交错级数的对数判别法
02-交错级数及其审敛法PPT
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少 证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一 （a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板 书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•
交错级数的对数判别法
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
1 + 2 + …+ n
1 1
数为
n=1
∑( - 1)
n- 1
1 e
, 由莱布尼茨判别法易知其收敛 .
n
又因为 1 +
1 1 + …+ < 2 n
∫x d x , 所以
1
1
1 e
∞
1 + 2 + …+ n
1
1
= e
1 + 1 + …+ 1 2 n
1
>
1 e = , n e - 1 + ln n 1 e
n →∞
注 对于级数 (i ) , 用莱布尼茨判别法判敛 , 显然较困难 . 这是因为证明 lim un = 0 有一定的困难 . 对 于级数 (ii ) , 虽然可用莱布尼茨判别法判敛 , 但不能说明其在收敛时是条件收敛还是绝对收敛 . 若用文 [ 1 ] , [ 2 ]所给的审敛法判敛 , 也比较困难 ( 计算 、 讨论繁杂) . 而用本文所给的审敛法 , 则显得较为简便 . 可 见 , 交错级数的对数判别法作为交错级数审敛法的一种补充是有一定价值的 .
lim un = 0 . 对 于 ε 0 =
n →∞
l
2
, ϖN ,当 n > N 时,
nln
un un+ 1
- l
<ε 0 =
l
2
,即
un un+1
> e2n > 1 +
交错级数的对数判别法
奎 ｛ 发 ，以 Ｕｍ０［ 。 莱 尼 判 法 ， （收 ．根 引 １ 散所 Ｎ＝，—“ ． 布 茨 别 知级 １ 敛再 据 理 ＋ Ｅｉ 由 Ｉ 一 ｌ ｍ 数）
＝
ｌ
可 知 ，＞ １时 ， 数 （ ） 对收 敛 ； ＜ｚ １时 ， 数 （ ） 件 收敛 ． ｚ 级 １绝 ０ ＜ 级 １条
－ ｔ ＝ ｎ ａ ｎ
ｌ ｉ ｍ
…
－ ” ｎ＋ ） ！ 『 （ ］ ａ ｒ ｉ＿ ．
１ １
［ｘ ｛］ ｌ １ｌ＋） ｉ －ｎ ｍ （ ＋
所 以 ｌ ｌ ｉ ｎ ｍｎ
“ ｔ ， １
－ ｌ一 ， … ＋ ｌ ｔ１ ｉ ｍ
［ 摘
要］ 从 正 项 级 数 的 Ｒ ａ ｅ 数判 别 法 人 手 ， 出 了 交 错 级 数 的 一 个 新 的 审 敛 方 法 ． 文 ［ ］ ［ ］ ａｂ 对 给 与 １ ，２ 所
给 的 审敛 法 相 比 ， 当交 错 级 数 的 一 般项 含有 幂 指 项 时 ， 用 该 审 敛 法 判 断 其 敛 散 性显 得尤 为简 便 ． 利 ［ 关键 词］ 交 错 级 数 ； 对 收 敛 ； 件 收 敛 绝 条 ［ 图分 类 号 ］ Ｏ１ ３ １ 中 ７ ． ［ 献 标 识 码 ］Ｃ 文 ［ 文章 编 号 ］ １ ７—４ ４２ １ ）２ ６ ２１５ （０ ０ ０一
（ｉ ｉ）当 ｌ ｉ ：ｏ时 ， 级数 （ ） 能条件 收敛也 可能发 散． １可 证 （）当 １ ０时 ， ｉ ＞ ２ 由极 限的保 号性 可知 ， Ｎ， ｎ Ｎ 时 ， “＋ ， 当 ２ ＞ “ ＞ 即数 列 ｛ 单调 递 减． 证 “） 下
ｌ ｉ ｍ‰ ＝ ０ ＝ ．对 于 ￡ ： 。一 百 １
若 ｌ ｌ ｉ ｎ ｍｎ
交错级数判别法
交错级数判别法
交错级数判别法（Alternating Series Test）是一种用于判断交错级数收敛性的方法。
交错级数是指一个级数的项交替正负，即每一项的符号与前一项相反。
例如，一个交错级数可以写成以下形式：a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...
交错级数判别法的具体步骤如下：
1. 检查交错级数的项数是否趋近于无限大，即该级数是否为无限级数。
2. 检查交错级数的项是否单调递减，即对于所有的n，都有
a(n+1) <= a(n)。
3. 检查交错级数的项是否趋近于零，即lim(n->∞) a(n) = 0。
如果上述三个条件同时满足，那么交错级数就是收敛的。
交错级数判别法的基本思想是，当级数的项逐渐趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
因为交错级数的部分和序列是单调递增的，且其上限和下限分别为相邻两个部分和序列，所以当级数的绝对值趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。
需要注意的是，交错级数判别法只适用于交错级数，对于非交错级数，不能使用此方法来判断其收敛性。
交错级数及其判别法
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。
级数敛散性总结
摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。
级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。
级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。
基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。
本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。
本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。
最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。
关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。
交错级数及判别法
交错级数定义 莱布尼兹判别法 应用
1.交错级数定义
正、负项相间的级数称为交错级数.
u1 − u2 + u3 + + (−1)n−1 un +
(1)
或
− u1 + u2 − u3 + + (−1)n un +
(2)
(其中un 0)
下面观察级数(1)部分和数列 sn ,
sn
s1 s3 s
un
=
1 n
− un+1 =
1 n
−
1 n+1
=
1 n(n + 1)
0
11 un = n n + 1 = un+1,
lim 1 = 0 n→ n
所以 un 单调递减且极限为零,
由莱布尼兹定理知原级数收敛.
例2
判断级数
n=2
(−1)n n − ln n
的敛散性.
分析：
un
=
1 n − ln n
怎样判断单调性？
解 设 f ( x) = x − ln x, x 2, 则有 f ( x) = 1− 1 ， 当x 2时，f ( x) 0, x
所以 f ( x) 单调增加，故 1 单调减少，
f (x)
从而
un
=
1 n − ln n
单调递减.
1
1
lim ln x = lim x = 0
s2n = u1 − u2 + u3 − u4 + + u2n−1 − u2n
= (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + + (u2n−1 − u2n )
一、交错级数及其审敛法最全版
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
2
例2
n 1 判定级数 (1) n 1
n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
3
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
yrty 1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1
的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n§9.3
任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
n 1 n 1
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1 1
且
n=1
∑n
e
∞
发散 , 故
n=1
∑
1
e
1 + 2 + …+ n
1
1
∞
发散 . 从而级数
n=1
∑
( - 1) n- 1
条件收敛 . 综合知 , 当
x≥ 1 时 , 原级数发散 ; 当
1 1 ≤x < 1 时 , 原级数条件收敛 ; 当 0 < x < 时 , 原级数绝对收敛 . e e
[ 关键词 ] 交错级数 ; 绝对收敛 ; 条件收敛 [ 中图分类号 ] O173. 1 [ 文献标识码 ] C [ 文章编号 ] 167221454 ( 2010) 0222
在一般高等数学教材中 ,关于交错级数的审敛准则 ,仅介绍了莱布尼茨 ( Leibniz) 判别法 . 彭晓珍等 在文 [ 1 ] 中给出了交错级数的一个新的审敛准则 . 杨万必在文 [ 2 ] 中改进了文 [ 1 ] 所给的审敛准则 , 并给 出了新的审敛准则 . 本文从正项级数的 Raabe 对数判别法入手 , 给出了交错级数的一个新的审敛方 法— — — 对数判别法 . 引理 1 [ 3 ] ( 正项级数的 Raabe 对数判别法) 设
L I U Z hi2g ao
(Ma’ anshan Technology College , Ma’ anshan , Anhui 243031 , China) Abstract : From t he “Raabe ”logarit hm decision met hod abo ut po sitive series , we can draw one new convergence criterio n about alternate series. Compared wit h t he convergence criterions in [ 1 ,2 ] , it is mo re co nvenient to judge t he convergence of alternate series by means of t he new convergence criterio n , especially when power2exponential f unctions appear in t he commo n item of alternate series. Key words : alternate series ; absolutely co nvergence ; conditionally convergence
n →∞ n →∞
≠ 0 , 所以级数 ( 1) 发散 . (iii ) 当 l = 0 时级数可能条件收敛也可能发散 . 举例说明如下 :
∞
对于级数
n=2
∑
( - 1) n
1 和 ln n
∞
n=1
∑( - 1)
n- 1
n , l 均等于 0 . 但易知前者条件收敛而后者发散 . n+1
如果交错级数 ( 1) 中 un 比较复杂 , 尤其是 un 含有连乘积或阶乘项或幂指数项时 , 验证其满足莱布 尼茨判别法的两个条件通常比较困难 , 而运用本文所给的新审敛方法判定其敛散性较为方便 . 例 判断下列级数的敛散性 :
n →∞
1
n
.
因为
lim x 1 - x ln 1 + 1
x
t=
1
x
x →+ ∞
t - ln ( 1 + t) lim = lim 2 + + t t→ 0 t→ 0
1-
1 1+t 1 = , 2t 2
所以 lim nln
n →∞
un 1 = . 由定理知原级数条件收敛 . un+1 2 un un+1
un un > 0
( n = 0 ,1 ,2 , … ) ,
( 1)
若 lim nln
n →∞
un = l ,则 un+ 1
(i ) 当 l > 0 时 , 级数 ( 1) 收敛 , 且 0 < l < 1 时 , 级数 ( 1 ) 条件收敛 , l > 1 时 , 级数 ( 1 ) 绝对收敛 , l = 1 时
[参 考 文 献]
[1] 彭晓珍 ,严钦容 . 关于交错级数的一个新的审敛准则 [J ]. 大学数学 ,2004 ,20 (3) :120 - 123. [2] 杨万必 . 关于交错级数的审敛准则的改进和推广 [J ] . 大学数学 ,2006 ,22 ( 2) :138 - 141. [3] 姬小龙 ,王锐利 . 正项级数的 Raabe 对数判别法 [J ] . 高等数学研究 ,2007 ,10 ( 3) :7 - 9.
(i ) 当 l > 1 时 , 级数
∑u
n
为正项级数 , 且 lim nln
n →∞
un = l ,则 un+ 1
∑u
n
收敛 ; (ii ) 当 l < 1 时 , 级数
∑u
n
发散 .
由引理 1 入手 , 得如下定理 : 定理 ( 交错级数的对数判别法) 对于交错级数
∞
n=0
∑( - 1)
n- 1
第 2 期 刘志高 : 交错级数的对数判别法
∞
195
由于
m =1
∑ N + m发散 , 所以 lim u
m →∞
1
N+m
= 0 , 即 lim un = 0 . 由莱布尼茨判别法知 , 级数 ( 1) 收敛 . 再根据引理 1
n →∞
可知 , l > 1 时 , 级数 ( 1) 绝对收敛 ; 0 < l < 1 时 , 级数 ( 1) 条件收敛 . 特别地 , 当 l = 1 时 , 级数 ( 1) 可能绝对收敛也可能条件收敛 . 举例说明如下 : ∞ ∞ 1 1 对于级数 ∑( - 1) n - 1 和 ∑( - 1) n , l 均等于 1 . 但易知前者条件收敛而后者绝对收敛 . 2 n nln n n=1 n=2 (ii ) 当 l < 0 时 , 由极限的保号性可知 , ϖ N , 当 n > N 时 , un < un + 1 . 于是 lim un ≠ 0 , 即 lim ( - 1 ) n - 1 un
(ii ) lim nln
n →∞
= - lim nln x n + 1 = - ln x . 由定理知 , 当 x > 1 时 , 原级数发散 ; 当
n →∞
1
1 < x < 1 时 , 原级 e
数条件收敛 . 当 0 < x <
∞
1 1 时 , 原级数绝对收敛 . 特别地 , 当 x = 1 时 , 显然有原级数发散 . 当 x = 时 , 级 e e
可能绝对收敛也可能条件收敛 ; (ii ) 当 l < 0 时 , 级数 ( 1) 发散 ; (iii ) 当 l = 0 时 , 级数 ( 1) 可能条件收敛也可能发散 . 证 (i ) 当 l > 0 时 , 由极限的保号性可知 , ϖ N , 当 n > N 时 , un > un + 1 , 即数列 { un } 单调递减 . 下证
N +1
u N + 2 > …> 1 +
ε 0
N
1+
ε 0
N +1 uN
…1+
ε 0
N +m- 1
uN + m ,
即
uN + m < uN
1+
ε 0
N
ε ε 0 0 1+ …1+ N +1 N +m- 1
<
1 1 +ε + 0
N
1 1 + …+ N +1 N +m- 1
.
[ 收稿日期 ] 2007207209 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
n →∞
注 对于级数 (i ) , 用莱布尼茨判别法判敛 , 显然较困难 . 这是因为证明 lim un = 0 有一定的困难 . 对 于级数 (ii ) , 虽然可用莱布尼茨判别法判敛 , 但不能说明其在收敛时是条件收敛还是绝对收敛 . 若用文 [ 1 ] , [ 2 ]所给的审敛法判敛 , 也比较困难 ( 计算 、 讨论繁杂) . 而用本文所给的审敛法 , 则显得较为简便 . 可 见 , 交错级数的对数判别法作为交错级数审敛法的一种补充是有一定价值的 .
lim un = 0 . 对 于 ε 0 =
n →∞
l
2
, ϖN ,当 n > N 时,
nln
un un+ 1
- l
<ε 0 =
l
2
,即
un un+1
> e2n > 1 +
l
l
2n
, 亦即
un > 1 +
ε 0
n
u n + 1 . 于是 ,
uN > 1 +
ε 0
N
uN +1 > 1 +