质心运动定理
2 质心 质心运动定理
将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4
大学物理-质心质心运动定律
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
123质心运动定理理论力学
y A
A, Co
, C
, B
B mg
x
FN
解：以均质杆AB为研究对象，并以杆AB铅直时的 轴线为 y轴，建立图示坐标系。AB杆倒下过程中所受外力 有：重力mg，光滑水平面的法向反力FN， 杆在倒下的过程中有：
? FRex ? Fixe ? 0
即质点系动量在 x方向上守恒，
又：t=0时杆处于静止 故质心运动在x方向上守 恒，有：
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
? rc ?
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（ 特别是刚体）动力学中
具有重要地位。
? mi ri
rc ? 2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
?
m r1 ? m r2 ? ......? m m? m? ......? m
rn
? ? r1 ? r2 ? ......? rn ? n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
（1）
x2 ? ecos? t y2 ? esin? t （2）
(3) 代入质心坐标公式得 质心 c 的运动方程：
? ??
xc
?
m2 m1 ? m2
e cos?
t
?
? ??
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
理论力学课件 质心运动定理,,第十章动量矩定理
质心守恒
支承面的法向反力的最小值求得为
2
221min )(ω
e m g m m F y −+=若，则。
因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。
e
m g
m m 221)(+>ω0min <N F
9.2 质心运动定理
夯体滑动而不跳起的条
件怎样建立？
问题1——运动员质心做什么运动？问题2——运动员手脚运动、肌肉收缩、关节运动是否影响质心运动？抛物线内力不影响质心运动！
跨越式翻滚式背越式
跨越式：人体质心大约在腹部，杆在双腿的下方，质心约在杆上方30cm 翻滚式：人体质心
大约在腹部，杆在
身体的下方，人体
基本上与杆平行，
质心约在杆上方
10cm
背越式：人体质心
不在身体上，可在
背部下方10cm，质
心从杆下方过杆。
1.8m-0.3m=1.5m 1.8m-0.1m=1.7m 1.8m+0.1m=1.9m
第10章动量矩定理
问题：应用动量定理和质心运动定理只能分析出其质心加速度，如何分析猫的转体？
跳水动量矩守恒
跳水运动员为什
么在空中可实现空翻
和转体的转变？
M
A。
质心 质心运动定理
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
质心运动定理公式
质心运动定理公式
《质心运动定理公式》是物理学中一个重要的定理，它描述了质点在牛顿力学中的运动规律。
它指出，在牛顿力学中，一个质点的运动轨迹是一个椭圆，其中质心是椭圆的中心，它是质点的动量的守恒定律的结果。
质心运动定理的公式为：质点的轨迹方程为：
x²/a²+y²/b²=1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，x为质点的横坐标，y为质点的纵
坐标。
质心运动定理公式的发现对物理学的发展具有重要意义，它可以用来描述质点运动的轨迹，也可以用来解释物体运动的规律，比如太阳系中行星的运动轨迹就是椭圆，它们的轨迹就是质心运动定理的结果。
此外，质心运动定理公式也可以用来描述其他物理现象，比如电子在原子核中的运动轨迹也是椭圆，它们的运动轨迹也是质心运动定理的结果。
质心运动定理公式是一个重要的定理，它可以用来描述物体运动的规律，为物理学的发展做出了重要贡献。
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物理
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，半径为R。
求 此半圆形铁丝的质心。
y
解 选如图所示的坐标系
半圆对y轴对称，则质心应在y轴上
任取一微元长为dl，质量为dm
dm dl m dl
πR 由质心的位置坐标式，有
y R sin dl Rd
yC
ydl
m
C
d
R
dl
y
O
x
大学
3-3 质心运动定理
物理
3.3.1 质心
z
研究由质量为m1, m2 , mn的质点组成
······· F的外质点dd系Pt 质点系动量定理（微分形式）
C× rc
mi
ri
· F外
d dt
(
mivi )
vi
dri dt
F外
d2 dt 2
(
miri )
以m表示质点系的总质量
rC
yc
ydm m
π
yC
Rsin Rd
0
2 R2
m
m
2R π
第三章 守恒定律
4
大学
物理 3.3.3 质心运动定理
F外
m
d2 dt 2
rC
mac
ac称为质心加速度
质心运动定理
3-3 质心运动定理
d 2
F外 m dt 2 (
miri ) m
rC
mi
mi
m
ri
0
y
x
F外
m
d2 dt 2
(
miri ) m
第三章 守恒定律
1
大学
物理 3.3.2 质心的位置
3-3 质心运动定理
rC
m1r1
m2r2
mn rn
m1 m2 mn
xC
mi xi
m
yC
mi yi
m
y
m2
ri
mi
r2
c
m
ri
质点系质量与质心加速度的乘积等于质点系所受一切外力之 和
（1）质点系质心的运动,可以看作一个质点的运动:即假设整 个质点系的质量均集中在质心这一点,全部外力也集中于这一 点.
（2）只有外力才能改变质心的运动状态。质点系的内力不 能改变质心的运动状态，
第三章 守恒定律
5
m
ri
yc
ydm m
3-3 质心运动定理
z
dm
r
×C
rc m
0
y
zc
zdm m
x
质量均匀分布的对称体系，其质心就在它的几何对称中
心上；
重心是物体上各部分所受重力合力的作用点。当物体的体 积远小于地球的体积时，物体的质心与重心的位置重合；
第三章 守恒定律
3
大学
3-3 质心运动定理
rc
r1 m1
z
x z
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
xc
m x1 m x2 3m
x1 x2 3
o
x2
x
yc
m y1 3m
y1 3
第三章 守恒定律
2
大学 物理
● 连续体
rC
r dm
m
xC
xdm m
rC
mi