L02_CH2离散时间信号的时域描述
离散时间系统的时域分析
第六章离散时间系统的时域分析1．离散时间信号、连续时间信号、数字信号和模拟信号相互之间的联系和区别是什么？离散时间信号是指自变量（时间）离散、而函数值（幅度）连续变化的信号；连续时间信号是指自变量（时间）连续的信号；数字信号是指自变量（时间）离散、而函数值（幅度）也离散的信号；模拟信号是指自变量（时间）连续、而函数值（幅度）也连续变化的信号；对模拟信号或连续时间信号进行取样可以得到离散时间信号，而对离散时间信号进行量化则得到数字信号；对离散时间信号进行插值可以恢复连续时间信号。
2．周期离散时间信号的周期如何确定？若离散时间信号是周期的，即[][]x n x n rN=+，其中r是任意整数，N是正整数。
而对于连续时间信号而言，若其是周期的，则有()()x t x t rT=+，其中r是任意整数，T是正实数。
如正弦信号：()sin()x t tωϕ=+，其周期为2Tπω=；而正弦序列：[]sin()x n nϕ=Ω+，其周期有如下形式确定：如果2Nπ=Ω为整数，则其周期就是N；如果2qpπ=Ω，其中,p q是互质的两正整数，即2πΩ是有理数，则其周期为N q=；如果2πΩ是无理数，则正弦序列不是周期序列。
3．单位样值序列、单位阶跃序列之间的关系是什么，将单位阶跃序列推广到一般的序列后，它们之间的关系又怎样？单位样值序列定义为：1 0 []0 otherwisennδ=⎧=⎨⎩单位阶跃序列定义为：1 0 []0 otherwisenu n≥⎧=⎨⎩从而有：0[][] (1)[] (2)m nk u n n m k δδ∞==-∞=-=∑∑ 或 [][][1n u n u n δ=-- （3） 将式（1）推广到任意序列[]x n ，有[][][]m x n x m n m δ∞=-∞=-∑4．序列的移位运算有何特点？序列的差分运算是如何得到的？序列的移位有左移和右移，左移为： []x n m +，其中m 是正整数；右移为： []x n m -，其中m 是正整数；即对于序列来讲，其移位只能是整数大小的移位，不能出现其它任意小数形式的移位。
离散时间信号的时域描述及基本运算
5．离散信号分解为脉冲序列的线性组合
f [k ]
k -1 0 1 2 3
f [k ] f [1] [k 1] f [0] [k ] f [1] [k 1] f [n] [k n]
n
f [k ] f [n] [k n]
任意序列可以分解为单位脉冲序列及其位移的和
e j0k cos 0 k j sin 0 k
1 j0k cos 0 k (e e j0k ) 2
1 j 0 k sin 0 k (e e j 0 k ) 2j
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列
e j0k 可由e j0t 抽样得到
f [k] 2 1 1 0 1 2 3 k
2 1 0 1
3 2
f [k] 2
3 2 1 2 k
2. 位移 f [k] f [kn]
f [kn]表示将f [k]右移n个单位。 f [kn]表示将f [k]左移n个单位。
f [k] 2 1 1 f [k2] 2 1 0 1 2 3 4 5 k 3 2 0 1 2 3 k 3 2
即0N = m2p ， m = 正整数时，信号是周期信号。
如果0 /2p m/N ， N、m是不可约的整数， 则信号的周期为N。
[例] 离散信号周期的判断：
1) f1[k] = sin(kp/6) 2) f2[k] = sin(k/6), 3)对f3(t) = sin6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列
二、基本离散时间序列
1．实指数序列
r >1
f [k ] Ar , k Z
k
0< r <1
k
信号与系统分析第六章 离散时间信号与系统的时域分析
应用上述性质, 可以将任意离散信号f(k)表示为单位序
列的延时加权和,
f ( k ) f ( 1 ) ( k 1 ) f ( 0 ) ( k ) f ( 1 ) ( k 1 )
f (n)(k n) n
同样, 根据单位序列δ(k)的特点,
(6.5)
f(k)(k) f(0)
第六章 离散时间信号与系统的时域分析
2. 单位阶跃序列ε(k) 单位阶跃序列ε(k)
(k) 10
k 0 k 0
(6.8)
ε(k)的波形如图6.3所示。 单位阶跃序列ε(k)类似于
连续时间系统的单位阶跃信号ε(t), 但应注意, ε(t)在t=0点
处发生跳变, 在此处不定义或定义为 定义为1。
, 而1 ε(k)在k=0处 2
实际处理时, 常把信号存放在处理器的存储单元 中, 随时取用, 也可以先记录数据后分析或短时间内存 入, 数据在较长时间内完成处理过程。 考虑到上述因 素, 离散时间信号f(kTs)可以不必以kTs为变量, 而可以 直接用f(k)表示离散信号, k为信号出现的序号。 用f(k) 表示离散信号不仅简便而且具有更为普遍的意义, 即 离散变量k可以不限于代表时间。 通常, 离散时间信 号也称为序列, 可以把它看成是一组序列值的集合。
可以看出, 任意信号与单位序列δ(k)相乘得到的仍然是 一个δ(k)序列, 只不过序列的幅度不再为1而是被f(0)加 权,δ(k)的这个性质称之为“加权性”, 或“取样性”。 推广后可以得到, 对于任意延时的单位序列δ(k-n),
f(k)δ(k-n)=f(n)δ(k-n) (6.4)
第六章 离散时间信号与系统的时域分析
k 0 k 0
(6.1)
第六章 离散时间信号与系统的时域分析
2离散时间信号和系统的时域分析
设两对激励与响应x1 (n) → y1 (n), x2 (n) → y2 (n) 则c1x 1(n) + c2 x 2 (n) → c1 y1 (n) + c2 y2 (n)
x1 (n)
离散时间系统
y1 (n)
c1 x1 (n) + c2 x2 (n)
x(2n) 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 n
抽取
插值
1.4 序列的简单运算
6）差分 前向差分
∆x(n) = x(n + 1) − x(n)
序列样值与其前面相邻的样值相减 序列样值与其前面相邻的样值相减 前面 后向差分
∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1) ∇ 2 x ( n ) = ∇ [∇ x ( n ) ] = x ( n ) − 2 x ( n − 1) + x ( n − 2)
3.3 解
k =0 k r =0 r
N
M
阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 一般因果系统用后向形式的差分方程
3.2 离散和连续系统的数学模型 联系
即差分方程与微分方程的关系 即差分方程与微分方程的关系
3.3 解
求解方法
法
递推法 时域法 时域经典法 零输入与零状态求法 变换域法：利用Z 变换
原 序 列 ========= 新 序 列
1 n (1 2 ) , n ≥ − 1 x(n) = 2 0, n < −1
x(n) 1
x(n+1) 1
1/2 1/4 1/8 -2 2 -1 1 0 1 n
实验一离散时间信号的时域分析
实验一离散时间信号的时域分析离散时间信号是一种离散的信号形式，其具有离散的时间间隔。
这种信号在数字信号处理中得到了广泛的应用。
时域分析是分析信号的一种方法，它通常包括分析信号的幅度、相位、频率等参数，并从中获得信号的特征。
在本实验中，我们将探讨离散时间信号的时域分析方法。
1.实验目的• 了解离散时间信号的基本概念和性质。
• 熟悉MATLAB软件的使用，理解信号处理工具箱的使用方法。
2.实验原理离散时间信号是一种在离散时间点上定义的数列。
它通常用序列来表示，序列的元素是按照一定的时间间隔离散采样得到的。
离散时间信号的采样频率通常表示为Fs，单位是赫兹。
离散时间信号可以写成如下的形式：x(n) = [x(0),x(1),x(2),...,x(N-1)]其中，n表示离散时间点的下标，N表示离散时间信号的长度。
• 幅度分析：指分析离散时间信号的振幅大小。
离散时间信号的幅度、相位、频率的分析通常使用傅里叶变换、离散傅里叶变换等变换方法来实现。
3.实验步骤3.1 生成离散时间信号使用MATLAB编写程序，生成一个离散时间信号。
例如，我们可以生成一个正弦信号：t = 0:0.01:1;x = sin(2*pi*100*t);其中，t表示时间向量，x表示正弦信号。
将信号进行离散化，得到离散时间信号：其中，fs表示采样频率，n表示采样时间点，xn表示采样后的信号。
使用MATLAB的plot函数，绘制离散时间信号的时域图像。
figure(1);plot(n, xn);xlabel('Time');ylabel('Amplitude');其中，figure(1)表示创建一个新的窗口，用于显示图像。
xlabel和ylabel用于设置图像的横轴和纵轴标签。
3.3 使用FFT进行幅度分析X = fft(xn);n = length(X);f = (0:n-1)*(fs/n);power = abs(X).^2/n;其中，X表示离散时间信号的傅里叶变换结果，n表示离散时间信号的长度，f表示频率向量，power表示幅度谱。
实验二离散时间系统的时域分析
武汉工程大学信号分析与处理实验一专业：通信02班学生姓名：李瑶华学号：1304200113完成时间：2021年7月27日实验二: 离散时间系统的时域分析一、实验目的1.在时域中仿真离散时间系统，进而理解离散时间系统对输入信号或延迟信号进行简单运算处理，生成具有所需特性的输出信号的方法。
2.仿真并理解线性与非线性、时变与时不变等离散时间系统。
3.掌握线性时不变系统的冲激响应的计算，并用计算机仿真实现。
4.仿真并理解线性时不变系统的级联、验证线性时不变系统的稳定特性。
二、实验设备计算机，MATLAB 语言环境。
三、实验基础理论1.系统的线性性质线性性质表现为系统满足线性叠加原理：若某一输入是由N 个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这N 个信号中每一个的响应的相应加权和组成的。
设)(1n x 和)(2n x 分别作为系统的输入序列，其输出分别用)(1n y 和)(2n y 表示，即)]([)(,)]([)(2211n x T n y n x T n y ==若满足)()()]()([22112211n y a n y a n x a n x a T +=+则该系统服从线性叠加原理，或者称该系统为线性系统。
2.系统的时不变特性若系统的变换关系不随时间变化而变化，或者说系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，则称该系统为时不变系统（或称为移不变系统）。
对时不变系统，若)]([)(n x T n y =，则)()]([m n y m n x T -=- 3.系统的因果性系统的因果性即系统的可实现性。
如果系统时刻的输出取决于时刻及时刻以前的输入，而和时刻以后的输入无关，则该系统是可实现的，是因果系统。
系统具有因果性的充分必要条件为0,0)(<=n n h4.系统的稳定性稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO ）的系统。
如果对于输入序列，存在一个不变的正有限值，对于所有值满足∞<≤M n x |)(|则称该输入序列是有界的。
离散时间信号与系统教程
离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统教程离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要内容之一。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对这些信号进行处理和变换的设备或算法。
本文将介绍离散时间信号与系统的基本概念、性质以及常用的变换方法和应用。
一、离散时间信号离散时间信号是在离散时间点上取值的函数，离散时间点一般用整数表示。
例如，对于一个音频信号，可以按照每秒采集多少个样本来表示离散时间点。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n为离散时间点。
离散时间信号有许多重要的性质，例如周期性、能量与功率、线性性等。
周期性是指信号具有重复的特征，可以表示为x(n)=x(n+N)，其中N为周期。
能量与功率是用来描述信号的能量和功率大小的，能量表示信号的总能量，功率表示单位时间内信号的平均功率。
线性性是指信号满足线性叠加原理，即若有两个信号x1(n)和x2(n)，则对应的线性组合也是一个信号。
二、离散时间系统离散时间系统是对离散时间信号进行处理和变换的设备或算法。
离散时间系统可以表示为y(n)=T[x(n)]，其中T为系统的变换操作。
常见的离散时间系统有线性时不变系统(LTI系统)、卷积系统和差分方程系统等。
LTI系统是指具有线性性和时不变性的系统，线性性表示系统满足线性叠加原理，时不变性表示系统的输入与输出之间的关系不随时间变化。
卷积系统是通过卷积操作实现信号的处理和变换的系统，可以将输入信号与系统的冲击响应进行卷积运算得到输出信号。
差分方程系统是通过差分方程描述系统的输入与输出之间的关系，可以通过求解差分方程得到输出信号。
三、离散时间变换离散时间变换是将离散时间信号从一个表示域转换到另一个表示域的方法。
常见的离散时间变换有傅里叶变换、Z变换和小波变换等。
傅里叶变换是将离散时间信号从时间域转换到频率域的方法，可以将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。
Z变换是将离散时间信号从时间域转换到复平面的方法，可以得到离散时间系统的频率响应。
离散时间信号的表达及运算规则
06
离散时间信号的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
01
离散时间信号在数字通信系统中用于表示和传输信息，如数字
调制解调、数字信号处理等。
信号压缩与编码
02
离散时间信号在数据压缩和信道编码中用于提高通信系统的传
输效率和可靠性。
无线通信
03
离散时间信号在无线通信中用于处理和传输无线电信号，如数
字音频广播、卫星通信等。
在图像处理中的应用
01
图像数字化
离散时间信号用于将连续的图像 信息转换为离散的数字信号，便 于计算机处理和存储。
图像增强
02
03
图像压缩
离散时间信号在图像增强中用于 改善图像质量，如滤波、锐化等。
离散时间信号在图像压缩中用于 减少图像数据量，提高存储和传 输效率。
在控制系统中的应用
控制算法实现
离散时间信号在控制系统中用于实现控制算法，如PID控制、模 糊控制等。
离散时间信号的图形表示法可以直观地展示信号的幅度和时间变化，有助于理解信号的周期性、趋势 和突变等特征。
数学表示法
离散时间信号的数学表示法通常使用 序列来表示，即使用一串数值来表示 信号在不同时刻的值。
常用的数学表示法包括差分方程、离 散时间函数和离散时间系统等，这些 方法可以用来描述离散时间信号的数 学特征和运算规则。
系统建模与仿真
离散时间信号在控制系统建模和仿真中用于描述系统的动态行为。
故障诊断与预测
离散时间信号在故障诊断和预测中用于分析系统的运行状态和异 常情况。
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THANKS
FIR滤波器的设计
FIR滤波器的定义
FIR（有限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其 冲激响应有限长，且在有限时间内收敛到零。
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k 0 k 0
2 1 0 1 2
k
1 k n [k n] 0 k n
[ k n]
1 k
0
n
二、基本离散时间序列
4．单位脉冲序列
[k ]
1
单位脉冲序列的 作用
f [k] 3 2 1 2 1 0 1 2 3 2
表示任意离散时间信号
2 1 0 1 2
u[k ]
n
[ n]
k
二、基本离散时间序列
6．矩形序列
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
N 1 m 0
RN [k ] u[k ] u[k N ] [k m]
RN [k] 1
2 1 0 1 2
3．复指数序列
f [k ] Ae ( j0 )k Aek e j0k Ar k e j0k
Ar e
k j0k
Ar cos( 0 k ) jAr sin( 0 k )
k k
k
k
衰减正弦信号
增幅正弦信号
二、基本离散时间序列
4．单位脉冲序列
定义：
[k ]
1
1 [k ] 0
j0t t kT ,
e
j0k
e
0 0T
两者的区别:
e j 0 k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e
j( 0 n 2 π ) k
e
j 0 k
e
j2 πnk
e
j 0 k
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列
周期性：
若e
j 0 N
1 则e
j0 ( k N )
e
j0 k
e
j0 N
e
j0 k
即0N = m2p ， m = 正整数时，信号是周期信号。
如果0 /2p m/N ， N、m是不可约的整数，
则信号的周期为N。
[例]判断下列离散序列是否为周期信号.
1) f1[k] = cos(kp/6)
0 /2p 1/12, 由于1/12是不可约的有理数，
故离散序列的周期N=12。
2) f2[k] = cos(k/6),
0 /2p 1/12p, 由于 1/12p不是有理数，
故离散序列是非周期的。 3)对f3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列
6π f 3 [k ] f 3 (t ) 1 cos( k ) t k 8 8
二、基本离散时间序列
1．实指Z
k
0< r <1
k
r <1
1< r <0
k
k
k
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列
f [k ] e j0k
f [k ] A cos( 0 k )
利用Euler 公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即
e j0k cos 0 k j sin 0 k
1 j0k cos 0 k (e e j0k ) 2
1 j 0 k sin 0 k (e e j 0 k ) 2j
二、基本离散时间序列
2．虚指数序列 和 正弦序列
e
j0 k
可由e
j0t
抽样得到
k
k
f [k ] 3 [k 1] [k ] 2 [k 1] 2 [k 2]
二、基本离散时间序列
5．单位阶跃序列
定义：
u[k ]
1
1 k 0 u[k ] 0 k 0
k
2 1 0 1 2
[k]与u[k]的关系:
[k ] u[k ] u[k 1]
u[k ]
n
[ n] u[n]
k
k
dr (t ) u(t ) t dt r (t ) u ( )d
u[k ] r[k 1] r[k ]
r[k 1]
n
离散时间信号的时域描述
离散时间信号的表示
基本离散时间序列
实指数序列 虚指数序列 和 正弦序列 复指数序列 单位脉冲序列 单位阶跃序列 矩形序列 斜坡序列
一、离散时间信号的表示
3
序列的图形表示
f [k ] 2
1 1
-1 0 1 2 3
k
序列的列表表示
表示k=0的位置
f[k]=[0, 2, 0, 1, 3, 1, 0]
k N1
二、基本离散时间序列
7．斜坡序列
r[k ] ku[k ] n [k n]
n 0
r [k]
3 2 1
4
k 0 1 2 3 4
1 k 0 u[k ] 0 k 0
du(t ) (t ) dt t u (t ) ( )d
[k ] u[k ] u[k 1]
由于3/8是不可约的有理数，故f3[k]的周期为N=8。
0 /2p 3 / 8
1) f1[k] = cos(kp/6)
f1[k]
0
k
2) f2[k] = cos(k/6)
f2[k]
0
k
3)对f3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列
f3(t), f3[k]
1
0 1
1
t
二、基本离散时间序列