“空静”观与“不能不为之”

“空静”观与“不能不为之”
“空静”观与“不能不为之”

“不能不为之”与“空静”观

摘要:“不能不为之”是苏轼针对艺术本源提出的文艺观点,前人已从多个角度对这一文艺观点进行了阐释,但却少有学者从佛教的角度进行探索。本文在前人研究的基础之上,从“空静”观的角度来探讨“不能不为之”同佛教的关系,追寻这一文艺观点的哲学本源。

关键词:苏轼;“不能不为之”;“空静”观

“不能不为之”是苏轼在《叙》中提出来的,对此研究者已从多个角度进行了阐释:有的从“创作动机”、“灵感”或“情”的角度论述其内容,说明“不能不为”的具体所指;有的从西方文论文学的非功利性角度论述其创作所追求的自然风格,讨论“不能不为之”创作时候的心态。但很少有人从宗教的角度讨论苏轼的学说是否有着哲学的根源。本文就拟在前人研究的基础之上,从“空静”观的角度来探讨“不能不为之”同佛教的关系,并进一步来追寻苏轼的这条文艺观点的哲学根源。

苏轼在《南行前集叙》中提出了“不能不为之”的文艺观点。己亥年,苏轼与其父苏洵、其弟苏辙第二次由蜀入京。他在途中写下了许多诗篇。此序是苏轼回忆自己在途中作诗的情形,同时也发表自己了对写诗的见解。“非能为之为工,乃不能为之为工也”,[1]这句话说明了苏轼认为的“工”是“不能不为之”的。“山川之有

云,草木之有华实,充满勃郁,而见于外,夫虽欲无有,其可得耶!”苏轼的文艺的触发点转向了心灵的自由抒发,这种状态下作文是不受“有意”之意识的控制的,作者完全处于一种不能自己的“不能不为之”的自由状态。在“不能不为之”的状态下所写的文章是“作文”,是“无意”之文;而在“能为之”的状态下所写的文章是“为文”,是“有意”之文。

从我们上面的分析可以很清楚的知道,“能为之”和“不能不为之”之间最主要的区别就在于作者写作时的心理状态。可以说“能为之”的“为文”状态是有意而为文,“不能不为之”的“作文”状态是无意而作文。前种状态下作者处于理性之中,并没有摆脱文学的功利性的束缚,心灵也没有达到一种完全自由的纯然状态,所以不能写出“工”的文章。后种状态下作者处于非理性中,体现的是文学的非功利性,抒发了积聚在内心的情感,心灵处于一种自由的状态,所以所作之文是“工”的文章。

“不能不为之”所对应的写作状态是“无意为文”,而“无意”的状态即是心灵自由之状态,写作时心灵是处于无目的和非功利的自由之中。由此我们可以得出这样的结论:苏轼“不能不为之”的文艺本源论认为,文艺源于心灵的自由抒发。由此我们可以大体理解了苏轼“不能不为之”艺术本源论的含义,现在我们就可以探讨“不能不为之”同苏轼的哲学观有着怎么样的联系,这种“不能不为之”的心灵自由抒发状态是否有着其宗教的本源。

心灵的自由抒发是一种状态,这种状态需要心灵的虚空和宁静,心念万物、心猿意马的状态不可能使心灵处于自由抒发之中。苏轼对佛教的喜好和研究为人所熟知,其哲学观也有着深刻的释家的烙印,其文艺思想也必然会受到佛教的影响,我认为苏轼的“不能不为之”的文艺心灵本源论同佛教的“空”、“静”有着内在的联系。“空”和“静”是佛教般若学的主要内容之一,更是大乘空宗基础理论学说,是佛教中最常用的概念。比如《坛经.般若品》在谈到空观时候说“心量广大,犹如虚空,无有边畔,亦无方圆小大,……诸佛刹土,尽同虚空。世人妙性本空,无有一法可得。自性真空,亦复如是。”[2]《楞伽经》也对空进行了论述,“大慧,彼略说七种空,谓相空、性自性空、行空、无行空、一切法离言说空、第一义圣智大空、彼彼空。”[3]而《心经》更是提纲挈领式的论述了“空”,这些佛教的经典都是当时流传很广的经典,苏轼对这些经书也是经常翻阅甚至抄写,佛教的“空静”观会潜移默化到苏轼的思想中来。

苏轼喜好佛教,研读佛经,对佛教的“空静”观有着自己的接受和理解。他在《江子静字序》中说:“夫人之动,以静为主,神以静舍,心以静充,志以静宁,虑以静明,其静有道得己则静,逐物则动。”苏轼在此论述了动、静的关系,认为“静”是人的主体状态,也只有在“静”的状态下才能够“宁”和“明”,才能泰然自

若。其实苏轼的很多诗文都体现了自己对佛教“空静”观的理解和吸收。如苏轼在《吉祥寺僧求阁名》中写道,“过眼荣枯电与风,久长那得似花红。上人宴坐观空阁,观色观空色即空。”[4]苏轼的这首诗甚至可以看做是《心经》的诗歌解读。又如在《北寺悟空禅师塔》中说:“已将世界等微尘,空里浮花梦里身。岂为能颜更分别,只应天眼识天人。” [4]393在《望云楼》中写道“阴晴朝暮几回新,已向虚空付此身。出本无心归亦好,白云还似望云人。”[4]666苏轼在这首诗中把人生看做是虚空,已经彻底地接受了佛教的“空”观。翻开苏轼的诗集,这样的句子真可谓是不胜枚举,苏轼用大量的诗歌来写“空静”,这也充分表明他对佛教这一观念的理解和吸收。

而在《送参寥师》中苏轼更是把“空静”和文学文艺联系到了一起苏轼认为作诗应当使心灵达到“空静”的状态,提出“欲令诗语妙,无厌空且静。静故了群动,空故纳万境” [4]393的观点。认为要使诗歌达到妙语连珠的境界,心灵必须虚空和寂静,因为只有静寂才能察觉到万物的动向,只有虚空才能包纳万千的境界。苏轼在这里虽然是对参寥而言,但却更体现了苏轼重要的诗学观点,阐发了“空静”的心灵状态对于诗歌创作的影响和作用。此处的空和静不仅指的是创作时的心理,也是一种创作的状态,也只有这种状“空且静”的态才能达到“无意”为文的写作状态,才能够作出“不能不为之”的文。由此我们不难看出了苏轼“不能不为之”的文艺

本源论同佛教“空静”观之间的内在联系:佛教的“空静”是一种观察宇宙的方法和心态,苏轼把佛教的观点用于文艺的批评中,认为只有心灵达到“空静”的状态才能够写出妙语连珠的文章。而“不能不为之”也是一种创作的状态,即“无意为文”,这种“无意”的状态从根本上要求是心灵的自由抒发,而心灵的自由也需要“静故了群动,空故纳万境”的“空静”状态,这样就可以看出“不能不为之”同佛教的“空静”观有着内在的联系。

“不能不为之”的文艺本源论同苏轼的哲学观点有这紧密的联系,不可否认把“不能不为之”理解为创作的动机或创作的灵感,或者把其理解为情感的抒发都是有道理的,从西方文论的角度出发把“不能不为之”理解为非功利性的文字表达也未尝不可,因为这些都是从不同角度看到的不同结果。从宗教的角度,尤其是从对苏轼影响颇深的佛教的角度来看“不能不为之”这一文艺观点,我们就可以看到其同佛教“空静”观的联系。“不能不为之”所要求的“无意为文”的心里状态同佛教体察世界“空静观”有着内在的联系,二者的共同归宿都是心灵的自由抒发,二者的心理状态都是心灵的虚空和静默。苏轼是一个思想比较复杂的文豪,儒道佛三家思想在苏轼的思想体系里都有着根深蒂固的影响,苏轼的每一条文艺观念的表达都不可能是一种思想的简单表述,分门别类的来探讨每一种哲学思想同苏轼文艺观念的联系,然后可以更深刻的理解苏轼的文学观念,这也许就是这种研究的价值吧。

排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法

行测答题技巧:排列组合问题之捆绑法,插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法,即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先将其“捆绑”后整体考虑,也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序,然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队,要求A和B两个人必须站在相邻位置,则有多少排队方法 【解析】:题目要求A和B两个人必须排在一起,首先将A和B两个人“捆绑”,视其为“一个人”,也即对“ A,B”、C D E “四个人”进行排列,有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序,有I种排法。根据分步乘法原理,总的排法有I -种 例2.有8本不同的书,其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】:把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有丄种排法;又3 本数学书有丄种排法,2本外语书有雹种排法;根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑,再排列”。 “不邻问题”插空法,即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置,从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队,要求A和B两个人必须不站在一起,则有多少排队方法

【解析】:题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法;若排成D C E,则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置,也即是:?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置,有q种插法。由乘法原理,共有排队方法:匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去3个节目,则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】:直接解答较为麻烦,可根据插空法去解题,故可先用一个节目 去插7个空位(原来的6个节目排好后,中间和两端共有7个空位),有「种方法;再用另一个节目去插8个空位,有种方法;用最后一个节目去插9个空位,有」:.方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯,为了节约用电, 可以把其中的三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】:若直接解答须分类讨论,情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插7个空位,共有'种方法(请您想想为什么不是八),因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】:运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列,再插空”。 练习:一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添加进去2个新节目,有多少种安排方法(国考2008-57) A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题,且要求每组均“非空”,即要求

插空法解排列组合题

插空法解排列组合题 令狐采学 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻的五位数,则所有不同排法有多少种? 解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,5三个元素排定,共有种排法,然后再将1,2插入四个空位共有种排法,故由乘法原理得,所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同的添加方法共有多少种?

解析:若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位,有种方法;再用另一个节目去插八个空位有种方法;用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得,所有不同的添加方法为:。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法,因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种? 解析:先排好8辆车有种方法,要求空位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。 五. 座位问题

例5. 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种? 解法1:先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有种,产生的四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有 种,所以每个人左右两边都空位的排法有种。 解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有种。

插空法解排列组合题

插空法解排列组合题 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻的五位数,则所有不同排法有多少种? 解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,5三个元素排定,共有种排法,然后再将1,2插入四个空位共有种排法,故由乘法原理得,所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同的添加方法共有多少种? 解析:若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位,有种方法;再用另一个节目去插八个空位有种方法;用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得,所有不同的添加方法为: 。

三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法,因此所有不同的关灯方法为 种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种? 解析:先排好8辆车有种方法,要求空位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有种方法。所以共有 种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种?

-排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法,即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先将其“捆绑”后整体考虑,也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1.若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必须站在相邻位置,则有多少排队方法? 【解析】:题目要求A和B两个人必须排在一起,首先将A和B两个人“捆绑”,视其为“一个人”,也即对“A,B”、C、D、E“四个人”进行排列,有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序,有种排法。根据分步乘法原理,总的排法有种。 例2.有8本不同的书,其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有多少种? 【解析】:把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有种排法;又3本数学书有种排法,2本外语书有种排法;根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑,再排列”。 “不邻问题”插空法,即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必须不站在一起,则有多少排队方法? 【解析】:题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列,有种排法;若排成D C E,则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位

置,也即是:︺ D ︺ C ︺ E ︺,此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置,有种插法。由乘法原理,共有排队方法: 。 例4.在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去3个节目,则所有不同的添加方法共有多少种? 【解析】:直接解答较为麻烦,可根据插空法去解题,故可先用一个节目去插7个空位(原来的6个节目排好后,中间和两端共有7个空位),有种方法;再用另一个节目去插8个空位,有种方法;用最后一个节目去插9个空位,有方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 【解析】:若直接解答须分类讨论,情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插7个空位,共有种方法(请您想想为什么不是),因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】:运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列,再插空”。 练习:一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添加进去2个新节目,有多少种安排方法?(国考2008-57) A.20 B.12 C.6 D.4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题,且要求每组均“非空”,即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题,即每组可以是零个元素,又该如何解题呢?下面先给各位考生看一道题目:

专题十一:隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

隔板法在解排列组合问题中的应用 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法,本文将将通过例题将这种方法作以介绍,供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法? 分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分成三组,允许有若干组无元素,用隔板法. 解析:将20个小球分成三组需要两块隔板,将20个小球及两块隔板排成一排,两块隔板将小球分成三块,从左到右看成三个盒子应放的球数,每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置,先从这22个位置中取出两个位置放隔 板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有222C 种不同的放法,再将小球 放入其他位置,由于小球与隔板都无差别,故小球之间无序,只有1种放法,根据分步计数 原理,共有222C ×1=231种不同的方法. 点评:对n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组,允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组,需要1m -块隔板,将这n 件物品和1m -块隔板排成一排,占1n m +-位置,从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有11m n m C -+-种不同的方法, 再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是组合问题,只有1种放法,根据分步计数原理,共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法,故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),每人(或位置)必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班,每班至少1个名额,有多少种不同的分配方法? 分析:本题是名额分配问题,用隔板法. 解析:将20个名额分配给18个班,每班至少1个名额,相当于将20个相同的小球分成18组,每组至少1个,将20个相同的小球分成18组,需要17块隔板,先将20个小球排成一排,因小球相同,故小球之间无顺序,是组合,只有1种排法,再在20个小球之间的19个空档中,选取17个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有1719C 种不同的放法,根据分步计数原理,共有17 19C 种不同的方法,因17块隔板将20个小球分成18组,从左到右可以看成每班所得的名额数,每一种隔板与小球的排法对应于一种分法,故有11m n m C -+-种分法. 点评::对n 件相同物品(或名额)分给m 个人(或位置),每个人(或位置)必须有

插板法插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题,试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性,也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念,熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多,有插板法,捆绑法,优先法等等,本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用,以供大家参考。 所谓插板法,就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个(b )个板,可以把n 个元素分成b+1组的方法,共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这n 个元素必须互不相异; (2) 所分成的每一组至少分得一个元素; (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题 干满足条件(1),(2),(3),所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板,共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题,而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题,我们可以用插空法来解决,对这种问题,可先将余下的元素进行排列,然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?( )(国2010 -46) A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件,插板法的条件(2)要求所分成的每一组至少分得一个元素,可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上,我们可以分两步来解这道题: 1. 先给每个部门发放8份材料,则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为:将6份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法?应用插板法可得共有1035=C

隔板法解决排列组合问题

隔板法解决排列组合问题 Prepared on 22 November 2020

“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三)排列组合计数问题,背景各异,方法灵活,能力要求高,对于相同元素有 序分组问题,采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、(1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 (2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问不同放法有多少种 (3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不同的方法有多少种 解:(1)将12个小球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中选出3个,放上“隔板”,若把“1”看成隔板,则如图00隔板将一排球分成四块,从左到右可以看成四个盒子放入的球数,即上图中1,2,3,4四个盒子相应放入2个,4个,4个,2个小球,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法,所以 不同的放法有3 11 C=165种。 (2)法1:(分类)①装入一个盒子有1 44 C=种;②装入两个盒子,即12 个相同的小球装入两个不同的盒子,每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子,即12个相同的小球装入三个不同的盒子,每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子,即12个相同的小球装入四个不同的盒子,每 盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

隔板法”解决排列组合问题.docx

“隔板法”解决排列组合问题(高二、高三) 排列组合计数问题,背景各异,方法灵活,能力要求高,对于相同元素有序分组问题,采用“隔板法” 可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、( 1) 12 个相同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有 多少种? ( 2) 12 个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4 的盒子中,问不同放法有多少种? ( 3) 12 个相同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4 的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于 其编号数,问不同的方法有多少种? 解:( 1)将 12 个小球排成一排,中间有11 个间隔,在这11 个间隔中选出 3 个,放上“隔板”,若把“ 1”,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有C113=165 种。 ( 2)法 1:(分类)①装入一个盒子有C41 4 种;②装入两个盒子,即12 个相同的小球装入两个不同的盒子,每盒至少装一个有C42C11166 种;③装入三个盒子,即12 个相同的小球装入三个不同的盒子,每盒至 少装一个有 C43C112=220 种 ;④装入四个盒子,即12 个相同的小球装入四个不同的盒子,每盒至少装一个有 C113165 种;由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。 法 2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的12 个小球任意装,即16 个小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个的装法有C153455 种。 ( 3)法 1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩 2 个小球,则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子,共有 C41C4210 种。 法 2:先给每个盒子装上比编号小 1 的小球,还剩 6 个小球,则转化为将 6 个相同的小球装入 4 个不同的盒子,每盒至少装一个,由隔板法有C5310 由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单,即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。 例 2、( 1)方程x1x2x3x410 的正整数解有多少组? (2)方程 x1 x2x3x410 的非负整数解有多少组? ( 3)方程2x1x2x3L x 103的非负整数整数解有多少组?

巧用隔板法解排列组合题

巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有:相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有( )种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊!).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3.将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:

排列组合插板法插空法捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有n个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法? ? 图中“”表示相同得名额,“"表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板”得一种插法恰好对应了10 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:n个相同元素,不同个m组,每组至少有一个元素,则只需在n个元素 得n—1个间隙中放置m—1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n-1)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+1)组得方法.?应用插板法必须满足三个条件:?(1)这n个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素 (3) 分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明?把10个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况??问题得题干满足条件(1)(2),适用插板法,c9 2=36 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用?e 二次插板法 例8:在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? —o - o - o —o-o -o -三个节目abc?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位?所以一共就是c7 1×c81×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(m-1)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把n个元素隔成有序得m份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是1个、2个、3个、4个、….),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。? 【基本题型例题】 【例1】共有10完全相同得球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法??解析:我们可以将10个相同得球排成一行,10个球之间出现了9个空隙,现在我们用6个档板"插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序得7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置得几个球(可能就是1个、2个、3个、4个),这样,借助于虚拟“档板"就可以把10个球分到了7个班中。? 【基本题型得变形(一)】 ?题型:有n个相同得元素,要求分到m组中,问有多少种不同得分法??解题思路:这种问题就是允许有些组中分到得元素为“0",也就就是组中可以为空得。对于这样得题,我们就首先将每组都填上1个,这样所要

插空法解排列组合题 专题辅导

插空法解排列组合题 插空法就是先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻的五位数,则所有不同排法有多少种? 解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,5三个元素排定,共有A 33 种排法,然后再将1,2插入四个空位共有A 42种排法,故由乘法原理得,所有不同的五位数有A A 423372?=种。 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同的添加方法共有多少种? 解析:若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位,有A 71种方法;再用另一个节目去插八个空位有A 81种方法;用最后一个节目去插九个空位有A 91种方法。由乘法原理得,所有不同的添加方法为:A A A 718191789504??=??=种。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有C 73种方法,因此所有不同的关灯方法为C 7335=种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种? 解析:先排好8辆车有A 88种方法,要求空位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有C 91种方法。所以共有A C 8891种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种? 解法1:先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A 33种,产生的四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A 41种,所以每个人左右两边都空位的排法有A A 334124=种。 解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A 4324=种。

插空法解排列组合题之欧阳家百创编

插空法解排列组合题 欧阳家百(2021.03.07) 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻的五位数,则所有不同排法有多少种? 解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,5三个元素排定,共有种排法,然后再将1,2插入四个空位共有种排法,故由乘法原理得,所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同的添加方法共有多少种? 解析:若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位,有种方法;再用另一个节目去插八个空位有种方法;用最后

一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得,所有不同的添加方法为:。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法,因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种? 解析:先排好8辆车有种方法,要求空位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种?

实用文库汇编之插空法解排列组合题

*作者:角狂风* 作品编号:1547510232155GZ579202 创作日期:2020年12月20日 实用文库汇编之插空法解排列组合题 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1,2不相邻的五位数,则所有不同排法有多少种? 解析:本题直接解答较为麻烦,因为可先将3,4,5三个元素排定,共有种排法,然后再将1,2插入四个空位共有种排法,故由乘法原理得,所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目,若保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同的添加方法共有多少种? 解析:若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位,有种方法;再用另一个节目去插八个空位有种方法;用最后

一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得,所有不同的添加方法为:。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏灯关掉,但不能同时关掉相邻两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种? 解析:如果直接解答须分类讨论,故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法,因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种? 解析:先排好8辆车有种方法,要求空位置连在一起,则在每2 辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有种 方法。所以共有种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种?

排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空的数量) 【基本题型】 有n个相同的元素,要求分到不同的m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法? ”表示相同的名额,“”表示名额间形成的空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法,反之,名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法,即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的, 【总结】 需满足条件:n个相同元素,不同个m组,每组至少有一个元素,则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意:这样对于很多的问题,是不能直接利用插板法解题的。但,可以通过一定的转变,将其变成符合上面3个条件的问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到的效果。 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(m-1)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把n个元素隔成有序的m份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个、2个、3个、4个、….),这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法,这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。 【基本题型例题】 【例1】共有10完全相同的球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法? 解析:我们可以将10个相同的球排成一行,10个球之间出现了9个空隙,现在我们用6个档板”插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序的7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个),这样,借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。 【基本题型的变形(一)】 题型:有n个相同的元素,要求分到m组中,问有多少种不同的分法? 解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”,也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上1个,这样所要元素总数就m个,问题也就是转变成将(n+m)个元素分到m组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。 【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里,共有()种不同方法. A.35 B.28 C.21 D.45 解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加1个,则球的总数为8+3×1=11,此题就有C(10,2)=45(种)分法了,选项D为正确答案。 【基本题型的变形(二)】 题型:有n个相同的元素,要求分到m组,要求各组中分到的元素至少某个确定值S(s>1,且每组的s 值可以不同),问有多少种不同的分法?

排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法

排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法 一、基础理论: 捆绑法:遇到有“相邻元素”的问题,先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列,当需要考虑元素的相对顺序时,再进行松绑。 题干中常见的词语如:相邻站位、相连、连续等。 插空法:遇到有“不相邻元素”的问题,先把无要求的元素进行排序,然后行程中间的空位或两端的空位,然后进行插空。 运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列,再插空”。 可见:捆绑法主要解决相邻问题,而插空法主要解决的是不相邻的问题。 二、真题精析 例1、5名学生和2名老师站成一排照相,要求2名老师相邻但不站在两端,则不同的排法共有: A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种 【分析】题干当中有“相邻”,所以选择的做题方法一定是捆绑法,要想把这件事解决清楚,要分如下几步:第一步,首让没有要求的元素进行排序,即先排5名学生,有A(5,5) 种方法;第二步,将2名老师“捆绑”在一起,看成一个人,插空到5名学生中间的4个空中,即C(4,1)种方法;第三步,这2名老师不同,要进行排列,即A(2,2)种方法,此件事情完成。分步做的事情,根据乘法原理可知,共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。所以答案为B. 小结:捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法,但是却经常一起结合起来使用。 例2、一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法? A.20 B.12 C.6 D.4

【分析】此题是插板法的典型例题,因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中,所以要搞清楚具体有几个空位。 【解析】原来的3个节目已经固定下来了,所以在排原来的3个节目的时候,不用再混排了。 所以这件事可以分步完成,需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。 第一步,排其中一个节目,在原来的3个节目中有4个空位可以选择,即C(4,1)中方法;第二步,排第二个节目,那么此时第一个节目放进去之后,就有4个节目了,也就是有5个空位可以选择,所以排法是C(5,1)中方法,此时这件事情完成。分步完成所以选择乘法原理解题,即C(4,1)×C(5,1)=20种排法,所以答案为A。 例3、某道路旁有10盏路灯,为节约用电,准备关掉其中3盏。已知两端的路灯不能关,并且关掉的灯不能相邻,则有( )种不同的关灯方法。 A.20 B.28 C.48 D.96 【分析】读清楚题干中的逻辑关系,做题之前把等量关系适当的转化。题干的意思也就是说把3盏关掉的等,插空插到7盏亮的灯中间,又可以保证关掉的灯不相邻,所以此题应该属于插空法。 【解析】7盏亮着的灯,首尾两端是不能放关掉的灯的,所以7盏灯只有中间6个空可以放关掉的灯,即C(6,3)=20种。所以答案为A。 小结:捆绑法和插空法是解题的小技巧,应用灵活,它可以应用到所有类型的排列组合题目中,所以大家一定要分清什么时候使用该方法。 (红麒麟2014版强势升级,打造更权威、更智能、更实用的公考学习平台,专属方案、迭代题库、视频课程和配套练习、解析问答、学霸排名、能力测评、申论批改打分、面试语音答题、名师语音点评……一切尽在免费中)。

2018国考行测数量关系:捆绑法和插空法解排列组合题

2018国考行测数量关系:捆绑法和插空法解排列组 合题 【导读】在国家公务员考试中,对于排列组合的考察较为常见,但同时也是很多考生感到无从下手的问题,然而事实上,这部分题目的难度并不大,只要熟记常用方法,这类题目解题基本上属于快速作答,在排列组合中,有两种特别常用的技巧:捆绑法、插空法。这两种方法有特定的应用环境,应注意不同方法之间的差异及应用环境。 一、捆绑法 应用环境:题中出现相邻、挨着、在一起等字眼时使用 使用方式:将相邻元素捆绑在一起,看成一个整体。 例1.甲、乙、丙、丁、戊,五个同学排队照相,甲乙同学必须站在一起,问有多少种站法?( ) A、20 B、24 C、40 D、48 中公解析:因为甲乙同学必须站在一起,说明甲乙同学要相邻,所以使用捆绑法,将甲乙看成一个人,那么此题相当于四个同学排队照相共有A4 4=24种,但是由于甲乙两人还有A2 2=2种站法,因此共有24×2=48种。因此选择D。 例2.有两个三口之家一起出行去旅游,他们被安排坐在两排相对的座位上,其中一排有3个座位,另一排有4个座位。如果同一个家庭的成员只能被安排在同一排座位相邻而坐,那么共有多少种不同的安排方法?( ) A、36 B、72 C、144 D、288 中公解析:因为是两个不同的家庭,所以哪个家庭坐在三人一排的位置,哪个家庭坐在四人一排的位置,共有A2 2=2种排列方式,对于坐到三人一排的家庭,其家庭内部还有A3 3=6种坐法,对于坐到四人一排的家庭,我们可知,由于每一个人要相邻而坐,所以将3个人捆绑看成一个整体,将四个椅子中的相邻三个捆绑在一起,于是共有A2 2=2种坐法,三人内部共有A3 3=6种坐法,因此共有2×6×2×6=144种坐法。因此选择C。 二、插空法

常见排列组合题型及解题策略

可重复的排列求幂法 相邻问题捆绑法 相离问题插空法 元素分析法(位置分析法) 多排问题单排法 定序问题缩倍法(等几率法) 标号排位问题(不配对问题) 不同元素的分配问题(先分堆再分配) 相同元素的分配问题隔板法: 多面手问题(分类法---选定标准) 走楼梯问题(分类法与插空法相结合) 排数问题(注意数字“0”) 染色问题 “至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三.几何中的排列组合问题: 排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重 复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”, 则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策 略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法 (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果 (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法 【解析】:(1)43(2)34(3)34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法

【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67 种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( )A 、38 B 、83 C 、3 8A D 、38C 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠 军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有3 8种 不同的结果。所以选A 二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与 排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的 排法种数有 【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种 【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有, 22223242C A A A =432 种 其中男生甲站两端的有12222 23232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288 三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排 列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法 种数是52563600A A =种 【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不 同的插法(具体数字作答) 【解析】: 111 789A A A =504 【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的

巧用插空法解排列组合题 人教版

巧用插空法解排列组合题 对于某些排列组合问题,有时用常规方法很难解决,但转换一下思考角度,用插空法却极为方便. 例1. 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种? 解法1:先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A 3 3,○*○*○*○,在四个空中分别放一把椅子,还剩一把椅子 再去插空有A 1 4种,所以每个人左右两边都空位的排法有3314A A =24种. 解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A 3 4=24种. 例2. A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排,若A 、B 、C 必须按A 在前,B 居中,C 在后的原则排列,共有多少种排法? 解法1:依题意,○A ○B ○C ○,将D 、E 、F 按下列分类去插四个空.①将D 、E 、F 看作整体去插4个空有A 1 4种,D 、 E 、 F 自身全排列有A 3 3种,共有A 14A 33种.②将D 、E 、F 分开(每空一个元素)插法有A 34种.③将D 、E 、F 中两个元素看 成整体去插空有C 23331 423A A A 种,于是共有A 14A 33+A 34+C 22131423A A A =120种. 解法2:在解法1的图示空中,让D 、E 、F 分别去插空,若将D 去插这四个空有A 1 4种,在A 、B 、C 及D 中间及两端 就出现5个空,再将E 去插空有A 1 5种,这样就在A 、B 、C 及D 、E 中间及两端出现6个空,再将F 去插空有A 16种,所以 符合题意的排法有A 16151 4A A =120种. 例3.停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种? 解:先排好8辆车有A 8 8种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个,将空车 位置插入有C 1 9种方法,所以共有C 19A 88种方法. 注:题中*表示元素,○表示空.

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