小学四年级-最不利原则讲解学习
小学奥数 最不利原则 知识点+例题+练习 (分类全面)
最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
例1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？拓展.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？拓展.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？例2、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？拓展.一排椅子共有18个座位，部分座位已有人就座，小明发现，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。
问：在小明之前已就座的最少有几人？例3、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？拓展.一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？例4、在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？拓展.口袋里有三种颜色的筷子各10根。
问：（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？课后练习：1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？2.一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？3.一把钥匙只能开一把锁，现有15把锁和其中的13把钥匙，要保证这13把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
四年级秋季班第五讲-简单抽屉原理、最不利原则教学内容
四年级秋季班第五讲-简单抽屉原理、最不利原则第五讲简单抽屉原理、最不利原则知识框架一、对抽屉原理两个版本的认识原理要点：（1）物品数比抽屉数多1。
只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。
（2）物品是“任意放”到抽屉中。
（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。
（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。
原理讲解：抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。
当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。
n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。
最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。
此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。
例子：4只鸽子飞回三个鸟笼，有几种方法？每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。
在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。
原理要点：（1）物品数比抽屉数多，抽屉原理1的情形包含于这个原理中；（2）解决的是抽屉的存在性；（3）在解题时，遇到“有一个抽屉中的物品数不少于A件”，其中A>2时，应使用抽屉原理2。
（4）原理的结论也可以理解为：“总有不少于m÷n件（或[m÷n]+1件）物品在同一个抽屉中。
”相同的即为“抽屉”。
原理讲解：最不利的情形就是“平均分”，这样每个抽屉中的物品数都不太多都是[m÷n]个。
若m÷n有余数，那么多出来的余数个物品也按照最不利的情形来分配，这样就能保证抽屉中的物品尽量地少。
也就是说这余数个物品也平均地往抽屉中放，这样有的抽屉会再放入一个物品，而有的就分不到，那么至少会有一个抽屉中的物品数不少于[m÷n]+1个。
四年级 第5讲 最不利原则
巩固3
有一个布袋中有5种不同颜色的糖果，每种都有20个。问：一次至少 要取出多少个糖果，才能保证其中至少有3个糖果的颜色相同？
例题4
小白给鱼缸中的鱼换水，需要先将鱼取出然后放至盛有水的容器中。 鱼缸中有黄色小鱼4条，红色小鱼6条，蓝色小鱼8条。小白每次取2条 鱼，那么至少要取几次，才能保证盛有水的容器中3种颜色的鱼都有 ？
例题2
桌子上有大小及形状相同的礼物盒，8个装着水晶球，9个装着小汽车。 问：
（1）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个相同的礼物？ （2）从中至少取出多少个礼物盒，才能保证有两个不同的礼物？
巩固2
一个口袋里有大小及形状相同的黑球6个，白球7个。问： （1）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色相同的球？ （2）从中至少摸出多少个小球，才能保证有两个颜色不同的球？
巩固5
一个箱子里放有型号相同颜色不同的红、黄、白、黑四种颜色的袜 子各10只。只许用手摸，不许用眼看，至少要从箱子中取出多少只 袜子才能保证配成4双？（一双指同颜色的袜子两只）
例题6
桔子、香蕉、梨、苹果四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两 个。那么，至少需要多少个人才能保证有4人取出的水果是完全相同 的？（每种水果足够多）
巩固4
笨笨家的小水缸里养着会长大的彩色精灵球，其中白的有9个，黑的 有10个，黄的有5个，绿的有3个。若每次取2个精灵球，至少取几次 才能保证有4个颜色不同的精灵球？
例题5
在布袋中装有18根红色的筷子，16根黑色的筷子，14根黄色的筷子， 5根白色的筷子，3根蓝色的筷子。那么， （1）至少取出多少根才能保证有3双同色的筷子? （2）至少取出多少根才能保证有3双颜色各不相同筷子? （3）至少取出多少根才能保证有3双筷子?
小学教学心得 最不利原则-----抽屉原理的逆向应用
精心整理
小学教学心得 最不利原则-----抽屉原理的逆向应用
在讲抽屉原理（一）的时候，我先用抢椅子、摸扑克牌等游戏抛出问题，激发学生的探究欲望，接着用简单的数据举例让学生经历比较、归纳等过程，然后带领学生采用枚举法、假设法等引导学生从直观走向抽象，对于六年级的大多数孩子来说，理解不成问题，关键是如何用数学语言表达出来，为克服这一难点，我带孩子们用最简单的问题多次强调说的过程，特别注意语言中的关键词“总有”“至少”，“总有”是“一定有”，“至少”意思是最少，或者更多，有了这个关键，孩子们的叙述重点很快就准确而明晰起来，最后，看大家理解和表达都差不多清楚了，我又引出了“苹果数”比“抽屉数”不止多1的情况，引导学生建立数学模型，顺向引出“平均分”的思路，整个水到渠
把例3如果有3 更要允。
《有趣的小学数学—最不利原则》
最不利原则【知识点】1、当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则分析问题。
最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。
才能达到“保证”目的。
2、要求：从最不利的条件开始分析；考虑所有最坏的可能。
例题1：一个盒子中装有10个黑球、6个白球和4个红球，一次至少取出多少个球才能保证其中有白球？【答案】15个【分析】最不利的情况是每次取出的都是黑球或红球，就是没有白球。
这时取了10个黑球和4个红球。
然后第15个球就必然能取到白球。
所以一次至少取出10+4+1=15（个）球。
例题2：泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖16颗、黄色糖20颗，紫色糖3颗。
如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相同的糖？【答案】20元【分析】要想保证有5颗颜色相同的糖，根据最不利原则，先把数量不够5的得到。
然后让剩下4种颜色的糖都各得到了4颗，那么再任意得到一颗糖就能达到“保证有5颗颜色相同的糖”，算式：3+4×4＋1=20（元），至少投20元钱。
例题3：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。
请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有3种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红色球和黄色球？【答案】（1）19（2）15【分析】（1）要使取出的球至少有3种颜色，最不利的情况是尽量多的取出其中某2种颜色的球，且这2种球的数量要最多。
显然红球和黄球最多，全都取出共有10+8=18个球，此时再多取1个球，就可以保证至少有3种颜色，因此取19个球即可。
（2）要使取出的球中必有红球和黄球，最不利的情况首先是蓝色和绿色的球都取出，然后红色和黄色的其中一种颜色的球都取出（选最多）。
算式：3+1+10+1=15个球。
例题4：一个布袋里有大小相同、颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。
最不利原则知识点
最不利原则知识点一、知识概述《最不利原则知识点》①基本定义：最不利原则呢，简单说就是考虑最倒霉、最糟糕的情况。
打个比方，你想从一堆盒子里找一个特定的东西，最不利的情况就是你把除了这个东西在的盒子之外的所有盒子都翻了个遍。
②重要程度：在数学学科里特别是在一些概率、组合数学相关的板块中挺重要的。
它可以帮忙在一些问题中确定下限，就像兜底似的，知道最不好的情况就能有所准备。
③前置知识：要知道一些基础的计数知识，像数个数之类的，还有基本的逻辑推理就行了。
④应用价值：在生活中也有用。
比如说抽奖，商家想算一下最坏情况得准备多少奖品，就可能用到这个原则。
还有规划东西的存放等很多实际场景。
二、知识体系①知识图谱：它是数学组合学和概率论里的一个重要补充知识。
比一般的计算情况更加深入地考虑问题。
②关联知识：和概率中的一些事件关系密切，还有组合数学里的排列组合在构建最不利情况时可能会用到。
③重难点分析：难点在于准确判断什么是最不利情况，要想得很周到。
重点是清楚这个概念的核心就是想最倒霉的场景。
掌握的关键是多做实例，积累经验。
④考点分析：在考试里如果涉及到类似要找最坏情况的题目就会用到。
考查方式可能会让你计算在最不利情况下的某个数值，或者判断某个行动在最不利情况下什么时候结束。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：最不利原则的准确含义就是要找到一种情况，这种情况对达成目标来说是最不顺利的。
并不是随随便便找个不好的情况，而是那种离成功就差那么一点点的最糟状态。
②特征分析：主要特点就是它是一种极端情况。
性质上是具有唯一性或者说是极限性的，就是说这个糟糕程度在设定问题下不能再糟糕了。
③分类说明：在不同类型的题目里，比如数字抽取型，那最不利就是把所有不符合目标数字的都抽完；物品分配型，就是把最不希望的分配方式都弄完还没达到理想的分配。
④应用范围：适用在各种需要找极限情况的资源分配、搜索目标等问题。
局限性在于题目要是有明确的目标状态，如果目标很模糊那就不太适合用。
小学数学：最不利原则例题解答
最不利原则例题解答在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1:口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
例2口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。
最不利原则的讲解
第十二讲最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。
只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。
因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。
本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。
1. 红桃、黑桃各2张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。
2．红桃、黑桃各5张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。
3．红桃、黑桃各4张，要保证从中摸出3张同色的，至少要摸出张。
[解答]两种颜色的扑克，要摸出两张同色的，至少都要摸出3张，就能保证有两个扑克同色，在每种扑克数量足够多的情况下，与扑克的数量多少没有关系。
摸出3张同色的，最不利的情形是先各摸出红、黑2张，再摸出1张，就肯定有3张同色的。
1、3张；2、3张；3、5张。
[例1]灰太狼抓住了懒羊羊。
聪明的喜羊羊决定去营救懒羊羊。
他对灰太狼说：“我知道你很聪明，那你有胆量和我比一下么？如果你赢了的话，那么我也愿意被你吃掉；如果你输了，请把懒羊羊放掉。
题目很简单，就是随意把1和2分别填入下面立方体的格子中，使每个面上的4个数的和都不一样”灰太狼不假思索答应了。
请问谁赢了？为什么？【解析】随意填1，2，那么每个面上4个格子的4个数的和最小为4，最大为8；4到8，共有5个数。
而立方体有6个面。
一定有相同的和。
【例2】120名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权。
若前100票中，甲得45票，乙得35票，甲要当选至少还要（）张选票。
【解答】丙已得20票.后面的20票即使全给丙不影响甲当选。
最不利的情况是2 0票都给了乙。
为了避免这种情况发生，甲还需得6票，就能保证当选。
【例3】某小学四年级的学生身高（都按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。
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• 完全解题：3×3+1=10个
•
答：一次最少摸出10个球，就能保
证4个小球颜色相同。
小结
关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答 得出结论。
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝 三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个， 才能保证至少有5个小球颜色相同？
解： 4×3+1=13个 答：一次最少摸出13个球才能保证。
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝、 绿四种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个， 才能保证至少有3个小球颜色相同？
解： 2×4+1=9个 答：一次最少摸出9个球才能保证。
三、开心闯关想想想
例2： 一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10
把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙 和锁相匹配？
最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问 题。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它 情况必然也能满足题目要求。
二、探宝揭秘新新新
例1： 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝
三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个 球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3 个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都 是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最 不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄 或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答 应是最少摸出10个球。
钥匙和锁相匹配。
小结
先从最不利的情形考虑，再逐一类推。
1、一把钥匙只能开一把锁，现有5把锁和 的ห้องสมุดไป่ตู้把钥匙，要保证这5把钥匙都配上锁，至 少需要试验多少次？
解：4+3＋2＋1＝10（次）。 答：最少试验10次就一定能使全
部的钥匙和锁相匹配。
2、一把钥匙只能开一把锁，现有10把锁和 其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都配上锁， 至少需要试验多少次？
从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第 一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打 开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁 相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁 相匹配）。同理，第二把锁试验8次……第九把锁 只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。 共要试验
• 完全解题：9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。 • 答：最少试验45次就一定能使全部的
柏
五、勇夺高峰闪闪闪
一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就 座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将 与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最 少有几人？
将15个座位顺次编为1-15号。如果2号位、5号位 已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号 位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一 想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位 都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就 座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的 人相邻。因此所求的答案为5人。
2
5
8
11
14
“最不利原则’是一种极端情况，可以 用于解决“至少”、“最多” 、等问题。
解决最不利原则类的问题，找到一切 不可能的情况。只要把最不利情况都考虑 到了，一一排除，方能成功。
• 假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现 有2个空水壶，容积分别为5升和6升。问题 是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的 水
解：9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。 答：最少试验45次就一定能使全
部的钥匙和锁相匹配。
四、拓展视野妙妙妙
①再见吧，妈妈 （猜数学名词）
分母
② 全部消灭
（猜数学名词）
除尽
③ 考试作弊
（猜数学名词）
假分数
④ 风筝跑了
（猜数学名词）
线段
⑤3.4
（猜成语）
不三不四
⑥72小时
（猜汉字）
晶
⑦左边九加九，右边九十九 （猜汉字）
一、智慧开启亮亮亮
• 小故事：野猪在树干上磨它的牙齿，狐狸 见到了，问他为什么不躺下来休息享乐， 而且现在也没有看到猎人和猎狗。野猪回 答道：“等到猎人和猎狗出现时再来磨牙 齿，一切已经来不及了。”
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大 值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最 不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。