解含参集合问题的几个注意点

解含参集合问题的几个注意点
同学们在集合学习中，由于对有关概念 、知识理解不深，经常出现某些模糊认识，特别在解含有参数问题时往往顾此失彼，造成失误．笔者根据以往教学经验，提醒同学们在解含参集合题时，必须注意以下几点：
1．注意空集的特殊作用
例1 已知集合A={x ∣2x +（a +2）x +1=0, x R ∈}．B={x ∣x >0}, 若φ=B A ，求a 的取值范围．
解析：由φ=B A 知，A 中的元素为非正数，即方程 2x +（a +2）x +1=0只有非正数解．
∴ ()⎩⎨⎧≥+≥-+=∆0
20422a a 解得 0≥a
实际上,这个结果是不完整的，上述解法只注意到Ａ为非空解集，当Ａ为空集时，仍满足φ=B A ． 当Ａ=φ时，()0422
<-+=∆a ，解得－4＜a ＜０， 综上可得 ： a ＞－4
评注：空集是任何非空集合的子集，且A φφ= ， A =φ A.， 在解有关含有参数的集合题时，忽视了空集的特殊性，就会造成解题解结果的残缺不全．
２．注意题中的隐含条件
例２设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝，
求实数a 的值．
错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且 ５∉Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝
２，或a ＝－４．
分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ⊆Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９∉Ｓ，不符合题意；故a ＝２．
评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件． ３．注意端点值的舍取
例３ 已知集合A ＝{x ∣x ≥４，或x ＜－５}，Ｂ＝｛x ∣a ＋１≤x ≤a ＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．
错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ⊆Ａ．
∴a ＋３≤－５，或a ＋１≥４，解得a ≤－８，或a ≥３．
分析：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a ＝－８时，不符合题意；当a ＝３时，符合题意，故正确结果应为a ＜－８，或a ≥３．
评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
４．注意参数的分类讨论
例４ 设A ＝{x ∣2x a -≤≤}，Ｂ＝{y ∣23,y x x A =+∈}，Ｃ＝{z ∣2
,z x x A =∈}，且C B ⊆，求实数a 的取值范围． 解析：∵ A ＝{x ∣2x a -≤≤}，
∴ Ｂ＝{y ∣23,y x x A =+∈}＝｛y ∣123y a -≤≤+｝．
①当20a -≤≤时，Ｃ＝｛z ∣24a z ≤≤｝． ∵ C B ⊆，
∴ 423a ≤+，解得1
2a ≥，这与20a -≤≤矛盾．
②当02a <≤时，Ｃ＝｛z ∣04z ≤≤｝． ∵ C B ⊆，
∴ 423a ≤+，解得1
2a ≥． ∴ 1
22a ≤≤．
③当2a >时，Ｃ＝｛z ∣20z a ≤≤｝． ∵ C B ⊆，
∴ 223a a ≤+，解得－１3a ≤≤． ∴23a <≤．
综上得，实数a 的取值范围是1
32a ≤≤．
评注：对含有参数的问题，求解时常常要对其中的参数进行分类讨论，这也是集合中体现出来的重要数学思想之一．。