2019届绵阳高三数学一诊理数试卷(含答案)
2019届四川绵阳市高三一诊考试数学(理)试卷【含答案及解析】
A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件5. 设 命题 （ _______ ），命题，则 是 成立的2019 届四川绵阳市高三一诊考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名 __________ 班级 ____________ 分数 _________一、选择题1. 已知集合 ， ，则（ _______ ）A ． ________________B ． ________________C ． ________________D ．，则 为（ ____________3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子 善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九 日所织尺数为 （ ____________ ）A ． 8 ________B ．9 ______________C ．10 _________D ． 114. 若实数 满足 ，则 的最大值为（ ______________________________________ ）A ． _____________B ． ___________C ． _____________D ．2. 已知命题 A ． C ．B ． _________________________________D ．C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 2016 年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动. 一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券 . 根据购 买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券 ：若商品标价超过 100 元，则付款时减免标价的 10%； 优惠券 ：若商品标价超过200 元，则付款时减免 30 元；优惠券 ：若商品标价超过 200 元，则付款时减免超过 200 元部分的 20%. 若顾客想使用优惠券 ，并希望比使用优惠券 或 减免的钱款都多，则他购买 的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500 元D ．600 元7. 要得到函数 的图象，可将 的图象向左平移 ( _________ )A ． 个单位 ____ B ．个单位 ____ ____ C ．个单位D ． 个单位8. 已知 ， ，则（ _______________________________________________ ） A ． ____________________________________________ B ． C ． _____________________________ D ．9. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，，设 在 上的最大值为 ，则（ _______ ）A ．_______B ． ________C ．_______________ D ．10. 在 中，，，，则 的角平分线的长为（ ______ _ )A ．______ B ． _______________C ．_________ D ．11. 如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，, 于. 若，则的最小值是（D．12. 若函数的图象恒在轴上方，则实数的取值范围是（）A ． ________________________B ．___________________C．_______________________ D．二、填空题13. 若向量，，满足条件与垂直，则 .14. 在公差不为0 的等差数列中，，且为和的等比中项，则.15. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则的极值点是___________________ .16. 是定义在上的偶函数，且时，. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是三、解答题的图象（部分）如图所示1）求函数的解析式；____________________若，且，求.18. 设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围19. 在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心.（1 ）若，求的面积；（2）若点为边上的任意一点，，求的值.20. 已知函数.（1）判断在区间上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：，）（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.21. 已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若，且对于任意的，恒成立，求实数的取值范围 .22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 .（1 ）求曲线的直角坐标方程；2 ）若直线 的参数方程为 （ 为参数），设点 ，直线与曲线 相交于 两点，求 的值 .23.选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若方程 有三个实数根，求实数参考答案及解析第 1 题【答案】第 2 题【答案】 第3 题【答案】的取值范围第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 13 题【答案】第14 题【答案】第15 题【答案】第16 题【答案】第17 题【答案】第18 题【答案】4, 5时，⅛,1-⅛≡⅛≠>0 , .∖b 1<b 2<b 3<b i <b..…时，仏♦】_耳.i ；”/",即s>s>2>∙∙∙ •氐右5・右，・•・％的最大值罡4・右•••实数k 的取值范围是哈÷∞)<1)d”"F <2) ⅛ +«> 64【解析】试题分析：⑴由和项求通项，娶注意分类讨论：当时，q Y ；当时，q=Sj 解得 厲・1 ；当沦2时，化简得乙・加1 ；最后根擄等比囁列定义判断数列S ｝为等比 数列，并求岀等比数列通项⑵先化简不等式，并变量分鳶得& 2??-9 2“ 转化为对应函数最值冋题，即& 的最大值，而对数列最值问題，一般先利用相邻两项关系确定 ,而不等式恒成立问题一般 2R 其增减性：令,则乩］一4・巧 乎 A* 性得最值取法：⅛的最大值是S-右- 2Λ力-7 ” ° '护，所以数列先増后减，最后根据増减 试題解析：⑴令Xh S 1=2β1-l = α1，解得^1≡1 .由丘■込-L ,有 h∙]∙2%]-l 两式相减得a n ≈2a n -2⅛.1，化简得6 =込* (於2〉；Λ数列◎｝是以首项为1,公比为2的等比数列,•••数列｛耳｝的通项公式4 = 2心. ⑵由⅛(⅝ ÷1)刁2“-9 ,整理得k 兴 2??-9 2n- 令‘亦9 2〃 、则hZ≡l --■-y÷Γ3, 8,第19 题【答案】【解析】 试題分析；⑴ 根据三角形面积公式S iWC = UCSmJ ,只需由COSzi =半求SZ ,这只需根据同 角三角函数关系及三角形内角范圉可求，（2）相抿向量减法由而-鬲=；忑十丄疋 得 3 4AO^I AB^-AC ,再根据向量投∖AC AO^-AC ,因此由 3 4 22 \_ S 试题解析；⑴由∞s ^-∣得Sin/■扌一 55 I ∙ I • 1 ■ • 1 I • ■ • 1 ■ • 1 I •⑵宙 DO∙ DA ∙-AB -AC ,可得 AOm-AB^-AC , 3 4 3 4 于是AO AO--AB AO^-AC AO ,又0为A ABC 的的外接圆圆心，则Ad CoS ∆OAC =IPCl ,②解得 J□≡2√10 .由正弦定理得朽"2”卜4帀，可解得讪 2√5T"Ad Ad^^AB Ad^丄疋 帀 得 Ad^- AB 3 46 I . R b b ，即2√io ,最后根据正弦定理即AOI •血 AO CoS ΔOAB ÷£ JCI- p<>∣cos ZalC , (T)将①代入②得到AO'・1 ABO JC ： 飞xl44苛xl28 -24÷16≡40第20 题【答案】(1)育且只有1个零点(2) k<-【解析】试题分析：(1)判定函数雲点个数从两个方面，_是函對单调性，二是函数零点存在定理，先求函数 ⅛g⅞/Xr) = Xcosr ,确走函数在(2, 3)上是减函数，即函数在⑵3)上至多一个雾点.再研究区间端 ∙t⅛函叢勺值的符号：/(2) ■ 2SIn2 ÷cos 2■ sin 2÷COS2sin2■ -JΣsin(2∙γ)sin 2 >0 J /(3)-3gnι3÷cos3<0 ,由零点存在性走理；得函数在⑵3)上至少一个零点，综上可得函数在(2, 3)上有且仅有一个雾点(2)先将不等式娈量分离得：^r<-,再根据不等式有解问题转化为对 X应函数最值：/：<— 的最大值，然后利用导数求M∕∕(x)≡- 在"GG )上最大值才 X4 2 ⅛⅛g 解析：⑴/'(x)=≡smx 十XCoSH-SmT = TCOSX 、.∙ju(2∙ 3)时，Γ(x)-^cosx <0 ,.I 国数/0)在(2, 3)上是减函数.又,f(2) - 2sin2 -hcos 2 - sin 2 ÷cos 2+ bin 2 -√2 sin(2+-y) ÷ bin 2 >0 ,.∖ ∕0)≡ 3sin3 + cos3 <0 ,由零点存在性定理，J r O)在区间⑵3)上只有1个零点・ZS 十、SmX E Λ cosX-SinX ⅛Λ(>)≡-,则λ W ≡——F ——〉令 g(x) = KCOSX-SiIIX , ^,(x) =-XSinx <0 ，•■吃(x)在―)上单调递尿，•■- f(^)< g(~) = × (―-1)< 0 , gp^(-v) = XCOSΛ-SIIIKO ,∙.∙3W5m 誓J l nF3$吩专"X 逅杏 a 0.75 ；〜 l ∖τr Tr CoS 3 V CQS ——■ -Co$ —— 12 12(2)由题意等价于V Sin X 十COS X >心g,整理得Z 晋第21 题【答案】(1)心0时，/(A)的单WigEfBffi(O^∞) ； XO时，Z(X)的单调递増区间罡(O・FJ)5单调递减区间杲(匸二,÷°o) . (2) ・V 2a €【解析】试题分析：CD先求函数导数/X-V)■丄42E-迴N ,再讨论导函数霍点与符号变化规律X X:心0时，∕,(v)>0 J /(X)在(0.÷∞)上单调递増，"时，一个零点一任,分两个区间'单调递减区间是⑵先化简不等式：,先増后减，即増区间是9, FJ)-e)-lnτ-χ-÷l>O ,再变量分离轻化为求对应函数最值：TZ的最大值，利用导数€ — G求函数T ■巴M二最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接/Cv) =x i ÷1单调性及最值，先求导数F(X” w∕-l-2χ ,再研究导函数符号变化规律:当mWO时，导函数非正，所以丿心)在⑴÷∞)上单调遑减，注竜到Hl)-O , <h(D= 0,不满足条件•当QO时,讨论P(X)-^-1, }-2x大小关系，即确定导函数符号规律，注意到W)≡0X,P(Q金)皆为单调递増函数，所^Al),从而导函数符号为正，即满足条件QI ^∕7Y* ⅛∙ 1试题解析:(l)Γω = i÷2αr=-——,X X①GO时,rω>o, /(X)在(0, +8)上单调递增.②XO时，由∕,<λ-) >0可解得OVX<J_£ ,由/(Λ∙)< 0可解得Q fζ ,综上，必0时，∕α)的单调递増区间是(0，+B) JXO时，/(X)的单调递増区间是(0,乓)；单调递减区间是÷x) . ∙∙∙4分(2)7Wf(x)>/(x)rn(e r -¢)-InX-J2 ÷l>0 ,令Λ(Λ)≡∕w(e x-β)-lnx-x2 + 1 、则X(X)= ZMe r---2A-,令"⑴=0,即We-3 = 0 、可解得J ll=3 .第22 题【答案】第23 题【答案】(1) [--» +8) (2> -l<d<l【解析】试题分析：⑴ 根据绝对值走X,将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集得原不等式解集⑵ 将方程转化为对应函数—X讣-II-W十1|,再根抿绝对值定义将其桔化为分段函魏兀十2, Xe-I“一卜TlT"1卜UMl最后结合分段函数图像确走实数口的取值范围・X-2> X >1»趣解析；⑴,.,α = l 时，/W = μ∙÷l∣-∣.v-l∣÷l ,・•.当XW-I时J ∕ω--ι,不可能非负.当-1<I<1 时，J rω- 2x÷l ,由/(刃 K可解⅛χ⅛-i J于1-1 Wa3 χ> IB寸，∕ω-3〉0恒成立..∙.不等式/⑴ 刁O的解集卜* ÷∞)⑵由方程/(χ)∙χ可变形为II-卜+1|・∖÷ 2∙ x< -L∙^∙Λ(x) = X +1X-Il-IX-r 1| = < -x∙ -l<r ≤bx-2∙ x>b作出图象如下•于是由题意可得-Ivxl •。
四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)解析版
高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x-1＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0}2.若，则cos2α（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7=28，则a4=（）A. 4B. 7C. 8D. 144.若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分必要条件5.函数f（x）=sin（ωx-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知函数f（x）=x3+（a-5）x2+（b+4）x，若函数f（x）是奇函数，且曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线与直线y=x+3垂直，则a+b=（）A. -32B. -20C. 25D. 427.设实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，则7x+3y-1的最小值为（）A. -13B. -15C. -17D. -198.已知定义在R上的函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，则实数a的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 29.已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.10.设函数f (x)＝ae x－2sin x，x∈ [0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.11.定义在[0，+∞)上的函数f(x)满足：当0≤x＜2时，f(x)＝2x-x2；当x≥2时，f(x)＝3f(x-2)．记函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a2，…，a n，…，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，…，则a1b1+a2b2+…+a20b20的值为（）A. 19×320+1B. 19×319+1C. 20×319+1D. 20×320+112.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A. （0，12）B. （0，16）C. （9，21）D. （15，25）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若（+2）∥（2-），则实数λ=______．14.函数f（x）=A sin（ωx+φ），其中ω＞0，的图象如图所示，为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移______个单位．15.在△ABC中，AB=4，O为三角形的外接圆的圆心，若=x+y（x，y∈R），且x+2y=1，则△ABC的面积的最大值为______．16.已知恰有两条不同的直线与曲线y=e x-2和x2=2py都相切，则实数p的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．18.函数f（x）=A sin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求φ；（2）计算f（1）+f（2）+…f（2019）．19.设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=-2（n∈N*）．20.已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若不等式f（x）≤kx对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.已知函数f（x）=a ln x（a≠0），g（x）=x-．（1）当a=2时，比较f（x）与g（x）的大小，并证明；（2）令函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2，若x=1是函数F（x）的极大值点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|2x-1|-|x-a|，a≤0．（1）当a=0时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．24.设函数f（x）=|x+3|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M，（1）求M；（2）当x∈M时，f（x）≥a|x-1|恒成立，求正数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题得N={x|x＜1}，所以M∩N={-1，0}．故选：D．先化简集合N，再求M∩N得解．本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2.【答案】D【解析】解：∵，∴cos2α=．故选：D．由已知直接利用二倍角的余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的余弦，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，S7=28===7a4，所以a4=4．故选：A．根据等差中项的性质，将S7转化为a4的算式，解方程即可．本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin（ωx-）在区间[0，2π]上至少存在5个不同的零点，ωx-,根据题意得，，解得，所以正整数ω的最小值是3.故选：B．直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以a=5．由题得f′（x）=3x2+（b+4），∴k=f′（3）=b+31，因为切线与直线y=x+3垂直，所以b+31=-6，所以b=-37．所以a+b=-32．故选：A．先根据函数是奇函数求出a的值，再根据切线与直线垂直得到b的值，即得a+b的值．本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7.【答案】B【解析】解：先根据实数x，y满足3|x|+2|y|≤6，画出可行域，A（0，3），B（2，0），C（0，-3），D（-2，0），当直线z=7x+3y-1过点D时，目标函数取得最小值，7x+3y-1最小是：-15，故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=7x+3y-1表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解，方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点，设h（x）=2x-2+22-x+|x-2|，由h（x）=h（4-x），可得函数h（x）关于直线x=2对称，若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，则a=h（2）=2，故选：D．由函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化得：函数f（x）=a-22-x与函数g（x）=2x-2+|x-2|的图象有唯一公共点，可得方程a-22-x=2x-2+|x-2|有且只有1个解，方程a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，即直线y=a与y=2x-2+22-x+|x-2|的图象只有一个交点，由函数图象的性质得：设h（x）=2x-2+22-x+|x-2|，由h（x）=h（4-x），可得函数h（x）关于直线x=2对称，若a=2x-2+22-x+|x-2|有且只有1个解，则a=h（2）=2，得解．本题考查了函数图象的交点个数与方程的解的个数的相互转化及函数图象的性质，属中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的通项公式的求法，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n=2n．求得m+n=6，=（m+n）（）=（10++），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．【解答】解：S n=2a n-2，可得a1=S1=2a1-2，即a1=2，n≥2时，S n-1=2a n-1-2，又S n=2a n-2，相减可得a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n=2n．a m a n=64，即2m•2n=64，得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=，当且仅当=时取等号，即为m=，n=．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则＞，验证可得，当m=2，n=4时，取得最小值为．故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与函数图象的交点问题及利用导数研究函数的图象，属中档题.函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点．【解答】解：函数f（x）=ae x-2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a=，x∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y=a与g（x）=，x∈[0，π]的图象只有一个交点，设g（x）=，x∈[0，π]，则g′（x）=，当0≤x时，g′（x）＞0，当＜x≤π时，g′（x）＜0，即g（x）在[0，）为增函数，在（，π]为减函数，又g（0）=0，g（π）=0，g（）=，则可得实数a的值为，故选B．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的极值的求法，以及数列的错位相减法求和，考查等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．由二次函数的最值求法，可得f（x）的最小极大值点和极大值，再讨论x的范围，可得其余的极大值点和极大值，再由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=2x-x2=1-（x-1）2，可得f（x）的极大值点a1=1，b1=1，当2≤x＜4，即有0≤x-2＜2，可得f（x）=3f（x-2）=3[1-（x-3）2]，可得a2=3，b2=3，当4≤x＜6，即有0≤x-4＜2，可得f（x）=9f（x-4）=9[1-（x-5）2]，可得a3=5，b3=9，…即有a20=39，b3=319，则S20=a1b1+a2b2+…+a20b20=1•1+3•3+5•9+…+39•319，3S20=1•3+3•9+5•27+…+39•320，相减可得-2S20=1+2（3+9+27+…+319）-39•320=1+2•-39•320，化简可得S20=1+19•320，故选：A．12.【答案】A【解析】【分析】作出函数f（x）的图象，由图象及对称性可得，x1x2=1，x3+x4=12，即为x4=12-x3，2＜x3＜4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围．本题考查分段函数的运用：求取值范围，考查正弦函数的对称性和应用，以及二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），可得-log2x1=log2x2，即有x1x2=1，且x3+x4=2×6=12，即为x4=12-x3，2＜x3＜4，则=（x3-2）（x4-2）=（x3-2）（10-x3）=-（x3-6）2+36，可得在（2，4）递增，即所求范围为（0，12）．故选A．13.【答案】【解析】解：向量，，则+2=（0，2λ-1），2-=（-5，-λ-1），又（+2）∥（2-），所以0×（-λ-1）-（-5）×（2λ-1）=0，解得实数λ=．故答案为：．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据函数的图象：A=1，由于，整理得，所以ω=，当时，φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ-（k∈Z），由于，当k=1时φ=．所以f（x）=sin（3x+），所以为了得到g（x）=sin3x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位即可．故答案为：．首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】8【解析】解：取AC的中点D，因为=x+y（x，y∈R），所以=，又因为x+2y=1，所以B，O，D三点共线，因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BD⊥AC，设AD=DC=m，则BD=，所以S△ABC===8，当且仅当m=2时取等号．故答案为：8．先取AC的中点D，根据已知得到B，O，D三点共线，且BD⊥AC，设AD=DC=m，求出△ABC面积的表达式，再利用基本不等式求其最大值即可得解．本题主要考查平面向量的性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．16.【答案】0＜p＜2【解析】解：恰有两条不同的直线与曲线y=e x-2和x2=2py都相切，可得y=e x-2和x2=2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=，设f（x）=，f′（x）=，可得0＜x＜2时，f（x）递减；x＞2或x＜0时，f（x）递增，即有f（x）的极小值为f（0）=0，极大值为f（2）=4，则0＜2p＜4，可得0＜p＜2．故答案为：0＜p＜2．由题意可得y=e x-2和x2=2py在第一象限有两个不同的交点，即为2p=，设f（x）=，求得导数和单调性、极值，即可得到p的范围．本题考查导数的运用：求切线和单调性、极值，考查曲线的交点的判断，化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）a sin=b sin A，即为a sin=a cos=b sin A，可得sin A cos=sin B sin A=2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos=2sin cos，若cos=0，可得B=（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin=，由0＜B＜π，可得B=；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，由余弦定理可得b==，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面积S=ac•sin=a∈（，）．【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．18.【答案】解：（1）函数f（x）=A sin2（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ），由y=f（x）的最大值为2，则A＞0，且+=2，解得A=2；又f（x）图象相邻两对称轴间的距离为2，且ω＞0，所以•=2，解得；所以f（x）=1-cos（x+2φ），又y=f（x）过（1，2）点，所以1-cos（+2φ）=2，求得cos（+2φ）=-1，所以sin2φ=1，解得2φ=2kπ+，k∈Z；所以，k∈Z，又，所以；（2）由，所以y=f（x）=1-cos（x+）=1+sin x；所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，又y=f（x）的周期为4，且2019÷4=504…3，所以f（1）+f（2）+…+f（2019）=504×4+3=2019．【解析】（1）化函数f（x）为余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出A、ω和φ的值；（2）由（1）写出y=f（x）的解析式，再根据函数f（x）的周期性计算f（1）+f（2）+…+f （2019）的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数值的计算问题，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2-q-2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==-2．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{a n}的通项公式可求；等差数列{b n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（Ⅱ）（i）由等比数列的前n项和公式求得S n，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{S n}的前n项和为T n；（ii）化简整理，再由裂项相消法证明结论．20.【答案】解：（1）定义域为（0，+∞）.，令，得x=e．f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．f（x）的极大值为，无极小值．（2）∵x＞0，，∴，令，又，令h'（x）=0，解得，h（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．当时函数h（x）有最大值，且最大值为，所以．【解析】（1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性以及函数的极值即可．（2）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值然后推出k即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：（1）a=2时，设F（x）=2x lnx-x2+1，F（1）=0．则x＞0，F′（x）=2（1+ln x-x），令u（x）=1+ln x-x，u′（x）=-1=，可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．∴F′（x）=2（1+ln x-x）≤0，∴F（x）是（0，+∞）上的减函数，∴0＜x＜1，F（x）＜0，即2x lnx＜x2-1，∴2ln x＜x-．x=1时，可得2ln x=x-．x＞1时，2ln x＞x-．（2）函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2=-=a2ln2x-x-+2．F′（x）=-1+．∵x=1是函数F（x）的极大值点，∴x＞1时，F′（x）=-1+＞0.0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．①x＞1时，F′（x）=-1+＞0．化为：a2＜，令h（x）=，x＞1．h′（x）=，令u（x）=x2ln x+ln x-x2+1，u′（x）=2x lnx-x+=v（x），v′（x）=2ln x+1-＞0．∴u′（x）＞v（1）=0．∴u（x）＞u（1）=0．∴h′（x）＞0．∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增．∴x→1时，→=2，∴a2≤2，可得a2≤4．②0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．同理可得：4≤a2．综上可得：a2=4，解得a=±2．∴a的取值范围是{-2，2}．【解析】（1）a=2时，设F（x）=2x lnx-x2+1，F（1）=0．x＞0，F′（x）=2（1+ln x-x），令u（x）=1+ln x-x，利用导数研究函数F（x）在（0，+∞）上单调性，即得出大小关系．（2）函数F（x）=[f（）]2-[g（）]2=-=a2ln2x-x-+2．F′（x）=-1+．根据x=1是函数F（x）的极大值点，可得x＞1时，F′（x）=-1+＞0.0＜x＜1时，F′（x）=-1+＜0．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）＜1化为|2x-1|-|x|-1＜0．．当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；当时，不等式化为x＞0，解得；当时，不等式化为x＜2，解得；综上，f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由题设可得所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为（，0），（1-a，0），，该三角形的面积为×[（1-a）-（）]×|a-|=．由题设，且a＜0，解得a＜-1．所以a的取值范围是（-∞，-1）．【解析】（1）将a=0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围再合并；（2）由a≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于，解出a的范围即可．本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，属于中档题．24.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+3|+|x-1|，当x≤-3时，f（x）=（3-x）-（x+1）=-2-2x，不等式f（x）≤6化为-2-2x≤6，解得x≥-4，此时，-4≤x≤-3；当-3＜x＜1时，f（x）=3-x+x+1=4＜6，恒成立；当x≥1时，f（x）=x-3+x+1=2x+2，不等式f（x）≤6化为2x+2≤6，解得x≤2．综上所述，不等式f（x）≤6的解集为[-4，2]，即M=[-4，2]；（2）当-4≤x≤-3时，f（x）=-2x-2，不等式f（x）≥a|x-1|化为-2x-2≥-a（x-1），即a≤，∴a≤2+，求得a≤1；当-3＜x＜1时，f（x）=4，不等式f（x）≥a|x-1|化为4≥-a（x-1），即a≤，求得0＜a≤1；当x=1时，f（x）=4，不等式f（x）≥a|x-1|化为4≥0，恒成立，此时a＞0；当1＜x≤2时，f（x）=2x+2，不等式f（x）≥a|x-1|化为2x+2≥a（x-1），即a≤，∴a≤2+，求得0＜a≤6．综上所述，a的取值范围是（0，1]．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式f（x）≤6的解集即可；（2）分别讨论x的取值，从而求出不等式f（x）≥a|x-1|恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．。
四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合0，1，，集合，则A. B. C. 1， D.【答案】B【解析】解：集合0，1，，集合，．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知向量，，若，则A. 2B.C. 1D.【答案】B【解析】解：；；．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．3.若点是角的终边上一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点是角的终边上一点，，，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题4.若a，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，当时，；当时，，．所以无论b取何值都有，故选：B．分2种情况去绝对值可知，所以无论b取何值都有．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.已知命题p：，使得；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. ￢ C. ￢￢ D.【答案】D【解析】解：命题p：，使得，，，命题p为假命题，命题q：，，是真命题，为假命题，￢为假命题，￢￢为假命题，真命题，故选：D．先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．本题考查符合命题真假性的判断一般化为组成符合命题的基本命题真假性考查逻辑推理，运算求解能力．6.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由题意得：，解得；，，故选：C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，是一道基础题．7.若函数，则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，则不等式，可得：，可得，，解得．不等式的解集是：．故选：B．利用分段函数，得到分段不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．8.已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，设，则，由射影定理可得：，即：，可得：，解得：，或舍去，可得：，由函数图象可得：，解得：．故选：D．在中，设，则，由射影定理，勾股定理可得，解得x的值，可求函数的周期，利用周期公式即可计算得解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了射影定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】解：设，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，又，，即，即，推不出，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．设，，在上单调递增，在上单调递减，，，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了函数的单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，，故选：D．根据指数函数的单调性即可判断．本题考查了指数幂的图象和性质，属于基础题11.2018年9月24日，英国数学家阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于时，，可得，时，，可得，排除D；由，排除A；由，排除B，故选：C．由时，，由裂项相消求和和不等式的性质可得，排除D，再由前几项的和，即可排除A，B，得到结论．本题考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和排除法，考查化简运算能力，属于中档题．12.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，，在R上递增，不等式即为，，即，．，，，，故选：C．构造函数，求出导数，判断在R上递增原不等式等价为，运用单调性，可得，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】7【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线：把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，则，则有，又由，则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得的解析式，进而可得，即可得，结合的值，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.若直线与函数的图象相切，则a的值为______．【答案】2【解析】解：，设切点是，故，，由题意得：，解得：，故答案为：2．求出函数的导数，设出切点坐标，得到关于a的方程组，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的导数以及对应思想，是一道常规题．16.已知矩形ABCD的边长，，点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．【答案】【解析】解：设，则，，则，，，，，即最小值故答案为：设，则，分别由解直角三角形可得AQ，AP的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．本题考查了向量的几何运算和向量的数量积和三角函数的性质，属于中档题三、解答题（本大题共7小题）17.已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项．求数列的通项公式；记数列的前n项和，若，求n的取值范围．【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，又，，是等比数列的前三项，，即，化简得，联立：解得，．．，，是等比数列的前三项，等比数列的公比为3，首项为3．等比数列的前n项和．由，得，化简得，解得，．【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求出通项公式．求出等比数列的和，列出不等式，推出结果即可．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查转化首项以及计算能力．18.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象．求的解析式；求在上的单调递减区间及值域．【答案】解：，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象，即．由，可得．当，即时，函数单调递减．在上单调递减区间为．当，即时，单调递增，的增区间为．在上单调递增，在上单调递减，．又，，即在上的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，求出的解析式．利用正弦函数的单调性，求得在上的单调递减区间，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．求的值；若，求面积的最大值．【答案】解：，，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，．因为，由知，由余弦定理得，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，．由，得，且，的面积．，．．的面积S的最大值为．【解析】利用正弦定理与余弦定理转化求解即可．利用余弦定理求出bc，然后转化求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．20.设函数．讨论函数的单调性；若函数在区间上的最小值是4，求a的值．【答案】解：．当时，0'/>，在R上单调递增；当时，0'/>解得，由解得．综上所述：当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．由知，当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由得是函数在R上的极小值点．当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为即．令，则，在上单调递减，而，在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数a的值为．【解析】求出函数的导数通过a的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．由知，当时，函数在R上单调递增，当，当，当求出即令，则，转化求解即可．本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21.设函数．当时，求函数的极值；若关于x的方程有唯一解，且，，求n的值．【答案】解：的定义域为．当时，则，令，则．即在上单调递减，又，故时，0'/>，在上单调递增，时，，在上单调递减．所以函数有极大值，无极小值．由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减．又时，；时，，故存在使得．当时，，在上单调递减．又有唯一解，则必有．由消去a得．令，则．故当时，，在上单调递减，当时，0'/>，在上单调递增．由，，得存在，使得即．又关于x的方程有唯一解，且，，．故．【解析】求出的定义域，当时，，利用函数的导数，通过构造，则转化求解函数的单调区间月极值即可．由，令，则，利用函数的单调性，函数的零点转化求解即可得到．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查发现问题解决问题的能力．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，将代入，整理得，所以直线l的普通方程为．由得，将，代入，得，即曲线C的直角坐标方程为．设A，B的参数分别为，．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是．设，则则．所以点P到原点O的距离为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．当时，解不等式；若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】解：当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得．所以的解集是．的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即m的取值范围是．【解析】通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．题目转化为当时，恒成立，即，转化求解即可．本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。
四川省绵阳市2019届高三上学期第一次诊断考试 数学(理)(PDF版含答案)
数学（理工类）参考答案及评分意见第1页（共6页）绵阳市高中2016级第一次诊断性考试数学（理工类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBABD CBDAD CC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．7 14．-7 15．216．32-三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，由a 4=7，得a 1+3d =7，① ……………………………………………………2分 又∵ a 2，a 6-2a 1，a 14是等比数列{b n }的前三项，∴ (a 6-2a 1)2=a 2a 14，即(5d -a 1)2=(a 1+d )(a 1+13d )，化简得d =2a 1，② ……………………………4分 联立①②解得a 1=1，d =2．∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ b 1=a 2=3，b 2=a 6-2a 1=9，b 3=a 14=27是等比数列{b n }的前三项， ……………………………………………………8分 ∴ 等比数列{b n }的公比为3，首项为3．∴ 等比数列{b n }的前n 项和S n =3(13)13n −−=3(31)2n −． ……………………10分 由S n >39，得3(31)2n −>39，化简得3n >27． 解得n >3，n ∈N *． …………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）2())4cos 3f x x x π=−+=2cos cos2sin )33x x ππ−+2(1+cos2x ) ………………2分=32cos222x x −+2cos2x +2=12+cos22x x +2数学（理工类）参考答案及评分意见第2页（共6页） =sin(2)26x π++， ……………………………………………4分 由题意得()sin[2()]2266g x x ππ=−++−， 化简得g (x )=sin(2)6x π−． ……………………………………………………6分 （Ⅱ）由6π≤x ≤23π，可得6π≤2x -6π≤76π． 当2π≤2x -6π≤76π即3π≤x ≤23π时，函数()g x 单调递减． ∴ ()g x 在2[]63ππ，上的单调递减区间为2[]33ππ，． ………………………9分 ∵ ()g x 在[]63ππ，上单调递增，在2[]33ππ，上单调递减， ∴ ()g x ma x =()3g π=sin 12π=． 又2()3g π=7sin 6π=sin (+6ππ)=-1sin 62π=−<()6g π=1sin 62π=， ∴ 12−≤()g x ≤1， 即()g x 在2[]63ππ，上的值域为1[1]2−，．……………………………………12分 19．解 ：（Ⅰ）∵ 2c sin B =3a tan A ，∴ 2c sin B cos A =3a sin A ．由正弦定理得2cb cos A =3a 2， ………………………………………………2分由余弦定理得2cb •222+2b c a bc−=3a 2，化简得b 2+c 2=4a 2， ∴ 2224b c a+=． ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵ a =2，由（Ⅰ）知b 2+c 2=4a 2=16，∴由余弦定理得cos A =222+2b c a bc −=6bc， …………………………………6分 根据重要不等式有b 2+c 2≥2bc ，即8≥bc ，当且仅当b =c 时“=”成立，数学（理工类）参考答案及评分意见第3页（共6页）∴ cos A ≥68=34．………………………………………………………………8分 由cos A =6bc，得bc =6cos A ，且A ∈(0)2π，， ∴ △ABC 的面积S =12bc sin A =12×6cos A ×sin A =3tan A ． ………………10分 ∵ 1+tan 2A =1+22sin cos A A =222cos sin cos A A A +=21cos A ， ∴ tan A=≤∴ S =3tan A≤∴ △ABC 的面积S的最大值为． ……………………………………12分20．解：（Ⅰ）()x f x e a '=−．当a ≤0时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； …………………………2分 当a >0时，由()0f x '>解得x >ln a ，由()0f x '<解得x <ln a . ……………4分 综上所述：当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增；当a >0时，函数()f x 在(ln )a +∞，上单调递增，函数()f x 在(ln )a −∞，上单调递减． ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增，∴ 函数()f x 在[1，2]上的最小值为f (1)=e -a +3=4，即1a e =−>0，矛盾. …………………………………………………………6分 当a >0时， 由（Ⅰ）得x =ln a 是函数()f x 在R 上的极小值点．① 当ln a ≤1即0<a ≤e 时，函数()f x 在[1，2]上单调递增，则函数()f x 的最小值为f (1)=e -a +3=4，即a =e -1，符合条件． …………7分 ②当ln a ≥2即a ≥e 2时，函数()f x 在[1，2]上单调递减，则函数()f x 的最小值为f (2)=e 2-2a +3=4即212e a −=<e 2，矛盾．…………8分 ③当1<ln a <2即e <a <e 2时，函数()f x 在[1，ln a ]上单调递减，函数()f x 在[ln a ，2]上单调递增，则函数()f x 的最小值为f (ln a )=e ln a -a ln a +3=4即a -a ln a -1=0．数学（理工类）参考答案及评分意见第4页（共6页）令h (a )=a -a ln a -1(e <a <e 2)， 则()ln h a a '=−<0，∴ h (a )在(e ，e 2)上单调递减，而h (e )=-1，∴ h (a )在(e ，e 2)上没有零点，即当e <a <e 2时，方程a -a ln a -1=0无解．综上，实数a 的值为e -1． …………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0，+∞)．当a =e -1时，()f x =ln x -e x +(e -1)x -e +1，则()f x '=1x-e x +e -1， 令1()()1x h x f x e e x '==−+−，则21()0x h x e x '=−−<．………………………2分 即()f x '在(0+)∞，上单调递减，又(1)0f '=，故(01)x ∈，时，()f x '>0，)(x f 在(0，1)上单调递增，(1+)x ∈∞，时，)(x f '<0，)(x f 在(1+)∞，上单调递减．所以函数()f x 有极大值f (1)=-e ，无极小值． ………………………………4分 （Ⅱ）由()f x '=1x -e x +a ，令g (x )=()f x '=1x -e x +a ， 则21()x g x e x '=−−<0，所以g (x )在(0+)∞，上单调递减， 即)(x f '在(0+)∞，上单调递减．又0x →时，()f x '→+∞；x →+∞时，()f x '→−∞，故存在0x ∈(0+)∞，使得0()f x '=01x 0x e −+a =0． ……………………………6分 当x ∈(0，x 0)时，)(x f '>0，f (x )在(0，x 0)上单调递增，x ∈(x 0，+∞)时，)(x f '<0，f (x )在(x 0，+∞)上单调递减．又()f x =0有唯一解， 则必有0000()ln 0x f x x e ax a =−+−=． 由0000010ln 0x x e a x x e ax a ⎧−+=⎪⎨⎪−+−=⎩，， 消去a 得000001ln (1)()0x x x e x e x −+−−=．数学（理工类）参考答案及评分意见第5页（共6页） 令1()ln (1)()x x x x e x e x ϕ=−+−−=1ln 2+1x x x e xe x−+−，……………………8分 则211()2x x x x e e xe x xϕ'=−++− 21=(1)x x x e x −+− =21(1)()x x e x −+． 故当x ∈(0，1)时，)(x ϕ'<0，)(x f 在(0，1)上单调递减，当x ∈(1，+∞)时，)(x ϕ'>0，)(x f 在(1，+∞)上单调递增．…………10分 由1(1)0(2)ln 202e ϕϕ=−<=−+>，， 得存在0(1,2)x ∈,使得0()0x ϕ=即0()0f x =.又关于x 的方程()f x =0有唯一解x 0，且*0(1)x n n n ∈+∈N ，，，∴ 0(12)x ∈，．故n =1． ………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）将t =2y 代入x=3+，整理得30x −= ， 所以直线l的普通方程为30x −=． …………………………………2分 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +−=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y −+=． ……………………………5分 （Ⅱ）设A ，B 的参数分别为t 1，t 2．将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得221(32)()42t −+=，化简得230t −=，由韦达定理得12t t +=于是122P t t t +== ………………………………………………………6分数学（理工类）参考答案及评分意见第6页（共6页） 设P (x 0，y 0)，则0093(41(2x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，即P (94，． ……………………………………………………………8分 所以点P 到原点O的距离为2=． ……………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤12−时，)(x f =-2x -1+(x -1)=-x -2， 由)(x f ≥2解得x ≤-4，综合得x ≤-4； ……………………………………2分 当112x −<<时，)(x f =(2x +1)+(x -1)=3x ， 由)(x f ≥2解得x ≥23，综合得23≤x <1； …………………………………3分 当x ≥1时，)(x f =(2x +1)-(x -1)=x +2，由)(x f ≥2解得x ≥0，综合得x ≥1． ………………………………………4分所以)(x f ≥2的解集是2(4][+)3−∞−∞，，． ………………………………5分 （Ⅱ）∵ )(x f =|2x+1|-|x -m |≥|x -3|的解集包含[3，4]，∴ 当x ∈[3，4]时，|2x+1|-|x -m |≥|x -3|恒成立． …………………………7分 原式可变为2x+1-|x -m |≥x -3即|x -m |≤x +4， ……………………………8分 ∴ -x -4≤x -m ≤x +4即-4≤m ≤2x +4在x ∈[3，4]上恒成立，显然当x =3时，2x +4取得最小值10，即m 的取值范围是[-4，10]． ………………………………………………10分。
2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性考试(理)数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】
由题意，可知 ，利用放缩法和极限，即可得到答案.
【详解】
由题意，可知 ，
所以
，
当 且 时， ，且 ，
所以 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.
【详解】
解：（I）设等差数列 的公差为 （ ）,
由 ，得 ，
又∵ ， ， 是等比数列 的前三项，
∴ ，
即 ，化简得 ，
联立 解得 ， .
∴ .
（II）∵ ， ， 是等比数列 的前三项，
∴等比数列 的公比为3，首项为3.
∴等比数列 的前 项和 .
由 ，得 ，化简得 ，
解得 ， .
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据题意，正确判定命题 为假命题， 为真命题，再利用复合命题的真值表判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．函数 的定义域为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由函数 ，根据解析式有意义得到 ，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.
四川省绵阳市2019届高三第一次诊断性测试数学理
绵阳市高中 2019届高三第一次（ 11 月）诊断性考试数学理试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） ．第 I 卷.1 至 2 页，第 II 卷 2 至 4 页．共 4页．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在 本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第 I 卷（选择题，共 50 分）注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 第 I 卷共 10 小题．一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的．＊1．集合 S={x ｜｜ x-4｜＜2，x N }，T ＝{4，7，8}，则 S U T ＝（A ）{4}（B ）{3 ，5， 7，8}（C ） {3， 4, 5， 7，8} （D ） {3 ，4, 4, 5, 7, 8} 22．命题 “ x 0 N,x 02 2x 0 3 ”的否定为（A ） x 0 N,x 02 2x 0 3 （B ） x N,x 2 2x 3 （C ） x 0 N,x 02 2x 0 3 （D ） x N,x 2 2x 33．己知幂函数过点（ 2， 2 ），则当 x=8 时的函数值是 （A ） 2 2 （B ） 2 2 （C ） 2 （D ）64 4.若a,b,c R,己知 P ： a,b,c 成等比数列； Q: b = ac ．则 P 是 Q 的16．在等差数列{ a n }中，若 a 4＋a 9＋a l4＝36，则 a 10a 11 ＝2 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）247．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a,b,c ，若 c 2 b 2 2ab,sin A 2 2sinB ，则 cosC ＝A ）充分不必要条件C ）充要条件B ）必要不充分条件 D ）既不充分也不必要条件 5.下列四个函数中，最小正周期为 5，且关于直线 x ＝一对称的函数是12xA ) y sin( )23C ) y sin(2 x )3xB ) y sin(D ) y sin(2 x )3xy0x 2y 4 0，且 x y 的最大值为 3，则实数 m=x my 1 01 （A ）一 1 （B ） （C ）l （D ）2 229．设函数 y ＝f （x ），x R 满足 f （x ＋l ）＝f （x 一 l ），且当 x （－ 1，1］时， f （x ）＝1一 x 2，lg|x|,x 0，则 h （ x ）＝ f （x ）一 g （ x ）在区间［－ 6， 9］内的零点个数是1,x 0最大值是第 II 卷（非选择题共 100 分） 注意事项：必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可 先用铅笔绘出，确认后再用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效． 第 II 卷共 11 小题．二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分，11、·函数 f （x ） 1 lgx 的定义域为12，式子 tan200 tan 400 3 tan 200 tan 400的值是 ．2x 6x 6,x 213·已知函数 f （x ） x其中 a >0， a 1 ，若对任意的x 1,x 2 R,x 1 x 2，恒有 a x a,x 2［ f （x 1） f （x 2）］（x 1 x 2 ）>0，则实数 a 的取值范围 ． 214.二次函数 f （x ） ax 2 +2bx+c 的导函数为 f '（x ） ，已知 f '（0） 0 ，且对任意实数 x ，有 f （x ）0， 则 f （1）的最小值为 ．f '（0）1 5．设集合 M 是实数集 R 的一个子集，如果点 x 0 R 满足：对任意 >0，都存在 x M ，使得 0<|x x 0 | ；，称 x 0 为集合 M 的一个 “聚点 ”．若有集合：①有理数集；② cos |n N * n1③ sin |n N* ④ |n N * n 1 n 1其中以 0为“聚点 ”的集合是 ．（写出所有符合题意的结论序号） 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）已知向量 m （cos ,1 sin ）,n （ cos ,sin ）（ R ） （1）若 m n ，求角 的值；A ）B ) 2D ）8．若实数 x ，y 满足不等式组 函数 g （ x ）A )15B )14C ）13．（D ）1210．直角△ ABC 的三个顶点都在单位圆 x 2y 21上，点M （ 1 ， 1 ），则｜ MA MB MC ｜的 2211A ）B ） 2＋2 （C ）322 ＋1D )3 2 ＋22（2）若，求cos2 的值．17、（本小题满分12 分）已知数列{ a n}的首项a1＝1，且a n+1＝2a n＋（n N*, R）（1）试问数列{a n＋}是否为等比数列？若是，请求出数列{ a n }的通项公式；若不是，请说，明理由；（2）当＝1 时，记b n n，求数列{ b n} 的前n项和Sna n 118．（本小题满分12 分）某民营企业家去年为西部山区80 名贫困大学生捐资奖学金共50 万元妥该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10 万元，资助的贫困大学生每年净增 a 人。
2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学(理)试题(word版)
2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（理工类）第I卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合A { 1,0,1,2}，集合B {yl y 2x}，则Al-(0,2.已知向量a （1,2），b （x,1），若a b，则xA.2B.-2 :C . 1 D .-13. 若点P（3,4）是角的终边上一点，则si n2A. 24 7 16 rB c D25 25 254. 若a,b R，且a |b|，则（）A. a b B .a b c. a2b25. 已知命题p: X。
R，使得lg COSX0 0;命题qA. p q B .p ( q) c. (p)6. 函数y 、.sin(x —）的定义域为（4 )A. [, ) B .[,5 ]4 4 4C. [2 k — ,2k45](k Z) D4.[k x7.若函数f(x)1,x 0 &，则不等式f(x) 1 lg x, x 0A. （丄-) B .(,0) U(0, 丄）c.10 108. 已知点A,B,C在函数f （x）、、3sin（x 一）（{0,1,2}((Dx( q) 3A. {0,1} B . {1,2} C3x0，则下列命题为真命题的是（5〒(k Z)0的解集是1 1(咏)D. (1,°)U(云)0）的图像上，如图，若AB BC，则10.若 a 4e 5 , b33e 3 4, c 5e 5，则(2A. a b c a cb C.第U 卷（共90 分）uuu uuur2 , AD 4，点P,Q 分别在边BC,CD 上，且 PAQ ，则APgAQ33 C.24 0y 0 ，则z x 2y 的最大值是 2a9. A. “ a b e ”是充分不必要条件aln b bln aF (B •必要不充分条件.充要条件 D .既不充分也不必要11.2018 年 9 月 24日，英国数学家 M .F 阿帝亚爵在 “海德堡论坛”展示了他 “证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动, 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记12.设f '（X ）是函数f （X ）的导函数, 且 f '(X)f(x)(xR), f(2)2e （ e 为自然对数的底数），则不等式 f (2ln x)x 2的解集为（A. (、.e,e)B . (0^,e)C. (0,e) D.(1,e)、填空题 （每题5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） x x, y 满足约束条件 x 13.已知变量14.已知函数 f (x) 3x 4sin x 1，若 f ( a) 5，则 f (a) 15.若直线yx 1与函数f (x)ax ln x 的图像相切，则 a 的值为16.已知矩形ABCD 的边长AB的最小值为 ___________ .三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列｛a n ｝的公差大于0，且a 4 7，a 2,a 6 2a n a 14分别是等比数列｛b n ｝的前三项• (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 记数列｛b n ｝的前n 项和S n ，若S n 39，求n 的取值范围.18. 已知函数f (x) 、、3si n(2x -) 4COS 2X ，将函数f(x)的图像向右平移一个单位，再向下平移 23 6个单位，得到函数 g(x)的图像. (1) 求 g(x)的解析式；2(2) 求g(x)在［_,2 ］上的单调递减区间及值域.6 319. 在 ABC 中，a,b, C 分别是角 代B,C 所对的边，且2csin B 3atanA .(2)若a 2，求 ABC 面积的最大值20.设函数 f(x) e x ax 3(a R). (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f (x)在区间［1,2］上的最小值是4，求a 的值. 21.设函数 f (x) ln x e x ax a(a R). (1) 当a e 1时，求函数f (x)的极值； (2) 若关于x 的方程f (x)0有唯一解x 0，且沧(n, n 1)， n N ，求n 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4 :坐标系与参数方程3昌2( t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴$2(1)求b 2 C 2的值;在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos(1)求直线I的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线I与曲线C交于A,B两点，求线段AB的中点P到坐标原点0的距离.23. 选修4-5 :不等式选讲已知函数f(x) 12x 1| | x m | (m R).(1)当m 1时，解不等式f(x) 2 ；(2)若关于x的不等式f(x) |x 3|的解集包含［3,4］，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BBABD 6-10:CBDAD 11 、12：CC二、填空题13.7 14.-7 15.2 16. 32 16、3三、解答题6 17.解：（I ）设等差数列 a n 的公差为d （ d 0）由a 4 7 ，得•- a n 12(n 1) 2n 1又・a 2 , a 62印,印4是等比数列 b n 的前三项,2 --(a 6 2a 1) a2a i4 ,即(5d a 1)2(a i d)(a !13d ），化简得联立①②解得a 11, d2.(II )••• bia 6 2a i 9,b g a i4 27是等比数列的前三项,•••等比数列 b n 的公比为3,首项为3. •••等比数列 b n 的前n 项和S n 3(1 3n) 1 3 3(3n 1) 2 由S n 39，得 33 卫 39，化简得3n 227,解得n 3, n 18.解：(I ) f (x) . 3sin(2x ) 4cos 2x 3,3s in( 2xcoscos2xs in ) 2(1 3 3cos2x)3 3 sin2x cos2x 2cos2x 2 2 2 .31 sin 2x cos2x2 2 2 sin(2x -)2 , 由题意得g(x) sin 2(x -) 6化简得 g(x) sin(2x ). 62 (II )由 x ，可得一6367 2 2x 当 2x即 x 时，函数g(x)单调递减.2 66 3 3• 2csin BcosA 3asin A ,.2 2b c42 ia••• g(x)在J上单调递增，在2 上单调递减，6 33’ 3• ' g ( x) maxg(寸sin1. 22 又 g(—).7 sin - sin() sin — 1 /、 • 1 -g(—) sin —3666 2 6 6 2• 2 g(x) 1,即g(x)在2上的值域为1 ,1 .6，323 19.解：(I )••• 2csi nB 3a ta nA ,-,—上单调递减区间为6 3 (ll )因为a 2，由(I )知 b 2 4a 216,•由余弦定理得cos Ab 2c 22bc根据重要不等式有b 2bc ，即 8 bc , 当且仅当b c 时“=”成立,“ 6 3 •- cosA - 8 4由 cos A —，得 bc bc 6 cosA • ABC 的面积 1-bcsin A 2(0,),2 6 cos Asin A 3tan A .sin 2 AA •- tan A cos 2 sin 2 A12 .，cos A••• g(x)在 由正弦定理得 2cb cos A 3a 2 由余弦定理得2cbg b2a2bc3a 2, 化简得 b 2 c 2 4a 2,••• ABC的面积S的最大值为、、.7 .20. (I) f '(x) e x a .当a 0时，f'(x) 0 , f (x)在R上单调递增；当a 0 时，f '(x) 0 解得x Ina,由f '(x) 0 解得x Ina. 综上所述：当a 0时，函数f(x)在R上单调递增；当a 0时，函数f (x)在(In a,)上单调递增,函数f (x)在(，ln a)上单调递减•(II )由(1 )知，当当a 0时，函数f (x)在R上单调递增，•函数f(x)在［1,2］上的最小值为f(1) e a 3 4,即a e 1 0，矛盾.当a 0时，由(1 )得x In a是函数f (x)在R上的极小值点.①当Ina 1即o a e时，函数f(x)在［1,2］上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(1) e a 3 4，即a e 1，符合条件②当lna 2即a e4时，函数f (x)在［1,2］上单调递减，4令h(a) a al na 1 (e a e ),则h'(a) ln a 0,• h(a)在(e,e2)上单调递减，而h(e) 1,•- h(a)在(e,e2)上没有零点，即当e a e2时，方程a alna 1 0无解.综上，实数a的值为e 1.则函数2 e2 1 2 f(x)的最小值为f(2) e 2a3 4即a e ,矛盾.2③当1 Ina 2即e a e2时，函数f (x)在［1,ln a］上单调递减，函数f (x)在［In a,2］上单调递增,则函数 f (x)的最小值为f (ln a) e lna a In a 3 4 即a a In a 1 0.x x 21. (I ) f(x)的定义域为(0,). 当a e 1时， f(x0In x e x (e 1)xe 1，则 f '(x)1 e xx e 1令 h(x) f'(x) 1 xexe 1，则 h'(x)1 x ne 0.x 即 f '(x)在(0, )上单调递减 ，又 f'(1) 0，故 x (0,1)时，f'(x)0， f(x)在(0,1)上单调递增, x (1, )时， f'(x) 0， f(x)在(1, )上单调递减•所以函数 f (x)有极大值 f(1)e ，无极小值.(II )由 f'(x) 1 xe xa，1 x 令 g(x) f'(x)— e a ， x则 g'(x)1 e 0 ，所以g(x)在(0,)上单调递减，x即f '(x)在(0,)上单调递减. 又 x 0 时，f'(x)； x 时，f'(x)故存在X 。
四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学理科试题
四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学理试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，则集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M =N2．复数z =1+i ，则zz-+11= A ．2-i B ．2+i C ．-1+2i D ．1+2i 3．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，当S n 取最小值时，n =A ．11或12B ．12或13C ．5或6D ．6或74．已知1)(-=x x f ，那么A ．0)(lim 1=+→x f xB ．0)(lim 1=-→x f xC ．0)(lim 1=→x f xD ．0)(lim =∞→x f x5．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-，，)1(21)1(2)(x x x f x 若0<f (x 0)<1，则x 0的取值范围是A ．[)∞+，1B ．(1，+∞)C ．(]1，∞- D ．(0，+∞)6．已知随机变量ξ服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛221σ，N ，且P (0≤ξ≤21)=a ，则P (ξ<0)=A ．aB ．21C ．1-aD ．21-a 7．已知函数f (x )=3x +1，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()1(lim 0的值为A ．31-B ．31C ．32D ．08．函数y =lg|x -1|的图象大致为xyO 1 2xy O 1 2xy O 1 xyO-1 -2 2A ．B ．C ．D ．9．“a =1”是“函数f (x )=x 2-2ax +1在区间[)∞+，1上是增函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45，B ．(-∞，45)C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-451，D ．(-1，45) 11．右图是一个“直角三角形数阵”，已知它的每一行从左往右的数均成等差数列，同时从左往右的第三列起，每一列从上往下的数也成等比数列，且所有等比数列的公比相等．记数阵第i 行第j 列的数为a ij （i ≤j ，i 、j ∈N*），则a 68=A ．61B ．241 C ．31D ．121 12．已知g (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，且在区间[0，1]上满足三个条件：①对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，当x 1<x 2时，恒有g (x 1)≤g (x 2)成立，②)(215x g x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛，③g (x )+g (1-x )=1．则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1515121g g g A ．23B ．45C ．67D ．89 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，不能答在试题卷上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．在等差数列{a n }中，如果a n =a n +2，那么公差d = ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛．已知教师甲被抽到的概率为101，则报名的学生人数是 ． 15．曲线y =x sin x +cos x 在x =π处的切线与函数y =e ax(a ∈R ，a ≠0)的图象在x =0处的切线平行，则实数a = ．16．已知二次函数f (x )=x 2-mx +m （x ∈R ）同时满足：（1）不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题： ①m =0； ②m =4；3132 131 2141…… … …③数列{a n }的通项公式为a n =2n -5； ④数列{b n }的异号数为2； ⑤数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ．（1）求(R A )∩B ；（2）记A ∪B =C ，若集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障．某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测．已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为52． （1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数；（2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本题满分12分）等差数列{a n }的各项均为正数，a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，b 1=1，且b 2S 2=4，b 3S 3=415． （1）求a n 与b n ；（2）记数列{n S 1}的前n 项和为T n ，且n n T ∞→lim =T ，求使b n ≥3T成立的所有正整数n ．20．（本题满分12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -．（1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； （3）设函数1log )(-=x a x g a，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．（本题满分12分）已知f (x )是定义在[)0，e -∪(]e ，0上的奇函数，当x ∈(]e ，0时，f (x )=ax +ln x ，其中a <0，a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数a ，使得当x ∈[)0，e -时，f (x )的最小值为3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分14分）已知函数f (x )=222-x x （x ≠1），各项同号且均不为零的数列{a n }的前n 项和S n满足4S n ·f (na 1)=1（n ∈N*）．（1）试求f (x )的单调递增区间和单调递减区间； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证：ea n a n 1)11(1<-+．（e 为自然对数的底数） 绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．-π 16．②⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分（2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}． ∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分18．解：（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=⋅-C C C xx ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）．∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…………………………………5分 （2）=1，2，3，4，则511)1(15===A P ξ，51)2(2514===A A P ξ，51)3(3524===A A P ξ，52)4(454434=+==A A A P ξ． ∴的分布列为ξ 1 2 3 4P51 51 51 52 ……………………………………………………………………………………10分∴8.2524513512511=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………12分19．解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由题意可列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，415)33(4)2(12111d a q b d a q b ……………………………………………………………3分 把a 1=3，b 1=1代入解得⎪⎩⎪⎨⎧==，，212q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=．，6556q d ∵ {a n }的各项均为正，∴ 56-=d 应舍去． ∴ .)21()21(1122)1(311--=⋅=+=⨯-+=n n n n b n n a ，……………………………5分（2）∵ )2(2)123(+=++=n n n n S n ，∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )21151314121311(21+-++-+-+-=n n )2111211(21+-+-+=n n ， =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………9分∴ ])2(21)1(2143[lim lim +-+-=∞→∞→n n T n n n =43，即43=T ，∴ 1)21(-n ≥41，解得 n ≤3，∴ 正整数n =1，2，3． ………………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分 （2）当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1-x a≤log a (x +1)-2，即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ ]2131[，∈a ，∴ 21ax +≤1-x a ．①由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212．结合x >1得1<x ≤9212．∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）设-e ≤x <0，则0<-x ≤e ，∴ f (-x )=a (-x )+ln(-x )，已知f (x )是奇函数可得f (-x )=-f (x )． ∴ -f (x )=-ax +ln(-x )，即f (x )=ax -ln(-x )．∴ f (x )=[)(]⎩⎨⎧∈+-∈--．，，，，，e x x ax e x x ax 0ln 0)ln( ………………………………………………4分（2）x ∈[)0，e -时，，xa x f 1)(-=' 令0)(='x f ，得ax 1=．…………………………………………………………5分 ①当a1≤-e ，即-e 1≤a <0时，0)(>'x f ．故f (x )在[)0，e -上是增函数． ∴ f (x )min =f (-e )=-ae -1=3，解得e e a 14-<-=（舍）．………………………………………………………8分②当a 1>-e ，即ea 1-<时，则x[-e ，a 1) a 1 (a1，0) )(x f ' - 0 + )(x f ↘ 最小值 ↗∴ f (x )min =)1(af =)1ln(1a --=3，解得2e a -=．综上所述，存在实数a =-e 2满足条件．………………………………………12分22．解：（1）∵ 2222)22(42)22(2)22(2)(--=---='x xx x x x x x f ，∴ 由0)(>'x f 有x <0或x >2，由0)(<'x f 有0<x <2且x ≠1，即f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，2)． ………………………………………………………………………………………4分（2）由题有1212142=-⋅⋅nnn a a S ，整理得2S n =a n (1-a n )， ①∴ 当n =1时，2S 1=a 1(1-a 1)，解得a 1=-1，或a 1=0（舍）． 当n ≥2时，2S n -1=a n -1(1-a n -1)， ②于是①-②得2a n =a n -2n a -a n -1+21-n a ， 整理得a n +a n-1=(a n -1-a n )(a n -1+a n )，由已知有a n +a n-1≠0， ∴ a n -a n -1=-1（常数）．∴ {a n }是以-1为首项，-1为公差的等差数列．∴ a n =-n ．………………………………………………………………………9分 （3）∵ a n =-n ，∴ 原不等式即为e n n 1)11()1(<++-，等价于e nn >++1)11(． 两边同取对数得1)11ln()1(>++nn ， 即证11)11ln(+>+n n ． 构造函数xxx x g +-+=1)1ln()(， ∵ 2)1()1(11)(x x x x x g ++--+=' 2)1(2x x++=， 显然当x ≥0时，0)(>'x g ， ∴ g (x )在[)∞+，0上是增函数．∴ )0()1(g ng >，即0111)11ln(>+-+nn n ，整理即得n n +>+11)11ln(．故原不等式得证．………………………………………………………………14分绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学（第Ⅱ卷） 答题卷（理工类）题号 二 三 第Ⅱ卷总 分总分人总分 复查人 17 18 19 20 21 22 分数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． ． 14． ． 15． ．16． ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 得 分 评卷人 17．（本题满分12分）得分评卷人18．（本题满分12分）得分评卷人19．（本题满分12分）得分评卷人20．（本题满分12分）得分评卷人21．（本题满分12分）得分评卷人22．（本题满分14分）。
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保密＊启用前【考试时间：2018年I I月1日15:00—17:00】
绵阳市高中2016级第一次诊断性考试
数学．（理工类）
本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共4页．满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
第1卷共12小题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
l.设集合A={-1,O, 1, 2}, 集合B={y ly=2x }, 则AnB=
A.{O, l}
B.{l, 2}
C.{O, l, 2}
2.已知向量a=(l,2), b=(x, 1), 若a.lb,则x=
A.2
B.-2
C.I
3.若点P(-3,4)是角a的终边上一点，则sin2a=
A.24. "
25B.7
25
4.若a,bER, 且a>I b I, 则
A. a<-b
B.a>b c. 16
25
C.a2<b2
D.(0, +oo)
D.一1
D.-8
I I
D.一＞一
b
5.已知命题p:3xoER, 使得lgcosx。
>0;命题q:Vx < 0 ,J'> 0,则下列命题为真命题的是
A.pAq
B.pV (-,q)
C.(-,p)A (-,q)
D.pVq
数学（理工类）试题第1页（共4页）。