正负数的四则运算
人教部编版初中七年级数学解决孩子不会做题的方法
人教部编版初中七年级数学解决孩子不会做题的方法一、要关注基础初一作为小升初的过渡，主要还是为初中三年数学的学习打好基础。
首先是数的范围扩大了。
小学时主要学习0和正数的四则运算。
初一首先是引入了负数，开始学习正负数的四则运算。
其次又多了乘方运算。
出现负数以后，数的运算变得复杂起来，而且容易出错。
所以，初一第一步，也是整个初中阶段最最重要的事情，就是打好计算基础。
有理数的混合运算的计算能力，要先求慢而正确，求格式完整步骤规范。
不求快。
打好计算基础以后，你会自然快起来的。
就像学走路一样，学会走的过程比较慢，但是走稳以后，会跑就是一个自然而且快速的事情，是一个水到渠成的事情。
然后是多项式的运算。
这个运算是今后解决方程问题和函数问题的基础。
有理数的混合运算和多项式的运算这两大运算基础是必须要打牢的。
你可以想象一下，如果这两个基础能力薄弱，只要是跟计算有关的题目都容易出错，那还有多少题目可以拿到分数？二、要注意思维方式的转变1. 小学时多是数的运算，初中后，会大量出现含有字母的式子（单项式或多项式）进行运算。
这个时候不要回避，要主动练习这种运算能力，主动变“数的思维”为“式子的思维（也叫代数思维）”，为今后中学六年的学习打下思维基础。
2. 解决问题的思维方式，要从小学的算术思维变到方程思维。
很多同学解应用题时，常常还是用小学列出算式的方式，不习惯列方程。
随着以后学习的深入，很多题不用方程根本解决不了。
如果还是想着用小学的方法，那基本上跟做奥数题差不多。
所以要习惯用方程解决问题。
3. 开始注意使用分类讨论的思维方法。
小学时，每道题的答案，一般就一个。
到了初中，很多有一定难度的题目，往往都需要分情况讨论。
只给出一个答案，很多时候并不全面，甚至会按错解来对待。
比如：绝对值、线段相接后的长度等知识点都会有很多分类讨论的题目。
到初二、初三这类题目更多。
中考压轴题一般都会考这个思维方法。
所以从初一开始就要注意这种思维方法的培养。
第五单元 正小数、负小数的认识和四则运算
第五单元正小数和负小数的认识和四则运算教材分析学习本单元前，学生已经在三年级第二学期学过小数的初步认识（包括有关的加法和减法），并在四年级第二学期学过正数和负数的初步认识，正数、负数的加法和减法，正数、负数的乘法和除法。
上述这些学习内容都是学习本单元内容的重要基础。
而本单元的学习内容又是上述这些学习内容的延伸和发展，同时也是日后学习正数、负数四则运算和应用题的重要基础。
通过这部分内容的学习，使学生进一步加深对正、负数的认识和理解，进一步提高正数与负数、整数与小数的混合运算能力。
教材这样编排，有利于学习正迁移的产生，学生在学习的认知过程中，只需经过适当的调整，就能把新知识纳入到原有的知识系统中去，从而不断加深和完善学生原有的认知结构。
在组织学生学习这部分内容时，应充分利用这个有利条件。
对于负小数，教材没有给出定义，只是作出描述，学生只要有个感性认识，能区分正小数和负小数就行了。
正如教材中所指出的那样，正、负整数的四则运算方法同样适用于正、负小数的运算。
因而，教师在组织学生学习这一内容前应充分重视对与之相关的旧知识的复习。
在组织学生学习正小数、负小数四则运算过程中，关键是学习计算方法。
以较简单的数据运算为主，对于那些位数较多或较复杂的数据运算，可指导学生运用计算器进行计算。
在计算步数上仅限于一步计算。
在小学四、五年级组织学生认识正、负数，学习正、负数四则运算，目的在于创造条件，加强方程的教学，简化较复杂的应用题教学。
因而，教师在组织学生学习正、负小数四则远算的基础上，应适当穿插与之有关的解方程练习。
教学重点：正小数、负小数的认识；正小数、负小数加减、乘除法的计算方法。
教学难点：负小数的大小比较教学目标：1．认识负小数，能区分正小数和负小数。
2．能比较正负小数的大小。
3．知道正负小数的四则运算的法则与正负整数的四则运算的法则相同。
4．会进行正负小数的四则运算。
第一课时正、负小数的认识【教学目标】1.认识正小数、负小数，能正确加以区分。
正负数的运算
正负数的运算正数和负数是数学中的基本概念，它们在数轴上具有不同的位置和方向。
正数表示大于零的数，如1、2、3等；负数表示小于零的数，如-1、-2、-3等。
正负数的运算是数学中的基础运算之一，掌握正负数的运算规则对于解决实际问题以及在代数学习中都十分重要。
本文将介绍正负数的四则运算及其运算规则。
一、正负数的加法运算1. 两个正数相加：两个正数相加，结果仍为正数。
例如，1 + 2 = 3，3 + 4 = 7。
2. 两个负数相加：两个负数相加，结果仍为负数。
例如，-1 + (-2) = -3，-3 + (-4) = -7。
3. 正数和负数相加：正数和负数相加时，要先确定两个数的绝对值大小，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的符号与较大的绝对值相同。
例如，3 + (-2) = 3 - 2 = 1，5 + (-7) = 5 - 7 = -2。
二、正负数的减法运算正负数的减法可以转化为加法运算。
例如，a - b 可以转化为 a + (-b)。
1. 正数减去正数：正数减去正数，结果仍为正数。
例如，2 - 1 = 1，5 - 3 = 2。
2. 负数减去负数：负数减去负数，结果仍为负数。
例如，-2 - (-1) = -1，-5 - (-3) = -2。
3. 正数减去负数：正数减去负数时，要先确定两个数的绝对值大小，然后用正数的绝对值与负数的绝对值相加，结果的符号与正数相同。
例如，3 - (-2) = 3 + 2 = 5，5 - (-7) = 5 + 7 = 12。
三、正负数的乘法运算1. 两个正数相乘：两个正数相乘，结果仍为正数。
例如，2 ×3 = 6，4 × 5 = 20。
2. 两个负数相乘：两个负数相乘，结果也为正数。
例如，-2 × (-3) = 6，-4 × (-5) = 20。
3. 正数和负数相乘：正数和负数相乘，结果为负数。
例如，2 × (-3) = -6，4 × (-5) = -20。
正数与负数——整数的乘除法与四则运算
整数的乘除法与四则运算（含习题）1.整数的乘法【例】连续多日不雨，水库的水位持续下降，若每天下降2米，连续4天下来共下降了几米？因为下降2米，以（－2）米表示，连续4天的结果可以表示为（－2）＋（－2）＋（－2）＋（－2）＝（－2）×4＝4×（－2）（乘法交换律）＝－8。
所以连续4天下来共下降了8米。
再举一个例子：【例】某地层每年下陷5厘米，3年前比现在高多少厘米？下陷5厘米以（－5）厘米表示，以今年为基准，3年前以（－3）表示，那么（－5）×（－3）＝3×5＝15（厘米）。
所以3年前比现在高15厘米？从上面的两个例子，我们知道：“负数×正数＝负数”，且“负数×负数＝正数”，利用乘法交换律，可知“正数×负数＝负数”，加上小学学过的“正数×正数＝正数”。
因此本节主要就是要讨论以下四种乘法运算规则：正数×正数＝正数正数×负数＝负数负数×正数＝负数负数×负数＝正数2.乘法的一些性质(1)甲×乙＝乙×甲【乘法交换律】(2)甲×乙×丙＝（甲×乙）×丙＝甲×（乙×丙）【乘法结合率】(3)任何数与0的乘积都是0。
(4)任何数与1的乘积都不会改变，仍是本身。
(5)任何数与（－1）的乘积会变为其相反数。
(6)甲×（乙＋丙）＝甲×乙＋甲×丙【乘法对加法分配律】(7)甲×（乙－丙）＝甲×乙－甲×丙【乘法对减法分配律】3.连乘与次方某数“连乘”可改记为某数的“次方”表示之。
例如：4个5连乘，455555=⨯⨯⨯（读作5的4次方）。
因此，如果m 为正整数，则m 个a 连乘，可记为m a a a a a a am =⨯⨯⨯⨯⨯個......。
一般而言，2a 我们读作“a 的2次方”或“a 的平方”；3a 我们读作“a 的3次方”或“a 的立方”；m a 我们读作“a 的m 次方”。
数据结构课程设计四则运算表达式求值（C语言版）
数据结构课程设计四则运算表达式求值（C语⾔版） 明⼈不说暗话，直接上，输⼊提取码z3fy即可下载。
⽂件中包含程序，程序运⾏⽂件，设计报告和测试样例，应有尽有，欢迎⼩伙伴们在中下载使⽤。
本课程设计为四则运算表达式求值，⽤于带⼩括号的⼀定范围内正负数的四则运算标准（中缀）表达式的求值。
注意事项：1、请保证输⼊的四则表达式的合法性。
输⼊的中缀表达式中只能含有英⽂符号“+”、“-”、“*”、“/”、“(”、“)”、“=”、数字“0”到“9”以及⼩数点“.”，输⼊“=”表⽰输⼊结束。
例如9+(3-1)*3.567+10/2=，特别是请勿输⼊多余空格和中⽂左右括号。
2、输⼊的中缀表达式默认限定长度是1001，可根据具体情况调整字符串数组的长度。
3、请保证输⼊的操作数在double数据类型范围内，单个数字有效数字长度不可超过15位。
本课程设计中操作数是C语⾔中的双精度浮点数类型。
4、本课程设计中的运算数可以是负数，另外如果是正数可直接省略“+”号（也可带“+”号）。
下⾯的程序正常运⾏需要在上⾯的百度⽹盘中下载相应⽂件，否则⽆法正常使⽤哦。
1/*本程序为四则运算表达式求值系统，⽤于计算带⼩括号的四则运算表达式求值。
2具体算法：3先将字符串处理成操作单元（操作数或操作符），再利⽤栈根据四则运算4的运算法则进⾏计算，最后得出结果。
*/56 #include<stdio.h>7 #include<ctype.h>8 #include<stdlib.h>9 #include<string.h>10 #include<stdlib.h>11 #include<ctype.h>1213const int Expmax_length = 1001;//表达式最⼤长度，可根据适当情况调整14struct Ope_unit15 {//定义操作单元16int flag;//=1表⽰是操作数 =0表⽰是操作符 -1表⽰符号单元17char oper;//操作符18double real;//操作数，为双精度浮点数19 };2021void Display();//菜单22void Instru(); //使⽤说明23int Check(char Exp_arry[]);24void Evalua(); //先调⽤Conver操作单元化，再调⽤Calculate函数计算结果并输出25int Conver(struct Ope_unit Opeunit_arry[],char Exp_arry[]);//将字符串处理成操作单元26int Isoper(char ch);//判断合法字符（+ - * / ( ) =）27int Ope_Compar(char ope1,char ope2);//操作符运算优先级⽐较28double Calculate(struct Ope_unit Opeunit_arry[],int Opeunit_count,int &flag);//⽤栈计算表达式结果29double Four_arithm(double x,double y,char oper);//四则运算3031int main()32 {33int select;34while(1)35 {36 Display();37 printf("请输⼊欲执⾏功能对应的数字：");38 scanf("%d",&select);39 printf("\n");40switch(select)41 {42case1: Evalua(); break;43case2: Instru(); break;44case0: return0;45default : printf("⽆该数字对应的功能，请重新输⼊\n");46 system("pause");47 }48 }49return0;50 }5152int Check(char Exp_arry[])53 {//检查是否有⾮法字符，返回1表⽰不合法，0表⽰合法54int Explength=strlen(Exp_arry),i;55for(i=0;i<Explength;i++)56 {57if(!Isoper(Exp_arry[i]) && Exp_arry[i] != '.' && !isdigit(Exp_arry[i]))58return1;59if(isdigit(Exp_arry[i]))60 {61int Dig_number=0,Cur_positoin=i+1;62while(isdigit(Exp_arry[Cur_positoin]) || Exp_arry[Cur_positoin]=='.')63 {64 Dig_number++;65 Cur_positoin++;66 }67if(Dig_number >= 16)//最多能够计算15位有效数字68return1;69 }70 }71return0;72 }7374void Evalua()75 {//先调⽤Conver函数将字符串操作单元化，再调⽤Calculate函数计算结果并输出76char Exp_arry[Expmax_length];77int flag=0;//假设刚开始不合法，1表达式合法，0不合法78struct Ope_unit Opeunit_arry[Expmax_length];7980 getchar();//吃掉⼀个换⾏符81 printf("请输⼊四则运算表达式，以=结尾：\n");82 gets(Exp_arry);83 flag=Check(Exp_arry);84if(flag)85 printf("该表达式不合法！\n");86else87 {88int Opeunit_count = Conver(Opeunit_arry,Exp_arry);89double ans = Calculate(Opeunit_arry,Opeunit_count,flag);90if(flag)91 {92 printf("计算结果为：\n");93 printf("%s%lf\n",Exp_arry,ans);94 }95else96 printf("该表达式不合法！\n");97 }98 system("pause");99 }100101int Conver(struct Ope_unit Opeunit_arry[],char Exp_arry[])102 {//将字符串操作单元化103int Explength=strlen(Exp_arry);104int i,Opeunit_count=0;105for(i=0;i<Explength;i++)106 {107if(Isoper(Exp_arry[i]))//是操作符108 {109 Opeunit_arry[Opeunit_count].flag=0;110 Opeunit_arry[Opeunit_count++].oper=Exp_arry[i];111 }112else//是操作数113 {114 Opeunit_arry[Opeunit_count].flag=1;115char temp[Expmax_length];116int k=0;117for(; isdigit(Exp_arry[i]) || Exp_arry[i]=='.' ;i++)118 {119 temp[k++]=Exp_arry[i];120 }121 i--;122 temp[k]='\0';123 Opeunit_arry[Opeunit_count].real=atof(temp);//将字符转化为浮点数124125//负数126if(Opeunit_count == 1 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag==0127 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].oper=='-')128 {129 Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag = -1;130 Opeunit_arry[Opeunit_count].real *= -1;131 }// -9132if(Opeunit_count >= 2 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag==0133 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].oper=='-' && Opeunit_arry[Opeunit_count-2].flag==0 134 && Opeunit_arry[Opeunit_count-2].oper !=')')135 {136 Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag = -1;137 Opeunit_arry[Opeunit_count].real *= -1;138 }// )-9139140//正数141if(Opeunit_count == 1 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag==0142 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].oper=='+')143 {144 Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag = -1;145 }// +9146if(Opeunit_count >= 2 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag==0147 && Opeunit_arry[Opeunit_count-1].oper=='+' && Opeunit_arry[Opeunit_count-2].flag==0148 && Opeunit_arry[Opeunit_count-2].oper !=')')149 {150 Opeunit_arry[Opeunit_count-1].flag = -1;151 }// )+9152 Opeunit_count++;153 }154 }155/*for(i=0;i<Opeunit_count;i++)156 {//查看各操作单元是否正确,1是操作数，0是操作符157 if(Opeunit_arry[i].flag == 1)158 printf("该单元是操作数为：%lf\n",Opeunit_arry[i].real);159 else if(Opeunit_arry[i].flag == 0)160 printf("该单元是操作符为：%c\n",Opeunit_arry[i].oper);161 else162 printf("该单元是负号符为：%c\n",Opeunit_arry[i].oper);163 }*/164return Opeunit_count;165 }166167double Calculate(struct Ope_unit Opeunit_arry[],int Opeunit_count,int &flag)168 {//根据运算规则，利⽤栈进⾏计算169int i,dS_pointer=0,oS_pointer=0;//dS_pointer为操作数栈顶指⽰器，oS_pointer为操作符栈顶指⽰器170double Dig_stack[Expmax_length];//操作数栈（顺序存储结构）171char Ope_stack[Expmax_length];//操作符栈172173for(i=0;i<Opeunit_count-1;i++)174 {175if( Opeunit_arry[i].flag != -1 )176 {177if(Opeunit_arry[i].flag)//是操作数178 {179 Dig_stack[dS_pointer++]=Opeunit_arry[i].real;//⼊操作数栈180//printf("%lf\n",Digit[dS_pointer-1]);181 }182else//是操作符 + - * / ( )183 {184//操作符栈为空或者左括号⼊栈185if(oS_pointer==0 || Opeunit_arry[i].oper=='(')186 {187 Ope_stack[oS_pointer++]=Opeunit_arry[i].oper;188//printf("%oS_pointer\Ope_u_count",Operator[oS_pointer-1]);189 }190else191 {192if(Opeunit_arry[i].oper==')')//是右括号将运算符⼀直出栈，直到遇见左括号193 {194 oS_pointer--;//指向栈顶195 dS_pointer--;//指向栈顶196while(Ope_stack[oS_pointer] != '(' && oS_pointer != 0)197 {198 Dig_stack[dS_pointer-1] = Four_arithm(Dig_stack[dS_pointer-1],Dig_stack[dS_pointer], 199 Ope_stack[oS_pointer--]);//oS_pointer--为操作符出栈200201 dS_pointer--;//前⼀个操作数出栈202//printf("操作数栈顶元素等于%lf\n",Digit[dS_pointer]);203 }204 oS_pointer--;//左括号出栈205206 oS_pointer++;//恢复指向栈顶之上207 dS_pointer++;208 }209else if(Ope_Compar(Opeunit_arry[i].oper,Ope_stack[oS_pointer-1]))//和栈顶元素⽐较210 {211 Ope_stack[oS_pointer++]=Opeunit_arry[i].oper;212//printf("%oS_pointer\Ope_u_count",Operator[oS_pointer-1]);213 }214else//运算符出栈，再将该操作符⼊栈215 {216 oS_pointer--;//指向栈顶217 dS_pointer--;//指向栈顶218while(Ope_Compar(Opeunit_arry[i].oper,Ope_stack[oS_pointer])==0 && oS_pointer != -1) 219 {//当前操作符⽐栈顶操作符优先级⾼220 Dig_stack[dS_pointer-1]=Four_arithm(Dig_stack[dS_pointer-1],Dig_stack[dS_pointer], 221 Ope_stack[oS_pointer--]);222 dS_pointer--;223//printf("操作数栈顶元素等于%lf\n",Digit[dS_pointer]);224 }225 oS_pointer++;//恢复指向栈顶之上226 dS_pointer++;227 Ope_stack[oS_pointer++]=Opeunit_arry[i].oper;228 }229 }230 }231 }232 }233/*for(i=0;i<oS_pointer;i++)234 printf("操作符栈%oS_pointer\Ope_u_count",Operator[i]);235 for(i=0;i<dS_pointer;i++)236 printf("操作数栈%lf\n",Digit[i]);*/237 oS_pointer--;//指向栈顶元素238 dS_pointer--;//指向栈顶元素239while(oS_pointer != -1)240 {241 Dig_stack[dS_pointer-1]=Four_arithm(Dig_stack[dS_pointer-1],Dig_stack[dS_pointer], 242 Ope_stack[oS_pointer--]);//oS_pointer--为操作符出栈243 dS_pointer--;//前⼀个操作数出栈244//printf("操作数栈顶元素为%lf\Ope_u_count",Digit[dS_pointer]);245 }246//printf("%dS_pointer,%dS_pointer\n",oS_pointer,dS_pointer);247if(oS_pointer==-1 && dS_pointer==0)248 flag=1;//为1表⽰表达式合法249return Dig_stack[0];250 }251252int Ope_Compar(char ope1,char ope2)253 {//操作符运算优先级⽐较254char list[]={"(+-*/"};255int map[5][5]={//先⾏后列，⾏⽐列的运算级优先级低为0，⾼为1256// ( + - * /257/* ( */1,0,0,0,0,258/* + */1,0,0,0,0,259/* - */1,0,0,0,0,260/* * */1,1,1,0,0,261/* / */1,1,1,0,0 };262int i,j;263for(i=0;i<5;i++)264if(ope1==list[i]) break;265for(j=0;j<5;j++)266if(ope2==list[j]) break;267return map[i][j];268 }269270double Four_arithm(double x,double y,char oper)271 {//四则运算272switch(oper)//保证不含其它运算符273 {274case'+': return x+y;275case'-': return x-y;276case'*': return x*y;277case'/': return x/y;//y不能为0278default : return0;279 }280 }281282int Isoper(char ch)283 {//判断合法字符 + - * / ( ) =284if(ch=='+' || ch=='-' || ch=='*' || ch=='/' || ch=='(' || ch==')' || ch=='=')285return1;286return0;287 }288289void Display()290 {//打印菜单291 system("cls");292 printf("/******************************************************************************/\n");293 printf("\t\t 欢迎使⽤本四则运算表达式求值系统\n");294 printf("\n\t说明：建议请您先阅读使⽤说明，再输⼊相应的数字进⾏操作，谢谢配合！\n"); 295 printf("\n\t\t1 四则运算表达式求值\n");296 printf("\n\t\t2 使⽤说明\n");297 printf("\n\t\t0 退出\n");298 printf("/******************************************************************************/\n");299 }300301void Instru()302 {//打印使⽤说明303 FILE *fp;304char ch;305if( ( fp=fopen("使⽤说明.txt","r") ) == NULL)306 {307 printf("⽂件打开失败！\n");308 exit(0);309 }310for(; (ch = fgetc(fp)) != EOF; )311 putchar(ch);312 fclose(fp);313 printf("\n");314 system("pause");315 }。
第一章 有理数
第一章 有理数【知识梳理】1、基本概念：正负数、数轴、相反数、绝对值、科学记数法、有效数字、精确度2、四则运算：乘方；运算顺序： 。
【基础过关】1、基本概念 （1）正负数例1、（2010广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%变式练习1-1、向东行进-50m 表示的意义是( )A ．向东行进50mB ．向北行进50mC ．向南行进50mD ．向西行进50m 变式练习1-2、温度上升5℃，又下降7℃，后来又下降3℃，三次共上升了 ℃。
变式练习1-3、从好又多超市了解到，珍珠米的包装袋上标明，该袋大米的重量是20±0.3kg ，那么每袋大米的重量可能在 范围内，两包大米的重量差最大是 kg 。
（2）数轴例2、（2010佛山）如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则a1等于（ ） A 、21B 、21C 、-2D 、2变式练习2-1、（2010清远）如图1，在数轴上点A 表示（ ） A. －2 B. 2 C. ±2 D. 0变式练习2-2、北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下：汉城纽约多伦多伦敦北京如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么（ ）A 、汉城与纽约的时差为13小时B 、汉城与多伦多的时差为13小时 D 、北京与纽约的时差为14小时C 、北京与多伦多的时差为14小时变式练习2-3、在数轴上，与表示－5的点距离为4的点所表示的数是 .A0 1变式练习2-4、在数轴上，把2向左移动3个单位变成 ，把2向右移动2个单位变成 ，把2向左移动-2个单位变成 。
变式练习2-5、有理数a 、b 在数轴上的表示如图所示，那么（ ）A 、－b ＞aB 、－a ＜bC 、b ＞aD 、∣a ∣＞∣b ∣变形：比较a 、b 、-a 、-b 的大小？（3）相反数、绝对值例3-1、（2010梅州）－2的相反数是（ ）A ．2B ．－1C ．－ 1 2D ． 12例3-2、（2010深圳）－2的绝对值等于（ ）A ．2B ．－2C ．12D ．4变式练习3-1、若实数a 、b 互为相反数，下列等式中恒成立的是（ ） A 、a-b=0 B 、a+b=0 C 、ab=1 D 、ab=-1 变式练习3-2、若||a ＝a ，则a 是（ ）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数变式练习3-3、绝对值小于6的所有整数的和与积分别是（ ） A 、0，0 B 、0，30 C 、－20，120 D 、－20，－ 120 变式练习3-4、-2的相反数与绝对值等于2的数的和应该是 。
小学数学知识点
数的认识一、整数、正负数和分数1. 自然数：在数物体时，用来表示物体个数的1、2、3、4……都是自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0是最小的自然数，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。
自然数既可以表示事物的多少（基数），也可以表示事物的次序（序数）。
（注：相邻两个自然数相差1.）2.正负数：像5、0.5、12……这样的数都是正数，也可以在前面添上“+”号，如+5。
像-5、-0.5、- 12……这样的数都是负数。
0既不是正数也不是负数。
负数＜0＜正数。
3.计数单位和数位十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
4. 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
（1）单位“1”的含义：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。
（2）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。
一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。
5.分数的分类真分数：分子比分母小。
真分数＜1。
假分数：分子比分母大或分子和分母相等。
假分数≥1。
带分数：由整数和真分数组成的数叫带分数。
注：分子是分母整倍数的假分数，可以化成整数；分子不是分母整倍数的假分数，可以化成带分数。
6.分数的基本性质及应用（1）基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
（2）应用通分：把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数。
约分：把一个分数化成和它相等，但分子分母都比较小的分数。
最简分数：分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。
约分时，通常要约成最简分数。
7.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
倒数不能单独存在。
把分数的分子和分母调换位置就可以求出倒数。
二、小数、百分数1.小数的意义：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000……的分数来表示，也可以用小数表示。
专题01 正数和负数(解析版)-2024小升初数学暑假衔接讲义
专题01正数和负数1.通过生活实例认识正数和负数；2.认识0的特殊性；3.会用正负数表示相反意义的量；4.会用正负数表示允许偏差及相关运算；5.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。
题型探究题型1、正数、负数、零的概念辨析 (3)题型2、正数、负数的分类 (5)题型3、正负数表示相反意义的量 (6)题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 (7)题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 (9)题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 (11)培优精练A组（能力提升） (14)B组（培优拓展） (18)图1图2【思考1】同学们，图1中的“+”，“-”是什么意思？【思考2】同学们，图2中的“±”是什么意思？【思考3】同学们，0除了可以表示没有，还可以表示些什么呢？【课外阅读】负数的历史可以追溯到古代中国。
据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，并掌握了正负数的运算法则。
在著名的中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入了负数及其加减运算法则，并给出了名为“正负术”的算法。
三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，他首先给出了正负数的定义，还规定了区分正负数的方法，即使用不同颜色的算筹来表示正数和负数。
负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。
印度最早使用负数的是婆罗摩笈多，他在公元628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则。
然而，在欧洲，由于负数难以被很快赋予现实意义，所以当时许多欧洲人都抵制负数的引入，让负数在欧洲的接受过程变得“寸步难行”。
直到公元1545年，意大利数学家卡当写下了一本关于负数概念的《大法》，负数才正式开始在欧洲流传开来。
到了公元1637年，法国数学家笛卡尔在几何学中沿用了负数的概念，使得负数能够直观全面地被解释开来。
总的来说，负数是人类在数学领域的一项重要发明，它的出现极大地丰富了数学语言，使得人们能够更准确地描述和解决实际问题。
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以簡化方式再算一次
• 例題十 • 將原式改為-3-4/5+2+7/15-4-1/6 =(-3+2-4)+(-4/5+7/15-1/6)…分成整數和小數 =2-3-4+7/15-4/5-1/6 =-5-15/30 =-5.5
1-2正、負數的乘除法
利用數線觀察
•
1. 2. 3. 4.
阿寶在數線上行走，他現在的位置恰好在數線的原 點O 如果他向東走4km，那麼阿寶2小時後的位置在哪裡？ 如果他向西走4km，那麼阿寶2小時後的位置在哪裡？ 如果他向東走4km，那麼阿寶2小時前的位置在哪裡？ 如果他向西走4km，那麼阿寶2小時前的位置在哪裡？
2.如果物體先向左15m，再向左5m，那麼 兩次運動後的總結果是什麼？ A：(-15)+(-5)=-20
3. 如果物體先向右15m，再向左5m，那麼 兩次運動後的總結果是什麼？ A：15+(-5)=10
有理數的加法運算法則
1. 同號兩數相加，取相同符號，並把絕 對值相加 2. 絕對值不相同的異號兩數相加，取絕 對值較大的數的符號，並用較大的絕 對值減去較小的絕對值。(互為相反數 的兩數相加為0) 3. 一個數和0相加，仍得原數
簡化運算
• • • • (-2.5)+(-3.75)+(-8) 把這三個數的和，把括號和加法省略 把它寫為-2.5-3.75-8 讀作負2.5，負3.75，負8 或負2.5減3.75減8
簡化運算過程
• 計算(-2.5)-3.75+(-8) • 解：(-2.5)-3.75+(-8) =-2.5-3.75-8 =-14.25
添〞-〞號
• -(+5)=-5，-(-5)=5，-0=0
你能以溫度計看出
• 觀察玉山氣象站月平均最低氣溫表 • 你能以溫度計看出0.2° C比-2.8° C高出幾 度嗎？
• 減法是加法相反的運算，計算4-(-2)， 就是要求出一個x，使得x與(-2)相加得4， 因為6與-2相加得4，所以x=6，我們得 知 4-(-2)=6 且 4+(+2)=6 由以上得知 4-(-2)= 4+(+2)
利用負數乘積來看次方
• 例題三
練習
• 例題四 • 例題五
乘法的交換律、結合律
• 有理數中兩數相乘，交換因數的位置， 積相等 • 乘法交換律：ab=ba • 三個數相乘，先把前面兩個數相乘或是 先把後面兩個數相乘，積相等 • 乘法結合律(ab)c=a(bc)
練習
• 例題六 • 計算[5× (-1979)]× (-2)
正負數的四則運算
1-1正負數的加減運算 1-2正負數的乘除法 1-3正負數的四則運算
1-1正、負數的加減運算
溫度計
月分
氣溫 °C 月分 氣溫 °C
一月
-5.0 七月 4.2
二月
-4.1 八月 4.1
三月
-2.1 九月 3.5
四月
0.3 十月 2.4
五月
2.5 十一 0.2
六月
3.9 十二 -2.8
練習
• 例題四
以前學過的加法交換律、結合律
• 計算0.6+(-1.5)和(-1.5)+0.6 • 換幾個加數再試一次 • 計算 [0.6+(-1.5)]+(-2.5)和0.6+[(-1.5)+(-2.5)]
交換律和結合律
• 加法的交換律：a+b=b+a • 加法的結合律：a+(b+c)=(a+b)+c
例題五
• 計算[(-965)+889]+(-888) • 解： [(-965)+889]+(-888) = (-965)+[889+(-888)} = (-965)+1 =-964
相反數
• 設a為正數，數線上與原點的距離是a的 點有兩個，它分別在原點的左右，表示 __________，我們說這兩點關於 ____對稱 • 從數線上來看
玉山氣象站月平均最低氣溫(° C)統計期間：1971~2000年
溫度計和數線
• 按照排列的順序是： -5.0，-4.1，-2.8，-2.1，0.2，0.3，2.4， 2.5，3.5，3.9，4.1，4.2 • 將二月八月十二月分的溫度標示在數 線上
負數的比較大小
• 任意兩個數怎樣比較出大小呢？ • 例：-4和-3，-2和0，-1和1
正負數的乘法法則
• 兩數相乘，同號為正，異號為負，並把 絕對值乘起來 • 任何數同0相乘，都得0
練習
• 例題一 • 計算15× (-4) 解： 15× (-4)…異號數相乘 15× (-4)=-( )…得負 15× 4=60…把絕對值相乘 所以15× (-4)=-60
多個數相乘
• 1. 2. 3. 例題二(觀察各式的積是正數還是負數) (-2)× (-2) (-2)× (-2)× (-2) (-2)× (-2)× (-2)× (-2)
1.
2小時後，阿寶應在數線上原點O的東邊8km 處，如圖，可表示為(+4)× (+2)=+8 2. 2小時後，阿寶應在數線上原點O的西邊8km 處，如圖，可表示為 (-4)× (+2)=-8 3. 2小時前，阿寶應在數線上原點O的西邊8km 處，如圖，可表示為(+4)× (-2)=-8 4. 2小時前，阿寶應在數線上原點O的東邊8km 處，如圖，可表示為(-4)× (-2)=+8
從數線上去看
• 數線上表示有理數，它們從左到右的順 序，就是從小到大的順序，也就是說左 邊的數小於右邊的數 • 例如 -4<-3，-2<0，-1<1 • 例題一
負分數和負小數
• 例題二：將3.7、0.12、-3.789化為分數 • 例題三
利用數線討論正負數的加法
• 一個物體作左右移動，我們規定向左為 負，向右為正，向右運動5m，記為5m， 向左運動5m，記為-5m 1. 如果物體先向右15m，再向右5m，那麼 兩次運動後的總結果是什麼？ A：15+5=20 (兩次運動後從起點向右20m)
減法法a-b=a+(-b)
練習
• 例題六 • 例題七
加減混合計算
• 例題八 • 計算(-2.5)-3.75+(-8) • 解：(-2.5)-3.75+(-8) =(-2.5)+(-3.75)+(-8)…改為加法 =-(2.5+3.75+8) =-14.25
解一 [5× (-1979)]× (-2) =(-9895)× (-2) =19790 解二 [5× (-1979)]× (-2) =(-1979)× [5× (-2)] =(-1979)× (-10) =19790