Picard存在和唯一性定理

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存在唯一性定理

注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,

Chapter3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

微分方程的解的存在性与唯一性

微分方程的解的存在性与唯一性微分方程的解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题之一。

它涉及到了微分方程的解是否存在以及是否唯一的问题。

在研究微分方程的过程中，我们常常需要确定方程的解的存在性和唯一性，以便得到准确的结果和合理的推论。

首先，我们来讨论微分方程解的存在性。

对于一阶微分方程dy/dx=f(x, y)来说，如果函数f(x, y)在某个区域内是连续的，那么根据连续函数的存在性定理，方程必有一个解存在。

这个解可能通过求不定积分得到，也可能是通过其他方法求得的特解。

如果方程涉及到一些特殊的函数，如分段定义的函数或含有非连续点的解，那么解的存在性的问题可能就会更加复杂。

其次，我们来探讨微分方程解的唯一性。

唯一性通常需要借助某些定理来证明。

在微分方程理论中，最常用的唯一性定理就是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelof定理）。

该定理表明，如果函数f(x, y)在某个区域内是局部利普希茨连续的，即满足|f(x, y1)-f(x, y2)|≤K|y1-y2|，其中K是一个常数，那么方程的初值问题y(x0)=y0必有唯一解存在。

这里需要说明的是，皮卡-林德洛夫定理中的条件比较严格，f(x, y)需要满足利普希茨连续性，这并不是一个常见的条件。

对于一些非连续的函数，可能无法直接使用皮卡-林德洛夫定理来证明解的存在唯一性。

此时，我们可以尝试使用其他的方法来证明解的存在性和唯一性，如变量分离、恰当方程等。

此外，还有一种特殊情况需要考虑，即微分方程解的多解性。

有时候，微分方程的解可能存在多个，这取决于方程本身的特性和约束条件。

比如，对于一元二次方程dy/dx=ax²+bx+c，根据韦达定理，方程的解可能有两个或零个。

在这种情况下，我们需要根据问题的具体条件来确定解的个数，并选择出最符合问题要求的解。

总结起来，微分方程解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题。

通过合理选择条件和引入适当的定理，我们可以判断微分方程的解是否存在，以及是否唯一。

picard大定理

picard大定理
Picard大定理是初等复函数论的核心结果之一，它表明一个解析函数不可能从其定义域D的逐点收缩到点z0的一个邻域内的所有值。

它是由20世纪初的法国数学家Emile Picard提出的，因此得到了这个名字。

它被认为是解析函数的基本定理之一，其应用广泛且深远。

在复变函数中，一个更普遍的问题是讨论给定一个复数z0，在z0领域内是否有复数函数f(z)。

这个问题是至关重要的，因为解析函数被广泛地应用于物理，工程，金融，科学等领域。

Picard大定理是这个问题的回答，它指出在复平面上，复函数连续而无穷可导的函数f(z)不可能在每个邻域内都取遍除了可能一个点之外的所有复数值。

这是一个非常强的结果，表明一个解析函数不能在其邻域周围取到足够密集的值。

为了更清楚地理解Picard大定理，我们可以考虑一个简单的例子，例如，e^z在z=0处的邻域。

e^z是一个解析函数，并且在整个复平面上都有定义。

然而，如果我们考虑e^z在z=0附近的邻域，我们发现它永远不可能取到0的值，因为e^z在0的邻域周围的值始终为正实数，无论我们取多么小的邻域。

这就是Picard大定理的一个示例，它表明在除了可能单点外，所有其他点都可以在函数周围取到。

总之，Picard大定理是复函数论的核心结果之一，它表明一个解析函数不能在其邻域周围取到足够密集的值。

这个结果的重要性和影响力超越了复函数论的范围。

Picard大定理被广泛应用于物理，工程，金融，科学等领域，并在不同领域中的各种应用中都发挥了作用。

3.1存在性定理

§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学内容：介绍和证明解的存在唯一性定理；近似解的求解以及误差估计。

教学目标：掌握解的存在唯一性定理及其证明方法----Picard 逼近法问题的提出：我们在第二章介绍了一阶微分方程的几种解法，同时告诉我们大量的一阶微分方程不能用初等解法求其通解，而现实中所需要的恰恰是满足某种初值条件的解（包括数值形式的数值解），我们把主要精力集中在cauchy 问题()00(,),,dyf x y dxx y ϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩的求解上。

与代数方程类似，对于不能用初等解法求解的微分方程，我们往往用数值方法求解（这是以后要学的计算方法的内容之一）。

在用数值方法求解cauchy 问题之前我们必须要解决两个基本问题。

（1）cauchy 问题()00(,)dyf x y dx x y ϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解是否存在？如果解不存在，要去求解就毫无意义。

后面我们将给出cauchy 问题解存在的一般条件。

（2）若已知cauchy 问题的解存在，我们还必须进一步确认这样的解是否唯一？由于解不唯一，却要近似的去求其解，其问题也不明确。

例如 22dyx y dx=+，形式简单，但不能用初等方法求解。

例如考虑cauchy 问题()00dyy dx y ⎧'==⎪⎨⎪=⎩的解的情况。

易知0y =是方程的解。

此外容易验证，2y x =或更一般地，函数20,0,(),1x c y x c c x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩都是方程的过点（0，0）而定义于区间[0,1]上的解，其中c 是满足01c <<上的任意数。

解决问题的意义：1、它是常微分方程理论中最基本的定理，具有重大的理论意义；2、是进行近似计算的前提与基础，具有重大的实际意义；3、定理的证明中给出了解的求解方法——Picard 逼近法，具有一般的意义，为求近似解提供了理论依据。

一、解的存在唯一性定理（一）首先考虑可从一般形式(,,)0F x y y '=解出 (,)dyf x y dx=的情形。

微分方程组的解的存在唯一性

微分方程组的解的存在唯一性微分方程组在数学中起着至关重要的作用，它们描述了自然界中许多现象的演化规律。

解微分方程组的存在唯一性是讨论微分方程解的一个重要问题，在数学理论和实际应用中都具有重要意义。

本文将探讨微分方程组解的存在唯一性。

1. 微分方程组的定义微分方程组是一组方程，其中包含未知函数的导数以及未知函数本身。

典型的微分方程组可以写成 $\\frac{d\\mathbf{y}}{dt} = \\mathbf{f}(\\mathbf{y}, t)$ 的形式，其中 $\\mathbf{y}$ 是一个向量函数，$\\mathbf{f}$ 是一个向量函数，描述了 $\\mathbf{y}$ 关于时间t的变化规律。

2. 解的存在性解的存在性是指对于给定的微分方程组，是否存在解使得方程组成立。

一般来说，微分方程组的解不一定总是存在，而且即使存在解，也不一定唯一。

解的存在性与初始条件有关。

3. 解的唯一性解的唯一性是指对于给定的微分方程组，在满足一定条件下解是唯一的。

唯一性条件可以通过证明定理得出。

4. Picard-Lindelöf定理Picard-Lindelöf定理是研究常微分方程组解的存在唯一性的重要定理。

该定理阐述了对于满足一定条件的微分方程组，在一定范围内存在唯一解。

通过逐步逼近的方法，我们可以得到解的存在性及唯一性。

5. 应用举例在物理学、工程学和生物学等领域，微分方程组的解的存在唯一性问题是至关重要的。

例如，对于描述动态系统的微分方程组，只有解的存在唯一性，我们才能准确预测系统的演化。

结论微分方程组解的存在唯一性是一个重要的数学问题，通过适当的条件和定理，我们可以证明解的存在性及唯一性。

这对于理论研究和实际应用都有着重要的意义。

以上是对微分方程组解的存在唯一性的基本讨论，希望能为您对此问题有所了解。

```。

一阶非线性常微分方程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理

⼀阶⾮线性常微分⽅程解的存在性定理—Picard-Lindelof定理上⼀节简单介绍了可求解的⼀阶常微分⽅程的解法，因为⼤部分⾮线性⽅程是不可解的，所以需要给出解的存在性的证明。

本节主要介绍⼀阶⾮线性常微分⽅程Cauchy问题（E）dydx=f(x,y),y(x0)=y0.解的存在性定理Picard-Lindelof定理（有的书上称它为Cauchy-Lipschitz定理）. 对⼀阶常微分⽅程解的存在性理论作出重要贡献的数学家有Cauchy、Lipschitz、Picard、Lindelof、Peano等，其中Picard提出的Picard迭代法尤其值得关注。

据传Picard证明Picard—Lindelof定理的原始论⽂⾜⾜有三四百页，后来数学家Banach把Picard的⽅法抽象出来证明了著名的Banach不动点定理。

Banach不动点定理是分析学中最重要的定理之⼀，也是⽤的最多的定理之⼀，它在线性⽅程组求解迭代⽅法的收敛性、常微分⽅程的两点边值问题、隐函数定理、Lax-Milgram定理甚⾄代数⽅程解的存在性等问题中均有重要应⽤。

许多微分⽅程（组）通过转化为等价的积分⽅程再利⽤不动点理论来证明解的存在性。

本节也采⽤这⼀框架来探索⽅程（E）解的存在性。

为此，⾸先利⽤Picard迭代给出Banach不动点定理的证明。

定理1 (Banach) 设X为Banach空间（即完备的赋范空间，完备的意思指所有的Cauchy列均收敛），f:X→X为压缩映射，即存在常数k,0<k<1，对任意x,y∈X有‖f(x)−f(y)‖≤k‖x−y‖,则映射f:X→X有且只有⼀个不动点x∈X.证明：任取x0∈X，构造Picard迭代x n+1=f(x n),n≥0.则‖x n+1−x n‖=‖f(x n)−f xn−1‖≤k‖x n−x n−1‖≤⋯≤k n‖x1−x0‖.设m>n≥0，由三⾓不等式和上式得‖x m−x n‖≤m−1∑p=n‖x p+1−x p‖≤k n1−k‖x1−x0‖,当m,n→∞时，‖x m−x n‖→0, 故序列{x n}为Cauchy列，由X的完备性知存在x∞∈X使得lim f:X\to X满⾜Lipschitz条件，显然连续.故x_{\infty}=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\to\infty}x_{n})=f(x_{\infty}).存在性得证。

Unit 2 Key 2 解的存在唯一性定理

Unit 2 Key 2解的存在唯一性定理先看定理内容。

定理A.设)(t A 和)(t F 在区间[]b a ,内连续，则初值问题00()(),(),[,]x A t x F t x t x t a b '=+⎧⎨=∈⎩ (1) (2) 在区间],[b a 内存在唯一的解)(t x .该定理的证明用到Picard 迭代法，共分五步，下面简要地给出其证明。

证明（第一步）设)(t x 是方程组（1）定义区间[]b a ,上满足初始条件)2(,)(00x t x =的解，则)(t x 是积分方程[]ds s F s x s A x t x tt ⎰++=0)()()()(0 （3）定义在[]b a ,上的连续解，反之依然。

（第二步）构造Picard 迭代向量函数序列，取00)(x t x =，令[]ds s F s x s A x t x t t ⎰++=0)()()()(001， []ds s F s x s A x t x t t ⎰++=0)()()()(102， ············[]ds s F s x s A x t x tt ⎰++=0)()()()(1-n 0n . （4）这样就得到一个Picard 迭代序列{})(t x n ，并从上面的迭代过程中不难看出，对于一切n ，Picard 迭代序列{})(t x n 在区间[]b a ,上有定义且连续。

（第三步）向量函数序列{})(t x n 在区间[]b a ,上是一致收敛。

事实上，考虑向量函数级数[]． b a t x t x t x i i i ≤≤-+∑∞=-t ,)()()(110 （5）由于级数（5）的部分和为[]　).()()()(110t x t x t x t x n i i i =-+∑∞=-因此，要证明序列{})(t x n 在[]b a ,上一致连续，只须证明级数（5）在[]b a ,上一致收敛即可。

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Picard存在和唯一性定理
本节利用逐次逼近法，来证明微分方程
(2.1)
的初值问题

(2.2)
的解的存在与唯一性定理.

定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域

上满足如下条件：
(1) 在R上连续;
(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一

对点和有不等式：

则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解

其中
在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:
1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，

但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数
存在并有界， .则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有

其中满足，从而 .如果在R上连续，它在R上当然就满足李
普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）

2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，
但是Lipschitz条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||fxyy。
3.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这
时，过点的积

图 2-5
分曲线当或时，其中，，到
达R的上边界或下边界 .于是，当时，曲线
便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间
上存在. 由于定理假定在R上连续,从而存在

于是，如果从点引两条斜率分别等于M和-M的直线，则积分曲线
(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取

则过点的积分曲线 (如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之
中.

图 2-6
存在性的证明
求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.

因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在上存在而且唯一就行了. 下面
用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:
1.构造逐次近似序列.

近似序列或写成
0
01()(,())xnnxxyfd



的每一项都在上有定义，这是因为于是
．这样，我们在区间上，按逐
次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)

2. 证明近似序列在区间上一致收敛.
“ 函数序列的一致收敛
1．设（1）
是定义在I上的函数序列，若对，数列

收敛，则称为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．
在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的
一个函数，称为极限函数．设此函数为，即
2．若对，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点

，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．

证明分如下二步：

（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在
上一致收敛（级数）．因为级数

（2.7）
的部分和

“ 函数项级数的一致收敛
1．设函数项级数

（1）
在区间I上收敛于和函数，即对，

数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列
=
由数列极限定义，对，，使得时，有

2．级数（1）在I上一致收敛对，，
使得对，当时，有．
3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，

则（1）的和函数在I上连续．

（2）级数（2.7）在上一致收敛．
用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数
的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，
“ 函数项级数的一致收敛判别法
（魏尔斯特拉斯优级数判别法）
函数项级数

（1）
若函数项级数（1）在区间I上满足

（ I ）；

（ II ）正项级数收敛．
则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．
数项级数收敛的判别法

（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）

若正项级数的后项与前项的比值的极限等于
：
则当时级数收敛，时（或）
时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．
级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从
而近似序列在区间上一致收敛于 .由于在区间上
连续，因而也是连续的.
3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近
似序列（2.6）两端取极限有

因为
所以要证明是积分方程（2.3）的解，即
成立，只需证明
这是由函数(,)fxy的连续性及Picard序列()nx的一致收敛性质保证的。
下面用“ε-N语言”证明上面的极限成立．
我们先利用李普希兹条件，作下面的估计：

由于序列在区间
上一致收敛，因此，对任给ε>0,存在自然数N,当nN时，对区间
上所有x恒有从而

由此推得

换句话说，我们得到
现在对恒等式(2.6)两端取极限，

就得到
此即表明函数是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.

2.2.3 唯一性的证明，区别于北大版课本的另一种证明方法：
下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼
(Bellman)不等式.

贝尔曼引理设y(x)为区间上非负的连续函数， .若存在使
得y(x)满足不等式

(2.9)
则有
证明先证明的情形.
令，于是从(2,9)式立即有

上式两端同乘以因子 ,则有
上式两端从x0到x积分，则有
即
由(2.9)知， ,从而由上式得到
的情形类似可证，引理证毕.
积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.
假设积分方程(2.3)除了解之外，还另外有解，我们下面要证明：在

上，必有 .
事实上，因为

及
将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有

令 ,从而由贝尔曼引理可知，在上有
，即 .
至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.
由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的
呢?下面的例子回答了这个问题.
例1 试证方程

经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.
证明右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于x轴外任何点

，该方程满足的解都存在且唯一. 于是，只有对于x轴上的点，还需要
讨论其过这样点的解的唯一性.
我们注意到y = 0为方程的解. 当y ≠0时，因为

故可得通解为

x
ce
ye
为上半平面的通解, 为下半平面的通解.

这些解不可能y = 0相交. 因此，对于轴上的点，只有y = 0通过，从而保证了初
值解的唯一性.
但是，

因为故不可能存在使得
从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希
兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.

为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件（Osgood条件）.
直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.
下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x, y)在R上连续，不能保证任何初值
问题(2.2)的解是唯一的. 但是由 Piano 存在定理知解是存在的。
例2 讨论方程

解的唯一性.
解方程的右端函数 ,在全平面连续，当时，用分离变量法可求得
通解

，C为任意常数.
又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.
图 2-7
从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点
的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为，它可表为：对任意满足的
a和b.