《直线的倾斜角与斜率》导学案3 高中数学同课异构优质课获奖教案
《直线的倾斜角与斜率》教学设计 高中数学同课异构优质课获奖教案
人教A版数学必修2 第三章直线与方程3.1.1 《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、教学内容分析本节是学生学习解析几何的第一课时,通过本节的学习，需要帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法——用代数方法研究几何问题，这也是贯穿本节、本章知识的大概念。
同时在课堂中进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意识。
本课有着开启全章，渗透方法的作用，并为后续教学内容——判断两条直线的位置关系及建立直线方程等起关键性的铺垫作用。
二、教学目标设计1．引导学生形成直线的倾斜角的定义、范围和斜率的概念；2．引导学生建立倾斜角、斜率与直线方向向量的关系；3．引导学生认识事物间联系的本质，体会生活问题与数学问题间的联系.三、教学重点、难点教学重点：1．引导学生感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2．引导学生推导并初步掌握过两点的直线斜率公式.教学难点：1．用代数方法推导斜率的过程；2．体会数形结合及分类讨论思在概念形成及公式推导中的作用.四、教学流程设计12教学流程设计教学环节教学内容设计意图 知识背景自古希腊以来的几何研究，一直是以公理为基础，直接研究几何问题， 直到17世纪法国数学家笛卡尔创建了直角坐标系，用坐标法把几何的基本元素——点和代数的基本元素——数对应起来，并用代数方程来表示曲线，从而用代数的方法来研究几何问题,这就是解析几何的基本思想，也是本节课、本章学习渗透的大概念。
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来。
今天我们就先来探究最怎样用代数的方法来研究直线！使学生了解解析几何的发展及解析几何的基本思想； 了解学习的新内容的特点及意义.用笛卡尔爱心曲线激发学生的兴趣与探索热情.情 景 导 入问题1、对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些要素确定呢？那么在直角坐标系内过一点P 可以作多少条直线？ 这些直线有什么区别?自然合理地提出问题， 从最简单问题着手，创造轻松的氛围。
《直线的倾斜角与斜率》教学设计-优秀教案
“直线的斜率”的教学设计尝试 探究形成概念问题：怎样才能确定直线的问置？ 一点＋倾斜角（直线的方向）确定一条直线（两都缺一不可） 思考:在日常生活中，有没有表示倾斜程度的量？ （让学生举例）如图:在日常生活中，我们常用坡面的铅直高度与水平长度（升高量与前进量）的比，表示倾斜面的坡度（倾斜程度）。
坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？前进量 坡度比＝前进量升高量例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示。
()090tan ≠=ααk给出生活中的实例,给学生感性认识，点燃学生的思维火花，观察分析并抽象概括出直线位置如何确定.确定直线位置几何要素转化为代数化升高量尝试探究形成概念对α取不同的范围进行分析k的取值情况。
3、直线的倾斜角与斜率之间的关系直线情况平行于α情况由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小k的情况k的增减性4、两点确定直线的斜率已知两点),)(,(),,(21222111xxyxpyxp≠则由这两点确定直线的线率?=k课本上是用坐标法推导的，分两种情况:让学生课前预习，这里用向量法推导①→21pp方向向上②→12pp方向向上1212xxyyk--=让学生掌握公式记忆注意：①当直线与x轴平行或重合时，0=k②当直线与y轴平行或重合时，k不存在为有利于调动学生学习的积极性，加深对两者关系理解，通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系，给学生直观认识，降低学习的难度课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率,学生课前预习易掌握,在证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率,比较两种方法解题思路不同.0 xy。
直线的倾斜角与斜率 学案 导学案 课件
直线的倾斜角与斜率导学案班级：姓名：【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.【知识梳理】复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角. 反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tankα=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0oα=时，则k；⑵当090o oα<<时，则k；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k.新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：2121y ykx x-=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a aB b b运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？【典型例题】例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k=；⑵1k=；⑶k=；⑷k不存在.例 2 求经过两点(2,3),(4,7)A B的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.※动手试试练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B-；⑵(5,0),(4,2)A B-. 练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C--三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差【检测】当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（）.A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90οD．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα2. 经过(2,0),(5,3)A B--两点的直线的倾斜角（）.A．45οB．135οC．90οD．60ο3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).A.1B.4C.1或3D.1或44. 直线经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则α为角；k的取值范围.α为________.5．已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2。
直线的倾斜角和斜率的导学案
2、 斜率： （1） 定义： （2） 理解：
引导学生利用数 形结合思想来描 述直线的倾斜 度。
探索描述直 线的倾斜程 度的代数表 示， 由此引出 斜率概念。 培养学生文 字语言和数 学语言的相 互转化。
① 口答下列直线的斜率
a 30 , k a 45 , k a 60 , k a 120 , k a 150 , k
《直线的倾斜角和斜率》教学方案
教师姓名 课题 课型 直线的倾斜角和斜率 直线的倾斜角与斜率，是解析几何的重要概念之一。直线的斜率是后继内 教材解析 容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及 讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确 理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。初步渗透解析几何的 基本思想和基本研究方法。 1.知识与技能： 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线的斜率公式。 教学目标 2.过程与方法：培养学生的数形结合思想 3.情感和目标：通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数 学美，激发学生的学习兴趣和求知欲。 教学重点 教学难点 教学资源 教学方法 直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。 倾斜角概念形成，斜率概念的理解。 多媒体教学。 问题驱动法。 教学内容与步骤 师生活动 简单介绍解析几何 的来源于背景 设计意图 激发学生兴 趣，激发学生 的求知欲 新授课 课时数 1（40 分钟）
（2） 范围：
利用课件演示倾 斜角的范围，体 倾斜角的意义 ：体现了直线对 x 轴正方向的 现直线与角度的 一一对应。 倾斜程度。
在日常生活中， 同学们有没有遇到过具有倾斜程 度的模型？（——滑梯，山坡，楼梯。 ）还有没 引导学生在生活 中举例，如：冲 有表示倾斜程度的量？ 浪、上楼梯等，
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角：定义、求法。
2. 斜率与倾斜角的关系：正切函数的应用。
3. 直线的斜率：定义、求法。
4. 实际问题中的应用：求直线的倾斜角和斜率。
三、教学重点与难点：1. 重点：直线的倾斜角的概念、斜率与倾斜角的关系。
2. 难点：直线的斜率的求法、实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线的倾斜角和斜率的定义及求法。
2. 利用例题，演示直线的倾斜角和斜率的计算过程。
3. 引导学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾直线的倾斜角和斜率的概念，引导学生思考两者之间的关系。
2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解求法，举例说明。
3. 讲解斜率与倾斜角的关系：引入正切函数，讲解斜率与倾斜角的关系，举例说明。
4. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率的定义，讲解求法，举例说明。
6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度，观察学生能否正确求解直线的倾斜角和斜率。
2. 课堂练习：评估学生运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的能力，观察学生是否能够正确计算和应用。
3. 课后作业：评估学生对直线的倾斜角和斜率知识的掌握程度，检查学生是否能够独立完成相关练习。
七、教学反思：1. 反思教学内容：根据学生的学习情况，调整直线的倾斜角和斜率的教学内容，确保学生能够理解和掌握。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高学生的学习兴趣和参与度。
八、教学拓展：1. 直线的倾斜角和斜率在实际应用中的例子：如工程测量、物理学中的运动分析等。
直线的倾斜角与斜率 学案 导学案 课件
直线的倾斜角与斜率一、教学目标：1、理解直线倾斜角的定义、范围和斜率；2、掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、能用公式和概念解决问题。
二、教学重、难点：重点：直线的倾斜角和斜率难点：直线的斜率公式及应用三、使用说明及学法指导:指导学生预习教材，找出疑惑之处，并用笔画出来。
四、知识链接:在初中我们已经学习过一次函数及图象，知道一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它是以满足b kx y +=的每一对y x ,的值为坐标的点构成的，由于函数式b kx y +=可看作二元一次方程，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系。
五、教学过程:阅读课本第82页第1段，尝试判断下列问题的真假：知识点一 直线的方程与方程的直线1、任意一条直线一定是某个一次函数的图象。
2、函数()0≥+=x b kx y 的图象是一条直线。
3、以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫这条直线的方程。
4、若一条直线上的所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫这个方程的直线。
阅读课本第82～83页的倒数第3段，尝试回答下列问题：知识点二 直线的倾斜角与斜率1、请描出下列各直线的倾斜角，并说明直线的倾斜角的范围是什么？2、怎么样用倾斜角表示斜率？3、任何一条直线都有倾斜角和斜率吗？说明理由。
4、直线倾斜角越大，它的斜率越大吗？它们之间的关系是怎样的？5、两条直线的倾斜角相等，斜率相等吗？6、你能根据正切函数图象，写出直线的倾斜角在︒︒<<900α和︒︒<<18090α两个范围内，斜率是怎么变化的吗？阅读课本，尝试回答下列问题：知识点三 斜率公式1、斜率公式与两点的顺序有关吗？如何理解21x x ≠？2、你能根据斜率公式求倾斜角吗？阅读课本的例1、例2，尝试完成以下几题：知识点四 典型例题A1、已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。
B2、求经过A （10，8），B （4，-4）的直线的斜率和倾斜角？C3、如果A （5，1），B （a ，3），C （-4，2），在同一条直线上，求a 。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。
2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。
3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。
（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。
（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。
3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。
4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。
直线的倾斜角与斜率导学案
直线的倾斜角与斜率导学案Prepared on 24 November 20203.1.1直线的倾斜角与斜率【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。
【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．一、自主学习新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做 .关键：① ；② ；③ .注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的 叫做这条直线的斜率.记为k= .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：k= .练习：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x yB x y且12x x≠，则直线的斜率为 .2. 若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 .3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 .4．已知12,l l的斜率都不存在且12,l l不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A mB m m--，且直线的倾斜角为60ο，则m= .问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是 .(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l和2l的斜率为1k和2k.两条直线平行的情形．如果21//ll，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率；反之，如果它们的斜率相等，则它们，即12//l l注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．两条直线垂直的情形.如果12l l⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率；反之，如果它们的斜率，则它们互相垂直.即12l l⊥二、典型例题例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.动手试试练. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.例2、已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.例3．已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2),D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.例4．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系.例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.三、总结提升（一）学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 .2.直线斜率的求法：⑴ ；⑵ ；⑶ 当直线的倾斜角90οα= 3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：1212//l l k k ⇔=12,l l 5．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.(二) 课堂检测1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )..4 C 或3 或44. 下列说法正确的是（ ）.A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行5. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（）. A ．75- B ．75 C ．145- D ．145。
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3.1.1倾斜角与斜率导学案
一、教学目标
1、理解倾斜角概念，体会在直角坐标系下，以“坐标轴”为参照系，用统一的标准刻画几何元素的思想方法；
2、理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程。
二、教学过程
（一）形成倾斜角定义
问题一：你了解仙神河大桥吗，大桥主要的结构如
图所示，如果将大桥两侧铁索抽象为直线，那么这些
过同一点的直线他们的不同点是什么？用哪个几何量可以描述？
如何描述？
一、倾斜角定义：当直线与x轴相交时，我们取作为基准，x轴与直线l 方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角
规定：此时直线的倾斜角为︒0
问题二：请标记下图中的倾斜角，并根据定义思考，倾斜角的范围是什么？
范围：
问题三：平面直角坐标系内确定一条直线的两种方法？
初中：
高中：
（二）形成斜率定义
问题四：生活中有没有其他刻画倾斜程度的量？初中是如何定义坡度的？
问题二：求出图中坡面AB
什么关系？
二、斜率定义：
x 坡度=
（三）合作探究：
在平面直角坐标系中，已知两点21,P P
，请同学们分组进行，探究斜率与两点坐标的关系。
（1） （2）
（3）
（4）
三、斜率公式：
（四）例题：
在平面直角坐标系中，已知A （3,2），B （-4,1），C （0，-1）并判断这些直线直线的倾斜角是锐角还是钝角
（五）说说你的收获和存在的疑问
（六）分层作业
基础练：在平面直角坐标系内，画出经过原点且斜率分别为1，-1,2及-3的直线4321,,l l l l 及
提升练：若直线的斜率 ]3,1[-∈k ，求倾斜角 α
的取值范围
x
x。