高考必备圆锥曲线知识点及解题技巧
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
高中数学选修1-1圆锥曲线考试技巧
高中数学选修1-1圆锥曲线考试技巧如下：
1.掌握圆锥曲线的定义和性质，理解各种曲线的几何特征和方程特点。
2.学会利用待定系数法、判别式法、参数法等求解圆锥曲线问题。
3.熟悉曲线的轨迹方程的求法，了解曲线的几何性质在解题中的应用。
4.掌握圆锥曲线中的一些重要结论，如切线长定理、弦长公式等。
5.注意数形结合思想在解题中的应用，能够根据题意画出符合条件的图形或根据图形得出结论。
6.熟悉圆锥曲线与其他知识点的综合问题，如与直线、圆、向量等知识的综合应用。
7.掌握一些常用的数学方法和技巧，如换元法、配方法、消元法等。
8.注意解题的规范性，保证步骤完整、答案准确。
以上技巧仅供参考，具体应用需要根据题目类型和要求进行灵活运用。
建议多做练习题，加深对知识点的理解和掌握，提高解题能力。
最全圆锥曲线知识点总结
最全圆锥曲线知识点总结的定义是指平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2），那么这个动点P的轨迹就是椭圆。
这两个定点被称为椭圆的焦点，两焦点的距离被称为椭圆的焦距。
注意：如果PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹是线段F1F2；如果PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
2）对于椭圆，如果焦点在x轴上，那么它的参数方程是x=acosθ，y=bsinθ（其中θ为参数），如果焦点在y轴上，那么它的参数方程是y=acosθ，x=bsinθ。
如果椭圆的标准方程是x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），那么它的范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b，焦点是两个点(±c,0)，对称中心是(0,0)，顶点是(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率为e=c/a，椭圆即为0<e<1的情况。
3）关于直线与椭圆的位置关系，如果点P(x,y)在椭圆外，那么a2+b2>1；如果点P(x,y)在椭圆上，那么a2+b2=1；如果点P(x,y)在椭圆内，那么a2+b2<1.4）焦点三角形是指椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形。
5）弦长公式是指如果直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1、x2分别为A、B的横坐标，那么AB=√[1+k2(x1−x2)2]。
如果y1、y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
如果弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√[1+k2(y1−y2)2]。
6）圆锥曲线的中点弦问题可以用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以P(x,b2x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=−a2y。
1.已知椭圆 $m x^2 + n y^2 = 1$ 与直线 $x+y=1$ 相交于$A,B$ 两点，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $AB=2\sqrt{2}$，求椭圆的方程，若 $OC$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，求 $m,n$ 的值。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
高考圆锥曲线大题题型及解题技巧
高考圆锥曲线大题题型及解题技巧x高考圆锥曲线大题题型及解题技巧一、基本概念圆锥曲线是椭圆、双曲线与圆锥体的综合体，它说明物体穿过三种物理媒质，如水、气体和固体物质，以及它们之间的相互转换性。
二、圆锥曲线的基本特点1、圆锥曲线具有规律性：它的主要特征是抛物线的函数形式呈现出以对称中心为中心的规律性，在此基础上拓展形成了螺旋状的曲线；2、圆锥曲线与旋转有关：圆锥曲线的曲线形状可以用某种旋转的路径进行描述；3、圆锥曲线的曲线表示有多种变化：圆锥曲线可以表示为二维图形或三维图形，可以表示为数学方程式，也可以表示为一组矢量。
三、圆锥曲线大题解题技巧1、分析题干：根据题干内容，在解题之前要细致地分析题干，弄清楚问题的范围，是对一组数据进行分析，还是对某种形式的函数进行分析，要把握好范围和类型，以便选择正确的解题方法；2、画出曲线图：如果是需要求曲线的半径、圆心坐标和焦点等信息，可以先画出曲线图，有助于理清思路；3、推导出数学公式：如果是要分析曲线的性质，可以根据曲线的特性，推导出相应的数学公式，以便求解；4、运用矩阵的相关理论：在计算曲线的性质时，可以运用矩阵的相关理论，根据相关的矩阵的乘法，求出所求的值。
五、练习1、(XX年某省某市高考)已知圆锥曲线的参数方程为：$$left{begin{array}{l} x^{2} + y^{2}=a^{2} z^{2} a>0, a eq 1 end{array}ight.$$(1)求出曲线的中心坐标；(2)求出曲线的渐近线方程和焦点坐标。
解：(1)令参数方程中的参数$a=frac{1}{m}$，代入参数方程可得：$$left{begin{array}{l} x^{2} + y^{2}=frac{1}{m^{2}} z^{2} m>0, meq 1 end{array}ight.$$令$z=0$，得到$x^{2} + y^{2}=0$，由此可知曲线的中心坐标为：$(0, 0)$。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳1.球面坐标系与圆锥曲线：在球面坐标系中，圆锥曲线可以看作是一个直线在球面上的投影。
通过利用球面坐标系的相关性质，可以简化圆锥曲线的解题过程。
2.圆锥曲线的标准方程：圆锥曲线的标准方程是通过平移和旋转的方式将一般方程转化成一种特殊形式的方程。
通过将一般方程转化成标准方程，可以方便地研究圆锥曲线的性质。
3.圆锥曲线的分类与特点：根据圆锥曲线的二次项和四次项的系数可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
每一类圆锥曲线都有其特有的性质和特点，熟悉这些特点可以帮助我们更好地解题。
4.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线的参数方程是通过引入一个参数来表示曲线上的点的坐标。
通过使用参数方程，可以简化圆锥曲线的分析和解题过程。
5.圆锥曲线的对称性：圆锥曲线具有多种对称性，包括关于坐标轴、原点和直线的对称性。
利用这些对称性可以简化问题的分析和解题过程。
6.圆锥曲线的焦点与准线：焦点和准线是圆锥曲线的两个重要特点。
了解焦点和准线的性质可以帮助我们理解圆锥曲线的形状和性质，并解决相关的问题。
7.圆锥曲线的参数化方程：圆锥曲线的参数化方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
通过使用参数化方程，可以更灵活地处理圆锥曲线上的点和相关的问题。
8.圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线的极坐标方程是通过将直角坐标系中的变量用极坐标表示来得到的。
利用极坐标方程，可以方便地研究圆锥曲线的性质，并解决相关的问题。
9.圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的转换：圆锥曲线的参数方程和极坐标方程可以相互转换。
通过掌握参数方程和极坐标方程之间的转换关系，可以灵活地处理圆锥曲线的问题，并得到更加深入的理解。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
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椭圆椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分APFiF?在点P 处的外如，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除公 长轴的两个端点.3. 以議点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切.5. 若&(%,儿)在椭圆匚+ — = 1上，则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1.n b a b6.若P D (A -0,V 0)在椭圆^+2T =1外，则过Po 作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线a b 方程是年+臂=1.a h2 Q7.椭岡3 + S = l (a>b>0)的左右焦点分别为F 】，F2，点P 为椭圆上任恿一点乙FfF 厂y ,则椭恻a b的焦点角形的面积为S“ =h 2tan^・1 z 2228.椭圆冷+冷=1 <a>b>0)的焦半径公式：异b 2 I MF X 1= a +• J MF 2 1= a -(F,(-c,0) , F 2(c,0) M(x 0> j a )).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 为点，A 为椭圆长轴匕一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF 丄NF.过椭圆一个焦点F 的直线与椭恻交于两点氏Q,A f . A?为橢圆k 轴上的顶点，A|P 和A?Q 交丁点皿A?P 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. F y 2h 2AB 足椭圆—+ —= 1的不平行于对称轴的弦，儿)为AB 的中点，则k aM ^k Ali =- — a ■方-a"即K 舶学。
a 几则被Po 所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛. a b a b椭圆一(会推导的经典结论)10. 11.12.若P 0(A 0,儿)在椭圆鼻+士 = 1内, a13. 若尸畑儿)在椭圆则过Po 的弦中点的轨迹方程是1.椭圆^7 + ^ = 1(a>b>o)的两个顶点为州(-4())，2(S O)，与y 轴平行的直线交椭圆于P|・a b'X 2 y 2P2时AjP|与A 2P 2交点的轨迹方程是飞- r = 1・/ b 22 22.过椭圆―+耳"(a>0, b>0)上任一点儿)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,Ca bh 2x两点，则直线BC 有定向且匕厂―L(常数).3. 若P 为椭圆3+斗=| (a>b>0) h 异于长轴端点的任一点,F b F 2是焦点，ZPFF O =« ,a b 2_ZPF 2F { = /J ,则tan —e<7t —・a + c2 21 24.设椭圆±r + 2- = l (a>b>0)的两个焦点为Fi 、F 2?P (异于长轴端点)为椭圆上任恿一点，在s1n 6?cAPF1F2中，记上件尸尺=伉，乙PF\F&=卩，乙Ff2P = y ，则有——;————=一=宅.•*■sin ft + sin / a125. 若椭恻二+匚二1 (a>b>0)的左、右焦点分别为Fj. F 2,左那线为L,则肖0V 虫石-1时, a" h可在椭恻上求一点P ，使得PR 是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.r v6.P 为椭圆〒沽I (5>。
)上任-点,閘为二焦点，A 为椭圆内-定点，则2a-\AF 1 1^1 P4I+I PFJV 2“ I A F } I ，当且仅当A.F^ P 三点共线时,等号成立.过椭圆^ + ^- = 1 (a Ab AO)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ?N 两点，弦MN 的垂直平 a b 分线交x 轴于p,则竺丄=£.\MN I 22+耳=1 ( a>b>0)4、B.是椭圆上的两点，线段AB 的垂肖平分线与x 轴相b交于点 p （®,o ）,则-・±»<*。
<二± aa7.8.椭圆忆字1+上申匸=1与直线Ax +^ + C = 0有公共点的充要条件是 a bA 2a 2 + H 2h 2 A (Ax 0 + By 。
+ C)lx 2y?已知椭圆—+ ^ = 1 (a>b>o ), o 为坐标原点，P 、Q 为桶圆上两动点，H OP 丄OQ ・(1) a bI1 1 1------ + -------- =——+ —\OP I 2 \OQ I 2 a 2 b 22 2;(2) IOPF+IOQF 的最人值为-^二；(3)片讥的最小值是a +b Ja + h9.2X10・已知椭R —a11・设P点是椭圆—• + 2r = l（ a>b>0）上异于长轴端点的任一点JVF2为其焦点记ZF/代二a丿Z? Y__.(2) G 十心巧•al)IPF1I1FF2l=12.设A、B是橢圆一+ -^-r = 1 ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，Z.PAB = a , a b2 乙PBA="上BPA = y , c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有⑴I/M 1= "°'纠・(2)a" - co /, 2a2h2tana tan// = 1-^ ・(3) S^Ab = —----------- co"・b — a13-已如椭吟f " < Ab>0）的右准细与x轴相交于点E ‘过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A. B两点，点C在右准线/上，且PC丄x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作•椭圆的切线，与以K轴为直径的圆相交，则相应交点为相应焦点的连线必与切线垂扎15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点打焦点的连线必与焦半径互相垂直.16•:椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离•与以该焦点为端点的焦半径之比为常数c（离心率）.（注:在椭洌憊二角形中，菲焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点・）17•椭圆焦-:角形屮，内心将内点•与#焦顶点连线段分成定比e.1&椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.G_l ）_ +（〉=】）_ =1 （直线V = --X上方部分）5 5 32 3凡应卩］曲线系，爭半功倍利川曲线系解题，往往简捷明快，收到爭半功倍之效。
历以灵活运用曲线系是解析儿何中虫要的解题方法和技巧之一。
例6.求经过两圆空十#和/ + y2 +6y-28 = 0的交点，且圆心在血线 *^~^=<：上的圆的方程°3 3十则圆心为（---- ，在直线上1 + 兄1 +A二解得兄=丄7故所求的方程为七.巧用点耒，简捷易行在岡锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点井法，此法比具它方法更简捷•些.1例7・过点A （2, I）的直线与双曲线/ - —= 1相交于两点吟P"求线段PR中点的轨迹方程。
2解：设埒Cv 弓g，形），则设P】P2的中点为则••・丐场中点M的忱迹方程是云一^七、=<^解析儿何題怎么解乂U =二卫一，而R、As M、P2共线兀o —212 824 16 12 8化简整埋得点Q的轨迹方程为：解：设所求圆的方程为:<2>-<1> 得2x^x o "2高考解析儿何试题 般共有4题（2个选择题,1个坦空题，1个解答題），共计30分止右，考合的知识点约为20个左右.Ji:命题•般累扣课本，突出重点，金面考杳.选择题和填空题考杳直线，凤 圈锥曲线，参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答題車点考査圆供曲线中的束要知识盛 通过知识的虫俎与链接，使知识形成网络，若垂考仓胚线与圆傣曲线的位置关系, 求解有时还要用到半儿的基本知识，这点值得考生在复课时強化.例1已知点T 超半岡O 的自径AB 上 点，AB=2、OT=t （0<t<1）,以AB 为耳腰作自角梯形AA f B fB .使 垂直且等于AT,使BB 1垂直且等于BT, 交半圆于P. Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.⑴写出直线/2T 的方程；（2）計算LLJ 点P 、Q 的坐标；屮 y（3）证明：由点P 发;h 的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q讲解：通过读图，看;点的坐标.廿）显然上（1,1 一）B’（一 1,1 + 0 于是 臣线的方程为y = —lx +⑵由方程组(3) k PT =山起线PT 的斜率和自.线QT 的斜率互为相反数知，山点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q 需委注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式，有趣吗？X y例2己知自线I 与ffiR —+ ^r= Ka >h> 0）有且仅有•个交点Q 且少x 轴、y 轴分别交于R 、S,求以线段SR■ f w为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线！所处的位創设出百线/的方程，由已知，直线I 不过椭圆的四个顶点，所以设直线I 的方程为y = L^m （k^0）. 代入楠圆方程沪 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2.得 b 2x 2 u 2（k 2 x 2 + 2hnx m 2） = a 2b 2.化简后，得关于x 的一元-•次方程（a%? +沪）/ +2ka z mx +/胪-a 2b z = 0.于是其判别式 A = （2ka 2m ）2— 4（a zk 2+力'）（“ ‘加‘ - a '方'）=4A 2h 2 （a 2 fc 2 + ft 2 - m 2）. 由已知，得△=（）•即初$疋2十沪=机2 ①在直线方程 y = kx + m 中，分别令 y=0, x=0,求—,0）, S （0,?K ）.令顶点P 的坐标为（x, y ）, rh 己知，得代入①式并整理，得《+厶“，即为所求顶点P 的轨迹方程. 工）2方程竺+ = 1形似椭囲的标准方程，你能画出它的图形吗？即为所求顶点P 的轨迹方程.(-11)解出"(0,1八);X2 y12\/3 V3 例3已知取曲线一厂- = 1的离心率w = ----------- ,过/4（a,O）, «（（）,-/?）的百线到原点的即•离足——/沪 3 2 （.1）求发曲线的方程;（2）已知百线，=处+ 5仏工（））交双曲线于不同的点C, D且C, D都在以B为岡心的岡卜•，求k的伯.讲解：•••（1）三=2 J3 .原点到自线AB： ±_Z = i的曲离a 3 a huh■\! J + J ・•・ b = a = %/^・故所求双曲线方程为y〈2）把》=kx + 5代入_ 3〉,2 = 3 中消公* 整理得（1 一3&2）/ 一30kv - 78 = 0 ・设C(“儿XD(x2,y2),CD 的中点足E(x0>y0),则HEx a15 k 5k’ 2 一・・.Ya + ky. 4- k = 0, H|J ---------- -- H ---------------- -- + 在= O, 乂A: O,/. k = 7" 1 - 3A; 2 1 一3花2故所求k= ±\i 7・为了求出R的值，需要通过消元，想法设法建枸《的方程.例4己知椭圜C的中心在原点，焦点冃、屉在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且ZFiPFe的最大侑为90° ,宜线I过左焦点R与椭圆交于A、B两点，AABF2的而积星大值为12・<1）求楠岡C的离心率：（2）求椭岡C的方程・讲解：（1）设IPFJ= jIP© l=0l片笃对人〃\役，山余弦定埋，得山丈匕_］十宀°, 八+ G a2（—）（2）考虑百线/的斜率的存在性，可分两种怙况:i）M1k存在时，设I的方程为y = k（x +c）椭圆方程为弓+ £ =—（知儿）』（“儿）山-返・得/ 2 2c\h Z^c Z于是楠圆方程可转化为/ + 2卡一2/=0将①｛弋入②，消去》得x2 + 2k\x^c）2 -2c3 = 0,整理为X的一元一次方程，得（I + 2“）/+ 4<*3 + 2^占-° = o・则*、X2是上述方程的两根.且妊, |?1S |=v'77Fl^ ■龙1+2厂31+21也可这样求解：AB边卜.的|岛）=| F F“ Isin ZBF,F、= 2cx—=THT7由①®知S的最大值为忌2由題意得近/ =12所以/ = 6込=b， a1 = 12逅故M1AABF2面积用大时椭鬪的方程为：丄,寸】下面给出本遞的另一解法，请读者比较二者的优劣；设过左焦点的百线方程为：x = zny - c .................. ①(这样设起线方程的好处是什么？还请读者逬一步反思反思・) 椭圆的方程为：-i T4-2_ = L4(x1>y1). fi(x2>y2)a b°由一亞•得: 宀2八宀八于是椭圆方程可化为: 宀2八2八0••••・•②2把①R入②并松埋得：曲-2)八-2呻-/ = 0于是儿*2是上述方程的两根.I AB 1= J(“-卞严+ (儿一儿)2 = J1 + '/ I儿_儿丨=后亍f ・乜.2逅曲卜<),m1 + 2 m X + 2山题总知爲工=12 ,于是b2 = C2 =6^2. a2 =12^2 •故出△ ABF?而积最大时楠圆的方程为：2 2X 亠$ 12 2例5已知百线y =—兀+ 1打椭^1 —+^-= \(a >b> 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在言线/:x-2v = (>±. (. 1 )求此桶圆的肉心率;(2 )若椭圆的右焦点关于自线/的对祢点的在圆厂+ ,y2 =4 h,求此椭岡的方程.ii)当k石存在时, 把冃线x = —c代入桶圆方程得y二士—cl 1= yflc、S = -y/lc x 5/2*6**2AB边上的高〃冷_为且仅出m=0取等号，即S® =72C2.讲解：<D设A、B两点的坐标分别为列比，儿),3(也」2)・则由 / / 得(a2 + 沪)尢~ — 2a2 x + a" — a^b1 = 0,根据韦达定理，得-V, +X2 = --2"-「儿 + 儿=-(X, + XJ) + 2 = -2fe7 a + b " +•••线段AB的中点坐标为( 一 ./ 2 )・a * +b a + ba x2b 水由已知得一一——=0./. a2 = 2ba" + a J + b °故椭岡的离心率为忆= (2)由(1〉知b = s从而椭圆的右條点坐标为戸@,0),设卩(60)关于直线/:*一2丁 =()的对称点为y- 0 1 才介+ b v.. 3 4g从则二•厂“且丁-^寸“解得^=-^=7,由已知得+ >^ =4..*. (-&)2+(-&)2 =4,/. Z>2 =4,故所求的椭岡方程为—+ —= 1 . 0 0 5 5 8 4程.已知OM： .r2 + (>•- 2)2 = 1,Q是兀轴卜•的动点，QA, QB分别切于A, B两点, (1)如果I佔1= —｝求也统MQ的方程；(2)求动枝AB的中点P的轨迹方3讲解：(1)山丨A* l= 土空,可得3IMP 1= JlMA I? -=¥'由射影定I MB I2 =l MP I • I MQ I,得I MQ l= 3,在RtAMOQ 中,I OQ l= Jl MQ \2 -\ MO \所以自线AB方程是2x + ^5y一2\5 =()或2工一斥y + 2J? = 0;2 v - 2 <2)连按MB, MQ,设P(x」)Q(s()),山点P, Q在一氏线上，得——= ——,(*)-a x山射影定理得I MB I2=l MP I ・l A/Q I,即+ (y _2)2 ・、// + 4=―杠)把（J及（"〉消去a,并注愆到y < 2,可得x2 + （y--）2 = 4适时应用平面几何知谋，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.V2例7 如图，在RtAABC 中，ZCBA=90° , AB=2, AC=——。