清华大学概率论论文_关于经典寓言的概率分析模型
关于经典寓言的概率分析模型
班级:电13
姓名:苗键强
学号:2011010645
摘要:
经典寓言故事中往往隐含了与数学相关的知识,本文就经典寓言故事《狼来了》中置信概率的变化做相关分析,通过搭建的几个不同模型来对于实际问题做理论解释?
关键词:
贝叶斯公式概率估计
引言:
伊索寓言《狼来了》向我们讲述了这样一个故事:
从前,有个放羊娃,每天都去山上放羊?
一天,他想了个捉弄大家寻开心的主意?他向着山下正在种田的村民大声喊:“狼来了!狼来了!救命啊!”村民气喘吁吁地赶到山上帮忙,然而却发现被骗了?
第二天,放羊娃故伎重演,又欺骗了村民一次?
过了几天,狼真的来了?放羊娃再次呼救,然而村民再也不理他了。问题分析:
在这个故事中我们可以看到放羊娃的言语在村民心中的置信度是随着他说谎的次数增加而逐渐降低的,因此本文就此构建与之相关的几个模型来对此进行相应的解释?
模型构建:
模型一:(无视小孩模型)
记事件A为“小孩说谎”,事件B为“小孩可信”,假设村子中有N个村民(N视为一个很大的数)?
在此模型中不考虑小孩的说谎的概率与其言语可信度之间的关系,且认为村民之间相互不交流,其对于小孩的印象仅取决于他的初始印象和是否上过小孩的当?假设初始状态下,村民对孩子的印象为P1(B)=0.8?同时若某一名村民上过小孩的当,则他对于小孩的印象下降至P2(B)=0.2,若他上过两次当,则再也不会相信该小孩了?
则当小孩第一次说谎时,村民去帮忙的期望值为E1=0.8N
同时这这些村民对小孩的印象下降为P2(B)=0.2,而其余的0.2N 的村民对小孩的印象不变?
同理可得,小孩第二次说谎时,村民去帮忙的期望值为E2=0.8N*0.2+0.2N*0.8=0.32N,即小孩的置信度下降为0.32?
小孩第三次说谎时,村民去帮忙的期望值为E3=(0.8*0.8+0.2*0.8)N*0.2+0.04N*0.8=0.192N,即小孩的置信度下降为0.192?
所以在此模型中,小孩说过一次谎后,村民对他的印象下降最大(E1-E2=0.48,下降一半以上),此后则逐步下降?
模型二:(书本模型)
此模型与书本上相同,在此仅为下面的模型过渡,因此不再复述?
模型三:(最终模型)
在此模型中,我们认为当小孩说过一次谎后,未过上山的村民根据这个其他村民传递的信息,对小孩的可信程度改变服从模型而中的规律?同时,亲身经历过此事件的村民对小孩的可信程度则服从模型一中的规律,即上过一次当的村民自己对小孩的相信程度降为0.2,上过
两次当则不会再相信小孩?而假如该村民既上过山又有未上山的遭遇,则他对小孩的印象为此时其他从未上过山的村民的印象与他的遭遇而带来的印象的乘积?
假设初始状态下村民对孩子的印象为P(B)=0.8?
则小孩说了一次谎言时,上山的0.8N的村民对他的印象降为0.2,而其他的未上山的0.2N的村民对他的印象改变为P(B|A)=P(B)P(A|B)/[P(B)P(A|B)+P(B-)/P(A|B-)]=0.444?故此时村民对他的总体平均印象为P(B)=0.444*0.2+0.8*0.2=0.2488?
在小孩说了两次谎言时,上山的村民为0.8N*0.2+0.2N*0.444=0.2488N?这其中有0.16N的村民对小孩的印象降为P1(B)=0?
而对于这时未上山的村民而言,有两部分:
对于一部分自始至终未曾上过山的0.2N-0.888N=0.112N的村民,他们此时对小孩的印象变化为:P2(B)=0.2488*0.1/(0.2488*0.1+0.7512*0.5)=0.0613;
而对于上过一次山,同时有一次未上山的(1-0.16-0.112)N=0.728N的村民,他们此时对小孩的印象变化为:P3(B)=0.0613*0.2=0.0123;
所以此时村民对他的总体印象为P(B)=0.0123*0.64+0.0613*0.728=0.0525?
结论:
我们可以将以上的三个模型进行一个实际的描述:
模型一描述的情况是村民善于“记仇”,但相互之间交流不充分?因而他们对于小孩的印象仅仅来源于自己的初始认识以及经历?那么他们对于说谎的小孩的印象变化依次为P1(B)=0.8,P2(B)=0.32,P3(B)=0.192?因此小孩说谎一次对自身的影响十分大?
模型二描述的情况是村民不会记仇,即同一时间所有的村民对小孩的印象都一样,而他们之间的交流和沟通很充分,因此在此时计算村民对于小孩的印象可以运用贝叶斯公式得到P1(B)=0.8,P2(B)=0.444,P3(B)=0.138?可以看到这一种情况下,村民对小孩的印象基本上处于一种递降的趋势?
模型三描述的情况是村民即善于“记仇”,同时相互之间交流还很充分?因此他们除了参考自己的历史经历外,还注意他人对于小孩的评价?而在这一种情况下,通过计算得到了P1(B)=0.8,P2(B)=0.2488,P3(B)=0.0525?这一种情况下,小孩的信誉下降地是最快的,而且假若小孩说过两次谎,则他的信誉几乎下降为0?而在现实生活中我们对他人的评价主要与模型三相类似,既会参考他人的观念,也会有自己的开始看法?比如我们现在的银行业,不仅银行会记录用户的诚信信息,而且会提交到相应的系统中去,供其他银行在对用户办理相关手续时参考。因而假若用户有过一次不良信用记录,则再向银行贷款就几乎是一件不可能的事件?
通过以上分析我们可以看到,在近似于实际生活的场景中,只要我们曾经说过一次谎言,那么我们言语的可信程度就会大大降低,因
此我们要珍惜自己的名誉,做到为人诚信。
三个臭皮匠 概率论论文
概率论结业论文
学校：东北农业大学成栋学院
系别：建筑与测绘工程系
专业：土木工程
班级：12级3班
姓名：姚武扬
学号：2012552326
三个臭皮匠顶个诸葛亮
摘要：概率论与数理统计起源于生活，通过科学的数学研究分析进行深层次的提高于理论化，最终将理论作用于实际，造福于我们平日的生产生活。通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将用概率论与数理统计的方式来证明一句俗语“三个臭皮匠，顶个诸葛亮。”
关键词：概率； 应用； 三个臭皮匠，顶个诸葛亮
一、概率论简介
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
随着数学的不断发展，概率的定义也越来越实际化，越来越与生活密切相关。同时，越来越丰富的学科发展，为概率论本身的研究和在日常生活中的广泛应用提供了更深入的条件。
二、“三个臭皮匠顶个诸葛亮”简介
话说有一天，诸葛亮到东吴作客，为孙权设计了一尊报恩寺塔。其实，这是诸葛亮先生要掂掂东吴的份量，看看东吴有没有能人造塔。那宝塔要求可高啦，单是顶上的铜葫芦，就有五丈高，四千多斤重。孙权被难住了，急得面黄肌瘦。后来寻到了冶匠，但缺少做铜葫芦模型的人，便在城门上贴起招贤榜。时隔一月，仍然没有一点儿下文。诸葛亮每天在招贤榜下踱方步，高兴得直摇鹅毛扇子。那城门口有三个摆摊子的皮匠，他们面目丑陋，又目不识丁，大家都称他们是丑皮匠。他们听说诸葛亮在寻东吴人的开心，心里不服气，便凑在一起商议。他们足足花了三天三夜的工夫，终于用剪鞋样的办法，剪出个葫芦的样子。然后，再用牛皮开料，硬是一锥子、一锥子地缝成一个大葫芦的模型。在浇铜水时，先将皮葫芦埋在砂里。这一着，果然一举成功。诸葛亮得到铜葫芦浇好的消息，立即向孙权告辞，从此再也不敢小看东吴了。“三个丑皮匠，胜过诸葛亮”的故事，就这样成了一句寓意深刻的谚浯。
概率论的发展历程与日常运用-应用数学论文-数学论文
概率论的发展历程与日常运用-应用数学论文-数学论文
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数学与生活论文第三篇：概率论的发展历程与日常运用
摘要：介绍了概率论的创立、发展近340年的历史以及数学工作者在概率论发展中所做的贡献，概述了概率论的近期发展方向，并列举了其在生活中的若干应用。
关键词：概率论; 发展简史; 概率论应用; 中心极限定理应用;
History of Probability Theory and Its Applications in Life
SUN Ye-qiang WANG Na
School of Applied Sciences at Jilin Engineering Normal University
Abstract：A brief introduction to the founding and development
of the probability theory in the past 340 years or so and mathematical
researchers efforts for its existence was made in the paper as well as
an overview of its recent progress and several applications in real life.
研究概率论的发展简史为我们提供了经验和教训，以史为鉴，让我们可以明确概率论的研究方向。研究概率论在生活中的应用，让人们了解到生活无处不概率，认识到概率论的重要性，并且可以激发人们对概率的兴趣，进而使更多的人研究概率，让概率论能够更加壮大。我国是从1940底开始对现代概率统计进行教学和研究，直到1956年，概率论的重要性逐渐被国家所认识到，于是国家将其列为数学的三大发展方向之一。在这一潮流中，徐宝禄招募了来自全国各地的师生，集中精力开设概率论的班级，并且聘请国外着名学者到中国讲学，开设现代概率统计课程并且组织学术研讨会。在此期间，许多青年教师和学生进行概率研究，使得概率论在我国的发展突飞猛进。目前，我国的概率研究处在国际的前沿水平。然而，在时代发展相当快的今天，我国的概率统计研究的发展空间还是相当大的。
论数学分析与概率论的相互关系论文
论数学分析与概率论的相互关系论文
论数学分析与概率论的相互关系论文
0引言
概率论与数学分析是数学的两个不同分支,数学分析是确定性数学的典型代表,概率论则是随机数学的典型代表。由于两者所研宄的方向不同，故它们的发展道路大相径庭,但是在各自的发展过程中二者却又紧密地结合在一起,数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也逐渐滲透到数学分析当中，推动着数学分析的发展。研宄概率论与数学分析两者之间的相互关系，并寻绎概率论在解决数学分析中某些比较困难的问题的方法、思想，是很有意义的。
1.数学分析对概率论的渗透与推动
1933年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫以集合论、测度论为依据，导入了概率论的公理化体系，概率论得以迅猛发展,在其迅猛发展的道路上，数学分析的思想与方法随处可见。
1.1集合论与概率论的公理化体系
由于数学的研究对象一般都是具有某种性质或结构。世纪数学分析的严密化过程当中培育出来的，两者之间是源和流的关系；又由于勒贝格积分建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系；因而集合论对概率论的滲透，可视为微积分对概率论的一次较有力的推动。
数学分析中主要有黎曼积分和勒贝格积分两种。黎曼积分处理性质良好的函数时得心应手,但对于级数、多元函数、积分与极限交换次序等较为棘手的问题时，常常比较困难。勒贝格积分的出现,使黎曼积分遇到的难题迎刃而解,微积分随之进化到了实变函数论的新阶段。有了勒贝格积分理论以后,集合测度与事件概率之间的相似性便显示出来了。不仅如此,测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛,实质上就是弱大数定律与强大数定律中的收敛。1933年,苏俄数学家柯尔莫哥洛夫，建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系2,统一了原先概率的古典定义、几何定义及频率定义纷争不一的局面。他建立的公理化体系，具备了独立性、无矛盾性、完备性的公理化特征,确定了事件与集合、概率与测度的关系，使集合论加盟概率论。概率论在坚实的公理化基础上，已成为一门严格的演绎科学,取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。
伊索寓言《狼来了》概率模型
伊索寓言《狼来了》概率模型
作者 王翔宇 2011010699高尚 2011010707
摘要：
教材中对伊索寓言——《狼来了》给出了一个概率模型，对于其中的不合理
之处我们进行了修改，使用正态分布来表示村民对小孩的信任度，最后用分段函
数实现突变，使之与寓言中的情况吻合。
引言：
伊索寓言——《狼来了》：从前，有个放羊娃，每天都去山上放羊。一天，
他觉得无聊，就想捉弄大家寻开心。于是他向着山下的农夫们大声喊：“狼来了！
狼来了！”农夫们听到喊声急忙拿着锄头和镰刀往山上跑，但是农夫们赶到山上
一看，连狼的影子也没有！放羊娃哈哈大笑。农夫们知道上当了，很生气地走了。
第二天，放羊娃故伎重演，善良的农夫们又冲上来帮他打狼，可是发现又被捉弄
了。大伙儿对放羊娃说谎十分生气，从此再也不相信他的话了。过了几天，狼真
的来了。放羊娃害怕极了，拼命地向农夫们喊：“狼来了！狼真的来了！”农夫
们听到他的喊声，以为他又在说谎，都不理睬他，没有人去帮他，结果放羊娃的
许多羊都被狼咬死了。
对于上面的故事，我们教材中给出了概率的解释，但是其中有不符合实际的
地方。本文就是为了构建更合理的模型，来更加真实地表达伊索寓言——《狼来
了》中人们的心理变化过程。同时希望又能符合寓言的结果。
正文：
教材中提到的概率模型中有一个假设—P(B)=0.8，这表示所有村民对孩子的信
任程度都一样，显然不符合实际，作如下修改：
设t表示村民对孩子的信任度，t<0表示村民对孩子完全不信任，t>1表示村
民对孩子完全信任。0≤t≤1表示村民对孩子的话选择相信的概率为t。考虑到
村民对孩子的信任度是由日常大量的微小的、独立的随机因素造成的，我们可以
认为t服从正态分布，用p(t)表示对孩子信任度为t的村民的比例， 则有 p(
t)
=1
𝜎
√2𝜋𝑒−(t−μ)2
2𝜎2。
现取X={ t t∈[0,1]
0 t<0
1 t>1 。则E(X)可以表示：一次孩子说话，有E(X)的村
鸡兔同笼问题的概率统计与随机模型研究
鸡兔同笼问题的概率统计与随机模型研究
鸡兔同笼问题是一道经典的数学问题，也被称为鸡兔同笼的问题。问题描述如下：假设有一笼子里面有若干只鸡和兔子，总共有n只头、m只脚，问笼子里面分别有多少只鸡和兔子？
鸡兔同笼问题的解决方法可以通过概率统计和随机模型来进行研究。本文将分别从这两个角度对鸡兔同笼问题进行探讨。
首先，我们可以利用概率统计的方法来解决鸡兔同笼问题。假设笼子里面有x只鸡和y只兔子，根据题目中给出的条件，我们可以列出如下的方程：
x + y = n （1）
2x + 4y = m （2）
其中方程（1）表示鸡和兔子的头的总数等于n，方程（2）表示鸡和兔子的脚的总数等于m。通过解这个二元一次方程组，我们可以得到鸡和兔子的具体数量。
首先，我们可以通过方程（1）解得鸡的数量：x = n - y。将这个结果代入方程（2）中，得到2(n - y) + 4y = m。将这个方程变形后可以得到y = (2n - m) / 2，进一步得到y = n - x。
由此可知，鸡的数量加兔子的数量等于n，根据方程（1）中的条件，我们可以得到鸡的数量的范围为0 ≤ x ≤ n，并且兔子的数量也有相应的范围0 ≤ y ≤ n。
接下来，我们可以通过随机模型来解决鸡兔同笼问题。随机模型是一种基于概率的模型，在这个问题中可以通过模拟实验来求解。
首先，我们可以随机生成一个数字x，表示鸡的数量。然后根据方程（1）来得到兔子的数量：y = n - x。接下来，我们可以计算鸡和兔子的脚的总数：2x + 4y。如果这个结果等于题目给出的m，那么我们就找到了一个满足条件的解。 通过反复进行模拟实验，我们可以得到多组满足条件的解。在进行大量的实验后，我们可以通过统计这些满足条件的解的数量，来得出鸡兔同笼问题的概率分布。这可以帮助我们更好地理解问题，并给出更准确的答案。
除了上述方法，鸡兔同笼问题还可以使用其他数学工具如组合数学的知识来解决。在实际问题中，鸡兔同笼问题也常常被用于概率论和统计学的教学中，以帮助学生更好地理解和应用这些概率统计的方法。
概率论论文10篇完美版
《概率论论文》
概率论论文（一）：
《概率论与数理统计》论文
摘要
概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。
概率论的发展与起源
1.1概率论的定义
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象
而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究
与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。
在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和
统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。
清华大学荆文甲概率论
清华大学荆文甲概率论
概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。
事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。
在概率论中将具有可重复性、可知性、随机性特点的试验称为(随机)试验。
样本空间的定义：一个试验E的所有可能的结果组成的集合。
样本点的定义：样本空间中的元素，称为样本点。
试验E的样本空间S的一个子集称为E的一个随机事件，简称为事件。必然事件、不可能事件本质上不是随机事件，为方便讨论，作为随机事件的极端情况处理。
事件的运算律
一个随机事件进行n次实验，发生的次数除以n就是发生的频率，当n足够大，频率趋于稳定，这是频率就是事件发生的概率。
频率的性质：非负性，规范性，有限可加性：有限个互斥事件的和事件的概率等于事件概率的和。
概率的性质：非负性，规范性，可列可加性。具有这几个性质的对应集合函数就是概率。
任意两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率和减去积事件的概率（偶数个积事件是减，奇数个的积事件是加）
古典概型：1。样本空间有限2。每个样本点出现的概率均等。
古典概型的概率也满足非负性，规范性，可列可加性。
古典概型的计算通常用到排列组合。
条件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)在B事件发生的情况下A事件发生的概率。
满足概率三大公理性质。
大学数学论文构造概率模型的解题策略
构造概率模型的解题策略
作者：单强发 指导老师：姚忠明
摘要：本文主要是根据概率的应用来建立模型解决问题并举例说明如何构造概率模型解决代数和分析中的一些问题,进一步阐述概率思想应用的广泛性.概率论是数学的一个有特色的分支,他有自己独特的概念和方法,内容丰富,它与其他的科学分支又有紧密的联系,具有广泛的应用性本文用概率论思想,建立适当的概率模型去解决一些实际问题并对这些问题作进一步的探讨和整理.
关键词：等可能事件 独立重复试验 互斥 对立 全概逆概 离散 连续
一． 引言
构造概率模型解题是通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学概率模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程，或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学概率解题方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．我们在教学中对构造图形、函数、方程等解题有一定的经验，对构造概率模型解题还比较陌生，随着新课程改革的逐步推理，概率越来越成为热点。
二． 相关概念：
（1）等可能事件就是指每个基本事件出现的可能性是相等的，这种等可能性的数学模型曾经是概率论发展初期的主要研究对象。
（2）.事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也叫互不相容事件.也可叙述为:不可能同时发生的事件。若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 对立事件概率之间的关系：P(A)+P(B)=1。
（3）如果二事件A,B满足 P（AB）=P(A)+P(B)则称A,B是相互独立的，设12nAAA，...,，是n个事件，我们说这些事件是相互独立的，如果对任意的s(2≤s≤n)任意1≤1i﹤2i﹤„﹤si≤n,有
有限模型下的模态概率逻辑
有限模型下的模态概率逻辑
肖波
【摘 要】模态逻辑语义学是经典逻辑语义学的一个扩张,对“可能”、“必然”等词进行了刻画,而概率从某个角度来说是对“可能”的更加精确的表示.本文试图在模态逻辑语义学的基础之上,形式化地刻画如下直观思想:每一个在某一世界上有一定概率发生的事件都一定会在其可通达的某个(或者某些)可能世界上发生.
【期刊名称】《逻辑学研究》
【年(卷),期】2014(007)003
【总页数】25页(P45-69)
【关键词】模态逻辑;概率逻辑;有限模型
【作 者】肖波
【作者单位】清华大学哲学系
【正文语种】中 文
【中图分类】B81
确定概率的意义在对概率逻辑的刻画中有着特别重要的地位，因为不同的意义带来不同的解释，进而影响到对概率逻辑形式上的表达。按照古典解释，一个事件的概率就是该事件出现的可能性的大小。换句话说，概率被看成一种模态。在这个角度上，由于模态逻辑对可能性和必然性的有了很成熟的刻画。因此，概率与模态逻辑就有了联系。古典解释有着一个所谓的无差别原则（principle of indifference）：对于一个参考类，如果没有充分的证据说明一个事件与另外一个事件在概率上有所区别，那么两者的概率相等。古典解释之外，根据对概率解释的重点不同，概率解释及概率逻辑被分成三大流派：逻辑主义、客观主义、主观主义。
逻辑学家凯恩斯（John Maynard Keynes）建立了第一个概率演算系统。他在1921年发表的著作[5]一书中一方面把概率看成命题集之间的逻辑蕴涵关系，但同时他又把概率看成对命题的信念度。逻辑主义者把概率P看成命题a和前提h之间的关系，从而把概率函数写成P(a/h)的形式，这个关系满足一些概率上的约束条件。卡尔纳普（Rudolf Carnap）继承了凯恩斯的关于概率是命题之间的逻辑关系的思想，并将之发展成归纳逻辑。
客观主义分为频率解释和性向解释，概率的频率解释起源于维恩（John Venn），其思想是一个事件的概率就是这个事件相对于某一个选定的参考类的相对频率。例如：一个硬币抛出正面向上的概率就是抛这个硬币足够多次的时候形成的参考类中抛出正面的比例。对足够多的次数这种含糊的表示，米塞斯（Richard von Mises）提出了一个精确的表述：对任何一个试验的可能结果可以假设一个无穷序列，从而存在一个事件相对这个无穷序列的极限频率。（[6]）莱欣巴赫（Hans
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有些不确定性问题需要用多个随机变量来描述和解决，根据多维随机变量的分布与
数字特征对所要解决问题进行优化，如组合证券投资决策的均值——方差模型等。应用
多维随机变量解决应用问题的实例有：这样找庄家公平吗？配对问题——蒙特莫特问题
的继续讨论，组合证券投资决策模型等。
大数定律反映相互独立的随机变量的平均值依概率收敛于一个常数的特征，中心极