高中数学2.1.2直线的方程精品课件苏教版必修
变式训练
3.根据下列条件分别求出直线的方程，并化为 一般式方程． (1)斜率为3，经过点(5，－4)； (2)斜率为－2，经过点(0，2)； (3)经过两点(2，0)和(0，－3)； (4)斜率为2，经过点(2，0)．
解：(1)∵k＝3，过点(5，－4)．
由直线的点斜式方程，得y＋4＝3(x－5)， ∴所求直线方程为3x－y－19＝0.
解析：(－1， －1)，(2，5)，(2012， a)三点共线， 5－（－1） a－5 ∴ ＝ ，∴a＝4025. 2－（－1） 2012－2
答案：4025
典题例证技法归纳
题型探究
直线的点斜式、斜截式方 程
例1
根据条件写出下列直线的方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)∵直线的倾斜角为 60°， ∴其斜率 k＝tan60°＝ 3， ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， ∴直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3. ∴所求直线方程 y＝ 3x＋3 或 y＝ 3x－3.
直线的两点式和截距式方 程
例2 三角形的顶点是 A(－5，0)，B(3，－3)， C(0，2)(如图所示)，求这个三角形三边所在的 直线的方程．
(2)∵k＝－2，在y轴上的截距为2，
由直线的斜截式方程，得y＝－2x＋2， ∴所求直线方程为2x＋y－2＝0.
(3)∵直线在两轴上的截距分别为 2 和－3， x y 由直线的截距式方程，得 ＋ ＝1. 2 －3 ∴所求直线方程为 3x－2y－6＝0. (4)∵k＝2，在 x 轴上的截距为 2， 由直线的点斜式方程，得 y＝2(x－2)， ∴所求直线方程为 2x－y－4＝0.
【名师点评】 直线方程的各种形式之间存在 着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同 的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和 它们之间的互化，如把一般式 Ax＋By＋C＝0 化为截距式有两种方法：一是令 x＝0，y＝0， 求得直线在 y 轴上的截距 B 和在 x 轴上的截距 A；二是移常数项，得 Ax＋By＝－C，两边除 以－C(C≠0)，再整理即可．
2.已知直线 l 过三个点 A(3， a)， B(b， 4)， C(1， 1)． (1)求 a，b 满足的关系式； 3 (2)若 l 的斜率为－ ， 求 a，b 的值； 2 (3)在(2)的条件下，求直线 l 与坐标轴所围成的 三角形的面积．
a－1 4－1 解：(1)由三点共线知， ＝ ，则 ab－a 3－1 b－1 －b－5＝0. a－1 3 4－1 3 (2) ＝－ 且 ＝－ ，∴a＝－2，b＝－1. 2 b－1 2 3－1 3 5 (3)l 的方程为 y－1＝－ (x－1)． 令 x＝0 得 y＝ ， 2 2 5 令 y＝0 得 x＝ . 3 1 5 5 25 ∴S＝ ×| |×| |＝ . 2 3 2 12
变式训练 1.根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2； (3)倾斜角为 60°， 与 y 轴的交点到坐标原点的 距离为 3.
解：(1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为 y＝2x＋5. (2)∵倾斜角 α＝150°，∴斜率 k＝tan150°＝ 3 － ， 3 3 由斜截式可得方程为 y＝－ x－2. 3
x y 此时直线方程为 ＋ ＝1，即 x＋y－7＝0. 7 7 综上，所求直线方程为 4x－3y＝0 或 x＋y－7 ＝0.
直线的一般式方程
例3 (本题满分14分)设直线l的方程为(m2－ 2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列 条件分别确定m的值． (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l的横、纵截距相等．
y－y1 x－x1 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) y_________________________ x2－x1 2－y1 3.两点式方程： ， 它表示经过点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线方 程． x y ＋ ＝1，它表示经过点 A(a， 4.截距式方程： ______ a b x轴 0)， B(0， b)的直线方程． 其中 a 为直线在 ____ 轴 上的 上的截距，也称横截距，b 为直线在 y ____ 截距，也称纵截距．
重点难点
重点：直线方程的五种形式及形
式的选择． 难点：直线方程的点斜式、斜截式、两点式
和截距式的适用范围．
新知初探ห้องสมุดไป่ตู้维启动
y－y1＝k(x－x1) ，它表示经过 1. 点斜式方程： ______________ 点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线． y＝kx＋b，它表示经过点P(0， 2.斜截式方程：________ b)，且斜率为k的直线方程．b为直线l在y轴上的 截距 ____．
备选例题
1.求与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜
率为－2的直线l的方程．
解：设直线 l 的方程为 y＝－2x＋b，则它与两 1 1 1 坐标轴的交点分别为( b， 0)， (0， b)， 于是有 · | 2 2 2 b2 b|·|b|＝ ＝4，解之得 b＝± 4，所以直线 l 的 4 方程为 y＝－2x± 4.
第2章
平面解析几何初步
2．1.2 直线的方程
学习导航
学习目标 1.掌握直线方程的点斜式、斜截式、 两点式和截距式的特点与适用范围， 会将这四种形式的直线方程化为一般式； 2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系， 正确理解直线方程一般式的含义． 3． 能根据具体问题的具体条件选择恰当的形式 求直线方程．
解这个分式方程，注意到分母不能为 0，得 m ＝－2. (7 分) (2)当两个截距都为 0 时，有 2m－6＝0，即 m ＝3. (10 分) 当两个截距都不为零时，直线与方程可化为
名师微博
注意分类讨论，否则会出错！
x y ＋ ＝1. 2m－6 2m－6 m2－2m－3 2m2＋m－1 ∵横纵截距相等，∴m2－2m－3＝2m2＋m－1 ≠0， 解得 m＝－2，(12 分) 综上所述，m＝3 或 m＝－2.(14 分)
方法感悟
方法技巧
1.一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜
率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选 择截距式或两点式．另外，从所求的结论来
看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或
周长，则应选用截距式．
2.待定系数法是求直线方程最基本最常用的方 法，但要注意选择形式．一般地，已知一点和 待定斜率 k，但应注意讨论当斜率 k 不存在时 的情形；如果已知斜率 k，一般选择斜截式， 待定纵截距 b；如果已知直线与坐标轴围成三 角形的问题就选择截距式，待定横截距和纵截 距．一般来说，待定几个系数就应列出几个方 程，有的直线方程可以同时选用几种形式，但 选择的形式不同，运算的繁简程度就不同．
【解】
直线 AB 过 A(－5，0)，B(3，－3)两 y－0 x－（－5） 点，由两点式得 ＝ ，整理得 －3－0 3－（－5） 3x＋8y＋15＝0，这就是直线 AB 的方程． 直线 BC 过 B(3，－3)，C(0，2)，斜率是 k＝ 2－（－3） 5 5 ＝－ ，由点斜式得 y－2＝－ (x－ 3 3 0－3 0)，
整理得 5x＋3y－6＝0， 这就是直线 BC 的方程． 直线 AC 过 A(－5，0)，C(0，2)两点， x y 由截距式得 ＋ ＝1， －5 2 整理得 2x－5y＋10＝0，这就是直线 AC 的方 程．
【名师点评】
(1)直线的两点式可由点斜式
导出，当直线斜率不存在或斜率为0时，不能 用两点式，此时直线与坐标轴重合或平行，
【思路点拨】 由一般式直线方程表示出斜率， 得 m 的方程，解之即可．横、纵截距相等，不 可忘记截距为 0 的情形．
【解】 (1)把方程化为斜截式为 －（m2－2m－3） 2m－6 y＝ x＋ 2 ，(3 分) 2m2＋m－1 2m ＋m－1 m2－2m－3 k＝－ 2 ＝－1. 2m ＋m－1
变式训练
2.已知直线l经过点(3，4)，且在两轴上的截距 相等，求直线l的方程．
解：法一：设所求的直线方程为 y－4＝k(x－ 3)． 4 令 x＝0，得 y＝4－3k；令 y＝0，得 x＝3－ . k ∵直线在两轴上的截距相等． 4 4 ∴4－3k＝3－ .∴k＝ 或 k＝－1. k 3
4 ∴所求直线方程为 y－4＝ (x－3)或 y－4＝－ 3 (x－3)，即 4x－3y＝0 或 x＋y－7＝0. 法二：当直线过原点时，它在两轴上的截距都 为 0， 4 ∴直线方程为 y＝ x，即 4x－3y＝0. 3 x y 当直线不过原点时，设方程为 ＋ ＝1， a b 3 4 ∵a＝b，且 ＋ ＝1，∴a＝b＝7. a b
解析：∵k＝tan60°＝ 3，且过点(0，－2)，∴ 直线方程为 y＝ 3x－2.
答案：y＝ 3x－2
5.已知直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 2 和 5， 则直线的截距式方程为________．
x y 答案： ＋ ＝1 2 5
6.若直线 m 过定点(－1， －1)和(2， 5)， 且点(2012， a)在 m 上，则 a 的值为________．
(4)∵直线过点 D(2，1)和 E(3，－4)， －4－1 ∴斜率 k＝ ＝－5， 由点斜式得 y－1＝－ 3－2 5(x－2)， 即 5x＋y－11＝0.
【名师点评】 (1)求直线的点斜式方程．
(2)将直线的方程求出后，为了统一答案的形
式，如果没有特别要求，一般都将直线的方 程化为Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)的形式．
(3)过点C(－1，2)且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．
【解】 (1)由点斜式方程可知，所求直线的方 程为 y－3＝3[x－(－4)]，即 3x－y＋15＝0. (2)由题意知，直线的斜率 k＝tan135°＝－1， 故所求直线的方程为 y－4＝－(x＋1)，即 x＋y －3＝0. (3)∵直线与 y 轴平行，斜率不存在，故直线的 方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的 横坐标都是－1，故这条直线的方程为 x＝－1.
合集下载
苏教版高中数学必修2课件 2.1.2 直线的方程——2.两点式课件2
SJ ·数学 必修2
教
学 教 法
易
《2.1.2 直线的方程——两点式》课件
错 易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方 案
●三维目标
堂 双
设
基
计
1．知识与技能
达 标
课
前
(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．
自
课
主 导
(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．
时 作
学
业
2．过程与方法
课 堂 互 动 探 究
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并 通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．
析
辨
教
1.了解直线方程的两点式的推导过
析
学 方 案
课 程．(难点)
当
标 2．会利用两点式求直线的方程．(
堂 双
设 计
解 重点)
基 达
课
读 3．掌握直线方程的截距式，并会
标
前
应用．(易错点)
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学 教
直线方程的两点式
法
分
析
【问题导思】
SJ ·数学 必修2
①若 a＝0，则直线 l 过原点，此时 l 的方程为 2x＋3y＝0； 析
教
学
方 案 设
②若 a≠0，则 l 的方程可设为ax＋ay＝1，
当 堂 双 基
计
达
因为直线 l 过点(3，－2)，
标
课
前 自 主 导
教
学 教 法
易
《2.1.2 直线的方程——两点式》课件
错 易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方 案
●三维目标
堂 双
设
基
计
1．知识与技能
达 标
课
前
(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．
自
课
主 导
(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．
时 作
学
业
2．过程与方法
课 堂 互 动 探 究
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并 通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．
析
辨
教
1.了解直线方程的两点式的推导过
析
学 方 案
课 程．(难点)
当
标 2．会利用两点式求直线的方程．(
堂 双
设 计
解 重点)
基 达
课
读 3．掌握直线方程的截距式，并会
标
前
应用．(易错点)
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学 教
直线方程的两点式
法
分
析
【问题导思】
SJ ·数学 必修2
①若 a＝0，则直线 l 过原点，此时 l 的方程为 2x＋3y＝0； 析
教
学
方 案 设
②若 a≠0，则 l 的方程可设为ax＋ay＝1，
当 堂 双 基
计
达
因为直线 l 过点(3，－2)，
标
课
前 自 主 导
高中数学2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直第一课时两条直线的平行课件苏教版必修2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 不 重 合 的 两 条 直 线 的 倾 斜 角 相 等 ， 则 它 们 一 定 互 相 平
行．
(√ )
(2) 如 果 两 条 直 线 互 相 平 行 ， 那 么 它 们 的 斜 率 一 定 相 等 ．
(×)
(3)直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋2＝0 互相平行，则
[活学活用] 1．若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x两直线平行，所以 a2－1＝0，解得 a＝±1.
答案：±1
2．直线 l1 经过 A(3,4)，B(5,8)，直线 l2 经过点 M(1，－2)，N(0， b)，且 l1∥l2，则实数 b＝________. 解析：∵k1＝85－ －43＝2，k2＝b－＋12＝－(b＋2)， 又∵l1∥l2，∴k1＝k2， 即－b－2＝2，∴b＝－4. 答案：－4
应用两直线平行求参数值
[典例] 已知直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m ＝0，当 m 为何值时，
(1)直线 l1 与 l2 互相平行？ (2)直线 l1 与 l2 重合？ [解] (1)若 l1∥l2，需满足
m2－1＝0， －2m2＋m＋1≠0，
解得 m＝－1.
[解] (1)k1＝1，k2＝33－ －11＝1，k1＝k2， ∴l1 与 l2 重合或 l1∥l2. (2)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，通过数形结合知 l1∥l2. (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝2－0－－31＝－1，k1＝k2，数形结合 知 l1∥l2.
判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线 l1，l2 的斜率都存在，将它们的方程都化成 斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2； 则kb11＝ ≠kb22， ⇒l1∥l2. ②若两条直线 l1，l2 的斜率都不存在，将方程化成 l1：x＝x1， l2：x＝x2，则 x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不全为 0)，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0(A2，B2 不全为 0)，由 A1B2－A2B1＝0 得到 l1∥l2 或 l1， l2 重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.2 直线的方程》
直线的方程——点斜式连云港外国语学校谭军港1教材分析本节内容是苏教版必修2第二章第一节局部的内容。
本节是在初中学习了平面几何和一次函数，之前一节又学习了直线的斜率的根底上，通过以点的集合的方式来研究直线图像上的点应该满足的方程的问题，起着承上启下的作用。
首先它是对初中平面几何知识和一次函数的延续，其次它也是培养平面解析几何思想，〔也就是用代数的方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数的方法研究几何问题〕用来解决后续的圆、圆锥曲线以及直线与圆、圆锥曲线关系等问题的根底。
其地位非常重要，这也是高考考纲中的C级要求知识点。
从研究直线方程开始，学生对“解析几何〞的学习进入了实质性阶段，“直线与方程〞关系的研究，是“曲线与方程〞的关系研究的前奏和根底，直线的点斜式方程的探索过程，对构建前后连贯，逻辑一致的研究过程与方法，起到了重要的根底作用，“直线的点斜式方程〞是“平面解析几何初步〞的起始课，也是高中平面解析几何的起始课，也将是学生亲自经历第一次“求曲线方程〞的探索实践。
所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何〞教学的效果刚刚接触“解析几何〞的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何〞的实质，而本节课那么以比拟浅显的问题开启“解析几何〞学习知识之门，通过求直线方程的一般步骤“建系、设点、代入、化简、验证〞这一本质规律对后续解析几何内容学习产生重要影响，因为它也是求“曲线方程〞的一般步骤。
“解析几何〞中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课那么以生动的具体事例有效地促进学生树立、稳固和熟练应用这些数学思想综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着后面解析几何教学的成败2教学目标知识与技能1探索确定直线位置的几何要素，知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索、经历并掌握求直线的点斜式、斜截式方程过程与方法；2能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并有直线点斜式方程和斜截式方程代数形式的到直线的几何性质过程与方法1让学生经历求直线方程构建过程，培养学生观察、探究能力；2使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系〔方程的解与直线上点的坐标的关系〕，渗透数形结合等数学思想情感态度与价值观1使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；2利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣通过数学史的学习培养学生数学文化素养。
苏教版高中数学必修2课件 2.1.2 直线的方程——1.点斜式课件2
重点：直线的点斜式方程和斜截式方程．
易 误
析
辨
教
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．
析
学
当
方
重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要 堂
案
双
设 计
素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方
基 达
标
课 前
程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其
自
课
主 导
原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提， 时 作
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ ·数学 必修2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
SJ ·数学 必修2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法 分
直线经过点 P(2，－3)，且倾斜角 α＝45°，求直线的点斜
易 误
析
辨
式方程，并画出直线 l.
析
教
学
【解】 直线经过点 P(2，－3)，且斜率 k＝tan 45°＝1， 当
方
堂
案 设
代入点斜式方程可得 x－y－5＝0.
学
3．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率 k， 业
高中数学 2.1.2(2)直线的方程课件1课件 苏教版必修2
叫做直线的两点式方程。
问 点斜式方程能不能表示平面内所有的直线?
答 不能。从代数式的表达意义上讲“两点式”
方程使用的前提是x“1 x2 y且1 y2 ”。
它不能表示倾斜角90为 0和 的直线，即
当直线与x轴,y轴不平行时，可以用两点式 表示。
第四页，共13页。
例1：
已知一直线经过两点 A(a, 0), B(0,b). 其中 a b 0
试求这个三角形三边所在直线的方程。
C(0, 2)
A(5, 0)
B(3, 3)
第六页，共13页。
例3：
求过点 (3, 4)且在坐标轴上的截距相等的直线的方程。
第七页，共13页。
问题(wèntí)二
以上我们介绍了直线方程的几种特殊(tèshū)形式，它们都 是关于
x和y的二元一次方程，那么，关于x和y的二元一次方程
第八页，共13页。
因此，在平面(píngmiàn)直角坐标系中，任何一个关于x，y的二 元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线。
方程
Ax+By+C=0(A,B不全为0) 叫做直线的一般式方程。
第九页，共13页。
例4：
求直线(zhíxiàn)3X+5Y-15=0的斜率以及它在坐标轴上的截距，并作图。
k y2 y1
由直线点斜式方程得：
x2 x1
当
y1
y y1 y2 时，方程可以写成
y2 x2
y1 x1
(x x1)
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
这个方程(fāngchéng)是由直线上两点确定的。
第三页，共13页。
方程
高中数学 2.1.2《直线的两点式方程》课件 苏教版必修3
第一页，编辑于星期五：十点 三十二分。
想一想？
已知直L经 线过 P1（2， 3）、 P2（1， 1） 两点，求已知 L的直方线程。 变式：已知直L线经过P1（x1，y1）、 P2（x2，y2）两点，求已知直L的 线 方程。
第二页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第 2.1.2 节
直线的两点式方程
第三页，编辑于星期五：十点 三十二分。
横坐标和纵坐标。 2）此方程只适用不平坐行标轴
或不过原点的直线
第六页，编辑于星期五：十点 三十二分。
求证:(1)直线的方程都可以写成 关于x, y的一次方程
(2)任何关于x, y的一次方程都 表示一条直线
直线方程的一般式：Ax+By+C=0 (A B不全为零〕
第七页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第八页，编辑于星期五：十点 三十二分。
例 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)
求这个三角形三边所在直线的方程．
第九页，编辑于星期五：十点 三十 （ 3 ， 4） 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 。
3）一条直线经过（ A2， 2），并且与 两坐标轴围成的三角形面积为 1，求 此直线方程。
二：直线的两点式方程
设 P1（ x1， y1）P 、 2（ x2， y2）直L上 线 两点，L 则 的直 方线 ;程是
yy1xx1 y2y1 x2x1
x1x2且 y1y2
注 ： 此 方 程 只 适 用 不 垂 直 于 坐 标 轴 的 直 线
第四页，编辑于星期五：十点 三十二分。
练习 1)直线经过点P（ 1 0， 3） ,P（ 2 2， 0） 求直线L的方程，并画出直线L。
直线的方程课件(苏教版必修2)
已知一点和斜率求直线方程
利用一点和斜率，代入点斜式或截距式，解出截距或斜率，得到直线方程。
04
直线方程的应用实例
利用直线方程解决实际问题
交通路线规划
利用直线方程确定最佳行驶路线，以减少时间和 成本。
物流配送
通过直线方程计算最短配送路径，提高物流效率 。
农业种植
利用直线方程确定最佳种植区域，提高农作物产 量。
直线方程的表示方法
点斜式方程
$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1)$为直线上的 一点，$m$为直线的斜率。
两点式方程
$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$， 其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直线上的两点。
直线的斜率定义与性质
性质 • 当倾斜角为 $0^\circ$ 或 $90^\circ$ 时，斜率
不存在。
定义：直线斜率是定义为直线倾斜角的正切值， 即直线斜率 $k = tan(theta)$，其中 $theta$ 为直线的倾斜角。
• 斜率是直线倾斜角的正切值，随着倾斜角的增 大，斜率也增大。
直线的倾斜角定义与性质
截距式方程
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其中$a$和$b$分别为 直线与$x$轴和$y$轴的交点的$x$坐标和$y$坐标。
直线方程的应用场景
解析几何问题
在解析几何中，直线是最基本的图形元素之一，许多问题可以通 过直线方程来解决。
实际生活问题
在日常生活中，直线方程的应用也非常广泛，例如在交通、建筑 、工程等领域中，常常需要利用直线方程来解决实际问题。
利用一点和斜率，代入点斜式或截距式，解出截距或斜率，得到直线方程。
04
直线方程的应用实例
利用直线方程解决实际问题
交通路线规划
利用直线方程确定最佳行驶路线，以减少时间和 成本。
物流配送
通过直线方程计算最短配送路径，提高物流效率 。
农业种植
利用直线方程确定最佳种植区域，提高农作物产 量。
直线方程的表示方法
点斜式方程
$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$(x_1, y_1)$为直线上的 一点，$m$为直线的斜率。
两点式方程
$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$， 其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直线上的两点。
直线的斜率定义与性质
性质 • 当倾斜角为 $0^\circ$ 或 $90^\circ$ 时，斜率
不存在。
定义：直线斜率是定义为直线倾斜角的正切值， 即直线斜率 $k = tan(theta)$，其中 $theta$ 为直线的倾斜角。
• 斜率是直线倾斜角的正切值，随着倾斜角的增 大，斜率也增大。
直线的倾斜角定义与性质
截距式方程
$frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$，其中$a$和$b$分别为 直线与$x$轴和$y$轴的交点的$x$坐标和$y$坐标。
直线方程的应用场景
解析几何问题
在解析几何中，直线是最基本的图形元素之一，许多问题可以通 过直线方程来解决。
实际生活问题
在日常生活中，直线方程的应用也非常广泛，例如在交通、建筑 、工程等领域中，常常需要利用直线方程来解决实际问题。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
【解】
名师点评】 【 名师点评 】
(1)已知直线上的两点坐标时 ， 通 已知直线上的两点坐标时， 已知直线上的两点坐标时
常用两点式求直线方程． 常用两点式求直线方程． (2)由于减法运算的顺序性 ， 一般用两点式求直线 由于减法运算的顺序性， 由于减法运算的顺序性 方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错， 错 方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错 ， 误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字 母对应起来造成的， 只有深刻理解公式， 母对应起来造成的 ， 只有深刻理解公式 ， 才能避 免类似“低级”错误． 免类似“低级”错误．
y－y1 y2－y1 － 提示：不能． 提示：不能．因为方程 ＝ 所表示的图形 x－x1 x2－x1 － 不含点(x 不含点 1，y1)，故不能代表整条直线，故不能用其 ，故不能代表整条直线， 代替两点式方程． 代替两点式方程．
x y a＋b＝1 ， 它 表 示 经 过 点 4 ． 截 距 式 方 程 ： _________
【名师点评】 名师点评】
(1)求直线的点斜式方程． 求直线的点斜式方程． 求直线的点斜式方程
(2)将直线的方程求出后，为了统一答案的形式，如 将直线的方程求出后，为了统一答案的形式， 将直线的方程求出后 果没有特别要求，一般都将直线的方程化为 ＋ 果没有特别要求，一般都将直线的方程化为Ax＋By 不全为0)的形式 ＋C＝0(A、B不全为 的形式． ＝ 、 不全为 的形式．
x y ∴直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x＋4y－8＝0. ， ＋ － ＝ 8 2
直线的一般式方程 直线方程的四种特殊形式， 直线方程的四种特殊形式 ， 都可以化为直线的一 般式， 但一般式不一定都能化为四种特殊形式， 般式 ， 但一般式不一定都能化为四种特殊形式 ， 这要看A、 、 是否为零才能确定 是否为零才能确定． 这要看 、B、C是否为零才能确定．
《2.1.2 直线的方程3.一般式》课件-优质公开课-苏教必修2精品
当 a≠－1，且 a≠2 时，由aa－ ＋21＝a－2，即 a＋1＝1，即
课 时
导
作
学 a＝0.
业
课 堂 互 动 探 究
此时直线在 x 轴，y 轴上的截距都为－2，l 的方程为 x＋ y＋2＝0.
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
思
教 法
综上，直线 l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0 时，l 在
技 巧
教
学 方
【自主解答】 (1)由点斜式方程得 y－3＝ 3(x－5)， 当
案
堂
设 计
整理得 3x－y＋3－5 3＝0；
双 基
达
课
(2)x＝－3，即 x＋3＝0；
标
前
自 主
(3)y＝4x－2，即 4x－y－2＝0；
课 时
导
作
学
(4)y＝3，即 y－3＝0；
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
析
1.了解二元一次方程与直线的对应关
技 巧
教 学
课 系，掌握直线的一般形式．(重点、难
方 案
标 点)
当 堂
设 计
课 前
解 2．根据确定直线位置的几何要素，探 读 索并掌握直线方程几种形式之间的关
系．(易错、易混点)
双 基 达 标
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教
学 教
堂 双 基
达
课 前 自
∵AB＞0，BC＞0，∴AB＞0，－CB＜0.
标 课
数学：2.1.2《直线的方程-一般式》课件(苏教版必修2)
例4: 已知直线l：mx＋y＋2＝0和以A(-2,1)、 B(3,2)为端点的线段相交，求实数m的取值范围.
m≥
3 ，或 m≤ 2
4 3
变式训练:
已知直线kx+y-k=0与射线3x-4y+5=0(x≥-1) 有交点，求实数k的取值范围.
3 1 k ， - ， 4 4
新知归纳:
1、方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）叫做 直线方程的一般式，任何一条直线的方程不 管是用点斜式、斜截式、两点式还是截距式 表示的，都可以化成一般式。
2、直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程；
任何一个关于x，y的二元一次方程都 表示一条直线。
3.关于直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全 为0）的几点说明：
y kx b
x y 1 a b
y y1 x x1 点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y 2 ) y1 y 2 x1 x2 不垂直于x、y轴的直线
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
提问：上述四种方程最终都是一个怎样的方程？
①两个独立的条件可求直线方程 B C B C 若A 0, 则方程化为x y 0, 只需确定 、 的值； A A A A A C A C 若B 0, 则方程化为 x y 0, 只需确定 、 的值. B B B B ②在直线一般式方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）中 C 若A 0, 则y , 它表示一条与y轴垂直的直线； B C 若B 0, 则x - , 它表示一条与x轴垂直的直线. A ③直线方程的其他形式都可以化成一般形式；一般式也 可以化为其他形式.