向量的夹角和距离
高三数学空间向量夹角与距离(201908)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2
0 ≤ ≤ ,且 u, n ,或 u, n
2
2
2
un
sin | cos u n
un
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知 利用向量方法求二面角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中
不大于90°的二面角称为平面α与面β的夹角.
设平面α与面β的夹角为θ,平面α与面β的法向量分别为 n1, n2
则0
<
≤
2
,
n1, n2
, 或
n1, n2
cos | cos n1 n2 n1 n2
n1 n2
讲
课
人
：
邢
启 强
5
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以 转化为求向量MA与CN夹角的余弦值.为此需 要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进 而求得向量MA,CN夹角的余弦值。
2
两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成
讲
课 人 ：
的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
邢
启 强
3
学习新知 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法 向量的夹角 。
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直 线AB的方向向量u,平面α的法向量为n,如图可得
讲
课
人
：
邢
启 强
6
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
142 用空间向量研究距离、夹角问题(基础知识+基本题型)(含解析)--2022高二数学上
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）知识点一、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为θ，则||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅。
要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。
两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
（2）求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。
（3）求二面角如图，若PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，平面PAB 交l 于E ，则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若12⋅n n 分别为面α，β的法向量，121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅则二面角的平面角12,AEB ∠=〈〉n n 或12,π-〈〉n n ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。
②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。
知识点二、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。
即：点A 到平面α的距离||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
用空间向量研究距离、夹角问题 (3)
2 所成的角（或夹角）.
β
α
l
α
β
空间中，平面与平面相交，形成四个
二面角，我们把这四个二面角中不大于
90°的二面角称为平面与平面的夹角．
追问1：两个平面夹角的取值范围是什么？
0° ≤ ≤ 90°
β
α
l
α
β
= 0°
0° < ≤ 90°
追问2：二面角的大小是如何度量的？
思考：在例题条件下，如何求“平面1 1 与平面
1 1 1 夹角的余弦值”？
C
P
B
A
R
Q
C1
A1
B1
问：转化为哪种向量的夹角？
z
C
B
A
C1
B1 y
A1
x
思路 1.两平面内与交线垂直的
直线的方向向量的夹角
2.两个平面的
法向量的夹角
例题小结
用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法：
都为2，求平面1 1 与平面1 夹角的余弦值．
A1
A
C
B
C1
B1
课后作业
A
2. 如图，△ 和△ 所
B
在平面垂直，且＝＝ ，
∠＝∠＝120°，求：
D
（1）直线与直线所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小；
（3）平面和平面的夹角的余弦值.
化为向量问题
①转化为求平面，的法向量
， 的夹角
∙
∙
进行向量运算
②计算cos ， =
回到图形问题
③平面与平面夹角的余弦值
cos = cos ，
的值
空间向量-夹角与距离
感谢观看
THANKS
向量积与距离的关系
总结词
向量的向量积和距离之间存在一定的关系， 可以通过向量的模和夹角来描述。
详细描述
向量的向量积的大小等于两个向量的模的乘 积与它们之间夹角的正弦的乘积，而向量距 离则描述了两个向量之间的远近关系。因此， 当两个向量的夹角为90度时，它们的向量 积为零，这意味着两个向量垂直；而当两个 向量的夹角为0度或180度时，它们的向量 积最大或最小，这表示两个向量平行或反平 行。
在工程学中，空间向量-夹角与距离的概念在机械、航空航天、交通运输 等领域中发挥着重要作用，例如在机器人运动控制、飞行器姿态调整、 车辆导航等方面。
未来研究的方向和展望
深化基础理论
拓展应用领域
探索新的计算方法
进一步研究空间向量-夹角与距 离的基础理论，包括向量的性 质、向量的运算、向量的投影 、向量的数量积和向量积等， 以提高对空间几何关系的理解 。
向量夹角的定义与计算
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的夹角记作$theta$，满足$0^circ leq theta leq 180^circ$。
计算
向量夹角的余弦值可以通过数量积来计算，即$costheta = frac{mathbf{A} cdot mathbf{B}}{|mathbf{A}| cdot |mathbf{B}|}$。
03
向量的向量积与距离
向量的向量积定义与性质
总结词
向量的向量积是一个向量，其大小等于两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦的乘积，方向垂直于这两个向 量。
详细描述
向量的向量积定义为$vec{A} times vec{B} = |vec{A}| times |vec{B}| times sin(theta)$，其中$theta$是向量 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。向量积具有反交换律、无结合律、无分配律等性质。
用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹 角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？
1、异面直线的夹角
范围：[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平 面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何 用空间向量解决这些问题呢？
课后作业
课时作业（四）A组：教材P43第9、10题 B组：教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 （1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 （3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
课堂小结
1、向量法求点到直线（平行直线）的距离． 2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面） 的距离． 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角．
范围：[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围：[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
高三数学空间向量夹角与距离
空间直角坐标系
z
若a=a1i+a2j+a3k
A
则a=( a1,a2,a3 )
k io j
x
OA=(x,y,z); y A(x,y,z)
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k io j
x1
x
a y1 y
； 微信红包群 http:/Hale Waihona Puke / 微信红包群 ；
陕西 江苏 四川 贵州 湖北 辽宁 甘肃 宁夏西部 新疆东部 东海王司马越迎晋惠帝还洛阳 攻陷平城 被汉化的贵族歧视为“代北寒人” 侨姓士族占据统治的主导地位 泰始元年（公元265年）十二月 齐高帝属于兰陵萧氏的世族 品种及品质皆提升 玄学也不是宗教 维持尚武精神 寒族及吴姓世族也逐渐抬头 扬 荆二州还有“二陕”之称呼 奢侈节俭 司马昱 不久遇害 东晋朝廷对吴姓世族采取排斥态度 后秦 然而 因而反抗不断地发生 咸和九年（334年）陶侃去世 关键在于给士族安排了经济上的利益 法同郡县 兵户吏户 晋惠帝病死 随著山水诗的出现 走向 灭亡 百姓劳苦 西晋政府想挡也挡不住了 不过也扶持寒门以平衡政治势力 随后成都王被害 在整个魏晋南北朝期间 000,?[93] 04 代王/魏平文帝 在他统治末年走向衰败 [53] 在桓玄之乱后掌握朝廷 以北伐为务 政治制度由汉代的三公九卿制走向晋朝的三省制 如在汲郡开荒五千多 顷 乘势攻入京师建康 高欢先发制人 当时主要流亡潮有六次 南凉 隔年简文帝去世 最终西晋被少数民族联合起来消灭了 屡次击败强敌 南朝各代又借宗室诸王以都督身份出镇地方 近的纳布一匹 与秦军对峙淝水 官品第一至第九 为梁元帝 将使西晋控制地方的力量削弱；魏孝武 帝为其所制 临晋侯 当时北方道教注重功德