清华大学历年概率论考研试卷

清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题

一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。求()P A B ⋃，并问事件A 与事件B 是否独立，为什么？

二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布22

1212(,,,,)N a a σσρ。试证明：U X Y =+和V X Y =-独立。

三、设（12,,

,n X X X ）是正态总体2(,)X N μσ的一个简单样本，X 为样本均值，求

1

(||)n i i E X X =-∑。

四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -⎛⎫ ⎪⎝⎭（表示遵从）

，其中01,01,1p q p q r <<<<++=，

1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。

2） 设0r =。当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。

五、设总体X 的概率密度函数为

(),()0,

x e x f x λμλμμ--⎧>=⎨≤⎩x 。 这里μ和λ（>0）都是参数。又设12,,

,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,n

x x x 为其样本观察值。

1） 设λ已知，求μ的极大似然估计L μ

2） 设μ已知，求λ的矩估计M λ。 六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的

Poisson 流。

（1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数；

（2）求比12

ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >；

（3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ（服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。则12X X +12()P λλ+。

清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题

一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ）

，中奖的号码定为k 个，采用无放回随机抽样。求k 个中奖号码算术平均值的期望。

二、12,,,n X X X 为独立2(,)N μσ分布样本，X 为样本均值，

1） 求(||)i E X X -；

2） 用1||n i i c X

X σ==-∑作为σ的估计，确定c 使得次估计是无偏的。

三、1212,,;,,

X X Y Y ，为两串随机变量序列。 1） 设当n →∞，n Y 依分布收敛到常数a ，证明n Y 依概率收敛到a 。

2） 设当n →∞，n X 依概率收敛到随机变量X ，n Y 依概率收敛到随机变量Y ，证明

n n X Y +依概率收敛到X Y +。

四、设X 和Y 为两个独立的随机变量，都服从期望值为θ的指数分布。

（1）求在已知X Y t +=的条件下，Y 的条件分布；

（2）求Y X Y

+的分布。 五、12,,

,n X X X 为独立(,1)N μ分布随机变量，记12(,,,)T n X X X X =，A 为n 阶对称矩阵。证明，当下列的三条件:

（1）2A A =

（2）()tr A k =

（3）AI =0，其中I 为所有元素为1的n 阶向量，0为所有元素为0的n 阶向量 全部满足时，T X AX 服从自由度为k 的2χ分布。