线段中点角平分线类比学习
复习专题之线段中点与角平分线的类比学习汇编
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习一、目标展示1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。
3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问题的能力。
二、自主学习1线段的中点及角平分线知识回顾线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点．结合图形写出它的符号语言（1）∵____________________∴①：AC=BC （等）②：AB= = (倍)③：AC=AB= （份）反之，∵①、②、③之一∴角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线.结合图形写出它的符号语言（1） ∵OB 是∠AOC 的平分线 ∴①：∠AOB=∠BOC （等）②：∠AOC= = (倍)③：∠AOB=∠BOC= （份）反之，∵①、②、③之一∴自主学习 2 （图形语言与符号语言规范复习）1.中点解题规范训练如图所示，已知线段AB=80cm ，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 中点，NB=14cm ，求MP 的长．解：如图O A C B∵点M是线段AB的中点∴_______________又∵ AB=80∴___________________∵点N是线段BP的中点∴________________ ∵NB=14∴PB=2×14=28∴MP=MB-PB=40-28=12即MP的长为12 cm2.角平分线解题规范训练如图所示，已知∠AOB=84°,∠AOC=40°OM平分∠AOB，求∠MOC的度数．解：如图∵OM平分∠AOB∴∠AOM=_________又∵∠AOB=84°∴∠AOM=______ = __ _∵∠AOC=40°∴∠MOC= -=42°-400=2°∴∠MOC的度数为2°三、合作探究合作探究1：线段中点与角平分线判定的类比例1.如果点C在线段AB上,则下列等式:①AC=CB; ②AC=1/2AB; ③AB-AC=BC; ④AB=2AC;能说明点C是线段AB中点的有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④类比迁移1：若点D为∠BAC内的一点,则下列等式:①∠BAD=1/2∠BAC; ②∠BAD=∠BAC-∠CAD;③∠BAC=1/2∠BAC+∠BAD; ④∠DAC=∠BAC-∠BAD;能说明射线AD是∠BAC平分线的有( )A.①B.①②③C.①③D.①②③④合作探究2：一个中点与一个角平分线问题的类比例2.已知线段AB=20cm,在直线AB上有一点C，且BC=4cm,则线段AC=_________. 类比迁移2：已知∠AOB=30°，∠BOC=20°，则∠AOC=___________.合作探究3：双中点和双角平分线问题的类比例3：已知线段AB=10cm,点C在直线AB上,BC=6cm,M,N分别为线段AB,BC的中点,求MN的长类比迁移3：已知射线OE是∠AOB的平分线，射线OF是∠B OC 的角平分线，且∠AOB=82°，∠BOC=36°，求∠EOF的度数学习-----好资料四、归纳总结，当堂小测1、点A,B,C在同一条直线上，AB=3cm，BC=1cm,求AC的长度.解：①当点Ｃ位于线段AB上时，AC=_________=_________=_______；②当点Ｃ位于线段AB延长线时, AC=_________=_________=_______.2、射线OA,OB,OC在同一平面内，∠AOC=120o, ∠BOC=30o,求∠AOB的度数. 解：①当点OB位于∠AOC 的内部时，∠AOB=_________=_________=_______；②当点OB位于∠AOC 的外部时，∠AOB =_________=_________=_______.3、如图，C是AB上的一点且AC:BC=3:5，D是AB的中点,CD=1cm，求线段AB 的长.A C4、如图，BD是∠ABC内部的一条射线且∠CBD:∠ABD=3:5,BE平分∠ABC，∠DBE=15o,求∠ABC的度数.。
类比线段中点与角平分线计算中的思想方法
类比线段中点与角平分线计算中的思想方法线段中点和角平分线计算方法虽然在数学中属于不同的概念，但它们的思想方法却有很多相似之处。
线段中点与角平分线都是在几何学中常见的概念，它们分别用来描述线段和角的特定性质和位置关系。
计算线段中点和角平分线的问题，需要运用一定的思维方法和数学原理，通过一系列推导和计算得出最终的结果。
本文将探讨线段中点与角平分线计算中的思想方法，并比较两者之间的异同点，以期能够更好地理解和运用这两种计算方法。
让我们来看看线段中点的计算方法。
线段中点是指一个线段的中间点，即将一个线段等分为两段的点。
在计算线段中点时，我们首先需要找到线段的两个端点坐标，并利用中点的定义来求解中点的坐标。
假设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么线段AB的中点M的坐标可以通过以下公式来计算：M（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）这是线段中点计算的基本思路和方法，通过利用坐标平面上点的中点定义，我们可以很容易地求出线段AB的中点坐标。
这种方法主要依托于几何学中的基本概念和坐标运算，是一种简单而直接的计算思想方法。
接下来，让我们来看看角平分线的计算方法。
角平分线是指将一个角等分为两个相等的角的直线，通常是通过角的顶点进行的平分。
在计算角平分线时，我们需要运用角的性质和角平分线的定义来进行推导和计算。
对于一个角AOC，我们要找出它的平分线BD，那么可以通过如下步骤和计算方法来求解：1. 我们需要找出角AOC的顶点O和两个边OA、OC的坐标。
2. 然后，利用角的平分线定义和角的性质，我们可以得出平分线BD和角AOC之间的关系。
3. 通过一系列的推导和计算，我们可以求出平分线BD的具体坐标和方程。
通过上述方法，我们就可以计算出角AOC的平分线BD的位置和性质。
虽然与线段中点计算有所不同，但角平分线的计算方法同样也是基于几何学的基本原理和角度运算的思想方法。
线段中点和角平分线的计算方法也有它们各自的特点和应用范围。
线段中点以及角平分线解题规律总结
2 角平分线的判定
∵∠1=∠2（或∠1= 1 ∠AOB或∠AOB= 2∠1）
2
∴射线OC平分∠AOB A
9
例2、如图，∠AOB＝80°，OM是 ∠AOB内任意一条射线，若OC平分 ∠AOM，OD平分∠BOM，求∠COD 的度数.
A
10
如图，∠AOB＝80°，OM是∠AOB外任 意一条射线，若OC平分∠AOM，OD平 分∠BOM，求∠COD的度数.
A
14
已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN 上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度 旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速 度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数． （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t 的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是 由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角 （指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在， 请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
线段中点以及角平分线解题规律总结
A
1
线段中点的意义
∵P是线段AB的中点
∴AP=BP，
A
P
B
1 AP=
AB，BP= 1 AB
线段中点的性质
2
2
反之， 若P在线段AB上，且
1
BAAPP==BAPB
，
2
则P是AB中点
线段中点的判定
A
2
例1、如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm， CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的 中点． （1）求线段MN的长； （2）若AC+BC=acm，其他条件不变， 求线段MN的长.
最新七年级复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案免费)公开课
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习（学案）【学习目标】1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。
3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问题的能力。
【学习重点】通过同类型题目的对比，能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。
【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。
【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。
【学习过程】【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点． 结合图形写出它的符号语言 （1）由_______________________ 得①：AC=BC （等） ②：AB= = (倍) ③：AC=AB= （份） 反之，由①、②、③之一 可得： （1）若已知AC=3，求BC ，则用哪一种表示方法：_____________． （2）若已知AC=3，求AB ，则用哪一种表示方法：_____________． （3）若已知AB=6，求AC ，则用哪一种表示方法：_____________. 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线.结合图形写出它的符号语言（1） 由OB 是∠AOC 的平分线 得①：∠AOB=∠BOC （等） ②：∠AOC= = (倍) ③：∠AOB=∠BOC= （份） 反之，由①、②、③之一 可得：（1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_________．（2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_________．（3）若已知∠AO C =70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_________.O A C B方法总结______________________________________________________。
中考必会几何模型：线段(双中点)、角(双角平分线)模型
线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半 【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。
线段中点角平分线类比符号学习
线段中点和角平分线类比练习班级：_________ 姓名：__________ 成绩：_________一、线段中点1．线段中点：把一条线段分成相等两部分的点叫线段的中点．结合图形，写出它的符号语言（1） ∵点C 是AB 的中点， ∴ AC=______=_____AB.(AB=_____=_______)2．如图，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点. （1）若AM = 4cm ，NB = 3cm ，那么线段MN 的长度是多少? （2）若AB=18cm,CM=5cm,那么线段BN 的长度是多少?（3）若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB = a cm ，其它条件不变，求MN 的长度？ 解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点,∴ ______=AM=4cm,CN=_____=_______. ∴ MN=_____+______=_____+______=______.(2) ∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点, ∴AC=_____=2×5=10cm,BN=____BC. ∵AC+___=____ ,∴BC=_____-AC=_____-_____=_______. ∴BN=______=_______.(3) ∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点, ∴CM=______,CN=_______. ∵AB=AC+BC,∴MN=______+_______=________=________.3. 如图，C 是AB 上的一点且AC:BC=3:5，D 是AB 的中点,CD=1cm ，求线段AB 的长. 解：∵AC:BC=______,AC+BC=______,∴AC=______AB. ∵D 是AB 的中点, ∴AD=____AB.∵CD=_____-______ ∴CD=_____AB, ∵CD=1cm ， ∴AB=________.4.点A,B,C 在同一条直线上，AB=3cm ，BC=1cm,求AC 的长度.解：①当点Ｃ位于线段AB 上时，AC=_________=_________=_______；②当点Ｃ位于线段AB 延长线时, AC=_________=_________=_______. 答：AC 的长度为 ___________. 二、角平分线1.角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的角的射线，叫做这个角的平分线.结合图形，写出它的符号语言 ∵OB 是∠AOC 的平分线∴∠AOB =______ =________（∠AOC =2∠AOB =2∠_______） 2. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线.（1）如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD 是多少度？ （2）如果∠AOE=160°，∠COD=40°，那么∠AOB 是多少度？（3）若OC 是∠AOE 内部的一条射线，满足∠AOC+∠COE=a o，其他条件不变，求∠DOB 的度数.解：（1）∵OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线,∴ ______=∠AOB=50o, ∠COD=_____=_______.∴ ∠DOB=_______+________=_______+_________=________.(2) ∵OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线,∴∠AOB=___∠AOC , ∠COE=_____=2×40o =_______. ∵∠AOC +____=____ , ∴∠AOC =_____-∠COE=_____-_____=_______. ∴∠AOB =______=_______.(3) ∵OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线, ∴∠BOC=______,∠COD=_______. ∵∠AOE=∠AOC +∠COE,∴∠DOB=______+_______=______________=________.3.如图，BD 是∠ABC 内部的一条射线且∠CBD:∠ABD=3:5,BE 平分∠ABC ，∠DBE=15o,求∠ABC 的度数.解：∵∠CBD:∠ABD=______,∠CBD+∠ABD =______,∴∠CBD=______∠ABC. ∵BE 平分∠ABC, ∴∠CBE=____∠ABC. ∵∠DBE=_____-______ ∴∠DBE=_____∠ABC,∵∠DBE=15o，∴∠ABC =________.4.射线OA,OB,OC 在同一平面内，∠AOC=120o, ∠BOC=30o,求∠AOB 的度数.解：①当点OB 位于∠AOC 的内部时，∠AOB =_________=_________=_______；②当点OB 位于∠AOC 的外部时，∠AOB =_________=_________=_______. 答：∠AOB 的度数___________.D C OA B EA C O A C BC AB。
中考数学专题复习线段中点与角平分线问题公开课精品课件
三、类比迁移，学以致用
变式3：如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB外 部一射线，∠AOC＝30°，OM，ON分别平分 ∠AOC和∠BOC，求∠MON的度数。
四、拓展提高、应用规律
例3、 已知∠AOB＝α，过O任作一射线OC，OM
平分∠AOC，ON平分∠BOC，试探寻∠MON与α
的关系；
B
N
六、课堂总结： 请说说你收获了什么？
六、课堂总结：
主要知识 线段中点 角平分线
主要思想方法
分类讨论 类比思想
特殊到一般
平时数学学习，希望你能尝试着提出数学问题，让 你的同伴或老师去解决！（可从简单问题开始）
谢谢大家
（1）如图，当OC在∠AOB内
C
部时，试探寻∠MON与α的关
M
系；
O
A
（2）当OC在∠AOB外部时，其它条件不变
，上述关系是否成立？画出相应图形，并说
明理由。
五、课后思考题：
B、C是线段AD上任顺意次 两点，且M、N 分别是AB和CD上的点，且 AM=BM,CN=ND,若MN=a,BC=b,求 AD的长。
美国著名数学家哈尔莫斯曾说过,“问题是数学的 心脏。”数学学习是围绕数学问题而进行的学习。
线段中点与角平分线问题
一、课前热身，引入课题
问题1：已知线段AB＝5cm，C为线段AB上一点，且 BC＝3cm，M是线段AC的中点,则线段AM＝ 1 cm。
线段中点：把一条线段分成相等的两部分的点叫线段的中点．
C
角平分线:从一个角的顶点引出的一条射线，把 O
B
这个角分成相等的两个角，则这条射线叫做这个
A
角的角平分线。
变式1：已知∠AOB＝90°，∠BOC=30°，OM平分
线段中点与角平分线的类比学习
线段中点与角平分线的类比学习陈㊀妹(江苏省南京师范大学附属中学江宁分校㊀２１１１０２)摘㊀要:在平时授课过程中去渗透类比思想也是新课标所倡导的ꎬ这就要求我们在实际数学教学和学习过程中ꎬ引导学生学会如何将已有知识和方法迁移到新问题的解决中来ꎬ这对于学生的思维拓展有很大帮助ꎬ从而进一步提高学生学习数学的兴趣.本文主要以线段的中点和角的角平分线为载体ꎬ通过知识的横向迁移ꎬ让学生能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系ꎬ并能够总结出解题方法和规律.关键词:初中数学ꎻ线段中点ꎻ角平分线ꎻ类比学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０５－０００７－０２收稿日期:２０２０－１１－１５作者简介:陈妹(１９９０.７－)ꎬ女ꎬ江苏省南京人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在数学学习和研究中ꎬ类比是一种重要的思想方法ꎬ也是合情推理得一种重要形式.类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似ꎬ猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法ꎬ亦是由特殊到一般的过程.㊀㊀一㊁线段中点与角平分线的概念１.线段中点:把一条线段分成相等的两部分的点ꎬ叫这条线段的中点.２.角平分线:从一个角的顶点引出一条射线ꎬ把这个角分成相等的两个角的ꎬ则这条射线叫这个角的角平分线.㊀㊀㊀二㊁单中点与单角平分线问题的类比例１㊀如图１ꎬ已知线段ＡＢ＝１０ｃｍꎬ在直线ＡＢ上有一点Ｃꎬ且ＢＣ＝２ｃｍꎬ若点Ｍ是线段ＡＣ的中点ꎬ则线段ＡＭ＝.图１分析㊀①如图１ꎬ当点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上时ꎬ此时ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝１２ꎬ因为Ｍ是线段ＡＣ的中点ꎬ所以ＡＭ＝１２ＡＣ＝６ꎻ图２②如图２ꎬ当点Ｃ在线段ＡＢ上时ꎬ此时ＡＣ＝ＡＢ－ＢＣ＝８ꎬ因为Ｍ是线段ＡＣ的中点ꎬ所以ＡＭ＝１２ＡＣ＝４ꎻ类比１㊀已知øＡＯＢ＝６０ꎬøＢＯＣ＝２０ʎꎬ若ＯＭ平分øＡＯＣꎬ则øＡＯＭ＝.分析㊀①如图１ꎬ当øＢＯＣ在øＡ０Ｂ外部时ꎬ此时øＡＯＣ＝øＡ０Ｂ＋øＢＯＣ＝８０ʎꎬ因为ＯＭ平分øＡＯＣꎬ所以øＡＯＭ＝１２øＡＯＣ＝４０ʎꎻ②如图２ꎬ当øＢＯＣ在øＡ０Ｂ内部时ꎬ此时øＡＯＣ＝øＡ０Ｂ－øＢＯＣ＝４０ʎꎬ因为ＯＭ平分øＡＯＣꎬ所以øＡＯＭ＝１２øＡＯＣ＝２０ʎꎻ做此题时要引导学生应考虑到Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三点之间的位置关系的多种可能ꎬ即点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上或点Ｃ在线段ＡＢ上.类比到角中ꎬøＢＯＣ也可以在角的内部ꎬ也可以在角的外部ꎬ对于不同的情况ꎬ要进行分类讨论.㊀㊀三㊁双中点与双角平分线问题的类比例２㊀如图３ꎬ已知线段ＡＢ＝１０ｃｍꎬＣ为线段ＡＢ上一点ꎬＭ㊁Ｎ分别为ＡＣ㊁ＢＣ的中点ꎬ图３(１)若ＢＣ＝４ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ(２)若ＢＣ＝７ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ(３)若Ｃ为线段ＡＢ上任一点ꎬ你能求ＭＮ的长吗?７请写出结论ꎬ并说明理由.分析㊀在(１)(２)两问中ꎬ由点Ｎ是ＢＣ的中点ꎬ得ＣＮ＝１２ＢＣꎬ由ＡＢ＝１０ｃｍꎬ求得ＡＣ的长ꎬ点Ｍ是ＡＣ的中点ꎬ可得ＭＣ＝１２ＡＣꎬ所以ＭＮ＝ＭＣ＋ＣＮ即可求解ꎬ不难猜出不管点Ｃ在线段ＡＢ的任何位置ꎬＭＮ＝１２ＡＢ.图４类比２㊀如图ꎬ已知øＡＯＢ＝９０ʎꎬøＡＯＣ在øＡＯＢ的内部ꎬＯＭ㊁ＯＮ分别平分øＡＯＣ和øＢＯＣꎬ(１)若øＡＯＣ＝２０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎻ(２)若øＢＯＣ＝５０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎬ(３)由(１)(２)的结果你发现了什么规律ꎬ请写出结论ꎬ并说明理由.分析㊀在(１)(２)两问中ꎬ由ＯＮ平分øＡＯＣ的中点ꎬ则得øＭＯＣ＝１２øＡＯＣꎬ由øＡＯＢ＝９０ʎꎬ求得øＢＯＣ的大小ꎬ点ＯＭ平分øＢＯＣꎬ可得øＮＯＣ＝１２øＢＯＣꎬ所以øＭＯＮ＝øＭＯＣ＋øＮＯＣ即可求解ꎬ不难猜出ＯＣ为øＡＯＢ内的任一条射线ꎬøＭＯＮ＝１２øＡＯＢ.考查了两点间的距离ꎬ利用线段的中点的性质转化线段之间的和差关系是解题的关键ꎬ类比２综合考查了角平分线的定义ꎬ角的和差等相关知识ꎬ重点掌握角平分线的定义.这两题从本质上来讲ꎬ都是根据已知条件求解线段的长度或者角的度数ꎬ都是求解定值的过程ꎬ也都是由特殊到一般的过程ꎬ注重引导学生运用整体思想说理ꎬ同时要注意在不同的情况下灵活选用线段中点或角平分线的不同表示方法ꎬ有利于解题的简洁性.例３㊀如图５ꎬ已知线段ＡＢ＝１０ｃｍꎬＣ为线段ＡＢ延长线上一点ꎬＭ㊁Ｎ分别为ＡＣ㊁ＢＣ的中点ꎬ(１)若ＢＣ＝４ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ(２)若ＢＣ＝７ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ图５(３)若Ｃ为线段ＡＢ延长线上任一点ꎬ你能求ＭＮ的长吗?若能ꎬ请求出ＭＮ的长ꎬ并说明理由.类比３㊀如图ꎬ已知øＡＯＢ＝９０ʎꎬøＡＯＣ在øＡＯＢ的图６外部ꎬＯＭ㊁ＯＮ分别平分øＡＯＣ和øＢＯＣꎬ(１)若øＡＯＣ＝２０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎻ(２)若øＡＯＣ＝５０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎻ(３)由(１)(２)的结果ꎬ你发现了什么规律ꎬ请写出结论ꎬ并说明理由.同样的ꎬ类比 例２ 与 类比２ ꎬ也很容易求出这两题的一般结论.此时不妨引导学生去总结一下求双中点和双角平分线问题的一般规律.在双中点问题中的一般性结论:在同一条直线上ꎬ有公共端点两条线段中点之间的距离就等于ꎬ不重合的那两端点距离的一半.通过类比ꎬ我们可以得到在双角平分线问题中的一般性结论:当两个角的顶点及边重合时ꎬ两个角的平分线所组成的角ꎬ就应该等于不重合的两边所构成角的一半.紧扣线段的公共端点或角的公共边ꎬ从中点定义或角平分线出发ꎬ得出一般性的结论.㊀练习㊀１.已知Ｃ为直线ＡＢ上任一点ꎬＭ㊁Ｎ分别为ＡＣ㊁ＢＣ的中点ꎬ试探究ＭＮ与ＡＢ之间的关系ꎬ并说明理由.㊀２.已知øＡＯＢꎬ过点Ｏ一射线ＯＣꎬＯＭ平分øＡＯＣꎬＯＮ平分øＢＯＣꎬ试探究øＭＯＮ与øＡＯＢ的关系ꎬ并说明理由.诚如数学家Ｇ 波利亚说: 类比是一个伟大的引路人. 在数学问题的解决中ꎬ很多数学家就是利用类比法猜想某些结论的成立ꎬ并对之进行证明ꎬ推进了数学的发展.在本文中通过对中点定义㊁角平分线定义在解题中应用的类比ꎬ不仅可以让学生自己得到类似知识点的概念ꎬ引导学生体会应用由特殊到一般的思想方法ꎬ探索图形中的一般规律ꎬ而且有利于在学习过程中培养勤于思考㊁乐于探究的学习习惯ꎬ提高学生在数学学习中的自信心和积极性.在数学学习研究中ꎬ用到的往往不是单一的思想方法ꎬ比如本文中还涉及到数形结合思想㊁分类讨论思想ꎬ甚至对于题目的处理也可以运用方程思想来解决.这也再次要求我们教师在平时的教学中不断渗透数学思想方法ꎬ重视培养学生的核心素养ꎬ教会学生去思考ꎬ做好学生数学学习的引路人.㊀㊀参考文献:[１]卫志勇.利用类比法学习线段中点与角平分线[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１６(１２):３６＋４１.[责任编辑:李㊀璟]８。
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一、线段中点
1、线段中点：把一条线段分成相等两部分的点叫线段的中点. C A B
结合图形写出它的符号语言
(1) ∵ ＿＿______＿____＿_＿___＿_ 反之 （2)∵_＿____＿_________＿＿＿＿_＿_＿_＿_
∴ __＿＿__________＿＿__＿＿_____ ∴＿＿___＿_____＿__＿______＿________
2．如图，点C 在线段A Ｂ上，A Ｃ ＝ 8 cm,CB = ６ ｃｍ，点M 、N 分别是ＡC 、ＢC 的中点。
(1)求线段MN 的长;
A B C M N
（2)若C 为线段AB 上任一点，满足AC + CB ＝ a c ｍ,其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗? A B C M N
二角平分线
3、角平分线
1（1) ∵OB 是∠AOC 的平分线
∴ ＿____＿_＿＿______＿＿_＿_＿＿＿_
反之 (2）∵∠ＡOB ＝∠ ＿=＿ (∠AOC =2∠AOB ＝2∠ __）
∴_＿_________＿_＿_______＿_____＿_＿__＿__＿________
4、 如图，已知点A 、O 、Ｂ在同一直线上,OC 平分∠A ＯD ，∠BO Ｄ＝50°,求∠AOC 的度数。
O A
C
B
５、如图所示，OB 是∠AOC 的平分线,OD 是∠COE 的平分线。
(1)如果∠A ＯＢ＝50°,∠DOE=35°，那么∠B ＯD 是多少度？
(2)如果∠ＡＯE=1６0°,∠ＣOD=４０°,那么∠ＡOB 是多少度?
６、如图，点Ｏ在直线AB 上，OE 、OF 分别是AOC ∠和BOC ∠的平分线.求EOF ∠的度数?
7、如图，AB=16cm ， Ｃ是AB 上的一点,且ＡC=10cm, Ｄ是ＡＣ的中点，E 是ＢC 的中点，求线段DE 的长．
8.如图，AB=16ｃm ， C 是ＡB 上的一点，D 是AC 的中点，E 是ＢＣ的中点，求线段DE 的长.
D C O A B
E
O A B C F
E B A B A
９.如图，已知∠ＡＯB=50º,∠ＣＯB=２0ºOD平分∠BOC,ＯＥ平分∠AOC。
求∠EOD的度数. 10．如图，已知∠ＡOＢ=50º,ＯD平分∠BOC，OE平分∠AOC。
求∠ＥOＤ的度数。
１1.如图，ＡD=２4,在AＤ上依次取E、B、C三个点，使ＡB∶BC∶CD=１∶2∶3，且E是ＡB的中点，求EC的长。
12．如图，ＢＤ平分∠AＢＣ,且∠ABＥ∶∠EＢC=2∶5,∠ＤBE=24°,求∠ＡBC的度数。
1３．如图，∠AOB=1００°,ON是∠COＢ的平分线,OＭ是∠AＯC的平分线,求∠ＭON的度数。
E D
B
A
E
D
C
B
A
１4.如图，将长方形纸片沿A Ｃ折痕对折，使点B 落在B ′,CF 是∠B ′CE 平分线,求∠ACF+∠B 的度数。
１5.如图,B 、C 两点把线段ＭN 分成三部分，其比为ＭB ︰BC ︰C Ｎ=2︰3︰4,P 是ＭN 的中点，ＰC=2cm,求MN 的长．
16. 已知，线段AB=6,点Ｃ在直线A Ｂ上,且ＢＣ=2,点M 为线段A Ｃ的中点,求线段ＡＭ的长。
(提示:分两种情况，画两个图哟!）
N M O C
B A A
C B E F
B 'C。