几何建模
第四章几何建模与特征建模
第四章几何建模与特征建模几何建模和特征建模是计算机辅助设计（CAD）中的两个重要概念。
几何建模是指使用几何图形来描述和构建物体的过程，而特征建模则是从物体的形式特征出发，对其进行建模和分析。
1.几何建模几何建模是指使用几何图形来表示物体的形状和结构。
在计算机辅助设计中，几何建模技术被广泛应用于三维物体的建模过程中。
几何建模可以通过两种方式进行，即实体建模和表面建模。
实体建模是指通过定义物体的内外部边界，来表示物体的形状和结构。
常用的实体建模方法包括边界表示法、体素表示法和CSG表示法等。
边界表示法通过定义物体的边界曲面来描述物体的形状。
体素表示法将物体划分为一系列小立方体单元，通过定义每个单元的属性来表示物体的形状和结构。
CSG表示法使用一系列基本几何体的组合和运算来表示复杂物体的形状。
表面建模是指通过定义物体的外表面来描述物体的形状和结构。
常用的表面建模方法包括多边形网格表示法、B样条曲面表示法和NURBS表示法等。
多边形网格表示法通过将物体表面划分为小的多边形面片来表示物体的形状。
B样条曲面表示法和NURBS表示法通过定义一系列曲线或曲面的控制点和权重来表示物体的形状和结构。
几何建模的目标是通过使用几何图形来精确地表示物体的形状和结构，以便进行设计和分析。
几何建模技术广泛应用于工程设计、产品设计、电子游戏开发等领域。
2.特征建模特征建模是指通过对物体的形式特征进行建模和分析，来表示物体的形状和结构。
在计算机辅助设计中，特征建模技术被广泛应用于产品设计和加工过程中。
特征是指物体的形式特征，如孔、凸台、凹槽等。
特征建模通过对物体的形式特征进行建模和分析，来描述物体的形状和结构。
特征建模可以分为两个阶段，即特征提取和特征建模。
特征提取是指通过对物体的形状和结构进行分析，提取物体的形式特征。
特征提取方法包括形状识别、特征匹配和几何拓扑等。
形状识别是指通过对物体的形状进行分析，识别物体的形式特征。
特征匹配是指将提取的形式特征与已知特征进行匹配，以确定物体的形状和结构。
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。
常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。
在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。
几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。
牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。
该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。
4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。
RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。
以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。
第二讲-几何建模
e e->opp()
e->start() = e->opp()->end();
e->start()
class HalfEdge { HalfEdge *opp; Vertex *end; Face *left; HalfEdge *next; };
HalfEdge e;
e->left()
Non-Manifold
Closed Manifold
Open Manifold
拓扑
v = 12 f = 14 e = 25 c=1 g=0 b=1 图的亏格(genus)：handle的数目。 在沿其撕裂后，能够使图保持连通 的封闭路径的最大数目的一半
Euler-Poincare 公式 v+f-e = 2(c-g)-b
• • • • 将一个隐式的曲面转换为三角网格 在3D网格（grid）上定义的隐式曲面 在每个立方体（cube）中根据8个顶点的标量值来确定重构曲面 一般用于医学数据
点云
深度图像
网格（Mesh）
– – – – – 图形学中最常用的表达 简单 可表达复杂形状 图形硬件支持 一般为三角网格
为什么是三角网格
网格的数据结构是否优秀
• 构建数据结构的时间复杂度
• 进行一个查询操作的时间复杂度 • 进行一个网格编辑操作的时间复杂度（更 新数据结构） • 空间复杂度
数据结构举例
• 面列表（ List of faces）
• 邻接矩阵（Adjacency matrix） • 半边结构（Half-edge）
一个实际的文件例子 .obj文件
All neighboring vertices
edge
几何建模概述课件
欧拉公式仍然成立。
几何建模技术的发展
➢20世纪60年代：几何建模技术发展 的初始阶段—线框模型，仅含有顶点 和棱边的信息。 ➢20世纪70年代：表面模型。在线框模型的基础上增加面的信息 ，使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。后来又出 现曲面模型，用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示。 ➢20世纪70年代末：实体造型。通过简单体素的几何变换和交、 并、差集合运算生成各种复杂形体的建模技术，实体模型能够包 含较完整的形体几何信息和拓扑信息。 线框模型、表面模型、实体模型统称为几何模型。实体模型是目
形体的定义
形体在 计算机内常 采用六层拓 扑结构来定 义，如果包 括外壳在内 则为六层。 分别是：体、 壳、面、环、
形体的定义在计算机内常采用六层拓扑结构来
边、点。
①体 体是由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个 面的集合，而外壳是形体的最大边界，是实体拓扑结构中 的最高层。 正则形体——
具有良好边界 的形体定义为正则 形体。正则形体没 有悬边、悬面、或 一条边有二个以上的邻面。 ②壳 壳由一组连续的面围成，实体的边界称为外壳，如 果壳所包围的空间是个空集则为内壳。 ③面 面是形体表面的一部分，且具有方向性，它由一个 ①体是由封闭表面围成的有效空间，其边界限个集合 外环和苦干个内环界定其有效范围。面的方向用垂直于面 的法矢表示，法矢向外为正向面。
该公式的含义为：如果一集合S的内部闭包与原来的集 合相等，则称此集合为正则集。空间点的正则集就是正则 几何形体，也就是有效几何形体。
能够产生正则集的集合运算称为正则集合运算。
相应的正则集合算子有：
正则并 U*
正则交 ∩*
正则差 —*
数学上正则集定பைடு நூலகம்为：S=Ki合运算
几何参数化建模方法
几何参数化建模方法=============概述--几何参数化建模方法是广泛应用于计算机图形学、计算机视觉和机器学习等领域的一种建模方法。
它通过将几何形状表示为参数化方程的形式，实现对复杂形状的建模、分析和处理。
本文将详细介绍参数化建模和参数化技术的概念、方法和应用。
参数化建模------参数化建模是指将一个几何形状表示为参数的函数形式，其中参数可以是几何变量（如角度、长度等）或其他非几何变量（如时间、频率等）。
通过这种方式，我们可以将一个复杂形状表示为一个简单的参数函数，从而实现对形状的解析和操作。
在参数化建模中，常用的方法包括：1. 欧氏坐标系：将形状表示为欧几里得空间中的点集，通过坐标变换实现对形状的操作。
2. 极坐标系：将形状表示为极坐标系下的点集，通过极径、极角等参数实现对形状的描述。
3. 球坐标系：将形状表示为球坐标系下的点集，通过球心、半径和方位角等参数实现对形状的描述。
4. 参数曲面：通过定义一组控制点，并使用插值方法构建一个曲面，实现对形状的建模。
5. 隐式函数：通过定义一个隐式函数，将形状表示为函数值的等值线或等值面。
参数化技术------参数化技术是指通过参数化方程来描述和操作几何形状的一组技术。
参数化方法可以分为两大类：全局参数化和局部参数化。
全局参数化是指在整个几何形状上进行参数化，常用的方法包括：1. 均匀B样条（Uniform B-splines）：通过定义一组控制点，并使用插值方法构建一个曲面，实现全局参数化。
2. 非均匀B样条（Non-uniform B-splines）：与均匀B样条类似，但控制点的间距可以不相等，实现更加灵活的全局参数化。
3. 三角片映射（Triangle maps）：将几何形状映射到一组三角片上，从而实现全局参数化。
局部参数化是指仅在形状的局部区域进行参数化，常用的方法包括：1. 切线空间（Tangent space）：通过定义切线空间中的一组基向量，实现局部参数化。
几何建模技术基础
§2 三维几何建模的模式
2.2 表面模型 1. 原理:
§2 三维几何建模的模式
顶点
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 ...
坐标值
Xy z x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 x5 y5 z5 x6 y6 z6 x7 y7 z7 x8 y8 z8 ... ... ...
-E2 +E5 -E6 F1
F3
F3
-E1 +E4 -E5 F2
F4
F4 +E3 +E6 -E4 F3
0
§2 三维几何建模的模式
2. 体素
基本体素
§2 三维几何建模的模式
2. 体素
扫描法生成体素
三维实体扫描体素
§2 三维几何建模的模式
3. 体素的布尔运算
B
A A∪B (并运算)
A－B (差运算) A∩B (交运算)
棱线
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 …
顶点号
P1, P2 P2, P3 P3, P4 P4, P5 P5, P6 P6, P1 P7, P8 P8, P9 P9, 10 P10, P11
…
§2 三维几何建模的模式
线框模型的多义性
§2 三维几何建模的模式
2. 特点: 简单、存贮量小、速度快 信息不完整、多义性、不进 行检验和消隐
自动绘图 回转零件的数控编程
§2 三维几何建模的模式
2.1 线框模型
1. 原理: 点和棱线
K体
P12 K11 P11
K10
P6
第5章几何建模与特征建模
二．数据结构（边界表示法数据结构）
实体建模采用表结构存储数据，其中棱线表和面表与曲面 造型有很大不同，从表中可以看出，棱线表记录的内容更加丰 富，可以从面表找到构成面的棱线，从棱线表中可以找到两个 构成的棱线的面。与曲面建模相比，实体模型不仅记录了全部 几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的信息。
二．数据结构
三维线框模型采用表结构，在计算机内部存储物体的顶 点及棱线信息，请实体的几何信息和拓扑信息层次清楚的记 录在以边表、顶点表中。如下图所示的物体在计算机内部是 用18条边，12个顶点来表示的。
三．特点
1、优点 这种描述方法信息量少，计算速度快，对硬件要求低。数 据结构简单，所占的存储空间少，数据处理容易，绘图显示速 度快。 2、缺点 1）存在二异性，即使用一种数据表示的一种图形，有时也 可能看成另外一种图形。 2）由于没有面的信息，不能解决两个平面的交线问题。 3）由于缺少面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面 4）由于没有面和体的信息，不能对立体图进行着色和特征 处理，不能进行物性计算。 5）构造的物体表面是无效的，没有方向性，不能进行数控 编程。
3)三维实体扫描体素： 实体扫描法是用 一个三维实体作为扫 描体，让它作为基体 在空间运动，运动可 以是沿某个曲线移 动，也可以是绕某个 轴的转动，或绕某一 个点的摆动。运动的 方式不同产生的结果 也就不同。
四．三维实体建模的计算机内部表示
1．边界表示法（B-Rep Boundary Representation
3）集合的交、并、差运算
4) 特点 （1）数据结构非常简单，每个基本体素不必再分，而是将 体素直接存储在数据结构中。 （2）对于物体结构的修改非常方便，只需要修改拼合的过 程或编辑基本体素。 （3）能够记录物体结构生成的过程。也便于修改 （4）记录的信息不是很详细，无法存储物体最终的详细信 息，如边界、顶点的信息等。 5）应用： 可以方便地实现对实体的局部修改 ，如下图
几何建模方法完美版文档
几何建模方法完美版文档摘要:几何建模是计算机图形学和计算机辅助设计领域的一项重要技术，它用于描述和表示三维物体的形状和结构。
本文介绍了几何建模的主要方法，包括实体建模、曲面建模和体素建模，并讨论了它们各自的优点和应用领域。
1.引言在计算机图形学和计算机辅助设计领域，几何建模是一个重要的研究方向。
它用于描述和表示三维物体的形状和结构，广泛应用于虚拟现实、游戏开发、工业设计等领域。
几何建模方法可以分为实体建模、曲面建模和体素建模三大类。
本文将介绍这三种方法的基本原理、优点和应用领域。
2.实体建模实体建模是一种基于物体的实际几何体的表示方法。
它通过定义物体的边界和内部结构，来描述物体的形状和结构特征。
实体建模方法包括边界表示和体素表示两种主要技术。
边界表示方法使用曲面、多边形等几何元素来表示物体的边界。
体素表示方法将物体划分成一系列小的体素，然后根据体素的属性来描述物体的形状。
实体建模方法的优点是能够准确地描述物体的形状和结构，适用于需要精确建模的应用场景，如工业设计、模具设计等。
但是实体建模方法的计算复杂度较高，不适合用于大规模三维物体的建模。
3.曲面建模曲面建模是一种基于物体表面的表示方法。
它通过定义物体的曲线和曲面来描述物体的形状和特征。
曲面建模方法包括参数化曲面、贝塞尔曲线和NURBS曲线等技术。
参数化曲面是通过给定一组参数方程来定义曲面的形状。
贝塞尔曲线是一种通过控制点来定义曲线的方法，可以灵活地控制曲线的形状。
NURBS曲线是一种通过控制点权重来定义曲线的方法，可以更精确地描述曲线的形状。
曲面建模方法的优点是能够灵活地控制物体的形状和结构，适用于需要灵活调整模型的应用场景，如艺术设计、角色建模等。
但是曲面建模方法需要较高的技术要求，对建模人员的专业知识要求较高。
4.体素建模体素建模是一种基于离散网格的表示方法。
它通过将物体划分成一系列小立方体网格单元来表示物体的形状和结构。
体素建模方法包括体素化和体素网格化两种技术。
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二、三维线框建模
可利用三维线框模型经投影变换成平面视图
线框建模的特点
1）所需信息最少，数据运算简单，存贮空间小，对硬 件的要求不高，易掌握，处理时间短。但对于曲面体， 表示不准确。
2）只有边的几何信息和拓扑信息，而没有面的信息 或面信息不完整。无法进行消隐、干涉检查、物性计算。
3）会对物体形状的判断产生多义性，难以准确确定 实体的真实形状。
线框建模的二义性
思考:该模型可以几种表示？
3.3 表面建模
一、基本原理
表面
二、表面描述方法的种类
平面
直纹面
回转面
柱状面
Bezier曲面
B样条曲面
孔斯（Coons）曲面
圆角面
等距面
三、自由曲面的建模方法
1、参数化曲线
自由曲线的生成过程： a）给出或记录一系列离散点的空间坐标； b）将上述离散点分段拟合； c）拟合时使各段衔接处过渡光滑：
通常n次Bézier曲线由（n+1）个顶点来定义，并 由参数式来表示：
n
P(t) Bi,n(t)•Pi
i0
且 Bi,n(t)i!(nn !i)!ti(1t)ni
参变量t∈[0,1]; (i=0,1,…n)
式中：Pi为多边形顶点的位置矢量；
Bi,n(t)为古典伯恩斯坦基函数,也称权函数;
规定0°和0!均为1
B样条曲面在实际应用中最重要的性质是曲面 片间的连接方便性，且拼接后有非常光滑的效果。 均匀3×3次B样条曲面片之间的自然连接可以达到 二阶平滑效果。
双三次B样条曲面的数学表示
-1
1 3 3 1
3
6
0
0
T
3 3 3 0
1
0
0
0
双三次B样条曲面的控制多面体
四、表面建模的特点
优点：能消隐、着色、表面积计算、曲面求交、数控 刀具轨迹生成等。
一阶导数值相等u为（独一立阶变光量，滑u）=0~；1 二阶导数值相等（二阶光滑）
（1）三次Bézier曲线
三次Bézier曲线二阶连续,工程上常采用分段三次Bézier曲线。 ➢ 三次Bézier曲线的参数方程 ➢ 三次Bézier曲线的构造方法 ➢ 三次Bézier曲线的几何特性 ➢ 分段三次Bézier曲线的连接
三次样条曲线: 如果样条曲线在样点上具有二阶平滑性， （二阶导数连续），且可由一个三次多项式表示。
B样条曲线也是使用特征多边形、逼近的方法。 它比Bézier曲线更逼近特征多边形。
均匀三次B样条曲线的表达式
-
三次B样条曲线的几何性质
V1 P（0）
V0
V2 P（1）
V3
三次B样条曲线的几何性质
曲线，要写明作图依据并保留作图痕迹。 2）根据三次B样条曲线的性质绘出一段B样条曲线，
要写明作图依据并保留作图痕迹。 3）如果增加一顶点V4（5.5，0.5），试绘出由V1、
V2、V3、V4 构成的均匀三次B样条曲线段。
2、 量函数可表达一个空间曲面。
第三章 建模技术
3.1 基本概念 3.2 线框建模 3.3 表面建模 3.4 实体建模 3.5 特征建模 3.6 行为特征建模简介
3.1 基本概念
建模技术是CAD/CAM系统中的核心。
建模技术是定义产品在计算机内部表示的数字模型、数 字信息以及图形信息的工具；研究产品数据模型在计算机内 部的建立方法、过程、数据结构和算法。
所能描述的零件范围广，特别是像汽车车身、飞机机翼 等难于用简单的数字模型表达的物体。
另外，表面建模可为CAD/CAM中的其它场合提供数据， 如有限元分析中的网格的划分。
局限性：它所描述的仅是实体的外表面，并没切开物体 而展示其内部结构，因而无法表示零件的立体属性，会给 物体的质量特性分析带来问题。
3.4 实体建模
P（0）
P（1）
P（0）
P＇(0)
P（1） P＇(1)
由于三次参数样条曲线的多项式次数低，易于 计算，二次可导，工程上足够光滑，因此也获得广 泛应用。
练习
已知特征多边形四个顶点位置V0（1，2）、 V1 （1.5，3） 、V2 （3，3.5） 、V3 （5，2.5）
1）根据三次Bézier曲线的几何性质绘出一段Bézier
建模方法：几何建模、特征建模、行为特征建模
CAD/CAM建模的基本要求： 1）应具备信息描述的完整性 2）应贯穿整个生命周期 3）应为企业信息集成创造条件
3.2 线框建模 ——利用顶点和边棱线建模
一、二维线框建模原理
数据结构为表结构。 计算机内部存贮的是物体的顶点及棱线信息，将实体的 几何信息和拓扑信息层次清楚地记录在顶点表及棱线表中。
双 三 次 Bézier 曲 面 用 空 间 4×4 个 控 制 点 形 成 控 制 多 面 体 来控制曲面形状。
双三次Bézier 曲面数学表达式
T
（2） B样条曲面
与Bézier曲面一样，可以把一族B样条曲线上相 同的某一参数位置的点取出，构成另一条B样条曲 线的顶点。当曲线族上的点变化时，即构成一条运 动曲线，该运动曲线扫描而成的曲面，即为B样条 曲面。
一、实体建模原理
a）四面体展开图及其有向边的定义
3.4 实体建模
包含两部分内容：一是基本体素的定义与描述； 二是体素之间的布尔运算。
二、体素及其布尔运算
1、体素的定义及描述
基本体素：定义参数、基准点等形成
扫描体素:
平面廓形扫描体素 三维实体扫描体素
基本体素
扫描体素
有些物体的表面形状较为复杂，难于通过定义基 本体素加以描述，此时可以定义基体，利用对基体的 基本变形操作实现物体的建模，这种构造实体的方法 称为扫描法。
1 3 3 1
3
6
3
0
3 3 0 0
1
0
0
0
P0
P'(t)312tt2 14t3t2 2t3t2 t2 P1 P2 P3
对其参数方程求二阶导数，得
P''(t) 6[1t
23t
13t
P0 t]P1
P2 P3
曲线连接
1
长度相等
（2）B样条曲线
样条曲线：早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即 样条）用压铁固定在样点上，其他地方让木条自由弯曲，沿样条 画下的曲线，称Spline。
边式
边式系统：只描述轮廓边，没有定义面。 因而不能自动填充剖面线，拷贝和图形变换。
面式系统：将封闭轮廓边包围的范围定义为平面。
一、二维线框建模原理（面式）
二维线框建模特点：
绘图简单、方便、快速； 仅局限于计算机辅助绘图或对回转体零件进行数
控编程； 各个视图相互独立，而不能自动修改已变参数。