高阶偏导数
第5节高阶偏导数
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x 2 z
(2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
7
例6 已知 u eu xy ，求 2u ， xy
解 设 F ( x, y, z) u eu xy ，
Fx y , Fy x , Fu 1 eu ,
y0 )表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
•
一般地,(h k )m x y
f (x0 ,
y0 ) 表示
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym
p
(x0 ,
y0 )
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某一邻域内有直
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
a2 ( x
ay)
a 2
( x
ay)
a2
2u x 2
.
4
例4 证明函数 u ln x2 y2 z2 满足方程
09-4_高阶偏导数
z f xx f11 2 x
2
2 z f xy f12 xy
z f yy f 22 2 y
2
z f yx f 21 yx
2
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
例
二元函数 z f ( x, y ) 的三阶偏导数：
2
z y
x
y
z z 2 x x x
z z y x xy
2
2z z x y yx
z 2 z 2 y y y
高阶偏导数还可使用下列记号
发现求高阶导数与求导顺序有关.
例
解
3 2 3 求 z x y 3xy xy 1 的二阶偏导数.
先求一阶偏导数：
z 3x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 2 x 3 y 9 xy 2 x, y
x y
再求二阶偏导数：
z x
z y
x y
2 z z 2 (3x 2 y 2 3 y 3 y ) 6xy x 2 x x x
1
2z 2z yx xy 2z y 2
2z x 2
x y
2 z x 2
2 z 3 z 2 3 x x x
2 z 3 z 2 2 y x x y
例
二元函数 z f ( x, y ) 的三阶偏导数：
3
2z 2z yx xy 2z y 2
2z x 2
x y
2z xy
2 z 3 z x xy xyx 2 z 3 z y xy xy 2
一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
多元函数的偏导数与方向导数计算
多元函数的偏导数与方向导数计算在多元函数中，偏导数与方向导数是常用的求导工具，可以帮助我们研究函数在不同方向上的变化率和导数值。
本文将介绍计算多元函数的偏导数和方向导数的方法和公式，并通过实例进行说明。
一、多元函数的偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数表示在各个自变量上的变化率。
1. 一阶偏导数对于二元函数 $z = f(x, y)$，其一阶偏导数表示对每个自变量的偏导数值。
分别记作 $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$ 和 $\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$，计算方法如下：$$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}}{{\Delta x}}$$$$\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = \lim_{{\Delta y \to 0}} \frac{{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}}{{\Delta y}}$$2. 高阶偏导数如果一阶偏导数存在，我们还可以继续求解二阶、三阶乃至更高阶的偏导数。
对于二阶偏导数，我们可以通过对一阶偏导数再次求导得到，记作 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}$、$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}}$ 和 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}}$。
计算方法如下：$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\right)$$$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}} =\frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)$$$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}} = \frac{{\partial}}{{\partial y}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)$$二、多元函数的方向导数方向导数表示函数在某个方向上的变化率，是由函数的梯度（gradient）来表示的。
第5节高阶偏导数资料讲解
第5节高阶偏导数资料讲解高阶偏导数指的是一个多元函数的某个变量对应的偏导数再次进行偏导数运算的结果，即对偏导数求导。
这是微积分中的一个重要概念，其在数学和工程中都有广泛应用。
一阶偏导数是指函数在该变量处的变化率，二阶偏导数是指函数在该变量处变化率的变化率，以此类推。
具体来说，设函数f(x,y)含有两个自变量x和y，f对x的偏导数为fx，对y的偏导数为fy，则f的二阶偏导数分别为fxx，fyy，以及两个偏导数的混合导数fxy和fyx。
混合导数fxy和fyx并不相等，它们是对同一函数f(x,y)在不同自变量处求偏导数得到的结果。
具体计算方法为先对x求偏导数fx，再对fx关于y进行求偏导数，得到fxy；同理，对y求偏导数fy，再对fy关于x进行求偏导数，得到fyx。
高阶偏导数的计算方法同样可以采用类似的方式：先求出函数的一阶偏导数，然后对一阶偏导数进行求偏导数，即可得到高阶偏导数。
以二阶偏导数为例，设函数f(x,y)的一阶偏导数分别为fx和fy，则f的二阶偏导数fxx，fyy和fxy可以通过以下公式进行计算：fxx = ∂²f / ∂x²这些公式可以进一步推广到高阶偏导数的情况下。
例如，若f的二阶混合导数fxy在一个区域上连续，那么f的二阶偏导数fxx和fyy也存在，且它们相等，即：fxx = ∂²f / ∂x² = ∂/∂x(∂f / ∂x) = ∂/∂x(fx)此外，高阶偏导数具有一些基本性质，如连续性、可交换性和与区间交换极限的等式等。
这些性质为高阶偏导数的计算和应用提供了一定的便利。
总之，高阶偏导数是微积分理论中的重要概念，在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
通过对偏导数的反复求导，我们可以进一步研究函数的性质和变化规律，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
第五节高阶偏导数
′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =
高阶偏导数
∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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练习题： 练习题： 设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 解: 求
方程
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练习题
一 、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y
高阶导数与高阶偏导数
f (n)( x),
y(n),
dny dx n
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
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例1 已知函数 y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30 求 y(90)和 y(91) .
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
n
C u v k (nk ) (k ) n
莱布尼兹公式
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斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 因为 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
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11
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因此
u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
2u x 2
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u (x2 y2) y 2 y y2 ( x2 y2 )2
解 由于函数
y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30
展开后的最高次幂项为
所以
330 x32030 330 x90
y(90) 330 90!, y(91) 0.
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一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为