ++++→∞→∞→∞⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭()11221211lim 1lim 1101122x x x e e x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭或 ()()()12322221ln lim 1ln 1lim 1lim12121212123lim lim 21x x x x x x x x x x x x x x x x eee ee ex →∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭++→∞→∞+⎛⎫====== ⎪+⎝⎭。