§4.04-同角三角函数的基本关系式(2)
第四章 第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
－2cos2θ＝
()
A．
B．
C．
D．
解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ 答案： D
3.(2010·黄冈模拟)已知△ABC中，cotA＝－ ，则cosA
＝
()
A．
B．
C．
D．
解析：由cotA＝－ 知A为钝角，又cotA＝ sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝
答案： D
4.若α是第三象限角，则
∵ tanα=
保持题目条件不变，求：(1) (2)sin2α ＋2sinαcosα的值. 解：由例题可知tanα＝－
(2)sin2α+2sinαcosα=
1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α， ±α的三角函数值是 化简的主要工具.使用诱导公式前，要正确分析角的结构 特点，然后确定使用的诱导公式.
1.解决给角求值问题的一般步骤为：
2.解决条件求值问题时，要注意发现所给值式和被求值式 的特点，寻找它们之间的内在联系，特别是角之间的联 系，然后恰当地选择诱导公式求解.
已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 求下列各式的值： (1)sinα－cosα； (2)sin3( －α)＋cos3( ＋α).
cosα sinα
π±α
sinα －cosα
±α
－cosα ±sinα
2π－α
－sinα cosα
tanx tanα
cotx cotα
－tanα －cotα
cotα
tanα
±tanα ±cotα
cotα
tanα
－tanα －cotα
诱导公式可以概括为k· ±α的各三角函数值的化简公式. 记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数 倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数 名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作 为结果的符号.
同角三角函数的基本关系式课件
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
同角三角函数关系公式
同角三角函数关系公式三角函数是数学中的一个重要的概念，它可以描述函数的变化以及计算函数的物理量。
在同一个角度下，尽管三角函数的取值可能不同，但它们之间仍然存在着古老的关系公式，这些公式被称为“同角三角函数关系公式”。
同角三角函数关系公式是以三角函数的参数θ为界，它代表了三角平面在x轴和y轴上所指定的角度大小。
当θ给定时，由其可以确定出三角函数的取值。
而三角函数之间的关系公式恰好就是这种特殊性质的体现。
同角三角函数关系公式的内容可以由定义公式决定，例如：sin2θ=2sinθcosθ 7 cos2θ=cos2θ-sin2θ 8 tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ) 。
这些公式表明了同角三角函数之间的关系，它们是由其参数θ决定的。
这样，只要三角函数的参数θ给定，就可以由其确定出三角函数的取值，并且可以通过同角三角函数关系公式来求解函数物理量。
另外，对于同角三角函数关系公式也是有一定程度的推广和变形。
例如，由上述公式可以进一步得到以下变形公式：sin 2θ＝cos 2θ＝1-2 sin2θ。
这些公式使得微分方程中的有关求解变得更加方便。
而在数学上，同角三角函数关系公式也用于提供数学归纳法的计算。
例如，通过计算sin 2θ＝2sinθcosθ，我们可以得到sin 3θ＝3sinθ-4sin3θ。
此外，在实际的科学应用中，同角三角函数关系公式也可以用来解决实际问题，例如求出卫星的运行轨迹，分析信号传输的特性等等。
总之，同角三角函数关系公式是一种有着古老历史的数学公式，它可以为我们提供许多有用的信息。
只要给定了三角函数参数θ，我们就可以利用它来计算三角函数的取值，并且可以用它来求解函数物理量、解决数学推广问题，甚至是解决实际问题。
同角三角函数的基本关系及诱导公式
第四章
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理
核心考点
-8-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知 α 是三角形的内角,且 tan α=-13,求 sin α+cos α 的值.
(2)若 tan α=-43, ①求5ssiinn������������-+42cocos���s���������的值; ②求 sin2α+2sin αcos α 的值.
cos2������ cos2������-sin2������
= t1a-nt2a���n���+2���1��� .
cos2������
∵tan α=-43,
∴cos2������1-sin2������
=
t1a-nt2a���n���+2���1��� =
-43 1-
2
-43+21=-275.
考向二 利用诱导公式求值
例 4(1)已知 θ 是第四象限角,且 sin
什(1)么1 ? (2) 3
答案
第四章
考点1
考点2
考点3
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理
核心考点
-18-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
A.-1
B.-
2 2
C.
2 2
D.1
(2)已知-π2<α<0,sin α+cos α=15,则cos2������1-sin2������的值为(
(完整)同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－tanαcot（－α）＝－cotα两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β）＝—————-1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2（α/2）1－tan2(α/2）cosα＝—————-1＋tan2(α/2）2tan（α/2) tanα＝——————1－tan2（α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝--———1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βc osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。
高一数学同角三角函数的基本关系式知识精讲
高一数学同角三角函数的基本关系式【本讲主要内容】同角三角函数的基本关系式【知识掌握】 【知识点精析】1. 同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin cos tan sec cot csc 222222111αααααα+=+=+=，， （2）商数关系：tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）倒数关系：tan cot cos sec sin csc αααααα⋅=⋅=⋅=111，，应用公式时需注意：①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，等式中涉及的角是同一个角，如sin cos 22331αα+=，tan()cot()-⋅-=1001001，而sin cos 221αβ+=就不一定成立。
②利用平方关系进行开方运算，要注意结果的符号，必要时，要进行分类讨论。
③这些关系式是对使它们有意义的那些角而言的。
如：tan sin cos ααα=是当αππ≠+∈k k z 2()时才有意义。
④在计算、化简、证明三角函数式时常用技巧有：i ）“1”的代换。
根据需要，常将算式中的“1”用“sin cos 22αα+”；“sec tan 22αα-”；“sin csc αα⋅”；“tan cot αα⋅”代换。
ii ）切化弦。
利用商数把正切、余切化为正弦、余弦函数。
iii ）整体代换。
将算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。
⑤公式应用非常广泛，因此除牢记公式原型外，还应注意公式的逆用，变形用。
如：cos sin 221αα=-，sin tan cos ααα=⋅，sin cos (sin cos )αααα⋅=+-212等等。
2. 同角三角函数基本关系式的应用（1）已知一个角的某个三角函数值，求它的其他三角函数值。
①尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号。
②尽量避免使用平方关系（在一般情况下只能使用一次）。
同角三角函数的基本关系式
4
3
2
解:(2) 1 sin2α+ 1 sin αcos α+ 1 cos2α
4
3
2
1 sin2 1 sin cos 1 cos2
=4
3
2
sin2 cos2
=
1 4
tan2
1 3
tan
1 2
=
13
.
tan2 1
30
方法技巧 关于sin α、cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α、cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,解题时,分子、 分母同除以cos α的n次幂,即可化为关于tan α的式子,再计算就简单 多了.
(A) 1 5
(B) 3 5
(C)- 1 (D)- 3
5
5
解析:由
tan tan
sin sin
3, 2,
解得 tan θ= 5 ,sin θ= 1 ,
2
2
所以 cos θ= sin = 1 . tan 5
4.已知sin α=5cos α,则sin αcos α的值为
.
解析:法一
由
sin sin
=tan α·( 1 cos 2 - 1 cos 2 )=tan α·( 1 cos - 1 cos )
1 cos2
1 cos2
| sin | | sin |
= sin ·(- 1 cos + 1 cos )= sin · 2cos =-2.
cos
sin
sin
cos sin
答案:-2
解:(1)因为 sin A+cos A= 1
①
5
所以两边平方得 1+2sin A·cos A= 1 ,sin A·cos A=- 12 .
同角三角函数的基本关系课件
tan2 + tan + 3 49 + 7 + 3 59
=
=
=
.
2
49
+
1
50
tan + 1
题型五
易错点
易错辨析
忽视 sin θ 与 cos θ 的制约关系致错
【例 5】 已知 θ 是第二象限角,且 sin θ=
则实数的取值范围是(
A.3<m<9
C.m=0 或 m=8
-3
, cos
【例 2】 已知 tan α=3,求 sin α 和 cos α 的值.
分析:利用平方关系和商关系,列方程组解得 sin α 和 cos α 的值.
sin2 + cos2 = 1,
解:由题意,得 sin
= 3,
解得
sin
cos
cos
3 10
=
,
10
或
10
=
10
3 10
,
10
10
.
10
sin = cos =
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
(1)关系式:
①平方关系:sin2 α+cos 2 α=1.
sin
②商关系: cos = tan
π
≠ π + 2 , ∈Z .
(2)文字叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 1, 同一个
角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
三角函数式的化简与证明方法
故左边=右边.
证法三:令1-sin α=x,cos α=y,
则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x.
同角三角函数的基本关系(第2课时)
04
CHAPTER
同角三角函数的倍角公式
倍角公式的推导
公式推导
利用三角函数的和差公式，通过 代数运算推导出倍角公式。
具体过程
通过对sin(2x)、cos(2x)、 tan(2x)等函数的运算，推导出 sin(2x)、cos(2x)、tan(2x)的表 达式，进而得到倍角公式。
倍角公式的应用
解决实际问题
03
奇偶性
同角三角函数具有奇偶性，即对于正弦函数和余弦函数，当角度增加或
减少180度时，其值会保持不变；而对于正切函数，当角度增加或减少
180度时，其值会变为负值。
同角三角函数的符号
正弦、余弦、正切符号
在数学中，正弦函数记作sin，余弦函数记作cos，正切函数记作tan。这些符号用于表示同角三角函数的值。
同角三角函数的基本关系(第2 课时)
目录
CONTENTS
• 同角三角函数的基本概念 • 同角三角函数的诱导公式 • 同角三角函数的和差公式 • 同角三角函数的倍角公式 • 同角三角函数的半角公式
01
CHAPTER
同角三角函数的基本概念
同角三角函数的定义
定义
同角三角函数是指与同一个角α有关的 三角函数，包括正弦函数sinα、余弦 函数cosα、正切函数tanα等。
利用倍角公式解决与角度有关的实际问题，如测量、工程、物理等领域的问题。
简化计算
通过倍角公式，可以将复杂的三角函数计算简化，提高计算的准确性和效率。
三角函数的降幂公式
降幂公式
利用三角函数的倍角公式，将高次幂的三角函数式降为低次 幂的形式。
应用场景
在三角函数的相关证明、化简和计算中，降幂公式可以起到 关键的作用，简化计算过程，提高解题效率。
同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin ,1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sin cos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。
【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。
【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα==-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。
【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。
①又sin 2α+cos 2α=1， ②由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即21cos 5α=。
当α为第二象限角时，cos α=，代入①得sin α=。
当α为第四象限角时，cos 5α=，代入①得sin 5α=-。
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2、求证
2
1 （2） sin cos 2 2 sec csc 2 2 2 2 2 （3） (1 sin A)(sec A 1) sin A(csc A cot A) cos x 1 sin x （4） 1 sin x cos x
2
4、 P27
6
1、P28习题
8、 9
2、《ABC 》同步完成
； lol韩服账号
ysh26zvb
拜~”张祁潭也从窗户里翻了出去。“好的，明天见。”慕容凌娢这会连手都懒得抬了。韩哲轩和张祁潭都离开之后，慕容凌 娢开始构思到底要怎么样进入皇宫——三品一下官员是没资格上朝的，但如果不上朝就木有理由在皇宫闲散的瞎逛，就没办法 知道玉玺放在哪儿，也就没办法计划偷灵石的路线……真是麻烦，看来只能去拜托夏桦了……第二天下午，慕容凌娢抽时间回 了晴穿会总部。“大叔，你今天还进宫吗？”慕容凌娢趴在桌子前，“如果去的话带上我啊。”“为何？”夏桦头也不抬，翻 着这几天晴穿会成员的业绩记录。“我要去找灵石啊。”“灵石……”夏桦猛然抬头，进入沉思状态。过了许久，他缓慢的说 道，“你居然还记得。”“怎么会不记得！”慕容凌娢拍案而起，她不明白夏桦为什么是这种反应，该不会是忘记灵石这个梗 了吧……“那可是我穿越回去的希望啊！”“你如果真的想穿越回去……”夏桦慢条斯理的捋着胡须，“还不如去晴穿会旗下 的超自然协会，那儿的人都是研怎样究穿越时空的。当然，想要进那个协会，至少也要硕士以上学历……你没希望的。”“你 明明告诉我用灵石都可以的！”慕容凌娢感觉自己被耍了。“那只是传闻，所有解释权归晴穿会所有。”“我不管！”慕容凌 娢炸了，既然夏桦那么不要脸，她也开始没节操的软膜硬派。“你欺骗了我的感情，浪费了我的精力，消磨了我的时间，伤害 了我脆弱幼小的心灵。你要赔偿我！”“好好好……”慕容凌娢大声的鬼吼鬼叫，夏桦也有些方了。这要是被别人听到，指不 定以为自己做了什么伤天害理，丧尽天良的事呢。“明天进宫的时候一定带你去。”“说话算话啊，不能再找借口了。”“绝 对算话。”为了防止慕容凌娢把自己的办公室给拆了，夏桦决定先把她支走，“我今天还有别的事，要不……你明天来找 我？”“那好吧。”阴谋得逞，慕容凌娢欣慰的一笑，转身离去。（古风一言）十年戎马孤心单，今日我退隐归深山，如若有 天你难堪，我定扬旗再起帆。第117章 晴穿会创始人“说话算话啊，不能再坑我。”“绝对算话。”为了防止慕容凌娢把自己 的办公室给拆了，夏桦决定先把她支走，“我今天还有别的事，要不……你明天来找我？”“那好吧。”阴谋得逞，慕容凌娢 欣慰的一笑，转身离去。于是乎，第二天，慕容凌娢又兴冲冲的去找夏桦。“大叔，我准备好了。”“走吧，白绫。”夏桦依 旧提着上次那个箱子，装出一副仙风道骨的样子。“走走走，到时候你还找借口和皇上胡扯，把我打发走，然后我就可以在四 处转转，设定路线。”慕容凌娢很拽的一摆手，搞得自己是老大一样。“哎~”夏桦叹了口气，递给慕容凌娢一个小瓶子， “你要是摊上事了，别指望我帮你。自尽之前，随便喊
180 180 1rad 57.30 57 18
1
rad 0.01745rad
4、任意角的三角函数 r x y 0
2 2 2
正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
y sin r x cos r y tan x x cot y r sec x r csc y
ห้องสมุดไป่ตู้
y
y
+
o
+
x
o
+
+ x
sin a 1 cos a 1
sin
csc
cos
sec
y + o + x
tan
cot
5、同角三角函数的八个基本关系式
1、平方关系 sin cos 1
2 2
1 tan sec
2 2
3、倒数关系 tan cot 1 sin csc 1
1 sin x 1 cos x 1、已知 ，求 . cos x 2 sin x 1 1 sec x tan x 1 sin x 2、证明： 1 sec x tan x cos x 5 3、已知 sin cos ， 4 求 (1) sin cos 3 3 (2) sin cos
§4.4 同角三角函数的基本关系式 （二）
我们的目标
1. 掌握同角三角函数八个基本关系式
2. 能熟练运用基本关系式证明三角恒等式
1、角的扩充
终边相同的角
k 360
k Z
2、诱导公式 sin(k 360 ) sin cos(k 360 ) cos tan(k 360 ) tan cot(k 360 ) cot 3、弧度制
1 cot csc sin 2、商数关系 tan cos cos cot sin
2 2
cos sec 1
1、化简 （ 1 ） 1 sin 2 40
(2) sec A 1
2
（1） cot (tan sin ) sin