概率论数学考研真题试卷
考研数学三(概率论与数理统计)-试卷5
考研数学三（概率论与数理统计）-试卷5(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{|X( )（分数：2.00）A.D(X)=2．B.P{|X—E(X)|＜3}C.D(X)≠2．D.P{|X—E(X)|√解析：解析：由于事件{|X—E(X)|＜3}是事件{|X—E(X)|≥3}的对立事件，且题设P{|X—E(X)|≥3}≤，因此一定有P{|X—E(X)|＜3}≥选项D正确．进一步分析，满足不等式P{|X—E(X)|≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此选项A与C都不能选．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有E(X)=4，D(X)=2．但是P{|X—E(X)|≥3}=P{|X一4|≥3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此选项B也不成立．故选D．3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n，P的值为( )（分数：2.00）A.n：4，P=0．6．B.n=6，P=0．4．√C.n=8，P=0．3．D.n=24，P=0．1．解析：解析：因为X～B(n，P)，所以E(X)=np，D(X)=np(1一P)组，得n=6，p=0．4，故选项B正确．4.对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)．B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．√C.X与Y独立．D.X与Y不独立．解析：解析：因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X).E(Y)]，可见E(XY)=E(X).E(Y)，故选项B正确．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的．①Cov(X，Y)=0；②X 与Y不相关；③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)．5.已知随机变量X与Y均服从0—1分布，且E(XY)=则（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：因为X与Y均服从0一1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：又已知E(XY)=．即P 22 = 从而P{X+Y≤1}=P 11 +P 12 +P 21 =1一P 22．故选项C正确．6.设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=E(X).E(Y)，则X与Y( )（分数：2.00）A.相关．B.不相关．√C.独立．D.不独立．解析：解析：因E(XY)=E(x)E(Y)，故cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0X与Y不相关，故选项B正确．7.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( ) （分数：2.00）A.一1．√B.0．D.1．解析：解析：根据题意，y=n—X，故ρXY =一1．应选A．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY =1，当a＜0时，ρXY =一1．8.对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(X).E(Y)．B.Cov(X，Y)=0．C.D(XY)=D(X).D(Y)．√D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)．解析：解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价．由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价．于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价．故应选C．9.假设随机变量X在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一1．√B.0．C.0．5．D.1．解析：解析：因为U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：即U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=一1．应选A．10.X与Y的相关系数ρ=1，则P{X=0，Y=1}的值必为( )（分数：2.00）A.0．√D.1．11.设随机变量X和Y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U与V必然( )（分数：2.00）A.不独立．B.独立．C.相关系数不为零．D.相关系数为零．√解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)一E(U).E(V) =E(X 2一Y 2 )一E(X一Y).E(X+Y) =E(X 2 )一E(Y 2 )一E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)一D(Y)=0．则所以U与V的相关系数为零，故选D．12.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1与Y的相关系数为ρ，则( ) （分数：2.00）A.ρ=0．B.ρ=1．C.ρ＜0．√D.ρ＞0．解析：解析：选项B不能选，否则选项D必成立．因此仅能在选项A、C、D中考虑，即考虑ρ的符号，而相关系数符号取决于Coy(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，(因为P(AB)=0)，所以Cov(X，Y)=一E(X).E(Y)＜0，故选C．13.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8．B.16．C.28．D.44．√解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题．可根据方差的运算性质D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(X±Y)=D(X)+D(Y)自行推演．故选项D正确．二、填空题(总题数：14，分数：28.00)14.设连续型随机变量X的分布函数为E(X)=1，则D(X)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意已知连续型随机变量X15.相互独立的随机变量X 1和X 2均服从正态分布D(|X 1—X 2 |)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据题意随机变量X 1和X 2相互独立，且服从正态分布设Z=X 1—X 2，则Z～N(0，1)，其概率密度函数为φ(z)= D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )一E 2 |Z|=E(Z 2 )-E 2 |Z|=D(Z)+E2 (Z)一E 2 |Z|，显然，D(Z)=1，E(Z)=0．16.设随机变量X和Y X和Y的协方差Cov(X，Y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一0．1）E(X)=0．5，E(Y)=(一1)×0．3+1×0．3=0． E(XY)=一P{XY=一1}+P{XY=1}=一0．2+0．1=一0．1． Coy(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=一0．1—0=一0．1．17.已知随机变量X的分布函数F(x)在x=1处连续，且F(1)=若EY= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据离散型随机变量期望公式计算．由于F(x)在x=1处连续，故E(Y)=aP{X＞1}+bP{X=1}+cP{X＜1} =a[1一P{X≤1}]+bP{X=1}+cP{18.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ 2 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为令事件A=“X+Y≤1”，则Z是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，P)，其中如图4—119.已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是0．1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数量，则EX= 1。
历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐
历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计”第一章§1.11、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ⋃=不等价的是（ ） A 、A B ⊂ B 、B A ⊂ C 、AB =Φ D 、AB =Φ2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。
以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）(A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {}(4)0T t ≥ §1.21、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. §1.31、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B =(C )()1()P A P B =-(D )()1P A B ⋃=2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤P A P B P AB (D ) ()()()+2≥P A P B P AB3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.41、（2005数学一、三）（6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ， 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y ，则}2{=Y P =____________.2、（2006数学一）(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A )()()P A B P A ⋃>(B )()()P A B P B ⋃> (C )()()P A B P A ⋃= (D )()()P A B P B ⋃=3、（2012数学一、三）(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 。
考研数学一-概率论与数理统计（一）
考研数学⼀-概率论与数理统计（⼀）考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)(总分：100.00，做题时间：90分钟)⼀、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量X服从正态分布N(1，σ2 )，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有______（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1．B.F(1+x)+F(1-x)=1．√C.F(x+1)+F(x-1)=1．D.F(1-x)+F(x-1)=1．解析：[解析] 由于X～N(1，σ2 )，所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的，⽽可知正确答案是B．2.设X～P(λ)，P 1，P 2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______（分数：4.00）A.P1=P2．B.P1＜P2．C.P1＞P2．√D.P1，P2⼤⼩关系不定．解析：[解析] 若X～P(λ)，则，其中X取偶数的概率为X取奇数的概率为于是应选C．3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______ A．B．C．F(-a)=F(a)．D．F(-a)=2F(a)-1．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成⽴；利⽤区间可加性得结合上⾯的等式，于是得应选B．4.设⼆维随机变量(X，Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2 (a＞0)上服从均匀分布，p=P{X 2 +9Y 2≤9a 2 }，则A．p的值与a⽆关，且B．p的值与a⽆关，且C．p的值随a值的增⼤⽽增⼤．D．p的值随a值的增⼤⽽减⼩．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为(X，Y)在区域D：x 2 +y 2≤9a 2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为故选B．5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+by亦不相关，则______（分数：4.00）A.a-b=1．B.a-b=0．C.a+b=1．D.a+b=0．√解析：[解析] X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．⼜Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协⽅差的性质有故选D．6.已知总体X的期望E(X)=0，⽅差D(X)=σ2．X 1，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，其均值为，则下⾯可以作为σ2⽆偏估计量的是______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=σ2，则所以选择C．对于A，B选项，由E(S 2 )=σ2，知均不是σ2的⽆偏估计量．7.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独⽴，则根据⾟钦⼤数定律，当n→∞时，于其数学期望，只要{X n，n≥1}满⾜______（分数：4.00）A.有相同的数学期望．B.服从同⼀离散型分布．C.服从同⼀泊松分布．√D.服从同⼀连续型分布．解析：[解析] ⾟钦⼤数定律的应⽤条件为：“独⽴同分布且数学期望存在”，选项A缺少同分布条件，选项B、D虽然服从同⼀分布但不能保证期望存在，只有C符合该条件．故选C．8.设X 1，X 2，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析故选C．9.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，统计量从F分布，则i等于______（分数：4.00）A.4．B.2．√C.3．D.5．解析：[解析] 因为X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，故独⽴同分布于N(0，σ2 )因此，则有⼜与相互独⽴，故故选B．10.在假设检验中，如果待检验的原假设为H 0，那么犯第⼆类错误是指______（分数：4.00）A.H0成⽴，接受H0．B.H0不成⽴，接受H0．√C.H0成⽴，拒绝H0．D.H0不成⽴，拒绝H0．解析：[解析] 直接应⽤“犯第⼆类错误”=“取伪”=“H 0不成⽴，接受H 0”的定义，选择B．⼆、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从1，2，3，4，5中任取⼀个数，且取后放回，⽤b i表⽰第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T，三阶⽅阵，求线性⽅程组Ax=b有解的概率．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对增⼴矩阵作初等⾏变换有于是Ax=b有解的充要条件是，即b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中b 1，b 2，b 3相互独⽴，且分布律相同：，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．所以Ax=b有解的概率为甲、⼄两个⼈投球，甲先投，当有任⼀⼈投进之后便获胜，⽐赛结束．设甲、⼄命中率分别为p 1，p 2，0＜p 1，p 2＜1．求：（分数：6.00）(1).甲、⼄投球次数X 1与X 2的分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：每次投篮是相互独⽴的与其他⼏次⽆关．事件X 1 =n表⽰“甲投了n次”，即“甲、⼄各⾃在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或⼄投进”，所以P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…其中：q i =1-p i，i=1，2．事件“X 2=m”表⽰“⼄投了m次”，即“甲、⼄前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，⼄在第m 次投进”，或“甲、⼄前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”．特殊地，当m=0时，表⽰甲第⼀次就投中，所以P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1，m=1，2，…(2).若使甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则p 1，p 2满⾜什么条件?（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设事件A表⽰“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X 1 +X 2 =2n-1时，意味着甲、⼄前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) n-1，则若甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则12.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，⼜求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解法⼀：应⽤单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y)．由于X在(0，1)内取值所以的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．因此其反函数在(0，+∞)内单调可导，其导数h"(y)=2e -2y，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．⼜因为X的概率密度所以Y的概率密度因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为解法⼆：⽤分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y)．当y≤0时，F Y (y)=0；当y＞0时，0＜x=1-e -2y＜1，最后⼀步是由于X服从(0，1)上的均匀分布．故所求Y的分布函数为将F Y (y)对y求导，得设随机变量(X，Y)的概率密度为试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0．②当0＜x≤1，0＜y≤2时，③当0＜x≤1，y＞2时，④当x＞1，0＜Y≤2时，⑤当x＞1，y＞2时，综上所述，分布函数为(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当0≤x≤1时，当0≤y≤2时，(3).概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X} 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，如下图所⽰，所以设(X，Y)服从D={(x，y)|y≥0，x 2 +y 2≤1}上的均匀分布，定义（分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由题设可知，故(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)．则(U．V)的联合分布律为(2).求关于V的边缘分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为(3).求在U=1的条件下V的分布律．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，所以所以所求V的分布律为13.设随机变量X的概率密度为，求随机变量 F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记如下图所⽰，φ(x)在[0，+∞)内最⼩值为-1，⽆最⼤值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间．当y∈(-∞，-1)时，F Y (y)=0．当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为F Y (y)=f X (x)在上的积分为当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为，此时F Y (y)=f X (x)在上的积分为综上所述，y的分布函数为设随机变量X在区间(0，2)上随机取值，在X=x(1＜x＜2)条件下，随机变量Y在区间(1，x)上服从均匀分布．（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独⽴；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为⽽变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度⼜所以由于f X (x)f Y(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独⽴．(2).求P{3Y≤2X}；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，(3).记Z=X-Y，求Z的概率密度f Z (z)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为则故设随机变量X与Y相互独⽴，X的概率分布为，Y的概率密度函数为Z=X+Y．求：（分数：6.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).Z的概率密度函数．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独⽴，故①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f Y (y)=0，从⽽F Z (z)=0；②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时，③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时，⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时，综上故设⼆维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为U=X+Y，V=X-Y．求：（分数：6.00）(1).U的分布函数F 1 (u)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当u＜0时，F 1 (u)=0；当u≥0时，故U的分布函数F 1 (u)为(2).V的分布函数F 2 (v)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当v＜0时，F 2 (v)=0；当v≥0时，故V的分布函数F 2 (v)为(3).P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独⽴．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F 1(u)·[1-F 2 (v)]=e -2v (1-e -u ) 2≠P{U≤u，V≥v}，从⽽可知，U与V不独⽴．设⼆维随机变量(X，Y)在矩形区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}上服从⼆维均匀分布，随机变量求：（分数：6.00）(1).U和V的联合概率分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图．依题意知，X与Y的联合概率密度为则有同理类似地可以计算出其他P ij的值：(2).讨论U和V的相关性和独⽴性．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；⼜因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独⽴．。
考研数学二(概率论与数理统计)-试卷6
考研数学二（概率论与数理统计）-试卷6(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B，C( )（分数：2.00）A.A∪B．B.A—B．C.AB．√解析：解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.3.设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（分数：2.00）C.P(AB)=P(A)P(B)．D.P(A一B)=P(A)．√解析：解析：由图1—1，显然(A)不成立，由图1一2，选项(B)不成立．又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，选项(C)4.对于任意两个随机事件A和B，则( )．（分数：2.00）A.如果A，B一定独立．B.如果A，B有可能独立．√C.如果A，B一定独立．D.如果A，B一定不独立．解析：解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A和B相互独立，则0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，则AB≠．反之，如果，P(AB)与P(A)P(B)有可能相等，故应选B．5.设A为随机事件，且P(A)=1，则对于任意的随机事件B，必有( )（分数：2.00）A.P(A∪B)=P(B)．B.P(A一B)=P(B)．C.P(B一A)=P(B)．D.P(AB)=P(B)．√解析：解析：因为A A∪B，P(A)=1，从而P(A∪B)=1，而B为任意事件，所以选项(A)不正确；又P(A一B)==1一P(B)，所以选项(B)不正确；P(B—=0，而B为任意事件，所以选项(C)不正确；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故应选D．注：如果知道结论“概率为0或1的事件与任意事件相互独立”，则可立刻选出正确选项．6.设随机事件A，B满足( )（分数：2.00）A.A∪B=n．√D.P(A—B)=0．解析：解析：由加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)，P(A∪B)=1得P(AB)=0．P(A∪B)=1，不能说明A∪B=Ω，故选项(A)不正确；同样P(AB)=0，也不能说明AB=，故选项(B)不正确；P(A一B)=P(A)一P(AB)=，所以选项(D)不正确；=1—P(AB)=1，故应选C．7.设A和B为随机事件，则P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是( )（分数：2.00）．B.A=B．C.P(B一A)=0．√．解析：解析：因为P(A—B)=P(A—AB)=P(A)一P(AB)，而P(A—B)=P(A)一P(B)，从而P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是P(AB)=P(B)．又P(B—A)=P(B—AB)=P(B)一P(AB)=0，可得P(AB)=P(B)，因此应选C．8.设A、B是两个随机事件，且P(C｜AB)=1，则正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)≤P(A)+P(B)一1．B.P(C)=P(AB)．C.P(C)=P(A∪B)．D.P(C)≥P(A)+P(B)一1．√解析：解析：因为P(C｜AB)==1，从而P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，又C，故P(ABC)≤P(C)，即P(C)≥P(A)+P(B)一1，因此选(D)．9.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜，则( )（分数：2.00）A.事件A和B互不相容．B.事件A和B互相对立．C.事件A和B互不独立．D.事件A和B相互独立．√10.已知A，B，C三个事件中，A与B相互独立，且P(C)=0（分数：2.00）A.相互独立．√B.两两独立，但不一定相互独立．C.不一定两两独立．D.一定不两两独立．解析：解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件A，B，C一定相互独立．11.设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且P(A)≠0，0＜P(C)＜1．则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：事实上，，因此应选B．注：由已知条件，只能得到是不一定相互独立的，而不能确定一定不独立，事实上如果)=0或1，则二者就是相互独立的．12.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为p(0＜p＜1)，则在试验成功2次前已经失败3次的概率为( )（分数：2.00）A.4p 2 (1-p) 3．√B.4p(1-p) 3．C.10p 2 (1-p) 3．D.p 2 (1-p) 3．解析：解析：考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功2次前已经失败3次”是指“试验进行5次，第5次是第2次成功”，相当于事件“第5次成功，前4次成功1次”．由于是独立重复试验，故所求概率为C 41 p(1-p) 3 p=4p 2 (1-p) 3，应选A．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.已知A，B是任意两个随机事件，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：本题考查随机事件的概率，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件．14.随机地向半圆0＜y＜(a＞0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于”，如图1—4所示，事件A对应图中区域D，则P(A)=15.设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=，且已知P(A)= 1。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )A．—1B．0C．D．1正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n—X。
由方差的定义：D(X)=E(X2)一[E(X)]2，所以D(Y)=D(n—X)=E(n—X)2一[E(n—X)]2=E(n2—2nX+X2)—[n一E(X)]2=n2—2nE(X) +E(X2)一n2+ 2nE(X) —[E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)。
由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y) = Cov(X1，Y) + Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y) = Cov(X，n—X) = Cov(X，n) —Cov(X，X)=0—D(X)=—D(X)，由相关系数的定义，得知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)且相关系数ρXY=1，则( ) A．P{Y=—2X—1}=1B．P{Y=2X—1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D解析：用排除法。
设Y=aX+b。
由ρXY=1，知X、Y正相关，得a＞0。
排除A和C。
由X～N(0，1)，Y～N(1，4)，得E(X)=0，E(Y)=1，E(aX+b)=aE(X)+b，即1=a×0+b，故b=1。
从而排除B。
故应选D。
知识模块：概率论与数理统计3．将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) A．1B．C．D．—1正确答案：D解析：设两段长度分别为X，Y，显然X+Y=1，即y=—X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为—1。
历年考研概率论试题
94年（1）已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）=。
（3分）（2）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量{}max ,z X Y =的分布律为 。
（3分）（3）已知随机变量,X Y 分别服从正态分布22(1,3),(0,4)N N ，且,X Y 的相关系数12xy ρ=-，设32X Yz =+,（1）求Z 的数学期望EZ 和方差DZ ；（2）求X 与Z 的相关系数xz ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？（满分6分）95年（1）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2()E X = 。
（2）设,X Y 为两个随机变量，且{}{}{}340,0,0077P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则{}max(,)0P X Y ≥= 。
（3） 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00)(x x e x f xX求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
（6分）96年1． 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是 。
(3分)2． 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
(3分)3．设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,3,max(,),min(,).3P i i X Y ξξηξη=====又设（1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2） 求EX 。
（共6分）97年1. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。
（3分）2.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X -2Y 的方差是（ ） （A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 [3分]3. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52。
考研数学三(概率论与数理统计)-试卷27
考研数学三（概率论与数理统计）-试卷27(总分：80.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：24，分数：48.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.下列事件中与A互不相容的事件是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由于不可能事件φ与任何一个事件A都相互不相容，即Aφ=φ选项D正确．3.设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有( )（分数：2.00）A.0＜P(A ∪ B)＜1．B.0＜P(B)＜1．√C.0＜P(AB)＜1．解析：解析：因A、B为对立事件，即A ∪B=Ω，AB=φ，所以P(AB)=0，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此选项A、C、D均不成立，故选B．4.在最简单的全概率公式A与B必须满足的条件是( )（分数：2.00）A.0＜P(A)＜1，B为任意随机事件．√B.A与B为互不相容事件．C.A与B为对立事件．D.A与B为相互独立事件．A正确．5.在全概率公式B是任意随机事件及P(A i )>0(i=1，2，…，n)之外，我们可以将其他条件改为( )（分数：2.00）A.A 1，A 2，…，A n两两独立，但不相互独立．B.A 1，A 2，…，A n相互独立．C.A 1，A 2，…，A n两两互不相容．D.A 1，A 2，…，A n两两互不相容，其和包含事件B，即√解析：解析：如果A 1，A 2，…，A n两两互不相容，则A 1 B，A 2 B，…，A n B亦两两互不相容，且因故应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选D．6.同时抛掷三枚匀称的硬币，正面和反面都出现的概率为（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：设B k表示三枚硬币中出现正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，根据题意应选D．7.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.A与B独立．B.B与C独立．√C.A与C独立．D.B∪C与A独立．解析：解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有P(BC)=P(φ)=0，P(B∪C)=P(Ω)=1．由于P(A)P(B)=即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选B．8.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则( )（分数：2.00）A.P(C)≤P(A)+P(B)一1．B.P(C)≥P(A)+P(B)一1．√C.P(C)=P(AB)．D.P(C)=P(A ∪ B)．P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)一P(A ∪B)≥P(A)+P(B)一1故B正确．9.设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B | A)=1不等价于( )（分数：2.00）A.P(A—B)=0．B.P(B—A)=0．√C.P(AB)=P(A)．D.P(A ∪ B)=P(B)．解析：解析：，然而P(B一A)=P(B)一P(AB)，所以选项B正确．容易验证其余三个选项与已知条件10.设A、B、C为事件，P(ABC)＞0，则P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（分数：2.00）A.P(A|C)=P(A)．B.P(B|C)=P(B)．D.P(B|AC)=P(B|C)．√解析：解析：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在C发生的条件下，A与B独立，所以“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P(B | AC)=P(B|C)，故选D．选项A、B、C分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件．11.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，，则事件A和B( )（分数：2.00）A.互不相容．B.相容．C.不独立．D.独立．√解析：解析：根据得P(AB)=P(A)P(B)．故选项D正确．12.袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球”．①若取后放回，此时记p 1=P(A)，p 2=P(B)；②若取后不放回，此时记p 3=P(A)，p 4 =P(B)．则( )（分数：2.00）A.p 1≠p 2≠p 3≠p 4．B.p 1 =p 2≠p 3≠p 4．C.p 1 =p 2 =p 3≠p 4．D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4．√解析：解析：依据取球方式知p 1 =p 2 =p 3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p 3 =p 4，所以正确答案是D．13.已知0＜P(B)＜1，且P[(A 1 +A 2 )|B]=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是( )（分数：2.00）B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)．√C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)．D.P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )．解析：解析：将题设条件两边乘以P(B)，得 P[(A 1 +A 2)|B]P(B)=P(A 1 |B)P(B)+P(A 2 |B)P(B);P[(A 1 +A 2 )B]=P(A 1 B)+ P(A 2P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，由乘法公式可知，上式即为选项B，故选项B正确．14.连续抛掷一枚硬币，第k次(k≤n)正面向上在第n次抛掷时出现的概率为（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：依据题意，总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n一k次反面．第n次必是正面向上，前n一1次中有n一k次反面，k一1次正面(如上图所示)．根据伯努利公式，15.设A、B P(B)＞0，则下列选项必然成立的是( )（分数：2.00）B.P(A)≤P(A|B)．√C.P(A)＞P(A|B)．D.P(A)≥P(A|B)．A=AB，于是P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)．故选项B正确．16.设A、B是两个随机事件，且＜P(A)＜1，P(B)＞0，( )（分数：2.00）C.P(AB)=P(A)P(B)．√D.P(AB)≠P(A)P(B)．解析：解析：由P(B|A)=可得P(AB)=P(A)P(B)．即A，B相互独立，故选项C正确．17.设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系．由A、B、C相互独立可知，事件A、B的和、差、积(或其逆)与事件C或C必相互独立，因此选项A、C、D均被排除，选项B正确．18.在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电．以E表示事件“电炉断电”，而T 1≤T 2≤T 3≤T 4为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E=( )（分数：2.00）A.{T 1≥t 0 }．B.{T 2≥t 0 }．C.{T 3≥t 0 }．√D.{T 4≥t 0 }．解析：解析：由于T 1≤T 2≤T 3≤T 4，t 0时，E发生，即当{T 3≥t 0 }和{T 4≥t 0 }发生时，E发生．又因为{T 3≥t 0 }发生时，{T 4≥t 0 }必发生，故选C．19.设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A与BC独立．√B.AB与A∪C独立．C.AB与AC独立．D.A∪B与A∪C独立．解析：解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件．事实上，若A与BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)．而由题设知P(BC)=P(B)P(C)．从而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．故选A．20.对于任意两事件A和B，与A ∪ B=B不等价的是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：选项A、B、C均与A∪B=B等价，当A≠B时，由A∪B=B不能推得选项D．这表明A∪B=B不等价，故选D．21.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 ={掷第一次出现正面}，A 2 ={掷第二次出现正面}，A 3 ={正反面各出现一次}，A 4 ={正面出现两次}，则事件( )（分数：2.00）A.A 1，A 2，A 3相互独立．B.A 2，A 3，A 4相互独立．C.A 1，A 2，A 3两两独立．√D.A 2，A 3，A 4两两独立．解析：解析：显然P(A 1 )=P(A 2 )= 且A 1与A 2相互独立．C正确．22.对于任意两事件A和B( )（分数：2.00）A.若A B≠φ，则A，B一定独立．B.若AB≠φ，则A，B有可能独立．√C.若AB=φ，则A，B一定独立．D.若AB=φ，则A，B一定不独立．解析：解析：由AB≠φ不能推得P(Ab)=P(A)P(B)，因此推不出A、B一定独立，排除选项A．若AB≠φ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不能确定，因此选项C、D也不正确，故正确选项为选项B．23.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1一p) 2．B.6p(1一p) 2．C.3p 2 (1一p) 2．√D.6p 2 (1一p) 2．解析：解析：根据题干可知 p={前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标} =C 31 p(1一p) 2 p=3p 2 (1一p) 2，故正确答案为C．24.设事件A与事件B互不相容，则( )（分数：2.00）B.P(AB)=P(A)P(B)．C.P(A)=1一P(B)．√解析：解析：由于事件A，B互不相容，则P(AB)=0．因为P(A∪B)不一定等于1，A项错误； B项：当P(A)，P(B)不为0时，B不成立，B项排除；C项：只有当A，B互为对立事件的时候才成立，C项排除；故选项D正确．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)25.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1％和2％，现从由A和B的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设事件A={抽到的产品为工厂A生产的}，事件B={抽到的产品为工厂B生产的}，事件C={抽到的产品是次品}，则P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C|A)=0．01，P(C|B)=0．02，26.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。
2001-2011考研(数一)概率论部分历年真题
(6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X , 再从1,2,, X 中任取一个数,记为Y , 则 P{Y 2} =____________.
二、选择题
(13)设二维随机变量 (X ,Y ) 的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X 0}与{X Y 1} 相互独立,则
EX
(A)0
(B)0.3
(C)0.7
(D)1
(8)设随机变量
X
与Y
相互独立,且
X
服从标准正态分布
N 0,1 ,Y
的概率分布为
PY
0
PY
1
1 2
,记
FZ
z
为随机变量 Z
XY
的分布函数,则函
数 FZ z 的间断点个数为
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
二、填空题
(14) 设 X1, X 2 , , X m 为 来 自 二 项 分 布 总 体 B n, p 的 简 单 随 机 样 本 , X 和 S 2 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 . 若 X kS 2 为 np2 的 无 偏 估 计 量 , 则
(1)求 P{X 2Y}.
(2)求 Z X Y 的概率密度.
(24)(本题满分 11 分)
设总体 X 的概率密度为
f
(x,
y)
2
x
y,
0 x 1,0 0, 其他
y
1
X1, X 2 , X n 是来自总体 x 的简单随机样本, X 是样本均值 (1)求参数 的矩估计量ˆ . (2)判断 4X 2 是否为 2 的无偏估计量,并说明理由.
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2002年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一、 填空题（每小题3分）二、选择题（每小题3分）（4）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f和)(2x f，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ ）（A ）)(1x f+)(2x f必为某一随机变量的概率密度。
（B ）)(1x F )(2x F必为某一随机变量的分布函数（C ）)(1x F +)(2x F必为某一随机变量的分布函数（D ）)(1x f)(2x f必为某一随机变量的概率密度（5）设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，XXX S nnK++=21，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg ）中心极限定理，当n 充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2…Xn（ ）（A ）有相同的数学期望 （B ）有相同的方差（D ）服从同一指数分布 （D ）服从同一离散型分布 十一、（本题满分8分）设A ，B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明， )()(-=A B P A B P是事件A 与B 独立的充分必要条件。
十二、（本题满分8分）假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。
设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。
试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）。
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，EX=EY=0，222==EY EX，则______)(2=+Y X E二、选择题（每小题4分） (5)对于任意二事件A 和B ，（ ）（Ａ）若ＡＢ≠∅，则A ，B 一定独立 （B ）若ＡＢ≠∅，，则A ，B 有可能独立 （C ） 若ＡＢ=∅，则A ，B 一定独立 （D ）若ＡＢ=∅，则A ，B 一定不独立 (6)设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则（ ） （A ）X 与Y 一定独立 （B ）（X ，Y ）服从二维正态分布 （C ）X 与Y 未必独立 （D ）X+Y 服从一维正态分布 十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=，其他，若081x ,31)(32x x fF （x ）是X 的分布函数。
求随机变量Y=F （X ）的分布函数。
十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，0<P(A)<1,0<P(B)<1,)()()()()()()(---=B P A P B P A P B P A P AB P ρ称作事件A 和B 的相关系数。
（1） 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；（2） 利用随机变量相关系数的基本性质，证明1<ρ。
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=_______二、选择题（每小题4分）（13）设随机变量X 服从正态分布N （0，1），对给定的)1,0(∈α，数u α满足{}αα=>u X P ,若{}α=<x X P ，则x 等于（ ） （A ）u 2α （B ）u21α- （C ）u21α-（D ）uα-1（14）设随机变量X1，X2，…，Xn（n>1）独立同分布，且其方差为02>σ令随机变量∑==ni i X n Y 11，则（ ）（A ）σ212)(n n Y D X +=+ （B ）σ211)(n n Y D X +=- （C ）nY Cov X σ21),(= （C ）σ21),(=Y Cov X 三、解答题（22）（本题满分13分）设A ，B 为两个随机事件，且P （A ）=41，31)(=A B P ，21)(=B A P ，令 ⎩⎨⎧=不发生，发生A 0,1A X ⎩⎨⎧=不发生，发生B 0B ,1Y求：（1）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布； （2）X 与Y 的相关系数),(Y X ρ；(3)Y XZ 22+=的概率分布。
（23）（本题满分13分）设随机变量X 在区间（0，1）上服从均匀分布，在X=x(0<x<1)的条件下，随机变量Y 在区间（0，x ）上服从均匀分布，求（1）随机变量X 和Y 的联合概率密度； （2）Y 的概率密度；（3）概率{}1>+Y X P2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）从数1，2，3，4中任取一数，记为X ，再从1，…，X 中任取一数，记为Y ，则{}==z Y P ________二、选择题（每小题4分）若随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，则（ ） （A ）a=0.2， b=0.3 （B ）a=0.1， b=0.4 （C ）a=0.3， b=0.2 （D ）a=0.4， b=0.1 （14）设X1，X2，…，Xn，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为)1(>λλ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布函数，则（ ）（A ）)(lim 1x x n n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ （B ）)(lim 1x x n n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ（C ）)(lim 1x x n n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ （D ）)(lim 1x x n P n i i n X Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλλ三、解答题（22）（本题满分13分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,020,10,1),(x y x y x f求：（1）（X ，Y ）的边缘概率密度)(),(y x ffYX;(2)Z=2X-Y 的概率密度)(z fZ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2121X Y P （23）（本题满分13分）设X1，X2，…，Xn（n>2）为独立同分布的随机变量，且均服从N （0，1），记.,,2,1,,11n i X n X XY X ii ni i Λ=-==-=-∑求：（1）Y i的方差n i D Y i,,2,1,Λ=；（2）Y1与Yn的协方差Cov （Y1，Yn）；（3）{}01≤+YY nP2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、填空题（每小题4分）（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]3,0上的均匀分布，则{}=≤1,max Y X P ________二、选择题（每小题4分）(13)设A ，B 为两个随机变量，且P （B ）>0,1)(=B A P ,则必有（ ）（A ）)()(A P B A P >⋃ （B ）)()(B P B A P >⋃ （C ）)()(A P B A P =⋃ （D ）)()(B P B A P =⋃ （14）设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，随机变量Y 服从正态分布),(222σμN ，且{}{}1121<-><-μμY P X P 则必有（ ）（A ）σσ21< （B ）σσ21> （C ）μμ21< （D ）μμ21>三、解答题其中a ，b ，c 为常数，且X 的数学期望EX=-0.2，{}5.00o X Y P =≤≤，记Z=X+Y 求（1）a ，b ，c 的值； （2）Z 的概率分布； （3）{}Z X P =（23）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x fX令XY 2=，F （x ，y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数。
求（1）Y 的概率密度);(y FY（2）Cov （X ，Y ）； （3）)4,21(-F2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（四）试题 一 、选择题（每小题4分）(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率p （0<p<1），则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）（A ）)1(23p p- （B ）)1(26p p- （C ）)1(223p p - （D ）)1(226p p -（10）设随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相干，)(x fX，)(y fY分别表示X ，Y 的概率分布，则在Y=y 的条件概率密度)(y x fYX 为（ ）（A ）)(x fX（B ）)(y fY（C ）)(x fX)(y fY（D ）)()(y x ff YX二、填空题（每小题4分）（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为______ 三、解答题 （23）（本题满分11分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ⎩⎨⎧<<<<--=其他,010,10,2),(y x y x y x f（1） 求{} 2Y X P >； （2） 求Z=X+Y 的概率密度)(z fZ（24）（本题满分11分）记{}{}Y X V Y X U ,m in ,,m ax ==求 （1）（U ，V ）的概率分布；（2）U 与V 的协方差Cov （U ，V ）。