清华大学历年概率论考研试卷
概率论考研题
布的概率密度函数，因此函数值是1/3。
(100104)
(100104)
立即想到这是泊松分布当l=1时的分布率函 数，记忆起泊松分布的均值和方差都是l，
因此X2的均值等于方差加上均值的平方，因 此是2, 填2。
(100111)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密 度函数为 f (x, y) Ae2x2 2xy y2 , x , y
8. 设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正
态分布N(0,1),
Y的概率分布为P{Y
0}
P{Y
1}
1 2
.
记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数, 则函数 FZ(z)的间断点个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 解 FZ(z)=P{Zz}=P{XYz}= P{Y=0}P{XYz|Y=0}+P{Y=1}P{XYz|Y=1} =[F1(z)+F2(z)]/2, 因为F1(z)是在0处单点分布 的分布函数,而F2(z)是标准正态分布函数,因此 F1(z)造成一个间断点, 应填(B)
解 (2) P{Y1}=1e1, 再求P{X1,Y1}:
P{X 1,Y 1} 1 x ex d y d x 00
y 1
1 x ex d x x ex 1 1ex d x
0
00
e1 ex
1
O e1 e1 1 1 2 e1
1
x
0
0.735
22.(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概
(1)求P{X=1|Z=0};
(2)求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
解: (1) Z=0表示两次取到的球都不是白球, 此 条件相当于将样本空间压缩为袋中只有一个 红球两个黑球, 因此有
清华大学历年概率论考研试卷
清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。
求()P A B ⋃，并问事件A 与事件B是否独立，为什么？二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N a a σσρ。
试证明：U X Y =+和V X Y =-独立。
三、设（12,,,n X X X ）是正态总体2(,)X N μσ的一个简单样本，X 为样本均值，求1(||)n i i E X X =-∑。
四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -⎛⎫ ⎪⎝⎭（表示遵从），其中01,01,1p q p q r <<<<++=，1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。
2） 设0r =。
当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。
五、设总体X 的概率密度函数为(),()0,x e x f x λμλμμ--⎧>=⎨≤⎩x 。
这里μ和λ（>0）都是参数。
又设12,,,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,nx x x 为其样本观察值。
1） 设λ已知，求μ的极大似然估计L μ2） 设μ已知，求λ的矩估计M λ。
六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的Poisson 流。
（1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数；（2）求比12ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >；（3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ（服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。
则12X X +12()P λλ+。
清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ），中奖的号码定为k 个，采用无放回随机抽样。
清华大学概率论与数理统计复习ppt
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
ln
xi
0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)
2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)
(
2n 2n
x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )
x f ( x; )d x
1
x
x 1d x
, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )A．—1B．0C．D．1正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n—X。
由方差的定义：D(X)=E(X2)一[E(X)]2，所以D(Y)=D(n—X)=E(n—X)2一[E(n—X)]2=E(n2—2nX+X2)—[n一E(X)]2=n2—2nE(X) +E(X2)一n2+ 2nE(X) —[E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)。
由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y) = Cov(X1，Y) + Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y) = Cov(X，n—X) = Cov(X，n) —Cov(X，X)=0—D(X)=—D(X)，由相关系数的定义，得知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)且相关系数ρXY=1，则( ) A．P{Y=—2X—1}=1B．P{Y=2X—1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D解析：用排除法。
设Y=aX+b。
由ρXY=1，知X、Y正相关，得a＞0。
排除A和C。
由X～N(0，1)，Y～N(1，4)，得E(X)=0，E(Y)=1，E(aX+b)=aE(X)+b，即1=a×0+b，故b=1。
从而排除B。
故应选D。
知识模块：概率论与数理统计3．将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) A．1B．C．D．—1正确答案：D解析：设两段长度分别为X，Y，显然X+Y=1，即y=—X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为—1。
概率论与数理统计历年考研真题(数一)1995--2012年
å sˆ 2 = 1
n
z2
3n i i=1
å å （3） E(sˆ 2 ) = 1 n E(z 2 ) = 1 n [(Ez)2 + Dz] = 1 (3ns 2 ) = s 2
3n i=1
i
3n i=1
3n
因此sˆ 2 是s 2 的无偏估计
3
2011 年（数一）
（7）设 F1 (x), F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 (x), f 2 (x) 是连续函数，则必为
（ 14 ） 设 A, B, C 是 随 机 事 件 ， A 与 C 互 不 相 容 ， P( AB) = 1 ， P(C) = 1 ， 则
2
3
P( AB C) = ________
【答案】 3 4
【解析】 P( AB C) = P( ABC) = P( ABC)
P(C )
1- 1
3
而 P( ABC) + P( ABC) = P( AB) = 1 ，而 0 £ P( ABC) < P( AC) = 0 ，故 P( ABC) = 1
ò ò EX =
+¥
0.3xj(x)dx +
4
X
Y
-1
0
1
0
Hale Waihona Puke 0010
再由 X 和 Y 的概率分布可得 ( X ,Y ) 的概率分布为
X
Y
-1
0
1
0
0
13
0
1
13
0
13
（2） XY 的可能取值为 -1,0,1 Z = XY 的概率分布为
XY -1
0
1
清华大学考研-清华大学考研数学 近五年线代真题考点分析
龙驭球、包世华 注册咨询工程师考试 教材编写委员会 翻译本 胡忠鲠 傅献彩 顾夏声等 周德庆 王家玲等 郭怀城等 马中 程声通 曾思育
王昆林 朱张校主编 秦曾煌主编 申永胜 吴宗泽 郁道银、谈恒英
王向荣
[英]杰弗瑞·杰里柯//苏 珊杰·里柯 译者：刘滨 谊
周维权
刘敦祯 潘谷西 陈志华 罗小未 张筑生 周民强，方企勤
张三慧
宋天佑，程鹏，王杏乔
邢其毅主编
薛华等 刘密新等
潘祖仁主编
何曼君等
606 生物学
《基础生命科学》 高等教育出版社 第二版
吴庆余
607 西方哲学史 《西方哲学简史》 北京大学出版社 2002
《外国城市建设史》 中国建筑工业出版社
《中国古代建筑史》 中国建筑工业出版社
《中国建筑史》
中国建筑工业出版社
《外国建筑史》
中国建筑工业出版社
《外国近现代建筑史》中国建筑工业出版社
601 艺术概论
《艺术概论》
文化艺术出版社
《美学概论》
人民出版社
《中国城市建设史》 中国建筑工业出版社
《外国城市建设史》 中国建筑工业出版社
郑君里等
《电磁场理论》 829 电磁场理论
清华大学出版社 2001 年 2003 年重 王蔷 李国定 龚克
印
《电动力学》
高教出版社 1997 年 第二版
郭硕鸿
《Introduction to Semiconductor Devices》
清华大学出版社
Donald A. Neamen
概率第二章历年考研真题（数学一、三、四）
概率第二章历年考研真题（数学一、三、四）第二章随机变量及其分布数学一：1（88，2分）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。
已知，9938.0)5.2(,21)(22=Φ=Φ-∞-?du ex u xπ则X 落在区间（9.95, 10.05）内的概率为。
2（88，6分）设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f X +=π，求随机变量Y=1-3X 的概率密度函数)(y f Y 。
3（89，2分）设随机变量ξ在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率是。
4（90，2分）已知随机变量X 的概率密度函数||21)(x e x f -=，+∞<<∞-x ，则X 的概率分布函数F （x ）=。
5（93，3分）设随机变量X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量2X Y =在（0，4）内的概率分布密度=)(y f Y。
6（95，6分）设随机变量X 的概率密度为<≥=-0,00)(x x e x f xX 求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
7（02，3分）设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为21，则=μ。
8（04，4分）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ ]9（06，4分）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ> （C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ>10（10年，4分）设随机变量X 的分布函数()F x =00101,21e 2x x x x -<≤≤->则{1}P X == (A)0 (B)1(C)11e 2--(D)11e --11（10年，4分）设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf xx x ≤> (0,0)a b >> 为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=12（11,4分）13（13,4分）设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}122(1,2,3)i P P X i =-≤≤=，则（） A.123P P P >> B.213P P P >> C.322P P P >>D 132P P P >>14（13,4分）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则P{Y ≤a+1|Y ＞a}=数学三：1（87，2分）（是非题）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。
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清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题
一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。
求()P A B ⋃，并问事件A 与事件B 是否独立，为什么？
二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布22
1212(,,,,)N a a σσρ。
试证明：U X Y =+和V X Y =-独立。
三、设（12,,
,n X X X ）是正态总体2(,)X N μσ的一个简单样本，X 为样本均值，求
1
(||)n i i E X X =-∑。
四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -⎛⎫ ⎪⎝⎭（表示遵从）
，其中01,01,1p q p q r <<<<++=，
1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。
2） 设0r =。
当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。
五、设总体X 的概率密度函数为
(),()0,
x e x f x λμλμμ--⎧>=⎨≤⎩x 。
这里μ和λ（>0）都是参数。
又设12,,
,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,n
x x x 为其样本观察值。
1） 设λ已知，求μ的极大似然估计L μ
2） 设μ已知，求λ的矩估计M λ。
六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的
Poisson 流。
（1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数；
（2）求比12
ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >；
（3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ（服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。
则12X X +12()P λλ+。
清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题
一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ）
，中奖的号码定为k 个，采用无放回随机抽样。
求k 个中奖号码算术平均值的期望。
二、12,,,n X X X 为独立2(,)N μσ分布样本，X 为样本均值，
1） 求(||)i E X X -；
2） 用1||n i i c X
X σ==-∑作为σ的估计，确定c 使得次估计是无偏的。
三、1212,,;,,
X X Y Y ，为两串随机变量序列。
1） 设当n →∞，n Y 依分布收敛到常数a ，证明n Y 依概率收敛到a 。
2） 设当n →∞，n X 依概率收敛到随机变量X ，n Y 依概率收敛到随机变量Y ，证明
n n X Y +依概率收敛到X Y +。
四、设X 和Y 为两个独立的随机变量，都服从期望值为θ的指数分布。
（1）求在已知X Y t +=的条件下，Y 的条件分布；
（2）求Y X Y
+的分布。
五、12,,
,n X X X 为独立(,1)N μ分布随机变量，记12(,,,)T n X X X X =，A 为n 阶对称矩阵。
证明，当下列的三条件:
（1）2A A =
（2）()tr A k =
（3）AI =0，其中I 为所有元素为1的n 阶向量，0为所有元素为0的n 阶向量 全部满足时，T X AX 服从自由度为k 的2χ分布。