八年级数学下册：9.1《二次根式和它的性质》导学案(1)
人教版八年级下册数学第十六章二次根式二次根式的概念和性质教案
-设计分层次练习，从基础到提高，逐步突破难点。
-引导学生通过自主探索和合作交流，构建数学模型，提高数学建模能力。
-在教学中注重教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算平方根的情况？”（例如：计算正方形边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
-详细讲解二次根式的性质，结合图形和实际例子，使学生直观理解。
-以典型例题形式，展示二次根式的化简和运算过程，指出易错点，强调运算规则。
-设计具有挑战性的问题，让学生在实际情境中应用二次根式，识别难点，培养解决问题的能力。
-通过小组讨论和互动，激发学生的学习兴趣，促进数学表达和交流能力的提升。
4.教学策略：
在新课讲授环节，我采用了案例分析的教学方法，让学生通过解决实际问题来体会二次根式的应用。从实践活动的表现来看，学生们对此表现出较高的兴趣，但在小组讨论中，部分学生仍然显得不够积极主动。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，多鼓励学生发表自己的观点，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生在解决问题时思路不够清晰，容易陷入思维定势。为了帮助学生打破思维局限，我将在以后的课堂中，适时给予他们提示和引导，培养他们的问题分析能力和创新意识。
。
三、教学难点与重点
1.教学重点：
-二次根式的定义及其性质的理解和掌握。
-二次根式的化简和运算方法的运用。
2.教学难点：
-对二次根式性质的深入理解，特别是乘法法则和除法法则的应用。
二次根式的除法(导学案)-八年级数学下册(人教版)
学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册16.2.2二次根式的除法导学案一、学习目标：1.了解二次根式的除法法则.2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.3.能将二次根式化为最简二次根式.重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算.难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.二、学习过程：课前热身一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？1.二次根式的乘法法则：______a b （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：_______________________________________________.2.积的算术平方根的性质：_______ab （a≥0，b≥0）语言表述：_______________________________________________.应用范围：_______________________________________________.二、练一练：1.计算：312 的结果是()学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A.2B.6C.8D.162.计算：20•51的结果是____.3.等式162 x =4 x •4 x 成立的条件是__________.合作探究探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)94=()，94=()；(2)2516=()，2516=()；(3)4936=()，4936=().思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？一般地，二次根式的除法法则是______ ba (a≥0，b＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).m a a b n n b典例解析例1.计算:24331(2);28342561111.226学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【针对练习】计算：(1)218 (2)aa 26(3)672(4)53123452 二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).aa b b语言表述：_______________________________________________.我们可以运用它来进行二次根式的_______和________.例2.化简:375(1)(2);100277(3)2;9281(4)0;25x x 0.09169(5).0.64196【针对练习】化简:学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________735;;1441251(3)2;4227(4)0.16x x ＜自主学习思考：前面我们学习了二次根式的除法法则，23这样的式子分母的根号吗？（请结合分式的基本性质，用多种方法尝试解决）2323【归纳】___________________________________________就叫做分母有理化.典例解析例3.计算:(1)53(2)2723(3)a28【归纳】最简二次根式22，33，103，515，36，aa 2.观察上面三道例题中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：(1)_________________________；学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)_________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.【针对练习】把下列二次根式化成最简二次根式：(1)32(2)40(3)5.1(4)34例4.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=32，b=10，求a.【针对练习】1.【章前引言】如果两个电视塔的高分别是h 1km，h 2km，那么它们的传播半径的比为2122Rh Rh .2.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=16，b=10，求a.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.计算：1(1)2182;632(2)68(0).3m m m m＞达标检测1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）13B．7C．9D．2022的倒数是（）A．2B．2C．−22D．−2m+34−m=m+34−m成立，则m 的值可以是（）A．-4B．2C．4D．5350时，最好将分子、分母都乘以()A.50B.10C.5D.25.下列计算正确的是()A.11515=355 B.332=255 C.0.50.50.25==20.25D.7733学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6.二次根式222145,30,2,40,2a b a b 中，最简二次根式是______________.7.已知长方形的面积是48cm 2，其中一边的长是32cm ,则另一边的长是______cm.8.已知等式223344552=234=45=5338815152424，，，，，请你根据上述的规律，写出用正整数n(n>1)表示的式子___________________.9.把下列二次根式化成最简二次根式：48;(2)120;(3) 3.2;7.1210.化简.122x x 567(2)0.125;a b c 32(3)416.a a 11.计算.3903;52312a b222(3)2.335学习笔记记录区12．若a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求ab的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
人教版八年级数学下册导学案(全册)【最新】
第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
新人教版八年级数学下册导学案(130页)
义务教育基础课程初中教学资料第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判断下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x 学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展示成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。
八年级数学下册《二次根式》导学案
八年级数学下册《二次根式》导学案八年级数学下册《二次根式》导学案一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：和二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质和。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知，那么是的_____; 是的____, 记为____, 一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子的意义是。
（二）自主学习(1) 的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式。
如果用含h的式子表示t，则t= ；(3)圆的面积为S，则圆的半径是；(4)正方形的面积为，则边长为。
思考：，， , 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如（）叫做二次根式，叫做______。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？，，，，，2、当为正数时指的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母必须满足 , 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算：(1) (2) （3）（4）根据计算结果，你能得出结论：，其中 ,4、由公式，我们可以得到公式 = ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如( )2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=( )2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35(2)在实数范围内因式分解4a -11（三）合作探究例：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由，得当时，在实数范围内有意义。
练习：1、取何值时，下列各二次根式有意义？2、（1）若有意义，则a的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则为（）。
八年级数学下册 16.1《二次根式》二次根式的性质学案1(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1《二次根式》二次根式的性质学案1（新版）新人教版
16、1《二次根式》二次根式的性质班级姓名
【学习目标】
1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简、
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题、
【学习重难点】
1、重点：＝a（a≥0）、
2、难点：探究结论、
3、关键：讲清a≥0时，＝a才成立、
(一)
【复习回顾】
1、取何值时，下列各二次根式有意义？①（）
②（）③ （）
（二）自主学习
1、填空：=_______；=_______；=______； =________；
=________；=_______、、因此，一般地：=a（a≥0）
三、合作探究例
1、化简（1）（2）（3）（4）
2、
【归纳】
二次根式的性质：例
2、计算：（1)
=________、5、若是一个正整数，则正整数m的最小值是
________
6、的值是（）、
A、0
B、
C、4
D、以上都不对
7、a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）、
A、=≥-
B、>>-
C、<<-
D、->=
8、已知0<x<1时，化简的结果是（）A2X-1 B1-2X C
12、若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
14、在△ABC中，a,b,c是三角形的三边长，试化简备课时间存在问题。
鲁教版初中数学八年级下册《二次根式的性质(第2课时)》导学案
7.2 二次根式的性质（第二课时）【学习目标】1．熟记二次根式的性质，并能利用性质进行有关的计算和化简．2．综合已经掌握二次根式的性质，培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力．【温故互查】1．一般地，形如__________的式子叫做二次根式，其中a 叫做 ．式子__________也看做二次根式.2．一般地，=ab _______)0,0(≥≥b a也就是说，积的算术平方根等于________________.3．计算下列各式: (1)259⨯ (2) 216a(3)2)1(9+x (4) 52y x【问题导学】阅读教科书P 37至P 38的内容，标注你认为是重点的内容，并完成下列题目．1．你会计算下列各式吗？（1）=94____________; =94_________; (2)=2516 _________; =2516_________. (3)76与76相等吗？为什么？ 2．观察上面得到的运算结果，你发现了什么规律？ 一般地，=ba _______)0,0(>≥b a也就是说，商的算术平方根等于________________.3．你会化简下列各式吗？（1）253 （2【自学检测】1．如何化去21根号内的分母？2．化去下列各式根号内的分母：（1）52 （23．被开方数都不含______，并且被开方数中不含能_________________________，像这样的二次根式叫做最简二次根式.一个二次根式如果不是最简二次根式，那么可以利用______________，把它化成最简二次根式.4．把下列各式化成最简二次根式：（1）xy x（2）354b（3）445 （4）2221)27(⎪⎭⎫ ⎝⎛+【巩固训练】1. 化简：（1）41 （2）252 （3）224a b（4）239b a （5）222)(yx y x + （6）2925xy2. 化去下列各式根号内的分母:（1）31（2）a b（3）412 （4）22)(25n m m +自学检测答案：1． 22222222212122===⨯⨯= 2．（1）510（2）xx 3．分母，开得尽方的因数或因式，二次根式的性质4．（1）xy （2）b b 63（3）523（4）225 巩固训练答案：1．（1）21 （2）52（3）a b 2 （4）b a a 3 （5）xyy x + （6）x y 35 2．(1)33 (2) a ab (3) 23 (4) nm m +5。
八年级数学下册 9.1 二次根式和它的性质导学案2(新版)青岛版
八年级数学下册 9.1 二次根式和它的性质导学案2（新版）青岛版（3）（）2 （4）、课中探究目标一：积的算术平方根1、知识梳理：( a≥0,b≥0)、2、上面的公式可以推广到多个二次根式相乘，即( a≥0,b≥0,c≥0)、3、自学教材P115例4完成下列问题：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)目标二：商的算术平方根1、知识梳理：（a≥0,b>0）、2、自学课本P116例5，解决如下问题：（1）（2）（3）（4）目标五：最简二次根式1、知识梳理：符合下面两个条件的二次根式叫做最简二次根式、（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式、2、尝试练习：下列各式中，最简二次根式有（填写序号）①；②；③；④；⑤；⑥、⑦⑧ ⑨ ⑩当堂检测：1、设a>0,b>0,下列运算错误的是（）A、＝B、＝＋C、()2＝aD、＝2、下列运算错误的是( )A、B、C、D、3、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A、B、C、D、4、化简的结果是()A、2B、C、D、5、能使等式成立的x的取值范围是（）A、x≠2B、x≥0C、x>2D、x≥26、设=a,=b,用含有a、b的式子表示，则下列表示正确的是（）A、0、3abB、3abC、 0、1ab3D、 0、1a3b7、等式成立的条件是（）A、a≥2B、a≥-2C、a≥2D、-2≤a≤28、计算：（1）（）；（2）；（3）、。
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9.1 二次根式和它的性质（1）
【学习目标】
1.了解二次根式的意义及二次根式被开方数中字母的取值问题；
2.掌握二次根式的平方性质()2
a = a （a ≥0）并能灵活应用。
【课前预习】预习课本第110－111页内容
任务一：说说这一章我们将要学习哪些内容 任务二：阅读课本第112页的交流与发现，解决下列问题：
1.山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃. 已知甲苗圃的面积为Sm
2.
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃小25m ，那么乙苗圃的边长是 ；
（2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，那么丙苗圃的边长是 ；
（3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的p
1 ，那么丁苗圃的边长是 ； 2.上面所列式子和9312、、等在表达形式上的共同特征是
任务三：二次根式
3.形如 的式子叫做二次根式，其中a 叫做 .
4.二次根式有意义的条件是 。
5.独立完成例1
任务三：二次根式的平方计算公式
6.我们知道，a （a ≥0）表示a 的 ，即
()2
a = a （a ≥0）. 7.独立完成例2
【课中探究】
问题一：二次根式
1.什么叫做二次根式？
2.二次根式在实数范围内有意义的条件是什么？
3.完成例1后解答下列问题：x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）52-x （2）x x 1+ （3） 212x x ++-
问题二：二次根式的平方计算公式
4.二次根式的平方计算公式是：()2
a = a （a ≥0）。
[这个公式是计算二次根式的平方的依据，它体现了开平方与平方 的关系。
]
5.上面的公式反过来可以得到：a =
()2a （a ≥0）。
[这个公式说明了一个非负数可以写成另一个数的 的形式]
6.上面两个公式中的()2
a a 、、a 都是 。
7.探究例2后解答下列问题：. 计算： （１） 232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （２）222⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛- （3）()2m （4）()b -2
问题三：解答113页练习第1－3题
【当堂检测】
一、选择题（每题3分，共12分）
1.（2013鞍山）要使式子有意义，则x 的取值范围是（ ）
A.x ＞0
B.x≥﹣2
C.x≥2
D.x≤2
2.使31x -有意义的x 的取值范围是（ ）
A.13x >
B.13x >-
C.13x ≥
D.13
x ≥- 3.（2013凉山州）如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ）
A.x≥0
B.x≠1
C.x ＞0
D.x≥0且x≠1
4.要使式子a ＋2a
有意义，a 的取值范围是（ ）
A.a ≠0
B.a ＞－2且a ≠0
C.a ＞－2或a ≠0
D.a ≥－2且a ≠0
二、填空题（每题3分，共12分）
5.计算： 2
1523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ＝ 6.当22
-+a a 有意义时，a 的取值范围是
7.式子－x ＋1x ＋2
有意义的条件是 8.若x x --11
3有意义，求x 的取值范围。
三、解答题（每题3分，共6分） 9.计算：2
353⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
10.计算：275⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
【课后巩固】
一、选择题（每题3分，共12分）
1.若36x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A.2x -≥
B.2x ≠-
C.2x ≥
D.2x ≠
2.（2013湖南娄底，7，3分）式子有意义的x 的取值范围是（ ）
A ． x≥﹣且x≠1
B ． x≠1
C ．
D ． 3.（2010年眉山）22(3)-
A.3
B.3-
C.3±
D.9
4.（2010·绵阳）5．要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ） A.21≤x ≤3 B.x ≤3且x ≠21 C.21＜x ＜3 D.2
1＜x ≤3 二、填空题（每题3分，共12分）
5.要使33
+x 有意义时x 的取值范围是
6.二次根式x -2有意义时，则x 能取的非负整数有 ．
7.要使4
3--x x 有意义时x 的取值范围是 8.若代数式mn m 1
+
-有意义，则平面直角坐标系中点P ()n m ,的位置在 象限。
三、解答题（每题3分，共6分）
9.2440y y -+=，求xy 的值。
10.若()012322=++++y x x .求 y
x 。