历年考研高等数学真题之概率统计部分

（B） P( X = Y ) = 1
（C） P( X + Y = 0) = 1 4
（D） P( XY = 1) = 1 4
[]
7（98，3 分） 设 F1 (x)与F2 (x) 分 别 为 随 机 变 量 X1 与 X2 的 分 布 函 数 。 为 使
F (x) = a1F1 (x) − bF2 (x) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
5
5
（B） a = 2 , b = 2 33
（C） a = − 1 ,b = 3 22
（D） a = 1 , b = − 3
2
2
6（99，9 分） 设二维随机变量（X，Y）在矩形 G={(X,Y)}0≤x≤2,0≤y≤1 上服从
均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(s)。
⎜⎛ 1
2 ⎟⎞
X ~⎜
⎟
⎜⎝ 0.3
0.7 ⎟⎠
而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。
11（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，…，X 中任取一个数，
记为 Y，则 P{Y=2}=
.
12（05，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
求 P{X + Y ≤ 1} 。
4（94，8 分） 设随机变量 X 1, X 2 , X 3 , X 4 相互独立且同分布，
P( X i = 0) = 0.6, P( X i = 1) = 0.4(i = 1,2,3,4) 。
求行列式
的概率分布。 5（95，8 分）
X = X1
X2
X3
X4
已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为
求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度 f X (x), fY ( y);
（II）Z=2X-Y 的概率密度 fZ (z);
（III） P⎨⎧Y ⎩
≤
1 2
X
≤
1 2
⎬⎫. ⎭
[ ] 14（06，4 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间 0, 3 上的均匀分布,则
P{max ( X ,Y ) ≤ 1} = _________
⎪0, 其他
⎪⎩
二维随机变量(X,Y)的分布函数.
(Ⅰ)求 Y 的概率密度 fY ( y)
(Ⅱ)
F
⎛ ⎜⎝
−
1 2
,
4
⎞ ⎟⎠
数学三：
1（90，3 分） 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为
m
−1 1
m
−1 1
P{X = m}
1
1
2
2
P{Y = m}
1
1
2
2
则下列式子正确的是：
（A） X = Y
.
11（05，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
Y X
0 1
0 0.4 b
1 a 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则
A、a=0.2, b=0.3
B、a=0.1, b=0.4
C、a=0.3, b=0.2
D、a=0.4, b=0.1
12（05，13 分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为
Y X
0 1
0 0.4 b
1 a 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 a =_____________, b =_____________. 13（05，13 分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为
f
(
x,
y)
=
⎧1, ⎩⎨0,
0 < x < 1,0 < y < 2x, 其他.
∫ Φ(x) = 1
x −t2
e 2 (dt) 。
2π −∞
4（94，3 分） 设相互独立的两个数随机变量 X 与 Y 具有同一分布律，且 X 的分布律
X 01
为
则随机变量 Z=max{X，Y}的分布律为
。
p11 22
5（95，3 分） 设 X 和 Y 为两个随机变量，且
P{X ≥ 0,Y ≥ 0} = 3 , P{X ≥ 0} = P{Y ≥ 0} = 4
（A）0 9（01，8 分）
（B） 1 4
（C） 1 2
（D）1
[]
设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形
G = {(x, y :1 ≤ x ≤ 3,2 ≤ y ≤ 3} 上 的 均 匀 分 布 。 试 求 随 机 变 量
U =| X − Y | 的概率密度p(u) 。
10（03，13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为
7（99，8 分） 已知随机变量X1和X2的概率分布
⎡
⎤
⎢−1 0 1⎥
⎡
⎤
⎢0 1⎥
X1
~
⎢ ⎢ ⎢
1
1
1
⎥⎥, ⎥
X2
~
⎢ ⎢⎢ 1
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 4 2 4⎥⎦
⎢⎣ 2 2⎥⎦
而且P{ X1X2 =0}=1。
（1） 求X1和X2的联合分布：
（2） 问X1和X2是否独立？为什么？
8（02，3 分） 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分
（II）Z=2X－Y 的概率密度 f Z ( z ). 14（06，4 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则
P{max{X , Y} ≤ 1} =
.
⎧1
⎪ ⎪
2
,
−1
<
x
<
0
15（06，9
分）随机变量
x
的概率密度为
fx
(x)
=
⎪1
⎨ ⎪
4
,0
≤
x
<
2
令y = x2, F ( x, y) 为
条件下，随机变量 Y 在区间 (0, x) 上服从均匀分布，求
(Ⅰ) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度； (Ⅱ) Y 的概率密度；
(Ⅲ) 概率 P{X + Y > 1}．
10（05，4 分） 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，…，X 中任取一个
数，记为 Y，则 P{Y=2}=
（B） P{X = Y} = 0
（C） P{X = Y} = 1 2
（D） P{X = Y} = 1
2（90，5 分） 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命（单
位：千小时），已知 X 和 Y 的联合分布函数为：
F ( x,
y)
=
⎧1 − e0.5x ⎨− e −0.5 y源自f(x,y)
=
⎧4xy, ⎩⎨0,
若0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 其他
求（X，Y）的联合分布函数。
6（97，3 分） 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布，P（X=-1—）=P（Y=-1）
= 1 ，P（X=1）=P（Y=1）= 1 ，则下列各式成立的是
2
2
（A） P( X = Y ) = 1 2
别为 f1 (x)和f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x)和F2 (x) 。则
（A） f1(x) + f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。
（B） F1 (x)F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。 （C） F1 (x) + F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。 （D） f1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。 9（04，13 分） 设随机变量 X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布，在 X = x(0 < x < 1) 的
（1，1），则
（A） P{X + Y ≤ 0} = 1 2
（B） P{X + Y ≤ 1} = 1 2
（C） P{X − Y ≤ 0} = 1 2
（D） P{X − Y ≤ 1} = 1 2
8（99，8 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合
分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
+ e −0.5( x+ y)
⎩
0,
若x ≥, y ≥ 0 其他
（1） 问 X 和 Y 是否独立？ （2） 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。 3（92，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f
( x,
y)
=
⎧e ⎨
−
y
,
⎩0,
0<x< y 其他
（1） 求 X 的概率密度 f X (x);
（A）a=0.2, b=0.3
（B） a=0.4, b=0.1
（D）a=0.3, b=0.2
（D）a=0.1, b=0.4 [
]
13（05，9 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f
(
x,
y)
=
⎧1, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 其他
0 < y < 2x,
求：（I）（X，Y）的边缘概率密度 f X (x), fY ( y);
f
(x,
y)
=
⎧2e −(x+2 y) ⎨
⎩ 0,
求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数。
x > 0, y > 0 其他
3（92，6 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，Y 服从[-π，