小学四年级奥数教程—最不利原则
最不利原则
例1 一个袋里装有5个白球，6个黑 球，从中最少摸出多少个球，才能保 证 拿到白球？
提示：“保证拿到”就 是一定要拿到！只要口 袋里还有黑球，就不能 保证拿到的是白球。
最不利情况：先摸出6个黄球
6+1=7（个）
答：最少摸出７个球，才能 保证 拿到白球。
小结：解决这类问题特点就 是，如何找到最不利的情况。
只有3个座位至少坐几人可以满足要求呢？
如果只有3个座位： 如果只有6个座位：
如果只有9个座位：
最不利情况： 每三个座位中间坐一人
15÷3=5（个）
答：在小亮之前已就座的最少有5人。
例5 在一副54张的扑克牌中，最少要取出多少 张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
提示： 一副扑克牌有大、小 王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、 “方块”、“梅花”四种花色各13 张，共计有54张牌。
安博学校
数学思维
主讲：张立萍
你会吗？小喵
最不利原则就是从“最不凑 巧”“最糟糕”的极端情况考虑问 题。如果最不利的情况都满足题目 要求，那么其它情况必然也最不凑巧”、“最 糟糕”的极端情况， 这样的情况被我们称 之为“最不利情况”
在很多时候，要保 证完成一项任务，经 常要考虑到所有的最 不利情况。
例2 一个口袋里有白球7个，黑球8个，从中最少 摸出多少个球，才能保证有3个颜色相同的球？
最不利情况：每种球各取出1个
2+2+1=5（个）
答：最少摸出３个球，才能 保证有2个颜色相同 的球。
小结：最不利的情况就是与你的愿 望相反的情况。
7 8
9
例4一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座， 小亮来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已 就座的人相邻。问：在小亮之前已就座的最少有 几人？ 提示：我们可以从较少的情况来寻找规律，如果
最不利原则2
例 在一副54张的扑克牌中，最少要取出多少张， 才能保证取出的牌中四种花色都有？
提示： 一副扑克牌有大、小 王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、 “方块”、“梅花”四种花色各13
张，共计有54张牌。
最不利情况： 取出四种花色中的三种花 色的牌各13张，再加上2 张王牌，再取1张，四种 花色都有了。
13+13+13+2+1=42 （张） 答：最少要取出 42张，才能保证取出的牌中
四种花色都有。
老师总结，我发现
• 解决最不利原则类问题，常用列举的方法，找 到一切不可能的情况。只要把最不利的情况都考 虑到了，一一排除，方能成功。
• 基本公式：一切最不利的情况+1＝成功
数学思维 李昭君
最不利原则就是从“最不凑巧”“最糟
糕”的极端情况考虑问题。如果最不利的情
况都满足题目要求，那么其它情况必然也能 满足题目要求。
一个袋里有5个红球，6个黑球，从中最少摸出 多少个球才能保证拿到红球？
分析：
6＋1＝7（个） 答：从中最少摸出7个球才能保证拿到红球。
刚刚我们碰到的是“最不 凑巧”、“最糟糕”的极端情 况，这样的情况被我们称之为 “最不利情况” 在很多时候，要保证完成 一项任务，经常要考虑到所有 的最不利情况。
四年级 第5讲 最不利原则
巩固3
有一个布袋中有5种不同颜色的糖果，每种都有20个。问：一次至少 要取出多少个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同？
例题4
小白给鱼缸中的鱼换水，需要先将鱼取出然后放至盛有水的容器中。 鱼缸中有黄色小鱼4条，红色小鱼6条，蓝色小鱼8条。小白每次取2条 鱼，那么至少要取几次，才能保证盛有水的容器中3种颜色的鱼都有 ？
例题2
桌子上有大小及形状相同的礼物盒，8个装着水晶球，9个装着小汽车。 问：
（1）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个相同的礼物？ （2）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个不同的礼物？
巩固2
一个口袋里有大小及形状相同的黑球6个，白球7个。问： （1）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色相同的球？ （2）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色不同的球？
巩固5
一个箱子里放有型号相同颜色不同的红、黄、白、黑四种颜色的袜 子各10只。只许用手摸，不许用眼看，至少要从箱子中取出多少只 袜子才能保证配成4双？（一双指同颜色的袜子两只）
例题6
桔子、香蕉、梨、苹果四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两 个。那么，至少需要多少个人才能保证有4人取出的水果是完全相同 的？（每种水果足够多）
巩固4
笨笨家的小水缸里养着会长大的彩色精灵球，其中白的有9个，黑的 有10个，黄的有5个，绿的有3个。若每次取2个精灵球，至少取几次 才能保证有4个颜色不同的精灵球？
例题5
在布袋中装有18根红色的筷子，16根黑色的筷子，14根黄色的筷子， 5根白色的筷子，3根蓝色的筷子。那么， （1）至少取出多少根才能保证有3双同色的筷子? （2）至少取出多少根才能保证有3双颜色各不相同筷子? （3）至少取出多少根才能保证有3双筷子?
最不利原则
最不利原则例1、口袋里有5支红笔，3支蓝笔，10支黑笔。
现在随意抓一把笔，要保证其中至少有1支蓝笔，则一把必须不少于几支？例2、一列2个小方格，每个方格中随意写AB两个字母中的一个，当写到第列时，至少有2列是相同的？（有一列与另一列重复）……例3、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座。
苗苗来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在苗苗之前已就座的最少有几人？例4、有语文、数学、英语、科学、美术书若干本，每个同学可以从中任意取两本，那么最少需要多少个同学才能保证至少有2人选的本数完全相同？例5、某盒子内装有80只球，其中30只是绿球，20只是黄球，20只是红球，其余是黑球和白球。
为了确保取出的球中至少包含有10只同色的球，问：最少必须从袋中取出几只球？例6、小明家有6把锁和6个钥匙，每个钥匙只能打开一把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试几次把锁和钥匙全部搭配好？例7、某小学四年级学生春游，学校买了420瓶汽水分给每个学生，如果每5个空瓶又可以换得1瓶汽水，那么这些汽水瓶最多可以换得多少瓶汽水？练习：A组：1、一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。
如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有8粒颜色相同？2、一只盒子中有一副扑克牌（54张）。
现在用手从盒子中摸牌，要保证盒子中剩下的牌有四种花色，最多能摸出多少张牌？3、某实验小学图书馆里有四类书，分别代号A、B、C、D表示。
如果每个同学借两本，问至少有多少个同学任意借书后，才能断定有两个同学所借的书的类型完全相同？4、一把钥匙吸能打开一把锁，现在10把钥匙和10把锁，最少要试多少次就一定能使全部的钥匙打开全部的锁？B组：1、四年级45个同学参加课外活动，共借来228只排球，是否有人至少借到6只或6只以上的排球？2、纸箱内杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同，在黑暗中至少取出多少只袜子，才能保证有9双颜色相同的袜子？3、一只黑布袋有红、黄、蓝、黑、白五种颜色的袜子各3双，一次至少要从袋中取出多少只，才能保证其中有2双是同一种颜色的袜子？4、四年级有168个学生，都参加篮球、足球、乒乓球和跳绳四项体育活动中的一、二、三或四项。
奥数知识十一——最不利原则
奥数知识十一——最不利原则最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1:口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2:口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
例3:一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
四年级数学思维训练：最不利原则
四年级数学思维训练：最不利原则编者的话：这道试题是由知名数学教师总结出来的四年级奥数题型的一个具有代表性的试题，供大家参考，希望对大家有所帮助！四年级奥数题基础第二十八讲：最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同?分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢?那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少?分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
最不利原则四年级奥数题
13+13+13+2+1=42 （张） 答：最少要取出 42张，才能保证取出的牌中
四种花色都有。
老师总结，我发现
• 解决最不利原则类问题，常用列举的方法，找 到一切不可能的情况。只要把最不利的情况都考 虑到了，一一排除，方能成功。
• 基本公式：一切最不利的情况+1＝成功
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数学思维 李昭君
最不利原则就是从“最不凑巧”“最糟
糕”的极端情况考虑问题。如果最不利的情
况都满足题目要求，那么其它情况必然也能 满足题目要求。
一个袋里有5个红球，6个黑球，从中最少摸出 多少个球才能保证拿到红球？
分析：
6＋1＝7（个） 答：从中最少摸出7个球才能保证拿到红球。
刚刚我们碰到的是“最不 凑巧”、“最糟糕”的极端情 况，这样的情况被我们称之为 “最不利情况” 在很多时候，要保证完成 一项任务，经常要考虑到所有 的最不利情况。
答：在小亮之前已就座的最少有5人。
15÷3=5（个）
例2 在一副54张的扑克牌中，最少要取出多少张， 才能保证取出的牌中四种花色都有？
提示： 一副扑克牌有大、小 王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、 “方块”、“梅花”四种花色各13
张，共计有54张牌。
最不利情况： 取出四种花色中的三种花 色的牌各13张，再加上2 张王牌，再取1张，四种 花色都有了。
例1一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐
来一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。 问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
提示：我们可以从较少的情况来寻找规律，如果只有3个 座位至少坐几人可以满足要求呢？
如果只有3个座位： 如果只有6个座位： 如果只有9个座位：
小学四年级奥数教程-最不利原则
13+13+13+2+3=45（张）
答：最少要取出45张，才能保证取出的牌中四 种花色都有。
超越自我
2.口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？
（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？ （3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？
一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、 “黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张， 共计有54张牌。
•取出四种花色中的三种花色的牌 最不利的情形是： 各13张，再加上2张王牌。
13+13+13+2+1=42（张）
答：最少要取出42张，才能保证取出的牌中四 种花色都有。
• 例6 某小学四年级的学生身高（按整厘米计算），
12.一排椅子只有35个座位，部分座位已有 人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座
位，都将与已就座的人相邻。在乐乐之前就
已就座的最少有几人？ 最不利情况： 每三个座位中间坐一人
35÷3=11（人）…1个 11+1=12（人）
答：在琪琪之前已就座的最少有12人。
• 例5 在一副54张的扑克牌中，最少要取出 多少张，才能保证取出的牌中四种花色都 有？
15÷3=5（个）
答：在小亮之前已就座的最少有5人。
• 变式 一排椅子只有13个座位，部分座位已有人 就座，小亮来后一看，他无论坐在哪个座位， 都将与已就座的人相邻。问：在小亮之前已就 座的最少有几人？
如果只有4个座位： 如果只有5个座位： 如果只有8个座位： 最不利情况：每三个座位中间坐一人
13÷3=4（人）…1个
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最不利原则
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？
分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。
如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。
根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。
因此所求的答案为5人。
例4一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
分析与解：从最不利的情形考虑。
用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。
同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。
共要试验
9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。
所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。
例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。
最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。
这41张牌中没有四种花色。
剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。
因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。
例6若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？
分析与解：汽车的载重量是1.5吨。
如果每箱的重量是300千克（或1500的小于353的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.5吨货物。
这是最有利的情况，此时需要汽车
19.5÷1.5＝13（辆）。
如果装箱的情况不能使汽车满载，那么13辆汽车就不能把这批货物一次运走。
为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑。
最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多。
因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱。
每箱300千克，每车能装5箱。
如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了。
此时，每车载重
301×4＝1204（千克），
空载1500-1204＝296（千克）。
注意，这就是前面所说的“最不利的情况”。
19500÷1204＝16……236，也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后余236千克，因为每辆车空载296千克，所以余下的236千克可以装在任意一辆车中。
综上所述，16辆车可确保将这批货物一次运走。
练习28
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？
3.一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
4.一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
5.口袋里有三种颜色的筷子各10根。
问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？
（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？
（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？
6.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？
7.一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？
8.10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。
为了确保将这批货物一次运走，最少要准备几辆载重量为3吨的汽车？。