基本不等式练习题(含答案)
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C 2 D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1214.对三、解答题1516. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式题型练习含答案
基本不等式题型练习含答案题目1：解不等式2x + 5 > 9。
解答1： 2x + 5 > 9 首先，将不等式两边都减去5。
2x > 4 然后，将不等式两边都除以2。
x > 2 所以，不等式的解集为x > 2。
题目2：解不等式3 - 2x ≤ 7。
解答2： 3 - 2x ≤ 7 首先，将不等式两边都减去3。
-2x ≤ 4 然后，将不等式两边都除以-2。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x ≥ -2 所以，不等式的解集为x ≥ -2。
题目3：解不等式4x + 3 < 19。
解答3： 4x + 3 < 19 首先，将不等式两边都减去3。
4x < 16 然后，将不等式两边都除以4。
x < 4 所以，不等式的解集为x < 4。
题目4：解不等式5 - 3x > 8。
解答4： 5 - 3x > 8 首先，将不等式两边都减去5。
-3x > 3 然后，将不等式两边都除以-3。
注意，因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要将不等号反转。
x < -1 所以，不等式的解集为x < -1。
题目5：解不等式2x - 1 ≤ 5x + 3。
解答5： 2x - 1 ≤ 5x + 3 首先，将不等式两边都减去2x。
-1 ≤ 3x + 3 然后，将不等式两边都减去3。
-4 ≤ 3x 最后，将不等式两边都除以3。
-4/3 ≤ x 所以，不等式的解集为x ≥ -4/3。
题目6：解不等式4 - 2x ≥ 10 - 3x。
解答6： 4 - 2x ≥ 10 - 3x 首先，将不等式两边都加上3x。
4 + x ≥ 10 然后，将不等式两边都减去4。
x ≥ 6 所以，不等式的解集为x ≥ 6。
题目7：解不等式2(3x + 1) > 4x + 6。
解答7： 2(3x + 1) > 4x + 6 首先，将不等式两边都展开。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对 x y ＋y x 说法正确的是( )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定答案：B2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( )A ．400B ．100C ．40D ．20答案：A3．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x 有最小值____．答案：2 44．已知f (x )＝12x＋4x . (1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x·?－4x ?＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号． ∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x ) 答案：C2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析：选D.y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．200B ．100C ．50D ．20 解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2?－x y ??－y x ?＝－2.其中正确的推导过程为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b ∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5 解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． 答案：18．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.答案：大 1169．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y 4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值； (2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值． 解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5 ≥2 ?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9， 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴x ＝1时，函数的最小值是9. (2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1 ＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8. 当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立， ∴y 有最小值8.11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x ＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x (x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页，总1页基本不等式1、若，则的最大值为（ ）ABC ．2D 2、已知）A ．5B ．4 C ．8D ．6 3、设x>0 ） A ．最大值1 B ．最小值1 C ．最大值5 D ．最小值4、已知 ()D.55、，则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数，且，则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足，则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽1米，短边人行道宽4米，如图所示。
怎样设计绿地的长和宽，才能使人行道的占地面积最小？并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页，总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析：根据题意求出人行横道的面积表达式，结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米，宽为米，则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当，即时等号成立 故当绿地的长为，宽为时，才能使人行道的占地面积最小，最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，要注意基本不等式成立的条件，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式试题(含答案)
1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．21a a +>B ．2111a <+C ．296a a +>D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b<<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（ ） Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2abＤ．a 3.设x >0,则133y x x=--的最大值为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3-Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C. D.5. 若x , y 是正数，且141xy+=，则xy 有 （ ）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥ C ．111a b c++≥．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy≥ 8. a ,b 是正数，则2,2a b aba b++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b aba b+≤≤+ 22a b aba b+≤+Ｃ．22ab a ba b +≤≤+ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p qx +=Ｂ．2p qx +<Ｃ．2p qx +≤Ｄ．2p qx +≥10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x=+ Ｂ．4sin sin y x x=+(0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 已知)R ,10(l o g )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R2x , 试比较)]()([2121x f x f +与)2(21xx f +的大小，并加以证明.17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 设()13221+++⋅+⋅=n n a n .证明不等式 ()212)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立.§3.4基本不等式经典例题：【 解析】 证法一 假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-同时大于41，∵ 1－a>0，b>0，∴ 2)1(b a +-≥2141)1(=>-b a ，同理212)1(>+-c b ，212)1(>+-a c .三个不等式相加得2323>，不可能，∴ (1－a )b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能同时大于41.证法二 假设41)1(>-b a ，41)1(>-c b ，41)1(>-a c 同时成立， ∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴641)1()1()1(>---a c c b b a ， 即641)1()1()1(>---c c b b a a . （*） 又∵ a a )1(-≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a a ， 同理b b )1(-≤41，c c )1(-≤41，∴c c b b a a )1()1()1(---≤641与（*）式矛盾， 故a c c b b a )1(,)1(,)1(---不可能同时大于41. 当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C; 10.C;11. 12; 12.3600 ;13. 12; 14. 对; 1516. 【 解析】 2121log log )()(x x x f x f a a +=+2log )2(),(log 12121xx x x f x x a a +=+=．∵ 1x 、+∈R x 2， ∴ 22121)2(x x x x +≤．当且仅当1x ＝2x 时，取“＝”号．当1>a 时，有)2(log )(log 2121x x x x a a +≤．∴ ≤)(log 2121x x a )2(log 21x x a +≤．)2(log ]log [log 212121x x x x a a a +≤+． 即)2()]()([212121x x f x f x f +≤+．当10<<a 时，有a a x x log )(log 21≥⋅221)2(x x +． 即).2()]()([212121x x f x f x f +≥+17. (1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)17418．【 解析】 证明 由于不等式2122)1()1(+=++<+<k k k k k k 对所有的正整数k 成立,把它对k 从1到n(n ≥1)求和,得到212252321++++<<+++n a n n又因2)1(21nn n +=+++ 以及2)1()]12(531[2121225232+=+++++<++++n n n因此不等式()212)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立.。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
基本不等式练习题参考答案
基本不等式练习题一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2[答案] D[解析] x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x <π2，∴0<cos x <1，∴y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；∵x 2＋2≥2，∴y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也取不到，故C 错，∴选D.2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 [答案] D[解析] ∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y ＝1，∴x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m ，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.3．(2010·广西柳州市模考)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab ≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b ≥2ab 得4ab ≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab ≤1，但当4ab ≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab ≤1，但－5＋1≠1，故选A.4．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab ， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ≤(a ＋b )24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.5.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4.当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 6．已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(1，2][答案] D[解析] 由题设条件知，a <b ＋c ，∴b ＋ca>1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴(b ＋c )2a 2＝b 2＋c 2＋2bc a 2≤2(b 2＋c 2)a 2＝2，∴b ＋ca≤ 2.故选D.二、填空题7.已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．[答案] －2[解析] y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t >0，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2. 等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．8．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．[答案] 6＋4 2 [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc 同时成立时成立．即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立． 9.设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb ＝1，则ab a 2＋b2＝1，∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.三、解答题10．（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； （2）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； （3）已知x ＜54，求f （x ）＝4x －2＋145x -的最大值。
基本不等式练习题及答案解析
1．若xy ＞0，则对 x y ＋y x说法正确的是( ) A ．有最大值－2 B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定答案：B2．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( )A ．400B ．100C ．40D ．20答案：A3．已知x ≥2，则当x ＝____时，x ＋4x有最小值____． 答案：2 44．已知f (x )＝12x＋4x . (1)当x ＞0时，求f (x )的最小值；(2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x·4x ＝8 3. 当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83， ∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x·?－4x ?＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号． ∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－xD ．x (1－x )答案：C2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3 解析：选＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2； ②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x)]≤－2?－x y ??－y x?＝－2. 其中正确的推导过程为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2C ．4D ．5 解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164 解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.二、填空题 7．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． 答案：18．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最________值，其值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116. 答案：大 1169．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y 4时取等号． 答案：3三、解答题10．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值． 解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5 ≥2 ?x ＋1?·4x ＋1＋5＝9， 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴x ＝1时，函数的最小值是9. (2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1＋2＝8. 当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立， ∴y 有最小值8.11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8. 证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c， 以上三个不等式两边分别相乘得(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米． 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200 ＝800×(x ＋225x )＋12000 ≥1600x ·225x ＋12000 ＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)， 即x ＝15时等号成立．。
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基本不等式
1．函数y＝x＋1
x(x＞0)的值域为()．
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b
ab
≤2；③x2＋
1
x2＋1
≥1，其中正确的个数是
()．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．
A.1
2B．1 C．2 D．4
4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋
1
x－2
(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1
t的最小值为________．利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1
x＋
1
y的最小值为________；
(2)当x＞0时，则f(x)＝
2x
x2＋1
的最大值为________．
【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋
1
x－1
的最小值为________．
(2)已知0＜x＜2
5，则y＝2x－5x
2的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc
a＋
ca
b＋
ab
c≥a＋b＋c.
【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.
利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋
1
a (a －
b )
的最小值是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
双基自测
1.答案 C
2．解析 ①②不正确，③正确，x 2
＋1x 2＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1
－1≥2－1＝1.答案 B
3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1
2.答案 A
4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1
x －2
＋2＝4，当且
仅当x －2＝1
x －2
(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C
5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1
t －4≥2－4＝－2，
当且仅当t ＝1时取等号．答案 －
2
【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，
∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x
y 时，取等号．
(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1
＝2x ＋1x
≤22＝1，当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋
22 (2)1
【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1
x －1
＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等
号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜2
5
，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－
5x )≤⎝
⎛⎭
⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤1
5，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8
x ＝1，
∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4y x ＋x y ≥10＋2×2×
4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x
y ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，
∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)1
5 (3)18
【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab
c
＝
2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即
bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c .
【训练2】 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c
b ＋a ＋b ＋
c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，取等号．
解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x
x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为
x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x
＝1
5，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取
值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
15，＋∞
【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10
【例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋16x ＋5 800(0＜
x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，
当且仅当x ＝16
x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2
b a ·2a b ＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，b a ＝2a b
，即⎩⎨⎧
a ＝2－1，
b ＝2－2时，1a ＋2
b 的最小值为3＋2 2.
【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1
a (a －
b )
＋
ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab a (a －b )＝1a (a －b )
且ab ＝
1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。