2021届江西省赣州市会昌县七校高三联合月考数学(文)试卷
江西高三高中数学月考试卷带答案解析
江西高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2.若复数（），，且为纯虚数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4.偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．5.已知且，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知等比数列的前项和为，则的值为( )A．B．C．D．7.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A．B．C．D．8.各项互不相等的有限正项数列，集合，集合,则集合中的元素至多有（）个. A．B．C．D．9.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知O为△ABC的外心，，若，且，则∠B=（）A．B．C．D．11.已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()A．B．C．D．二、填空题1.已知,则___________.2.在中，为上一点，且，为上一点，，则取最小值时，向量的模为______．3.用表示不超过的最大整数，例如，，设函数，若函数的定义域是，，则其值域中元素个数为_________．4.在平面直角坐标系中，已知是的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是__________．三、解答题1.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.2.设各项均为正数的数列的前项和为，且满足：.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，求数列的前项和.3.．已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值．4.已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项的和．5.已知向量，，函数，. （1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.6.已知函数，，其中…是然对数底数．（1）若函数有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；（2）当时，求使不等式在一切实数上恒成立的最大正整数．江西高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合，，所以，故选D.2.若复数（），，且为纯虚数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由于为纯虚数，则，得，故，其对应的点为在第一象限，故选A.3.若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数的定义域为实数集，所以开口向上的二次函数的图象，与轴没有交点，即，即实数的取值范围为，故选D.【方法点睛】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，，只需；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需.4.偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求即等价于求函数在第二、四象限图形的取值范围，偶函数满足，，且在区间与上分别递减与递增，如图可知，即函数图象位于第四象限函数图象位于第二象限，综上所述，的解集为，故选D.5.已知且，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得是的充要条件.【考点】函数性质与充要条件.6.已知等比数列的前项和为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，故选C.7.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的常用性质.对于等差数列的前项和公式，有两个，一个是有关和的，即，有一个是关于和的，即，要根据不同的题目所给定的条件，选择恰当的公式来计算.若，则，这个是等差数列常用的性质.8.各项互不相等的有限正项数列，集合，集合,则集合中的元素至多有（）个.A．B．C．D．【答案】A【解析】各项不相等的有限正项数列，不妨假设数列是单调递增的，集合，集合，最多可取最多可取最多可取，集合中的元素至多有，故选A.9.在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理得：，为锐角，即，且为锐角， ,所以，即，，则的取值范围是，故选A.10.已知O为△ABC的外心，，若，且，则∠B=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，取中点连接，为的外心，，，同理，，，的外接圆半径，，，，不是最大角，,故选D.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【易错点睛】本题考查三角形外心的概念，考查向量的数量积的运算及计算公式，考查余弦函数的定义，以及正弦定理，三角形外接圆半径的求法，已知三角函数值求角，以及大边对大角定理.本题难点在于如何将向量的问题转化为正余弦定理问题，本题的着眼在于外接圆的半径的求法.本题涉及的知识在广，难度中等.11.已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，由得或，由得，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，极小值为，由题意可得，函数的图象和直线有个交点，，故选C.12.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，则，令得，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当时，直线与的图象相切，由图可知，当时，与的图象有两个交点，则实数的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的零点与方程的根的问题，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题1.已知,则___________.【答案】【解析】,即，故答案为.2.在中，为上一点，且，为上一点，，则取最小值时，向量的模为______．【答案】【解析】设，，，，，，当即时，取最小值.所以.【考点】向量的加减法.【易错点睛】本题主要考查了向量的加减法运算、基本不等式等知识.由求取最小值可知本题由开始的向量问题转化成不等式问题，可推测得由向量条件可得到的等式关系，由此可知本题不等式的考查应为基本不等式，知识点综合性是现在考查的一个大方向，学生应掌握知识的综合应用.本题考查方向明确，难度中档.3.用表示不超过的最大整数，例如，，设函数，若函数的定义域是，，则其值域中元素个数为_________．【答案】【解析】的定义域是，当时，，，函数值有个；当时，，，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个，…当时，，，，函数值有个，值域中元素个数为：，故答案为.【方法点睛】本题考查函数的值域、等差数列的求和公式以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义一种达到考查函数值域及等差数列求和的目的.4.在平面直角坐标系中，已知是的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是__________．【答案】【解析】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因，故当时，，函数单调递增；故当时，，函数单调递减，故当时，函数，应填答案。
江西省会昌中学近年届高三数学上学期第一次月考(10月)试题文(2021年整理)
江西省会昌中学2019届高三数学上学期第一次月考（10月）试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省会昌中学2019届高三数学上学期第一次月考（10月）试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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江西省会昌中学2019届高三数学上学期第一次月考(10月）试题文一、单选题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．函数的定义域为( )A． [－3，3） B．(－∞，－3）∪(3，＋∞） C．［－3，＋∞) D．［－3,1)∪（3，＋∞）3．已知实数满足：，则（）A． B． C． D．4．，则 ( )A．－2 B．－3 C． 9 D．－95．设，，，则（）A． B． C． D．6．已知,,且,则向量与向量的夹角为（ )A． B． C． D．7．函数(）的大致图象为（）A． B．C． D．8．在中，角所对的边分别为，则“”是“"的 ( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在等差数列{a n｝中，公差d≠0，若lga1,lga2，lga4也成等差数列,且a5＝10,则｛a n｝的前5项和S5＝（)A． 25 B． 30 C． 35 D． 4010．将的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法中正确的个数是（ )① 函数的最小正周期是② 函数的一条对称轴是③函数的一个零点是④函数在区间上单调递减A． 1 B． 2 C． 3 D． 411．已知直线与直线互相平行且距离为。
2020-2021学年江西赣州高三上数学月考试卷
2020-2021学年江西赣州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =lg (3−2x)}，B ={x|x 2≤4}，则A ∪B =( ) A.{x|x <2} B.{x|−2≤x <32} C.{x|x ≤2}D.{x|−2<x <32}2. 设a →，b →是非零向量，则“存在实数λ，使得a →=λb →”是“|a →+b →|=|a →|+|b →|”的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条件3. 已知a =ln 23，b =2log 223，c =(45)−0.2，则( ) A.b <a <c B.a <b <c C.b <c <aD.a <c <b4. 将5封不同的信全部投入4个邮筒，每个邮筒至少投一封，不同的投法共有( ) A.264种 B.120种 C.240种 D.356种5. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3a 6=e 2，则ln a 1+ln a 2+⋯+ln a 8=( ) A.12 B.8 C.14 D.106. 已知函数f(x)=cos (2ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的最小正周期为π，将其图象向右平移π6个单位后得函数g(x)=cos 2x 的图象，则函数f(x)的图象( ) A.关于直线x =π6对称B.关于直线x =2π3对称C.关于点(−5π12, 0)对称 D.关于点(−2π3,0)对称7. 若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x +2)=−f (x )，当x ∈(−2,0)时，f (x )=x 2+ln (−x )，则f (2021)=( ) A.1 B.−1C.2D.08. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c −a cos B =(2a −b)cos A ，则△ABC 为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形9. 曲线y =2sin x (0≤x ≤π)与直线y =1围成的封闭图形的面积为( )A.2√3+4π3B.2√3−4π3C.2√3+2π3D.2√3−2π310. 关于函数f (x )=|x −1|−ln x ，下列说法正确的是（ ） A.f (x )的值域为(−1,+∞)B.f(x)在(1e ,+∞)单调递增C.y =f (x )的图象关于直线x =1对称D.f(x)有极小值为0，无极大值11. 在ABC 中，|CA|=1，|CB|=2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →⋅MB →=( )A.2B.0C.2√3D.412. 已知函数f (x )=ln x x,g (x )=xe −x ．若存在x 1∈(0,+∞),x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)<0成立，则x 1x 2的最小值为( ) A.−1eB.−2e2C.−1D.−2e二、填空题曲线C ：y =x ln x 在点M (e,e )处的切线方程为________.已知向量a →=(1,2)，b →=(2,−2)，c →=(1,λ)，若c →⊥(2a →+b →)，则λ=________.若x ∈(0,π2)，sin (x +π6)=35，则sin (2x +π12)=________.在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知CD =9，BD =16，∠BDC =90∘，sin A =45，则对角线AC 的最大值为________． 三、解答题甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．已知椭圆C的左焦点坐标为(−1,0)，且过点P(1,√22).(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M，N两点，当|MN|=4√23时，求直线l的方程．已知函数f(x)=2|x−1|−|x−a|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≤a+1+|x−a|恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江西赣州高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】排列、来合的阿用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换余弦函根的对称烛【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数水因期性函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】定因京在会一积中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】平面常量么量积向量三减弧合引算及码几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二倍角明正推公式二倍角三余弦公最两角和与表擦正弦公式正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理直线与都连位置关系两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】离散较轻机变绿的分参列及性质等可能表件型概率离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与椭根助关的驶指弦及弦长问题直线常椭圆至合业侧值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式都特立问题绝对常不等至的保法与目明其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
江西高三高中数学月考试卷带答案解析
江西高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.．设集合，，则（）A．B．C．D．2.若等差数列的前5项和，且，则（）A．11B．13C．15D．173.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.下列有关命题的说法正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“，使得”的否定是“，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题5.设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A．B．C．D．6.要得到的图象，则只需将的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7.已知，则函数的最大值为（）A．9B．10C．11D．128.数列中，，，则（）A．B．C．D．9.在△ABC中，，，，O为△ABC的内心，且，则A．B．C．D．10.若是实常数，函数对于任何的非零实数都有，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题1.函数，则。
2.已知，则。
3.已知数列为等差数列，且，则。
4.．已知两个向量集合，，若是只有一个元素的集合，则的值为。
5.．定义在实数集R上的函数，如果存在函数（A、B为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数。
给出如下四个命题：①对于给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数；④为函数的一个承托函数。
其中正确的命题有。
三、解答题1.已知函数。
①求函数的最小正周期和单调递增区间；②若，求函数的最大值及取最大值时对应的值。
2.．已知数列是等比数列，是等差数列，且，数列满足，其前四项依次为1，，，2，求数列的前n项和。
3.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好。
2021-2022学年江西省赣州市十六县(市)十七校高三(上)期中数学试卷(文科)(学生版+解析版)
2021-2022学年江西省赣州市十六县（市）十七校高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（每小题5分，共60分） 1．（5分）集合A ＝{x |2−x x+1≥0}，B ＝{x |y =√1−x }，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，1]B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，1]2．（5分）设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1），b →=（1，y ），c →=（2，﹣4）且a →⊥c →，b →∥c →，则x ﹣y ＝（ ） A ．2B ．﹣4C ．4D ．03．（5分）已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 3+a 9＝a 6+5，则S 11＝（ ） A ．110B ．55C ．50D ．454．（5分）已知函数f （x ）＝a x ﹣3+x （a ＞0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．17C ．7D ．﹣75．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2≥0”，则命题p 的否定为“∀x ∈R ，都有x 2＜0”C ．“a →•b →＞0”的一个充分不必要条件是“a →与b →所成的角为锐角” D ．“x ＝1”是“x ≥1”的必要不充分条件 6．（5分）已知函数f （x ）=|x|2x+12x，则函数y ＝f （x ）的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．7．（5分）已知a ＝log 1314，b ＝log 32，c ＝2﹣1.01，则（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b8．（5分）已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 4＝10，S 12＝70，则S 8＝（ ） A ．30B ．﹣20C ．﹣30D ．30或﹣209．（5分）设函数f(x)=2sin(ωx −π3)+34(ω∈N ∗)在[5π12，5π6]上单调递减，则下列叙述正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）关于直线x =π12轴对称 C ．f （x ）在[π2，π]上的最小值为−54D ．f （x ）关于点(2π3，0)对称10．（5分）已如y ＝f （x ﹣1）的图像关于点（1，0）对称，且对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）＝f （3﹣x ）成立，当x ∈（﹣2，0）时，f （x ）＝2x 2，则f （2021）+f （2022）＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．0D ．﹣811．（5分）已知AB →⊥AC →，|AB →|＝t 3，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →=AB →|AB →|−3AC→|AC →|，则PB →•PC →的最大值等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1312．（5分）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （1）＝1，且f （x ）的导数f '（x ）＞12，则不等式f （|x |）＜|x|2+12的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（1，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知θ∈（0，π2），若cos （θ+π3）=−35，则cos （θ−π6）＝ ．14．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1=2ana n+2，则a 5的值为 ．15．（5分）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为 ．16．（5分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c cos B +√33b sin C ﹣a ＝0，设D 为AB 边的中点，若CD =√7且√3BC ＝2BD ，则BC ＝ ．三、解答题（17题10分，其余小题各12分，其70分）17．（10分）设{a n }是公比大于0的等比数列，其前n 项和为S n ，{b n }是公差为1的等差数列，已知a 2＝2，a 4＝a 3+4，a 3＝b 3+b 1． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．（12分）已知命题p ：∃x ∈[1，2]，不等式2x 2﹣4ax ﹣1≤0成立：命题q ：函数f （x ）＝log13（x 2﹣2ax +3a ）在区间[1，+∞）单调递减； （1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）如果p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n +1＝4a n +1，设b n ＝a n +1﹣2a n ． （1）证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项；（2）数列{c n }满足c n =1log √2b n +3，设T n ＝c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c n c n +1，求T n ．20．（12分）已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）+2sin 2（ωx+φ2）﹣1，（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且f （x ）图像相邻的对称轴之间的距离为π2（1）求函数f （x ）的解析式及其减区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，且a =√3，f （A2+π6）=√3，求△ABC 的周长的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ，且函数f （x ）在（1，f （1））处的切线为y ＝（e ﹣2）x +b ．（1）求a ，b 的值并分析函数f （x ）单调性；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣m ，x ∈[﹣1，1]恰有两个零点，求实数m 的取值范围． 22．（12分）若f （x ）=12x 2+bx +alnx ．（1）当a ＞0．b ＝﹣a ﹣1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）若b ＝﹣1，且f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＞−ln22−34．2021-2022学年江西省赣州市十六县（市）十七校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分） 1．（5分）集合A ＝{x |2−x x+1≥0}，B ＝{x |y =√1−x }，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，1]B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，1]【解答】解：∵集合A ＝{x |2−x x+1≥0}＝{x |﹣1＜x ≤2}，B ＝{x |y =√1−x }＝{x |x ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤1}＝（﹣1，1]． 故选：A ．2．（5分）设x ，y ∈R ，向量a →=（x ，1），b →=（1，y ），c →=（2，﹣4）且a →⊥c →，b →∥c →，则x ﹣y ＝（ ） A ．2B ．﹣4C ．4D ．0【解答】解：∵向量a →=（x ，1），b →=（1，y ），c →=（2，﹣4）且a →⊥c →，b →∥c →， ∴2x ﹣4＝0，且12=y−4，求得x ＝2，y ＝﹣2，则x ﹣y ＝2+2＝4， 故选：C ．3．（5分）已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，a 3+a 9＝a 6+5，则S 11＝（ ） A ．110B ．55C ．50D ．45【解答】解：由{a n }是等差数列，得a 3+a 9＝2a 6，又a 3+a 9＝a 6+5， 所以a 6＝5，故S 11=112（a 1+a 11）＝11a 6＝11×5＝55． 故选：B ．4．（5分）已知函数f （x ）＝a x ﹣3+x （a ＞0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．17C ．7D ．﹣7【解答】解：对于函数f （x ）＝a x ﹣3+x （a ＞0且a ≠1），令x ﹣3＝0，求得x ＝3，且y ＝4，可得函数的图像经过定点A （3，4）， ∵点A 在角θ的终边上， ∴tan θ=43， 则sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanα−1tanθ+1=17，故选：B ．5．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2≥0”，则命题p 的否定为“∀x ∈R ，都有x 2＜0”C ．“a →•b →＞0”的一个充分不必要条件是“a →与b →所成的角为锐角” D ．“x ＝1”是“x ≥1”的必要不充分条件【解答】解：对于A 选项，由大边对大角定理以及正弦定理可得A ＞B ⇒a ＞b ⇒simA ＞sin B ，A 选项正确；对于B 选项，命题P 为特称命题，该命题的否定为“∀x ∈R ，都有x 2＜0”，B 选项正确； 对于C 选项，a →⋅b →＞0⇔|a →||b →|cos ＜a →，b →＞＞0⇔cos ＜a →，b →＞＞0， 而＜a ，b →＞∈[0，π]，故cos ＜a →，b →＞＞0⇔＜a →，b →＞∈[0，π2），所以“a →与b →所成的角为锐角”是“a →•b →＞0的充分不必要条件，C 正确； 对于D 选项，因为{1}真包含于{x |x ≥l }，则“x ＝1”是“x ≥1”的充分不必要条件，D 选项错误； 故选：D ．6．（5分）已知函数f （x ）=|x|2x+12x，则函数y ＝f （x ）的大致图象为（ ） A ． B ．C．D．【解答】解：f（x）=|x|2x+12x的定义域为R，f（﹣x）=|−x|2−x+2x=|x|2x+2−x=f（x），可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项B；由f（x）＝0，可得x＝0，排除选项A、C．故选：D．7．（5分）已知a＝log1314，b＝log32，c＝2﹣1.01，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：a=log1314=log34＞log32=b，因为b=log32＞log3√3=1 2，而c=2−1.01＜2−1=1 2．所以b＞c，所以a＞b＞c．故选：A．8．（5分）已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S4＝10，S12＝70，则S8＝（）A．30B．﹣20C．﹣30D．30或﹣20【解答】解：由{a n}是等比数列，且S4＝10，S12＝70，{a n}的公比q≠1，所以S4，S8﹣S4，S12﹣S8构成等比数列，所以（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8），即（S8﹣10）2＝10（70﹣S8），化简并整理得S82﹣10S8﹣600＝0，又S8＝S4+q4S4＞0，所以解得S8＝30或S8＝﹣20（舍去）．故选：A．9．（5分）设函数f(x)=2sin(ωx−π3)+34(ω∈N∗)在[5π12，5π6]上单调递减，则下列叙述正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）关于直线x=π12轴对称C ．f （x ）在[π2，π]上的最小值为−54D ．f （x ）关于点(2π3，0)对称 【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx −π3)+34(ω∈N ∗)， 令：π2+2kπ≤ωx −π3≤2kπ+3π2， 整理得：2kπω+5π6ω≤x ≤2kπω+11π6ω，由于函数在x ∈[5π12，5π6]单调递减； 所以：{2kπω+11π6ω≤5π62kπω+5π6ω≥5π12，由于ω∈N +，解得：故ω＝1或2，当ω＝1时，函数在[5π12，5π6]上不单调递减， 故ω＝2．所以：f （x ）＝2sin （2x −π3）．故对于A ：函数的最小正周期为T ＝π，故A 错误； 对于B ：当x =π12时，f （π12）＝2sin （π6−π3）+34=−14，故B 错误； 对于C ：由于x ∈[π2，π]，所以2x −π3∈[2π3，5π3]，故当2x −π3=3π2时，函数的最小值为−54，故C 正确． 对于D ：当x =2π3时，f （2π3）=34，故D 错误． 故选：C ．10．（5分）已如y ＝f （x ﹣1）的图像关于点（1，0）对称，且对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）＝f （3﹣x ）成立，当x ∈（﹣2，0）时，f （x ）＝2x 2，则f （2021）+f （2022）＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．0D ．﹣8【解答】解：根据题意，y ＝f （x ﹣1）的图像关于点（1，0）对称，则y ＝f （x ）的图象关于原点对称，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），且f （0）＝0； 对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）＝f （3﹣x ）成立， 设t ＝x ﹣1，则3﹣x ＝2﹣t ，则有f （t ）＝f （2﹣t ），而f （x ）为奇函数，则f （t ）＝﹣f （﹣t ），则有f （﹣t ）＝f （2﹣t ），变形可得f （t +2）＝﹣f （t ），则有f （t +4）＝﹣f （t +2）＝f （t ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，f （2021）＝f （1+505×4）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣2， f （2022）＝f （2+505×4）＝f （2）＝﹣f （0）＝0， 故f （2021）+f （2022）＝﹣2； 故选：A ．11．（5分）已知AB →⊥AC →，|AB →|＝t 3，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →=AB →|AB →|−3AC→|AC →|，则PB →•PC →的最大值等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．13【解答】解：∵AB →⊥AC →，∴以A 为坐标原点，直线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴，建立如图平面直角坐标系，设B （t ³，0），C （0，t ），其中t ＞0， 则根据AP →=AB →|AB →|−3AC→|AC →|有AP →=（1，0）﹣3（0，1）＝（1，﹣3），即P （1，﹣3），∴PB →•PC →=（t ³﹣1，3）•（﹣1，t +3）＝﹣t ³+3t +10， 令f （t ）＝﹣t ³+3t +10，t ＞0，则f '（t ）＝﹣3t ²+3＝﹣3（t +1）（t ﹣1），则当t ∈（0，1）时，f '（t ）＞0，当t ∈（1，+∞）时，f '（t ）＜0， 故当t ＝1时，f （t ）取最大值f （1）＝12， 故选：C ．12．（5分）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （1）＝1，且f （x ）的导数f '（x ）＞12，则不等式f （|x |）＜|x|2+12的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：令g （x ）＝f （|x |）−|x|2−12，则g （﹣x ）＝g （x ）， ∴g （x ）为R 上的偶函数， 又f （1）＝1，f '（x ）＞12，∴当x ＞0时，g （x ）＝f （x ）−x2−12，g ′（x ）＝f '（x ）−12＞0， ∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又不等式f （|x |）＜|x|2+12⇔g （|x |）＜0＝g （1）， ∴|x |＜1，解得﹣1＜x ＜1，∴不等式f （|x |）＜|x|2+12的解集为（﹣1，1）． 故选：C ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知θ∈（0，π2），若cos （θ+π3）=−35，则cos （θ−π6）＝45．【解答】解：θ∈（0，π2），若cos （θ+π3）=−35，可得sin （θ−π6）＝﹣sin （π6−θ）＝﹣cos （π2−π6+θ）＝﹣cos （θ+π3）=35，∴θ−π6∈（0，π3），所以cos （θ−π6）=√1−(35)2=45． 故答案为：45．14．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1=2ana n +2，则a 5的值为 13．【解答】解：因为a n +1=2a na n +2，两边同时取倒数可得1a n+1=a n +22a n =12+1a n，所以1a n+1−1a n=12，又1a 1=1，故数列{1a n}是首项为1，公差为12的等差数列，所以1a 5=1+12（5﹣1）＝3，故a 5=13．故答案为：13．15．（5分）存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列．若点A （1，m ）在直线ax +by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，则1a+2b 的最小值为92．【解答】解：由√3sin x ﹣cos x ＝2（√32sin x −12cos x ）＝2sin （x −π6）， 存在正数m ，使得方程√3sin x ﹣cos x ＝m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有0＜m ≤2．若0＜m ＜2，由y ＝2sin （x −π6）的图象可得：直线y ＝m 与函数y ＝2sin （x −π6）的图象的交点的横坐标不成等差数列，若m ＝2，即有x −π6=2k π+π2，即为x ＝2k π+2π3，k ∈Z ， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为2π， 则m ＝2，由点A （1，2）在直线ax +by ﹣2＝0上， 可得a +2b ＝2，a ，b ＞0， 即b +12a ＝1， 则1a +2b =（1a+2b）（b +12a ）＝2+12+b a +a b≥52+2√b a ⋅a b =52+2=92． 当且仅当a ＝b =23时，取得最小值92． 故答案为：92．16．（5分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c cos B +√33b sin C ﹣a ＝0，设D 为AB 边的中点，若CD =√7且√3BC ＝2BD ，则BC ＝ 2 ．【解答】解：在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c cos B +√33b sin C ﹣a＝0，利用正弦定理：sin C cos B +√33sinBsinC =sinA =sin （B +C ）化简得：√33sinBsinC =sinBcosC ，由于在三角形中，sin B ＞0，故tan C =√3， 由于C ∈（0，π）， 故C =π3．由于点D 为AB 的中点，√3BC =2BD =AB ， 即√3a =c ；利用余弦定理：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，整理得：b 2﹣ab ﹣2a 2＝0， 解得b ＝2a 或b ＝﹣a ；所以cosB =a 2+c 2−b 22ac=0，所以B =π2，所以在△BCD 中满足BD 2+BC 2＝CD 2， 设BC ＝x ，则BD =√3x2，由于CD =√7， 整理得BC ＝2． 故答案为：2．三、解答题（17题10分，其余小题各12分，其70分）17．（10分）设{a n }是公比大于0的等比数列，其前n 项和为S n ，{b n }是公差为1的等差数列，已知a 2＝2，a 4＝a 3+4，a 3＝b 3+b 1． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 【解答】解：（1）设{a n }的公比为q ，（q ＞0）， ∵a 2＝2，a 4＝a 3+4，∴a 2q 2=a 2q +4，即2q 2＝2q +4， 由q ＞0，解得q ＝2，∴a n =a 2q n−2=2•2n ﹣2＝2n ﹣1，∴a 3＝b 3+b 1＝4，设{b n }的公差为d ，则d ＝1， ∴{(b 1+2d)+b 1=4d =1，解得{b 1=1d =1，∴b n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ．（2）∵a n =2n−1，∴a 1=20=1，∴a n +b n ＝2n ﹣1+n ，∴T n ＝（20+22+•+2n ﹣1）+（1+2+•+n ）=1−2n1−2+n(1+n)2=2n +n 2+n 2−1， ∴T n =2n +n 2+n2−1． 18．（12分）已知命题p ：∃x ∈[1，2]，不等式2x 2﹣4ax ﹣1≤0成立：命题q ：函数f （x ）＝log13（x 2﹣2ax +3a ）在区间[1，+∞）单调递减； （1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）如果p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）若命题p 为真命题，则∃x ∈[1，2]，不等式2x 2﹣4ax ﹣1≤0， 即∃x ∈[1，2]，不等式4a ≥2x −1x 成立，则4a ≥(2x −1x )min ， 而函数g （x ）=2x −1x 显然在x ∈[1，2]上为增函数，则g （x ）min ＝g （1）＝1，则4a ≥1即a ≥14，故命题p 为假命题时a ＜14； （2）若命题q 为真命题，则函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2ax +3a ）在区间[1，+∞）上为单调递减，则真数中的二次函数的对称轴x ＝a ≤1，且真数大于0，即{a ≤11−2a +3a ＞0，得﹣1＜a≤1，而命题p ∨q 为真命题等价于p 真且q 假或p 假且q 真或p 真且q 真， ∴{a ∈[14，+∞)a ∈(−∞，−1]∪(1，+∞)或{a ＜14−1＜a ≤1或{a ≥14−1＜a ≤1，∴a ＞1或−1＜a ≤14或14≤a ≤1， ∴a ＞﹣1．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n +1＝4a n +1，设b n ＝a n +1﹣2a n ． （1）证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项；（2）数列{c n }满足c n =1log √2b n+3，设T n ＝c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c n c n +1，求T n ．【解答】解：（1）证明：当n ≥2时，由S n +1＝4a n +1，①，得S n ＝4a n ﹣1+1，②（1分） ①﹣②，得a n +1＝4a n ﹣4a n ﹣1，所以a n +1﹣2a n ＝2（a n ﹣2a n ﹣1）， 又b n ＝a n +1﹣2a n ，（3分） 所以b n ＝2b n ﹣1． （4分）因为a 1＝1，且a 1+a 2＝4a 1+1，所以a 2＝3a 1+1＝4，所以b 1＝a 2﹣2a 1＝2．（5分） 故数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n =2n ．（6分）（2）由（1）可知b n =2n ，则c n =1log √2b n +3=12n+3(n ∈N ∗)．（7分）c n c n+1=12n+3×12n+5=12(15−12n+5)（9分）∴T n =c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+⋯+c n c n+1=15×17+17×19+⋯+⋅12n+3×12n+5 =12[(15−17)+(17−19)+⋯+(12n+3−12n+5)]=12(15−12n+5)=n5(2n+5)，（11分） ∴T n =n5(2n+5)．（12分）20．（12分）已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）+2sin 2（ωx+φ2）﹣1，（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且f （x ）图像相邻的对称轴之间的距离为π2（1）求函数f （x ）的解析式及其减区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，且a =√3，f （A2+π6）=√3，求△ABC 的周长的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）+2sin 2（ωx+φ2）﹣1=√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）＝2sin （ωx +φ−π6）， 且f （x ）图像相邻的对称轴之间的距离为π2，所以ω=2πT =2π2×π2=2，所以f （x ）＝2sin （2x +φ−π6），又因为f （x ）为奇函数，所以f （0）＝0，即2sin(φ−π6)=0， 解得φ−π6=kπ，k ∈Z ， 即φ=π6+kπ，k ∈Z ， 又因为0＜φ＜π，所以φ=π6， 所以f （x ）＝2sin2x ，令π2+2kπ≤2x ≤32π+2kπ，k ∈Z ，解得k π+π4≤x ≤k π+3π4，k ∈Z ， 所以f （x ）的减区间为[k π+π4，k π+3π4]，k ∈Z ； （2）由（1）知f （x ）＝2sin2x ，且f （A 2+π6）=√3，所以2sin(A +π3)=√3，即sin(A +π3)=√32，因为A ∈（0，π），所以A +π3∈（π3，4π3），所以A +π3=2π3，解得A =π3，因为a =√3，A =π3，A +B +C =π，由正弦定理得2R =asinA =2， 所以C =2π3−B ，B ∈（0，2π3）；所以b +c =2R(sinB +sinC)=2[sinB +sin(23π−B)]=2(32sinB +√32cosB)=2√3sin(B +π6)，因为B ∈(0，23π)，所以B +π6∈（π6，5π6）；所以sin(B +π6)∈(12，1]，所以b +c ∈（√3√3]； 所以周长l ＝a +b +c ∈（2√3，3√3]， 即△ABC 的周长取值范围是(2√3，3√3]．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ，且函数f （x ）在（1，f （1））处的切线为y ＝（e ﹣2）x +b ．（1）求a ，b 的值并分析函数f （x ）单调性；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣m ，x ∈[﹣1，1]恰有两个零点，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝e x ﹣ax 的导数为f ′（x ）＝e x ﹣a ， 可得f （x ）f （x ）在（1，f （1））处的切线的斜率为e ﹣a ，f （1）＝e ﹣a ， 由切线的方程y ＝（e ﹣2）x +b ， 可得e ﹣a ＝e ﹣2，e ﹣2+b ＝e ﹣a ， 解得a ＝2，b ＝0，即有f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2，令f ′（x ）＞0，解得x ＞ln 2；令f ′（x ）＜0，解得x ＜ln 2， 所以f （x ）在（﹣∞，ln 2）单调递减，在（ln 2，+∞）单调递增；（2）由（1）可得g （x ）＝f （x ）﹣m ＝e x ﹣2x ﹣m ，x ∈[﹣1，1]，且g （x ）在[﹣1，ln 2）上递减，在（ln 2，1）单调递增，而g （x ）恰有两个零点，则g （x ）在[﹣1，ln 2），（ln 2，1）各有一个零点， 由零点存在定理可得{g(1)≥0g(ln2)＜0g(−1)≥0，即{e −2−m ≥02−2ln2−m ＜01e+2−m ≥0，解得2﹣2ln 2＜m ≤e ﹣2，所以m 的取值范围是（2﹣2ln 2，e ﹣2]． 22．（12分）若f （x ）=12x 2+bx +alnx ．（1）当a ＞0．b ＝﹣a ﹣1时，讨论函数f （x ）的单调性；（2）若b ＝﹣1，且f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＞−ln22−34． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝x ﹣（a +1）+ax =(x−1)(x−a)x（x ＞0）， ∵a ＞0，∴当0＜a ＜1时，当x ∈（0，a ）∪（1，+∞），f ′（x ）＞0，当x ∈（a ，1），f ′（x ）＜0，∴y ＝f （x ）在区间（0，a ），（1，+∞）上单调递增，在区间（a ，1）上单调递减； 当a ＝1时，f ′（x ）≥0，y ＝f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，无递减区间； 当a ＞1时，同理可得y ＝f （x ）在区间（0，1），（a ，+∞）上单调递增，在区间（1，a ）上单调递减；综上所述，当0＜a ＜1时，y ＝f （x ）在区间（0，a ），（1，+∞）上单调递增，在区间（a ，1）上单调递减；当a ＝1时，y ＝f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，无递减区间；当a ＞1时，y ＝f （x ）在区间（0，1），（a ，+∞）上单调递增，在区间（1，a ）上单调递减；（2）证明：当b ＝﹣1时，f （x ）=12x 2﹣x +alnx （x ＞0），∴f ′（x ）＝x ﹣1+a x =x 2−x+ax（x ＞0），∵函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝1，x 1x 2＝a ，且0＜a ＜14，f （x 1）+f （x 2）=12x 12−x 1+alnx 1+12x 22−x 2+alnx 2=12（x 12+x 22）﹣（x 1+x 2）+aln （x 1x 2） =12（x 1+x 2）2﹣x 1x 2﹣（x 1+x 2）+aln （x 1x 2） =12−a ﹣1+alna ＝alna ﹣a −12，令h （a ）＝alna ﹣a −12（0＜a ＜14），则h ′（a ）＝lna ＜0，则h （a ）在（0，14）上单调递减，∴h （a ）＞h （14）=−ln22−34， ∴f （x 1）+f （x 2）＞−ln22−34．。
江西省赣州市2021届高三二模数学(文)试题(附答案)
赣州市2021年高三年级适应性考试文科数学试卷2021年5月第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数51i z i=+，则||z =（ ）A ．12 BC ．1D ．2 2．已知R 为实数集，集合(){}2|lg 2A x y x x==+-，{|||1}B x x =>，则RA B ⋂=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|12}x x -< C ．{|11}x x -< D ．{|1}x x > 3．已知角α终边上一点(1,2)P -，则cos()πα-=（ ）A． B． CD4．已知lg2a =，12log 3b =，1312c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>5．已知平面内的点(,)P x y 满足不等式组2040240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--≤⎩，则1y x +的最大值为（ ）A ．3B ．32 C ．87 D ．4116．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，抛物线上一点(,1)A t 满足||2AF =，则抛物线方程为（ ）A ．214x y =B ．212x y = C ．22x y = D ．24x y = 7．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《数书九章》、《缉古算经》、《缀术》有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这6部专著中有4部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这6部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰有1部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．13 B ．715 C ．815 D ．14158．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意x 都满足(2)()f x f x +=，且当11x -时2()2f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．12B ．14C ．15D ．169．已知函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>，其图象两相邻对称轴间的距离为2π，且图像向左平移6π个单位后关于原点对称，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C ．1 D ．1-10．已知C 的方程为2240x y x +-=，过点P 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，弦长AB 的最大值和最小值分别是等差数列{}n a 的首项和公差，则2021a =（ ） A ．4044 B ．8082 C ．4042 D ．8084 11．如图，菱形ABCD 的边长为6，3BAD π∠=，将其沿着对角线BD 折叠至直二面角A BD C --，连接AC ，得到四面体ABCD ，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A ．56πB ．72πC ．36πD ．60π12．如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，过双曲线上一点P （异于顶点）作PB x ⊥轴，垂足为B ，且2OA AB =，若以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．3y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设向量(,1)a m =，(2,4)b =，且2215a b a b ⋅+=，则m =________． 14．某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，下图提供随机数表的第2行到第4行若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是__________．32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 15 53 31 34 57 86 01 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 4515．已知函数2log 3,(0)()23,(0)x x x f x x -->⎧=⎨+⎩，则211log 43f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________．16ABC 中，222sin sin sin sin sin C A B A B =+-，3CB CD =，P 为AD 上一点，且满足12CP CA mCB =+，则||CP 的最小值为_________． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共60分） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+且12a =．（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知()321log 1n n b a -=+且11n n n c b b +=⋅，求123n c c c c ++++．18．（本小题满分12分）遵守交通规则，人人有责．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．《道路交通安全法》第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让．否则扣3分罚200元”．下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆybx a =+，并预测该路囗2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式：()()()1122211nni iiii i nniii i x ynx yx x yy b xnx x x ====---==--∑∑∑∑)2k 0.102.70622()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 19．（本小题满分12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是1AB ，11AC 的中点．（1）求证：EF //平面11BCC B ；（2）已知2AB AC ==，斜三棱柱111ABC A B C -的体积为8，求点E 到平面11CC B 的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b +=>>，椭圆C 上的点P ⎛ ⎝⎭到其两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若N 椭圆C 的上顶点，A ，B 为椭圆C 上不同于点P 的两点，且满足直线,NA NB 的斜率之积为12，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数()(sin cos )xf x e x x =+（其中e 为自然对数的底数），()f x '是函数()y f x =的导函数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()2()()g x f x f x '=-，如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x kx 恒成立，求实数k的取值范围．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分）请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=． （1）分别写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）已知M 为曲线1C 的左焦点，P ，Q 为曲线2C 上的动点，满足OP OQ ⊥，求22||||PM QM +的最大值．23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知a ，b ，c 都是正数，求证： （1）()2()4a b ab cabc ++；（2）若2a b c ++=，则11194a b b c c a+++++． 赣州市2021年高三年级适应性考试文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．1-；14．28；15．1；16．116．解：由222sin sin sin sin sin C A B A B =+-得222c a b ab =+-， 所以60C =︒，因为A ，P ，D 三点共线，所以(1)CP CA CD λλ=+-， 即1(1)3CP CA CB λλ=+-⋅，所以12λ=，即1126CP CA CB =+， 而1sin 42ABCSab C ab ==⇒=，所以222221111111||cos 266364363CP CA CB b a b C a b a ⎛⎫=+=+⋅+=++ ⎪ 21214a ==． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 17．解（1）由132n n a a -=+得()1131n n a a -+=+ 1分 即113(2)1n n a n a -+=+，而113a += 3分所以{}1n a +是首项为3公比为3的等比数列 4分 所以13n n a +=，即31(1)n n a n =- 6分 （2）()213213log 1log 321n n n b a n --=+==- 8分 即111111(21)(21)22121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭9分所以123111111123352121n c c c c n n ⎛⎫++++=-+-++- ⎪-+⎝⎭10分 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 12分 18．解：（1）由表中数据知，1234542x +++== 1分125105100901054y +++== 2分所以12219951050113025ni ii nii x ynx yb xnx ==--===---∑∑ 4分所以5105(11)132.52a y bx =-=--⨯= 5分 故所求回归直线方程为ˆ11132.5yx =-+ 6分 令5x =，则ˆ115132.577.578y=-⨯+=≈人 7分 所以预测该路口5月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为78人 8分（2）由表中数据得2250(1012208)0.23 2.70618323020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯ 11分 根据统计知，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关 12分 19．（1）证明：连结11,A B BC ，由三棱柱111ABC A B C -知，四边形11ABB A 为平行四边形， 因为E ，F 分别是1AB ，11AC 的中点，即EF 为中位线 1分 所以1//EF BC 且112EF BC =2分 因为EF ⊂/平面111,BCC B BC ⊆平面11BCC B 4分 所以//EF 平面11BCC B 5分 （另法：可以取11A B 中点证明面面平行）（2）解：因为1B C ⊥平面ABC ，所以1B C 为三棱柱111ABC A B C -的高 6分 又因为2AB AC ==，且AB AC ⊥，所以12222ABCS =⨯⨯= 7分 而11118ABC A B C ABCV SB C -=⋅=，所以14B C = 8分因为//EF 平面11BCC B ，所以点E 到平面11CC B 的距离等于点F 到平面11CC B 的距离 9分 由等体积法得1111F CC B C C B F V V --=即111111133CC B C B FS d S B C ⋅⋅=⋅⋅ 10分所以2d =即点E 到平面11CC B 的距离为212分 另法：因为E 为1AB 的中点，所以点E 到平面11CC B 的距离等于点到平面11CC B 的距离的一半，取BC 的中点为D ，易证AD ⊥平面11CC B ，即12d AD ==20．解：（1）由题意得242a a =⇒= 1分将点P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程22221x y a b +=，解得21b = 2分故椭圆C 的标准方程为：2214x y += 4分 （2）由题意得(0,1)N ，①当直线AB 的斜率不存在时，设()11,A x y ，()11,B x y -， 所以111111,NANB y y k k x x ---==，所以21112111111NA NB y y y k k x x x ----⋅=⋅= 5分 又221114x y +=，所以211121*********NA NB y y y k k x x x ----⋅=⋅==≠ 6分 ②当直线AB 的斜率存在时设直线AB 为(1)y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-= 7分 ∴()221222122164108414441k m km x x k m x x k ⎧∆=-+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩8分∴121212121111NA NB y y kx m kx m k k x x x x --+-+-⋅=⋅=⋅()22121212(1)(1)12k x x k m x x m x x +-+--== 9分代入整理得2230m m +-= 10分 解得3m =-或1m =（舍去） 11分所以直线AB 的方程为3y kx =-即直线AB 过定点(0,3)- 12分22．解：（1）()(sin cos )(cos sin )2cos xxxf x e x x e x x e x '=++-= 1分 由()2cos 0xf x e x '=>得cos 0x >， 即2222k x k ππππ-<<+2分所以函数()f x 的递增区间为2,2,22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 3分 递减区间为32,222k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z4分 （2）由()2()()2sin x g x f x f x e x '=-= 5分 所以()g x kx 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于2sin x e x kx 恒成立，即()min2sin 0xe x kx-，令()2sin x h x e x kx =-，所以()2(sin cos )x h x e x x k '=+- 6分 由（1）的结论知()h x '在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数， ∴2min max()(0)2,()22h x h k h x h e k ππ⎛⎫''''==-==- ⎪⎝⎭7分①当20k -即2k 时()0h x '恒成立， 所以()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数即()(0)0h x h =符合题意 8分 ②当2220e k π-即22k e π时()0h x '恒成立， 所以()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数即()(0)0h x h =不符合题意 9分 ③当222k e π<<时存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00h x '=， 所以当()00,x x ∈时()00h x '<即()h x 在()00,x 上为减函数， 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()00h x '>即()h x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 10分 所以()0(0)0h x h <=不合题意 11分 综上：实数k 的取值范围为(,2]-∞ 12分22．解（1）由曲线12cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）， 消去参数α得22143x y += 2分 曲线2:2C ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得224x y += 4分 再化为参数方程为：22cos ,:2sin ,x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 5分（2）由（1）知(1,0)M -，设点(2cos ,2sin )P θθ 6分由OP OQ ⊥，不妨设点v即(2sin ,2cos )Q θθ- 7分所以222222||||(2cos 1)(2sin )(2sin 1)(2cos )PM QM θθθθ+=+++-++ 8分22||||4cos 4sin 10104PM QM πθθθ⎛⎫+=-+=++ ⎪⎝⎭ 9分 故当4πθ=-时，()22max ||||10PM QM += 10分23．（1）证法一：∵a ，b ，c 都是正数， ∴20a b ab +>，2220ab c abc +> 3分∴()2()24a b ab cab abc ++⋅=当且仅当“a b c ==”时等号成立 ∴()2()4a b ab c abc ++ 5分证法二：()22222()44a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()22222222()()b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+- 3分∵a ，b ，c 都是正数，∴22()()0b a c a b c -+-， 当且仅当“a b c ==”时等号成立 ∴()2()4a b ab c abc ++ 5分（2）证法一：1111111[()()()]4a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++ ⎪++++++⎝⎭7分 1193(3222)444a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当且仅当“23a b c ===”时等号成立． ∴11194a b b c c a +++++ 10分 法二：1111111[()()()]4a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++ ⎪++++++⎝⎭7分3193(44a ⎡=⎢⎣ 当且仅当“23a b c ===”时等号成立． ∴11194a b b c c a +++++ 10分 法三：利用柯西不等式1111111[()()()]4a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++ ⎪++++++⎝⎭ 7分21944a ⎛+++= ⎝ 当且仅当“23a b c ===”时等号成立． ∴11194a b b c c a +++++ 10分。
2021届江西省赣州市十五县(市)十六校高三上学期期中联考数学(文)试题(解析版)
2021届江西省赣州市十五县（市）十六校高三上学期期中联考数学（文）试题一、单选题1．cos135cos15sin135sin15-=（ ）A ．B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用和的余弦公式计算即可.【详解】()3cos135cos15sin135sin15cos 13515cos1502-=+==-. 故选：B.2．已知集合305x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，集合{46}B x x =<<∣，则A B =（ ） A ．(4,5) B ．(4,5]C ．(5,6)D ．[5,6)【答案】A【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出A B 的结果.【详解】因为305x x -≤-，所以()()35050x x x ⎧--≤⎨-≠⎩， 所以35x ≤<，所以[)3,5A =又因为()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 故选：A.3．设a 、b R ∈，则“1a b <<”是“(1)(1)0a b --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由1a b <<可以推出(1)(1)0a b --<，由(1)(1)0a b --<不一定推出1a b <<，可能推出1b a <<.【详解】若1a b <<，则10,10a b -<->，所以(1)(1)0a b --<；若(1)(1)0a b --<，则10,10a b -<->或10,10a b ->-<，即1a b <<或1b a <<，所以“1a b <<”是“(1)(1)0a b --<”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 4．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.5．已知向量||3a =，||1b =，||||a b a b +=-，则a 与a b -的夹角为（ ） A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【分析】由||||a b a b +=-可得0a b ⋅=，求出()a ab ⋅-，a b -，即可由()cos ,a a b a a b a a b⋅-<->=⋅-求出夹角.【详解】||||a b a b +=-，222222a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，则0a b ⋅=，()23a ab a a b⋅-=-⋅=，2223012a b aa b b-=-⋅+=-+=，()3cos,32a a ba a ba a b⋅-∴<->===⨯⋅-，又[],0,πa a b-∈，则a与a b-的夹角为30.故选：A.6．设1169a⎛⎫=⎪⎝⎭，则a=（）A．144 B．9log16C．161log9D．3log4-【答案】D【分析】利用指对互化求出a，由对数的性质化简得出答案．【详解】1169a⎛⎫=⎪⎝⎭，22139log16log4a-∴===3log4-故选：D7．已知函数()f x的定义域为R，其导函数为()'f x，()'f x的部分图象如图所示，则（）A．()f x在区间(0,1)上单调递减B．()f x的一个增区间为(1,1)-C．()f x的一个极大值为(1)f-D．()f x的最大值为(1)f【答案】B【分析】由导函数在某个区间上为正，则原函数在此区间上为增函数，若导函数在某个区间上为负，则原函数在此区间上为减函数，若导函数在某一个点左右两侧的函数值异号，则此点就为极值点，逐个判断即可【详解】由()'f x的部分图像可得：在(1,1)-上，()0f x'>，所以()f x单调递增，所以A不正确，B正确；由(1)0f '-=，导函数在1x =-左右两侧的函数值异号， 所以(1)f -是()f x 的一个极小值，所以C 不正确，同理可知(1)f 是()f x 的一个极大值，并不一定是最大值，D 不正确. 故选：B.8．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为（ ）A ．4m ≤B ．74m <C ．4m <D ．3m <【答案】C【分析】令()241f x mx x =-+，对二次项系数m 分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】解：令()241f x mx x =-+当0m =时，原不等式为410x -+<，解得14x >，满足条件； 当0m <时，函数的对称轴为20x m =<，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，只需()20f <，即4700m m -<⎧⎨<⎩解得0m <当0m >时，函数的对称轴为20x m =>，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，当2103m <<，即6m >时，只需103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解； 当22m >，即01m <<时，只需()20f <，即47001m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<； 当1223m≤≤，即16m ≤≤时，只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<； 综上可得4m < 故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；9．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．2007【答案】D【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3， 由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D10．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a e<B ．0a <C ．0a ≤D ．10a e<<【答案】D【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得.【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点； 当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a =处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<， 综上，10a e<<. 故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）； （3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值； （4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.11．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE BC λ=,DF DC μ=，若92AE AF ⋅=，1CE CF ⋅=，则λμ+=（ ）A ．712B ．2C ．29D ．56【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算将AE ，AF ，CE ，CF 转化为AB 和AD ，再根据AB 和AD 的长度和夹角进行运算可得结果.【详解】依题意得AE AB BE AB BC AB AD λλ=+=+=+，AF AD DF AD DC AD AB μμ=+=+=+，所以()()AE AF AB AD AD AB λμ⋅=+⋅+22(1)AD AB AB AD λμλμ=+++⋅44(1)22cos 60λμλμ=+++⨯⨯⨯4422λμλμ=+++92=， ()()(1)(1)(1)(1)CE CF CB CD AB ADλμλμ⋅=-⋅-=--⋅(1)(1)22cos 60λμ=--⨯⨯⨯2(1)λμλμ=--+1=，即22()1λμλμ=+-，所以94()22()12λμλμ++++-=， 所以712λμ+=. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用平面向量的线性运算将AE ，AF ，CE ，CF 转化为AB和AD 进行运算是解题关键.12．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x =单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()lnf x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.二、填空题13．用反证法证明：存在x ∈R ，cos 1x ≥，应先假设：________. 【答案】任意x ∈R ，cos 1x < 【分析】由特称命题的否定可得解.【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意x ∈R ，cos 1x <. 故答案为：任意x ∈R ，cos 1x <.14．已知向量(1,cos )a θ=-，(sin ,2)b θ=且a b ⊥则3sin 2cos 2sin cos θθθθ-=+________.【答案】45【分析】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，得sin 2cos θθ=，代入式子即可得解. 【详解】由向量(1,cos )a θ=-，(sin ,2)b θ=且a b ⊥， 可得sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，所以sin 2cos θθ=，所以3sin 2cos 6cos 2cos 4cos 42sin cos 4cos cos 5cos 5θθθθθθθθθθ--===++.故答案为：45.15．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =+-，则数列{}n a 通项公式为________.【答案】1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ 【分析】当n ＝1时直接由S n 求出a 1，当n ≥2时由a n ＝S n ﹣S n ﹣1解得a n ，然后验证a 1适合a n 得结论．【详解】由21n S n n =+-，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，212(1)(1+)211n n n a S S n n n n n -⎡+⎤=-=----=⎣⎦-， 验：当n ＝1时，a 1＝12≠，不符合上式．∴数列的通项公式为1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩．故答案为：1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩.【点睛】易错点睛：在数列中，由n S 求n a 时，分当n ＝1时和当n ≥2时两种情况，易错当n ＝1时的检验在n ≥2时是否成立.16．下列命题正确的是________.（填写正确的序号）①在等差数列{}n a 中，有21026a a +=，则56739a a a ++=； ②已知数列{}n a是正项等比数列，且3723a a +=5a③已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+成立，则(1)(2)(3)f f f +++⋯(2019)(2020)0f f ++=. 【答案】①③【分析】①直接利用等差数列的下标性质可得解；②利用等比数列表示2523)a q q =+，利用基本不等式可判断；③由函数的奇偶性和对称性可得周期，从而得解.【详解】①在等差数列{}n a 中，有21026a a +=，得6226a =，所以613a =， 所以256761039a a a a a a ++=++=，所以①正确；②设数列{}n a 是正项等比数列的公比为q，则2237552323q a a a a q +=+=所以2523)2a q q =+≥=，所以5a，所以②不正确；③已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+成立，所以(1)(1)(1)f x f x f x -=+=--，所以()(2)(4)f x f x f x =-+=+， 所以函数()f x 是周期为4的函数，由()(2)f x f x =-+可得：(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)f f f +++⋯(2019)(2020)50500f f ++=⨯=，所以③正确. 故答案为：①③.【点睛】结论点睛：对于函数周期性的问题，应熟记以下结论：1.如果函数()()f x x D ∈在定义域内有两条对称轴(),x a x b a b ==≠，则函数()f x 是周期函数，且周期2T a b =-（不一定为最小正周期）.2.如果函数()()f x x D ∈在定义域内有两个对称中心()()(),0,,0A a B b a b ≠则函数()f x 是周期函数，且周期2T a b =-（不一定为最小正周期）.3.如果函数()()f x x D ∈在定义域内有一条对称轴x a =和一个对称中心()(),0B b a b ≠，则函数()f x 是周期函数，且周期4T a b =-（不一定为最小正周期）.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，416S =. （1）求n S 的表达式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n S n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）由题可得1149434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，求出1,a d 即可求出n S ； （2）利用裂项相消法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得：1149434162a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩. 1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，()12(121)22n n n a a n n S n ++-∴===. （2）由（1）可知21n a n =-，111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴， 12n n T b b b ∴=++⋯+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+. n T ∴的表达式为21n nT n =+. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 18．已知a R ∈，函数3211()(1)332f x x a x ax =----. （1）当1a =时，求函数()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）8210x y --=；（2）4a ≥.【分析】（1）求出()f x 在3x =处的导数，即切线斜率，求出()3f ，即可求出切线方程；（2）可得()0f x '≤在(2,4)恒成立，由此可建立关系求解.【详解】2()(1)f x x a x a '=---，（1）当1a =时，3211(3)3(11)3133332f =⨯--⨯-⨯-=， 2(3)3(11)318f '=--⨯-=，∴在点(3,(3))f 处的切线方程为38(3)y x -=-，即8210x y --=.（2）函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，2()(1)(1)()0f x x a x a x x a '∴=---=+-≤在(2,4)恒成立，而10x +>在(2,4)恒成立，0x a ∴-≤在(2,4)恒成立，这时4a ≥， ∴当函数()f x 在区间(2,4)上是减函数时，4a ≥.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2cos()cos sin 2C B C B Cc b+-=. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为14，a =，求b c +的值.【答案】（1）34π；（2. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得sin 04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据角A 的范围，即可求得答案；（2）根据（1）结合面积公式，可得2bc =，利用余弦定理，即可求得b c +的值. 【详解】（1）因为sin 2cos()cos sin 2C B C B Cc b+-=， 所以2sin cos cos cos sin 2sin sin C C A B C C B--=，所以sin cos cos cos sin 0B C A B C ++=，得sin cos 04A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即sin 04A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为(0,)A π∈，所以34A π=.（2）题意知1sin2bc A =sin A =2bc =，又a =，所以由余弦定理得，222222cos a b c bc A b c =+-=+2()(210b c =+--=，所以b c +=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，解题的关键是灵活应用正余弦定理，进行边角互化，再利用三角恒等变换进行求解，考查计算化简的能力，属基础题.20．已知2cos 1,sin()2x a x ϕϕ+⎛⎫=++⎪⎝⎭，2cos 2x b ϕ+⎛=- 22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅.（1）若函数()f x 为偶函数，求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求函数()g x 的值域.【答案】（1）()2cos f x x =；（2）(1,2]-. 【分析】（1）先化简求出()2cos 3f x x πϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，再由()f x 为偶函数，可得3k πϕπ-=，即可求出ϕ，得出解析式；（2）将,03π⎛-⎫⎪⎝⎭代入可求得6π=ϕ，进而得出()2cos 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可根据余弦函数性质求出值域.【详解】（1）()2cos11)22x x f x a b x ϕϕϕ++⎛⎫=⋅=+-++ ⎪⎝⎭22cos 1)cos())2x x x x ϕϕϕϕ+=-+=+++ 2cos 3x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.函数()f x 为偶函数，3k πϕπ∴-=，得3k πϕπ=+，k Z ∈.22ππϕ-<<，3πϕ∴=，()2cos f x x ∴=.（2）函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， 332k πππϕπ∴-+-=+，得76k πϕπ=+，k Z ∈， 22ππϕ-<<，6πϕ∴=，()2cos 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变）得()2cos 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，51818xππ-<<，23363x πππ∴-<-<， 12cos 326x π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭，∴函数()g x 的值域为(1,2]-.21．如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为()n y n N +∈，其中1y 为最大正方形中心的纵坐标.（1）求数列{}n y 的通项公式；（2）若数列{}n y 的奇数项构成新数列{}n a ，求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）122212,212,2n n n n y n --⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数；（2）11222n n S n -=-+.【分析】（1）由题意可知121y y ==，332y =，212n n y y -=，再由第2n -1个正方形到直线2x =的距离为112n -和第2n 个正方形到直线2x =的距离为112n -，得出数列{}n y 的通项公式；（2）由（1）知211122n n n a y --==-，n ∈+N ，利用分组求和法得出{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）由题意可知121y y ==，332y =，212n n y y -=， 第2n -1个正方形到直线2x =的距离为112n -，即211122n n y --=-；第2n 个正方形到直线2x =的距离为112n -，即21122nn y -=-， 122212,212,2n n n n y n --⎧-⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.（2）由（1）知211122n n n a y --==-，n ∈+N ， 则12111(21)2222n n n S a a a -⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1112122n n -⎛⎫=⨯-++⋯+ ⎪⎝⎭1122112n n -=-- 11222n n -=-+. 【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．22．已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =+的极值； （2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【分析】（1）求导2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，然后分0a ≥，0a <讨论求解.（2）求导()22g x x '=+，根据()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()22,B x g x 处的切线互相垂直，得到()()1222221x x ++=-，即 ()121141x x =--+，然后由()21221141x x x x -=+++，利用基本不等式求解.【详解】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=， 若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； 若0a <时，()0h x '=，解得2ax =-， 当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥=+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号， ∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.【点睛】结论点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．。
2021届江西省赣州市会昌县七校高三联合月考数学(理)试题(解析版)
2021届江西省赣州市会昌县七校高三联合月考数学（理）试题一、单选题1．若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义可得答案.【详解】由(2)5i z +=得52z i =+5(2)1052(2)(2)5i i i i i --===-+-， 所以复数z 对应的点Z 的坐标为(2,1)-，其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.2．已知集合{}4|log 1,A x x =<{}2|e1x B x -=≤，则A B =（ ） A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2)D ．(0,2] 【答案】D【解析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{}4|log 1,A x x =<所以{}|04A x x =<<，{}2|e 1x B x -=≤，所以{}|2B x x =≤，所以{}(]|020,2A B x x =<≤=故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.3．“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据x 轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 4．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．30B ．35C ．40D ．45【答案】C【解析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求.【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =，同理11121384a a a ++=，得12384a =， 2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，． （2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.5．若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．－540B ．－162C ．162D ．540【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于n⎛ ⎝展开式各项系数之和为2n =64，解得n=6，则展开式的常数项为3336(540C =- ，故答案为A.【考点】二项展开式的通项公式点评：本题考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．函数21()ln ||1f x x x =+-的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可得解；【详解】解：因为21()ln ||1f x x x =+-，所以2010x x ⎧>⎨-≠⎩解得0x ≠且1x ≠±，故函数的定义域为()()()(),11,00,11,-∞--+∞，定义域关于原点对称，()2211()ln ||ln ||()11f x x x f x x x -=-+=+=---，所以()f x 为偶函数， 图象关于y 轴对称，又 21114ln ln 20223112f ⎛⎫=+=--< ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()2112ln 2ln 210221f ==+>-，故排除B 、C 、D ；故选：A【点睛】本题考查函数图象的判断，函数的奇偶性的应用，属于基础题.7．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF AB AD x y =+，则,x y 是（ ）A ．3,414B ．2,313C ．1,234D ．2,312【答案】C【解析】根据向量的线性运算法则，化简得到1324AF AB AD =+，再结合AF AB AD x y =+，即可求解.【详解】由题意，根据向量的线性运算法则， 可得()1122AF AD DF AD DE AD DC CE =+=+=++ 1113()2224AD AB AD AB AD =+-=+， 又由AF AB AD x y =+，所以13,24x y ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．双曲线2222:1x y C a b-=（0,a >0b >）的渐近线与圆221205x y x +-+=相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】C【解析】求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离等于半径求解关系式，即可得到双曲线的离心率．【详解】 双曲线2222:1x y C a b-=（0,a >0b >）的一条渐近线方程为0bx ay -=，圆的方程为221205x y x +-+=，即()22541y x +=-，圆心为()1,0，因为双曲线的渐近线与圆相切，5=，化简得2b a =，离心率e ===. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等，属于基础题．9．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( ) A ．710 B ．760 C ．2760 D ．4760【答案】B【解析】由题意基本事件总数66720n A ==，其中“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解.【详解】由题意知基本事件总数66720n A ==，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，故有42648⨯⨯=种②“数”排第二位， “礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有483684+=种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为84772060P ==. 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为 ）A ．323πB ．C ．36πD ．【答案】D【解析】先判断出底面三角形的形状，然后从球心作截面的垂足，确定垂足的位置后，再利用勾股定理得到半径，再求体积即可.【详解】由2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒及余弦定理得，2222cos 416224cos6012AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=， 所以222BC AB AC =+，即A 是直角，BC 是底面圆的直径，过球心O 作OD ⊥平面ABC ，D 即为BC 的中点，所以OD =122BD BC ==连接OB ，OB 即为半径，由勾股定理得OB ==，所以球的体积为34323V π== 故选：D.【点睛】本题考查了球的外接问题，确定球心在截面上的射影的位置是关键，属于基础题. 11．已知O 为坐标原点，抛物线22C y px =：上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，给出以下命题：①当MAF △为正三角形时，p 的值为2；②存在M 点，使得0MF MA -=；③若3MF FA =，则p 等于3；④OM MA +的最小值为p 等于4或12.其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③C ．①③D ．②③④【答案】A【解析】对于①可知，当MAF △为正三角形时AM 与准线垂直，画出图形结合几何关系即可求得p 的值；对于②根据向量关系可知MA MF =，结合点的位置即可判断；对于③，作出几何图形，根据线段比例关系即可求得p 的值；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，可知AO '即为OM MA +的最小值，根据线段几何关系及最小值即可求得p 的值.【详解】对于①，当MAF △为正三角形时，如下图所示，抛物线的准线交x 轴于N ， 4AF AM MF ===,由抛物线定义可知AF AM =，则AM 与准线垂直， 所以60AMF AFM ∠=∠=，则30FMN ∠=，所以12NF MF =, 而NF p =，即122p MF ==，所以①正确； 对于②，假设存在M 点，使得0MF MA -=，即MA MF =，所以M 点为AF 的中点，由抛物线图像与性质可知，A 为抛物线上一点，F 为焦点，线段AF 在y 轴右侧， 点M 在抛物线C 准线上，在y 轴左侧，因而M 不可能为AF 的中点，所以②错误； 对于③，若3MF FA =，则:3:4MF MA =，作AE 垂直于准线并交于E ，准线交x 轴于N ，如下图所示： 由抛物线定义可知4AE AF ==， 根据相似三角形中对应线段成比例可知MF FN MA AE =，即344p =， 解得3p =，所以③正确；对于④，作O 关于准线的对称点O '，连接AO '交准线于M ，作AD 垂直于准线并交于D ，作AH 垂直于x 轴并交于H ，如下图所示：根据对称性可知，此时AO '即为OM MA +的最小值， 由抛物线定义可知4AD AF ==，所以A 的横坐标为42p -， 代入抛物线可知22242A p y AH p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，OM MA AO +='的最小值为42p O H NH O N '=+'=+，则22O O AH A H '='+，即(2242422p p p ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简可得216480p p -+=，即()()4120p p --=，解得4p =或12p =，所以④正确；综上所述，正确的为①③④.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程的求法与几何性质的综合应用，应用几何线段关系求参数，综合性较强，属于难题.12．已知实数,a b 满足22(2)(3)2a b ++-=，则对任意的正实数x ，22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ）A ．B ．8C ．D ．18 【答案】B【解析】将问题转化为圆22(2)(3)2x y ++-=上任意一点到曲线ln y x =上任意一点的距离的最小值的平方，可求曲线ln y x =上到圆心()2,3C -距离最小的点为(),A m n ，利用导数求出点1,0A ，求出圆心到点1,0A 的距离减去半径再平方即可求解.【详解】由题意可知，该问题可转化为求圆22(2)(3)2x y ++-=上任意一点到曲线ln y x =上任意一点的距离的最小值的平方，不妨设圆22(2)(3)2x y ++-=为圆C ，其圆心为()2,3C -，半径为R =因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径， 所以只需求曲线ln y x =上到圆心()2,3C -距离最小的点为(),A m n ，则点(),A m n 满足曲线ln y x =在点A 处的切线与直线AC 垂直，因为点(),A m n 在曲线ln y x =上，所以ln n m =，令()ln f x y x ==，则()1f x x '=， 则()1f m m'=， 即曲线ln y x =在点A 处的切线的斜率为1m ， 又因为(),ln A m m ，()2,3C -，所以直线AC 的斜率为3ln 2AC m k m -=--， 所以3ln 112m m m-⋅=---， 即2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点A 坐标为1,0A ，又因为()2,3C -，所以AC ==所以圆C 上任意一点到曲线ln y x =上任意一点的距离的最小值的平方为()(228AC R -==， 所以22()(ln )x a x b -+-的最小值为8.故选：B【点睛】 本题主要考查了对数函数、圆的方程、导数的几何意义以及导数的运算、两点间的距离公式，属于中档题. 二、填空题13．1()e x f x -=+的图像在1x =处的切线方程为________．【答案】210x y -+=【解析】对函数求导，则切线斜率为()12f '=，又()13f =，利用点斜式方程求出切线方程即可．【详解】112()e 2x f x x -=+，则()112x f x e x --'=+，且()12f '= ()13,f =∴切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=故答案为：210x y -+=【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩的最小值为________.【解析】表示可行域内的点(),x y 到定点()1,0P -的距离.数形结合可求距离的最小值.【详解】画出可行域，如图所示(),x y 到定点()1,0P -的距离.解方程组40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，设()2,2M .由图可知，minMP ===【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．在锐角ABC 中，角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，ABC 的面积为S ，若2224S b c a =+-，b ，22cos cos 20B B +=，则ABC 的面积S 为________．【答案】32+ 【解析】由22cos cos 20B B +=，求得1cos 2B =，得到3B π=，利用余弦定理和三角形面积公式，求得4A π=，再由正弦定理求得2a =，结合面积公式，即可求解.【详解】因为22cos cos 20B B +=，可得222cos 2cos 10B B +-=，即21cos 4B =， 又由(0,)2B π∈，所以1cos 2B =，所以3B π=，又因为2224S b c a =+-，可得22214sin 2bc A b c a ⨯=+-，则222sin cos 2b c a A Abc+-==，即tan 1A =，因为(0,)2A π∈，可得4A π=， 所以512C A B ππ=--=， 又由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin 2sin 2b A a B ===，所以ABC的面积为113sin 22242S ab C ==⨯=.故答案为：32+. 【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式，以及正弦、余弦定理和面积公式的应用，其中解答中熟练应用余弦的倍角公式和三角形的正弦、余弦定理，结合面积公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16．已知等边ABC 的边长为2，过点A 的直线l 与过BC 的平面α交于点D ，将平面α绕BC 转动（不与平面ABC 重合），且三条直线l ，AB ，AC 与平面α所成的角始终相等．当三棱锥A BCD -体积最大时，直线l 与平面α所成角的正弦值为________．【答案】7【解析】过A 作AO ⊥面BCD ，垂足为O ，连接,,OB OC OD ，可得Rt OBA Rt OCA Rt ODA ∆≅∆≅∆，进而得到点O 为BDC 的外接圆圆心，2AD =，另外要三棱锥A BCD -体积最大，则必有DA ⊥面ABC ，通过计算可得BDC 的外接圆半径为r ，再通过计算sin AOODA AD∠=，即可得答案． 【详解】解：过A 作AO ⊥面BCD ，垂足为O ，连接,,OB OC OD ， 因为直线l ，AB ，AC 与平面α所成的角始终相等， 即OBA OCA ODA ∠=∠=∠， 则Rt OBA Rt OCA Rt ODA ∆≅∆≅∆ 则2AD AB AC BC ====，OB OC OD ==，点O 为BDC 的外接圆圆心，要三棱锥A BCD -体积最大，则必有DA ⊥面ABCBD CD ∴==则D 到BC 的距离h ==又(2112sin 22DBCSBDC =⨯==⨯⨯∠，sin BDC ∴∠=， 则BDC的外接圆半径为22sin r BDC ===∠，则直线l 与平面α所成角的正弦值为sin 7AO ODA AD ∠===．故答案为：7． 【点睛】本题主要考查三棱锥的体积及线面角，考查空间想象能力和计算能力，是一道中档题． 三、解答题17．已知函数()f x m n =⋅，向量(cos sin ,)m x x x =+，(sin cos ,cos )n x x x =-，在锐角．．ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =． （1）求角A 的大小； （2）求12f B π⎛⎫-⎪⎝⎭的取值范围． 【答案】（1）6A π=；（2）．【解析】（1）由数量积的坐标运算公式求出()f x ，并利用二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，代入()1f A =可求解； （2）由（1）求出B 角范围，从而得12B π-的范围，结合诱导公式和余弦函数性质可得结论． 【详解】（1）由题意，()(cos sin )(sin cos )cos f x m n x x x x x x =⋅=+-+122cos 22sin 2226x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又A 为锐角，6A π∴=．（2）由（1）56B C π+=，又,B C 均为锐角，所以32B ππ<<，22333B πππ<-<sin 213B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，2sin 22]123f B B ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的性质．本题属于中档题，考查了学生的运算求解能力．18．如图，四棱锥S ABCD -满足SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，4SA AB ==，侧棱SC 上有一点E 满足3SE EC =． （1）证明：OE ⊥平面SDB ； （2）求二面角E BD C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，证明OE DB ⊥，OE SB ⊥，从而证明OE ⊥平面SDB ； （2）分别求出平面BDC 和平面BDE 的一个法向量，利用法向量求二面角的余弦值． 【详解】解：（1）以A 为坐标原点，,AB ,AD AS 所在直线分别为,x ,y z 轴建系如图： 则(0,0,4),S (4,4,0),C (4,0,0),B (0,4,0),D (2,2,0)O ， 由4SC EC =，得(3,3,1)E ，(1,1,1)OE =，(4,4,0)DB =-，(4,0,4)SB =-， 440OE DB ⋅=-=，440OE SB ⋅=-=， ,OE DB ⊥OE SB ⊥，,OE DB ⊥OE SB ⊥，,SB DB ⊂面,SDB SB DB B =，所以，OE ⊥面SDB .（2）易得平面BDC 法向量1(0,0,1)n =，设平面BDE 法向量2(,,)n x y z =，(4,4,0)DB =-，(1,3,1)BE =-，由22n DB n BE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，22·0·0n DB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即44030x y x y z -=⎧⎨-++=⎩，取2(1,1,2)n =-，则122cos ,36n n -<>==， 所以，锐二面角E BD C --的余弦值为3. 【点睛】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求二面角的余弦值问题，属于中档题．19．已知数列{}n a 中，11a =且1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-．数列{}n b 中，11b =且11n n nb b n -=-（1,n >*n N ∈）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T ，并求使得()2156n T m m ≥-恒成立的最大正整数m 的值．【答案】（1）12n na ，nb n =；（2）(1)21nn T n =-⨯+，最大正整数m 值为6.【解析】（1）利用1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-与1211n n a a a a -++⋅⋅⋅+=-两式相减可得12(2)n n a a n +=≥，根据等比数列的通项公式可得12n na ，根据11n n b nb n -=-利用累乘法可得n b n =.（2）利用错位相减法求出n T ，再求出n T 的最小值，解关于m 的不等式可得解. 【详解】（1）因为1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-， 当2n ≥时，1211n n a a a a -++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得12(2)n n a a n +=≥；当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =； 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a ．数列{}n b 中，11b =，满足11n n nb b n -=-（1,n >*n N ∈）． 即11n n b n b n -=-，1212n n b n b n ---=-，2323n n b n b n ---=-，…，3232b b =，1221b b =， 等式左右两边分别相乘可得11n b nb =，而11b =，所以n b n =． （2）n n nc a b =⋅，由（1）可得12n n c n -=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T .则1232112232(2)2(1)22n n n n T n n n ---=+⨯+⨯+⋅⋅⋅-⨯+-⨯+⨯两式相减可得123211222222n n n n T n ---=++++⋅⋅⋅+-⨯12221212n n n n n T n n --=-⨯=--⨯-，所以(1)21nn T n =-⨯+，因为(1)21nn T n =-⨯+为递增数列，所以1(1)211nn T n T =-⨯+≥=，故()2156n T m m ≥-恒成立，只需()21156m m ≥-，变形可得(1)(6)0m m +-≤， 所以16m -≤≤，即最大正整数m 值为6. 【点睛】本题考查了由递推公式求通项公式，考查了累乘法求通项公式，考查了错位相减法求和，考查了不等式恒成立问题，考查了数列的单调性，属于中档题.20．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为25，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，由此可得X 的分布列和数学期望． 【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()332705125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ， ()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为所以数学期望()355E X =⨯=． 【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．21．已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率为2，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）(1,0)T ，理由见解析．【解析】（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆的定义及性质，列出方程组求解，即可得出a =1c =，1b =，进而可求出椭圆方程；（2）由题意可得，直线l 的方程为13x my =-，设()11,A x y ，()12,B x y ，由题意得到0TA TB ⋅=将直线l 的方程代入椭圆方程，根据韦达定理，即可得到(1,0)T .【详解】（1）由椭圆定义可得2a =，则a =又椭圆C的离心率为2c e a ==， 1c ∴=，则1b ==，因此，椭圆C 的标准方程为2212y x +=.（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为13x my =-， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设点T 的坐标为(,0)t ，联立221312x my y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 并整理得()2218912160m y my +--=，()()22214464189144940m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理得122212418963m m y y m m +==++，12216189y y m =-+， 由于以AB 为直径的圆恒过点T ，则TA TB ⊥，111,3TA my t y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，221,3TB my t y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2221(1220)1603189t m t m ++⎛⎫=+-= ⎪+⎝⎭， 由于点T 为定点，则t 为定值，所以122016189t +=，解得1t =， 此时2416039TA TB ⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭，符合题意；当直线l 与x 轴重合时，则AB 为椭圆的短轴，此时，点T 与点A 或点B 重合，合乎题意．综上所述，直线l 恒过定点(1,0)T ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程，考查椭圆中存在定点满足某条件的问题，熟记椭圆的标准方程及椭圆的简单性质即可，属于常考题型. 22．己知函数()2ln f x ax bx x =+-．（1）当2a =-时，函数()f x 在0,上是减函数，求b 的取值范围；（2）若方程0f x的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.【答案】（1）4b ≤；（2）证明见解析. 【解析】（1）由()f x 在0,上是减函数，可知()140f x x b x'=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立，然后分离参数得14b x x≤+，所以只要min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭即可；（2）由已知得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，即21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式相减得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦，由()12f x ax b x '=+-知()12121222x x f a x x b x x +⎛⎫'=++- ⎪+⎝⎭12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设()120,1x t x =∈，可得12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+()()211ln t g t t t -=-+，再利用导数研究其单调性可得结论 【详解】（1）∵()f x 在0,上递减，∴()140f x x b x'=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立. 即14b x x≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.∵0x >，∴144x x+≥， 当且仅当12x =时取“=”，∴4b ≤. （2）由已知，得()()2111122222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩， ∴21112222ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩两式相减， 得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦. 由()12f x ax b x '=+-知()12121222x x f a x x b x x +⎛⎫'=++- ⎪+⎝⎭()121112212122122121ln ln x x x x x x x x x x x x x x -⎡⎤=-=-⎢⎥-+-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设()120,1x t x =∈，则12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+()()211ln t g t t t -=-+. ∴()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++. ∴g t 在0,1上递增，∴()()10g t g <=. ∵120x x -<，∴12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1210g t x x =>-. 即1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查利用导数研究函数单调性极值与最值，考查基本不等的性质，考查推理能力和计算能力，属于难题。
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∴ .…………12分
19.解：（1）由直方图可知，按分层抽样在 内抽6张，则 内抽4张，………1分
记为 ，在 内抽2张，记为 ，设两张小票来自 和 为事件 ，从中任选2张，有以下选法： 共15种.………3分
其中，满足条件的有 ，共8种，………4分
8．执行如图的程序框图，若输入x的值为 ，则输出的y＝（）
A． B． C．2D．4
9．若 ，则 （）
A． B． C． D．
10．已知函数 其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）
A．函数 的周期为 B．函数 在 上为减函数
C．函数 在 上有且仅有1个零点D．函数 的图象关于点 对称
11．已知双曲线 ，过其右焦点 且平行于一条渐近线的直线 与另一条渐近线交于点 ， 与双曲线交于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
12．若存在两个正实数 使得等式 成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．(本小题满分12分)为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是：[0,100) ,[100,200), [300,400), [400,500), [500,600]，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[0,600]元的区间内）.
（1）若在消费金额为[400,600]元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自[400,500)元和[500,600)元区间（两区间都有）的概率；
22．(本小题满分12分)已知函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若函数 在 处的切线平行于 轴，是否存在整数 ，使不等式 在 时恒成立？若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
B
C
A
C
B
A
B
B
D
二、填空题
13．814．715． 16．317
所以 ， 且 ，.………2分
因为 ，所以 ，所以 ，.………4分
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，.………5分
又因为 平面 ，所以平面 平面 ..………6分
（2）由（1）知， 平面 ，三棱锥 的体积 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，由题意 中， ， , 中 边上的高为 ，.………8分
, ,.………10分
综上 ……………12分
解法二：
………………6分
则 令 ………………8分
单调递增， …………11分
综上 …………12分
， ，由（1）知， ， ，
.所以，点 到 的距离为 .…12分
21.（1）由已知， 的坐标分别是 ，由于 的面积为 ，
①，……1分
又由 ，化简得 ②，……2分
①②两式联立解得： 或 （舍去）， ， 椭圆方程为 ；……4分
（2）设直线 的方程为 ， 的坐标分别为
则直线 的方程为 ，令 ，得点 的横坐标 ，……5分
A. B． C. D．
4．平面向量 与 的夹角为 ， ，则 等于（）
A． B． C．12D．
5．已知命题 函数 ( 且 )恒过点 ；命题 若函数 为偶函数，则 的图像关于直线 对称，则下列命题是真命题的是（）
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
7．某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（）
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______．
14．设 是等差数列 的前 项和，且 ，则 ______．
15．已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一动点，定点 ，当 周长最小时， 所在直线的斜率为______．
16．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦 尺，弓形高 寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为．（注：一丈=10尺=100寸， ，答案四舍五入，只取整数）
（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案.
方案一：全场商品打八五折.
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由.
20．(本小题满分12分)如图1，平面四边形 中， 和 均为边长为 的等边三角形，现沿 将 折起，使 ，如图2.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
21．(本小题满分12分)已知椭圆 的离心率为 ，其右顶点为 ，下顶点为 ，定点 ， 的面积为 ，过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆 于 两点，直线 分别与 轴交于 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）试探究 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
不等式 在 时恒成立．
即 在 时恒成立，
令 ，则 ．………5分
(i)当 时， 函数 在 上单调递增，
， , 符合………6分
(ii)当 时，令 (x)=0,即
①当 ,此时 ， 在 上单调递增
………7分
②当 时， 当
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ．………9分
要使 令 ，则 ．
不恒
成立………11分
∴ .………5分
（2）解：由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05..………6分
方案一购物的平均费用为：
（元）………8分
方案二购物的平均费用为：
（元）..………11分
∴方案二的优惠力度更大.………12分
20.（1）取 的中点 ，连接 ， ，因为 和 均为边长为 的等边三角形，
2021届江西省赣州市会昌县七校高三联合月考数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列函数中，既是偶函数又是在区间 上单调递减的函数是（）
三、解答题
17.解：（1）数列 的前n和为 ,，已知 ， ，…………1分
当 时，由 ，………3分
可得 ， ， ．………5分
（2）设 ．………6分
可得： ………8分
．………10分
18.（1）∵ ，可得： ，∴由余弦定理可得： ，…………3分
又∵ ，∴ ；…………5分
（2）由 及正弦定理可得： ，…………6分
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)设数列 的前n和为 ,已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
18．(本小题满分12分)已知a，b，c分别是 内角A，B，C的对边，且满足 ．
（1）求角A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
直线 的方程为 ，令 ，得点 的横坐标 ，……6分
……7分
把直线 代入椭圆 得 ，
由韦达定理得 ， ，……9分∴ ，是定值．……12分
22．（1）依题意 在 上恒成立，
即 ， 在 上恒成立，……1分
令 ，则当 时， ，……3分
所以 ，即实数 的取值范围是 ．……4分
（2）解法一：依题意 ，所以 ，所以 ．