三维几何建模技术

4.1 几何造型技术概述
机械产品模型 几何信息、物理信息、功能信息、工艺信息
4.1 几何造型技术概述
几何建模的定义 几何建模方法即物体的描述和表达是建立 在几何信息和拓扑信息处理基础上的。 几何信息是物体在欧氏几何空间中的形状、 位臵和大小，最基本的几何元素是点、直线、 面。但只用几何信息难以准确描述物体，存在 有物体表达上的二义性问题，要完整的描述物 体，还必须同时给出其拓扑信息。 拓扑信息是指拓扑元素（点、线、面）的 数量及其相互间的连接关系。
4.1 几何造型技术概述
建模：对于现实世界中的物体，从人们的 想象出发，到完成它的计算机内部表示的 这一过程称之为建模。
4.1 几何造型技术概述
现实中的物体是三维的、连续的，而计算机内 部是一维的、离散的、有限的。所谓计算机内部表 示，就是在计算机内部采用什么样的数据模型来描 述、存储、表达现实中的物体及其相关的属性。 模型一般由数据、数据结构、算法三个部分组 成，因此CAD/CAM建模技术研究的是产品数据模型 在计算机内部的建立方法、过程及采用的数据结构 和算法。
20世纪80年代
几何模型只是物体几何数据及拓扑关 系的描述，无明显的功能、结构和工 程含义。特征建模技术的发展。
4.1 几何造型技术概述
产品建模方法
主要的建模方法：几何建模、特征建模、 全生命周期建模。 相应的产品信息模型和数据模型： 几何模型、特征模型、集成产品模型以及最新的 智能模型和生物模型
物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
实体模型边界表达法（BREP）
边界表示(Boundary Representation， 缩写Brep)通过描述实体的边界来表示实体。 实体的边界将该实体分为实体内点集和实体 外点集，是实体与环境之间的分界面。定义 了实体的边界，实体就被唯一定义，如右图 所示。 边界表示是用一组曲面（或平面）来描述三维物体，这些曲 面（或平面）将物体分为内部和外部。典型例子是平面立体表示 和曲面表示的立体。
4.2 几何建模技术
三种几何建模方法 a）线框建模 b)表面建模 c)实体建模
几何形体的计算机内部表达
计算机中表示形体，通常用线框模型、表 面模型和实体模型。 线框模型和表面模型保存的三维形体信息 都不完整。 只有实体模型才能够完整地、无歧义地表 示三维形体。
在实体模型的表示中，出现了许多方法， 基本上可以分为空间分解表示（单元枚举、 八叉树分解、单元分解等）、构造表示（CSG） 和边界表示（BREP）三大类。构造表示是按 照生成过程来定义形体的方法，构造表示通 常有扫描表示、构造实体几何表示和特征表 示三种。
缺点
1. 有二义性，缺少表面轮廓信息，当形状复杂、棱 线过多时，会引起模糊理解。 2. 在数据结构中缺少边与面、面与体之间关系的 信息。从原理上讲，此种模型不能消除隐藏线、 计算物性、生成数控加工刀具轨迹、有限元网 格剖分、物体干涉检验等。
4.2 几何建模技术
（二）表面模型
表面模型是用有连接顺序的棱边围成的有限区域 来定义形体的表面,再由表面的集合来定义形体。 表面可以是平面，也可以是柱面、球面等类型的 二次曲面，也可是样条曲面构成的自由曲面。 表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边 信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容。 表面模型存储几何信息的方法是建立三表结构， 即顶点表、边表和面表。
4.2 几何建模技术
（一）线框模型 是CAD/CAM系统应用最早的三维建模方法。 线框模型（Wireframe Model）在计算机 内部是以边表和点表来描述和表达物体的。 用顶点和棱边表示形体，没有面的信息。
4.2 几何建模技术
线框模型用顶点和棱边表示三维形体，其棱边可以为 直线、圆弧、二次曲线及样条曲线组成 。
class POINT {
同线框模型
class EDGE {
同线框模型
class FACE
{
int edge_num； EDGE * edge; int face_type; SURFACE sur； …………. //边数 //边链表 //面类型 //面方程
………….
………….
}
}
}
4.2 几何建模技术
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
4.2 几何建模技术
表面模型在计算机内存储的数据结构： 顶点表：记录各顶点坐标值； 棱线表：记录每条棱线所连接的两顶点； 面表：记录每个面所连接的棱线。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
class POINT {
同线框模型
class EDGE {
同线框模型
class FACE {
int edge_num； //边数 int *edge_no; //边链表 int face_type; //面类型 SURFACE sur；//面方程 …………….
………….
………….
}
}
}
优点
1. 结构简单，存储量较小，速度较快； 2. 可消隐、着色、表面积计算、求交、刀具轨迹计算
实体模型的构造方法
２）扫描体素 三维实体扫描法是用三维实体为扫描体，让其 作为基体在空间运动，运动可以是沿曲线移动，也可以 绕轴线转动，或绕一个点摆动。
4.3 实体模型的构造方法
布尔运算 两个或两个以上体素经过集合运算得到实体的表 示称为布尔模型（Boolean Model）,所以这种集 合运算亦称布尔运算。
class EDGE { int start_point_no; //边的起点 int end_point_no; //边的终点 CURVE cur； //边方程定义； ………….. }
优点
1. 结构简单，计算机内部易于表达，绘制快速； 2. 物体的三维数据可以产生任意视图，为生成工程 图带来了方便
4.2 几何建模技术
实体建模的优点 1. 可以提供实体完整的信息； 2. 可以实现对可见边的判断，具有消 隐的功能； 3. 能顺利实现剖切、有限元网格划分、 直到NC刀具轨迹的生成。
4.2 几何建模技术
线框、表面与实体模型的比较
模型表示 二维线框 三维线框 表面模型 应用范围 画二维线框图（工程 图） 画二、三维线框图 艺术图形、形体表面 的显示、数控加工
4.3 实体模型的构造方法
体素的定义及 描述 基本体素
4.3 实体模型的构造方法
实体模型的构造方法
２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
4.3 实体模型的构造方法
缺点
1. 有二义性，缺少体内信息，当形状复杂时，会引 起模糊理解。 2. 表面模型唯一没有解决的问题是形体究竟在表面 的哪一侧，因而在物性计算、有限元分析等应 用中，表面模型在形体的表示上仍然缺乏完整 性。
4.2 几何建模技术
（三）实体模型
为了解决形体存在于表面的哪一侧的问题，可采 用实体模型来描述三维立体 在表面模型的基础上可用三种方法来定义表面 的哪一侧存在实体。
4.1 几何造型技术概述
九种拓扑关系
•顶点（Vertex）、边（Edge）、面（Face）。
F:{F}
F:{V}
V
F:{E} E E F E
F
F F F
F
V F
V
E
V
4.1 几何造型技术概述
V:{F} F V V F V
V:{V}
V
V
V:{E}
E wk.baidu.com V E
F
E:{V1, V2}
E:{F1, F2}
4.1 几何造型技术概述
几何信息包括有点、线、面、体的信息，但只用几何信 息表示物体并不充分，常会出现物体表示的二义性。因 此，几何信息必须与拓扑信息同时给出。
物体表示的二义性
4.1 几何造型技术概述
4.1 几何造型技术概述
拓扑元素间的连接关系有九种： １）面与面的连接关系（面与面的相邻性） ２）面与点的组成关系（面与点的包含性） ３）面与线的组成关系（面与线的包含性） ４）点与面的隶属关系（点与面的相邻性） ５）点与点的连接关系（点与点的相邻性） ６）点与线的隶属关系（点与线的相邻性） ７）线与面的隶属关系（线与面的相邻性） ５）线与点的组成关系（线与点的包含性） ６）线与线的连接关系（线与线的相邻性）
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
实体的边界通常是由面的并集来表示，而每个面又由它的数 学定义加上其边界来表示，面的边界是环边的并集，而边又是由 点来表示的。
点用三维坐标表示，是最基本的元素
A∩B A∪B A－B
4.4 实体模型的表示方法
三维实体建模在计算机内部存贮的信息不是 简单的边线或顶点的信息，而是准确、完整、统 一地记录了生成物体的各个方面的数据。
常见的实体建模表示方法 边界表示法 构造立体几何法 混合表示法（即边界表示法与构造立体几 何法的混合模式） 空间单元表示法
4.2 几何建模技术
以立方体为例，其线框模型结构如下表：
4.2 几何建模技术
线框模型在计算机内存储的数据结构： 顶点表：记录各顶点坐标值； 棱线表：记录每条棱线所连接的两顶点。
class POINT { double v[3]; //坐标值 int pointtype; //点的属性 ………….. }
实体是由若干个面组成的闭包，实体的边界是有限个 面的集合。
形体表面上任一点的足够小的邻域在拓扑上应是一个 等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间中 可构成一个单连通域，我们把满足该定义的形体称为 正则形体。否则为非正则形体，如存在悬面、悬边的 长方体为非正则形体。
基本概念及定义
点用三维坐标表示，是最基本的元素 边是形体相邻面的交界，可为空间直线或曲线 环是有序、有向的封闭边界，外环仅一个，逆时针方向， 内环可有可无，也可多个，方向顺时针。 面是一个单连通区域，可以是平面或曲面，由一个外环 和若干个内环组成；面的方向由面的法矢决定，法矢向 外为正向面。
第四章 三维几何建模
§4.1 几何造型技术概述 §4.2 几何造型技术 §4.3 实体模型的构造方法 §4.4 实体模型的表示方法 §4.5 CAD系统的功能与任务 §4.6 CAD技术的应用 §4.7 CAD技术的发展趋势
4.1 几何造型技术概述
几何造型技术是研究在计算机中，如何表达物体模型形 状的技术。几何造型通过对点、线、面、体等几何元素 的数学描述，经过平移、旋转、变比等几何变换和并、 交、差等集合运算，产生实际的或想象的物体模型。
1）给出实体存在一侧的一点； 2）直接用表面的外法矢来指明实体存在的一侧； 3）用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向，该方 法为CAD系统广泛采用。
4.2 几何建模技术
用有向棱边隐含地表示表面 的外法矢方向时，规定有向棱边 按右手法则取向：沿着闭合的棱 边所得的方向与表面外法矢方向 一致。
数据结构如下：