概率考研试题
历年考研高等数学真题之概率统计部分
（B） P( X = Y ) = 1
（C） P( X + Y = 0) = 1 4
（D） P( XY = 1) = 1 4
[]
7（98，3 分） 设 F1 (x)与F2 (x) 分 别 为 随 机 变 量 X1 与 X2 的 分 布 函 数 。 为 使
F (x) = a1F1 (x) − bF2 (x) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
5
5
（B） a = 2 , b = 2 33
（C） a = − 1 ,b = 3 22
（D） a = 1 , b = − 3
2
2
6（99，9 分） 设二维随机变量（X，Y）在矩形 G={(X,Y)}0≤x≤2,0≤y≤1 上服从
均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(s)。
⎜⎛ 1
2 ⎟⎞
X ~⎜
⎟
⎜⎝ 0.3
0.7 ⎟⎠
而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。
11（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，…，X 中任取一个数，
记为 Y，则 P{Y=2}=
.
12（05，4 分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
求 P{X + Y ≤ 1} 。
4（94，8 分） 设随机变量 X 1, X 2 , X 3 , X 4 相互独立且同分布，
P( X i = 0) = 0.6, P( X i = 1) = 0.4(i = 1,2,3,4) 。
求行列式
的概率分布。 5（95，8 分）
X = X1
X2
X3
X4
[考研数学]概率论考试复习题
![[考研数学]概率论考试复习题](https://img.taocdn.com/s3/m/9b99419fd1d233d4b14e852458fb770bf78a3b74.png)
概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案
P(C )
22
3
则 P( AB | C ) = P( ABC ) = 1/ 2 = 3 ， P(C ) 2 / 3 4
填空： 3 ． 4
三．解答题： 1． （98）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7
份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． （1）求先抽到的一份是女生表的概率 p ； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q ．
， P( AB) =
P(B) =
nB n
=
C42 C120
=
6 45
，故 P(B |
A)
=
P( AB) P( A)
=
6 30
= 0.2 ．
填空：0.2．
2． （97）设 A, B 是任意两个随机事件，则 P{( A + B)(A + B)(A + B)(A + B)} =
．
解：根据事件并对交的分配律，有 ( A + B)( A + B) = AA + B = B ， ( A + B )( A + B ) = AA + B = B ，
（C） A − B 与 C ．
（D） AB 与 C ．
解：相互独立即互不影响，只有答案（B）中的两个事件 AC 、C 都与同一事件 C 有关，二者相互有影响，
选择：（B）．
4． （00）设 A, B, C 三个事件两两独立，则 A, B, C 相互独立的充分必要条件是（
）
（A） A 与 BC 独立．
7． （03）对于任意二事件 A 和 B ，（
历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐
历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计”第一章§1.11、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ⋃=不等价的是（ ） A 、A B ⊂ B 、B A ⊂ C 、AB =Φ D 、AB =Φ2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。
以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）(A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {}(4)0T t ≥ §1.21、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. §1.31、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B =(C )()1()P A P B =-(D )()1P A B ⋃=2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤P A P B P AB (D ) ()()()+2≥P A P B P AB3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.41、（2005数学一、三）（6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ， 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y ，则}2{=Y P =____________.2、（2006数学一）(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A )()()P A B P A ⋃>(B )()()P A B P B ⋃> (C )()()P A B P A ⋃= (D )()()P A B P B ⋃=3、（2012数学一、三）(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 。
概率论考研真题
概率论考研真题概率论是数学的一个分支，研究的是事件发生的可能性。
概率论在现实生活和科学研究中具有广泛应用。
考研概率论真题是考生备战考研的重要资料，通过研究和解答真题，可以提高对概率论知识的理解和应用能力。
下面将简要介绍几道考研概率论真题，并给出相应的解答。
【真题一】设 X 和 Y 为两个相互独立的随机变量，它们的数学期望和方差均为 1，则随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为多少？【解答一】由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以使用方差的性质进行计算。
首先计算 Z = 2X + 3Y 的数学期望：E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 1 + 3 × 1 = 5接下来计算 Z 的方差：Var(Z) = Var(2X + 3Y) = Var(2X) + Var(3Y) （由于 X 和 Y 相互独立，所以协方差为 0）= 4Var(X) + 9Var(Y) = 4 × 1 + 9 × 1 = 13因此，随机变量 Z = 2X + 3Y 的方差为 13。
【真题二】设 X 与 Y 为两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布 N(0, 1)，试求随机变量 Z = X + Y 的概率密度函数。
【解答二】首先，由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，所以可以考虑它们的特征函数。
对于正态分布N(μ, σ^2)，其特征函数为exp(ιtx - (σ^2t^2)/2)。
所以，X 和 Y 的特征函数分别为 exp(-t^2/2)。
设随机变量 Z = X + Y，则其特征函数为 exp(-t^2)。
由特征函数和概率密度函数的关系，可知 Z 的概率密度函数为标准正态分布的密度函数，即f(z) = (1/√(2π)) × exp(-z^2/2)。
【真题三】某电视节目的收视率符合泊松分布，已知每分钟收视人数的平均值为 10。
考研概率面试题目及答案
考研概率面试题目及答案题目：某工厂生产一种零件，该零件在生产过程中出现次品的概率为0.01，若生产出次品，则该次品被误检为正品的概率为0.05。
现在从这批零件中随机抽取一个进行检查，结果被检查为正品，请根据这些信息回答以下问题：1. 该零件实际上是次品的概率是多少？2. 该零件实际上是正品的概率是多少？答案：1. 要求该零件实际上是次品的概率，我们可以利用全概率公式来解决这个问题。
设事件A表示零件是次品，事件B表示零件被检查为正品。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.01，即零件是次品的概率为0.01。
- P(B|A) = 0.05，即零件是次品但被误检为正品的概率为0.05。
由于零件如果不是次品，那么它被正确检查为正品的概率为1，我们可以计算出零件实际上是次品且被检查为正品的概率为：\( P(B|A) = P(A) \times P(B|A) = 0.01 \times 0.05 = 0.0005 \)接下来，我们需要计算零件实际上是次品的概率，即P(A|B)，根据贝叶斯定理：\( P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} \)其中，P(B)是零件被检查为正品的总概率，可以通过全概率公式计算：\( P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|\overline{A}) \times P(\overline{A}) \)其中，P(B|\overline{A})是零件如果不是次品（即是正品）被正确检查为正品的概率，这个概率是1，P(\overline{A})是零件是正品的概率，即1 - P(A) = 1 - 0.01 = 0.99。
代入计算得：\( P(B) = 0.01 \times 0.05 + 1 \times 0.99 = 0.9995 \)现在我们可以计算P(A|B)：\( P(A|B) = \frac{0.0005}{0.9995} \approx 0.0005005 \)所以，该零件实际上是次品的概率约为0.0005%。
历年考研概率论试题
94年（1）已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）=。
（3分）（2）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量{}max ,z X Y =的分布律为 。
（3分）（3）已知随机变量,X Y 分别服从正态分布22(1,3),(0,4)N N ，且,X Y 的相关系数12xy ρ=-，设32X Yz =+,（1）求Z 的数学期望EZ 和方差DZ ；（2）求X 与Z 的相关系数xz ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？（满分6分）95年（1）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2()E X = 。
（2）设,X Y 为两个随机变量，且{}{}{}340,0,0077P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则{}max(,)0P X Y ≥= 。
（3） 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00)(x x e x f xX求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
（6分）96年1． 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是 。
(3分)2． 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
(3分)3．设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,3,max(,),min(,).3P i i X Y ξξηξη=====又设（1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2） 求EX 。
（共6分）97年1. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。
（3分）2.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X -2Y 的方差是（ ） （A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 [3分]3. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52。
考研概率论与数理统计章节训练题
第一章 随机事件与概率一、选择题。
1、设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（ ） （A ）()()P A B P A > （B ）()()P A B P B > （C ）()()P AB P A = （D ）()()P A B P B =2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}3A ={正、反面各出现一次}， 4A ={正面出现两次}，则事件有（ ）（A ）123,,A A A 相互独立 （B ）234,,A A A 相互独立 （C ）123,,A A A 两两独立 （D ）234,,A A A 两两独立 3、对于任意二事件A 和B ，则（ ）（A ）若AB ≠Φ，则,A B 一定独立 （B ）若AB ≠Φ，则,A B 有可能独立 （C ）若AB =Φ，则,A B 一定独立 （D ）若AB =Φ，则,A B 一定不独立 4、A ，B 是两随机事件，当A ，B 发生时事件C 发生，则以下正确的是（ ）A ）、)()(C P AB P ≥ B ）、)()()(AB PC P AB C P -=- C ）、)()(C P B A P ≤⋃D ）、)()(C P B A P ≥⋃5、A ，B ，C 是三个随机事件，其中1)(),(),(0<<C P B P A P ，且已知)|()|()|(C B P C A P C B A P +=⋃，则以下正确的是（ ）A ）、)|()|()|(CB PC A P C B A P +=⋃ B ）、)()()(AB P AC P AB AC P +=⋃ C ）、)()()(B P A P B A P +=⋃D ）、)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P += 6、A ，B ，C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ）A ）、)|(1)|(C A P C A P -=B ）、1)|()|(=+C A P C A P C ）、)|()|()|()|(C AB P C B P C A P C B A P -+=⋃D ）、)|()|()|()|()|(C B A P C B P BC A P C B P C A P +=7、A ，B 是两个随机事件，其中0)(,0)(≠≠B P A P ，则以下正确的是（ ）A ）、φ≠AB ，A ，B 一定独立 B ）、φ≠AB ，A ，B 不一定独立C ）、φ=AB ，A ，B 一定独立D ）、φ=AB ，A ，B 不一定独立8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率()A 15 ()B 25()C35()D459、10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为()A 310()B28 ()C 210()D3810、若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()P AB P A P B ≤ (B) ()()()PAB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤ (D) ()()()2P A P B P AB +≥11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ）(A)(B)(C)(D)12、设是两个随机事件,且则必有（ ）(A)(B) (C) (D)二、填空题1、A ，B 是两随机事件，5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则 ≤≤)(AB P 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
3
3
x2
,
0
x 1, 8
其它
F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F (X) 的分布函数.
10. 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
1
X～
0.3
2
0.7
, 而Y的概率密度为f (y)，
求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
11.设随机变量X与Y的联合概率分布为
)
,
0 x, x 1,
0,
其它.
其中参数 (0< <1)未知,
X1, X2, , X n 是来自总体X的简单随机样本,
X 是样本均值
(I) 求参数 的矩估计量 ˆ
(II) 判断4X 2 是否为 2 的无偏估计量, 并说明理由.
17.设总体X服从正态分布N(0，22), X1，X2，…，X15为 来自总体X的简单随机样本，则随机变量
Y X12 X120
2 X121
X
2 15
服从______分布, 参数为______.
18. 将一枚硬币重复掷n次, 以X和Y分别表示正面 向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于
试求 (1) X和Y的联合概率分布; (2) D(X+Y)
15. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数 分布，平均无故障工作的时间(EX)为5小时. 设备定时 开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工 作2小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的 时间Y的分布函数F (y).
16. 设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2, 方差分别 为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式 P{| X+Y |6}______.
(A) 1
(B) 0
1 (C) 2
(D) 1
19. 生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 设每箱平均重50千克, 标准差为5千克, 若用最大载重 量为5吨的汽车运输, 试利用中心极限定理说明每辆车 最多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于0.977.
((2)= 0.977，其中 (x)是标准正态分布函数).
34.设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不 相关， fX (x), fY (y) 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在
Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件密度 fX|Y (x | y) 为
(A) fX (x)
(B) fY ( y)
(C ) fX (x) fY ( y) (D)
fX (x) fY ( y)
(C) u1
2
(D) u1
4. 设A和B是两个随机事件,且P(A)= 1 ,
1
P(B|A)=
P(A|B)=
1 2
,
令
4
3
X
1 0
A发生 A不发生
Y
1 0
B发生 B不发生
求 (1) 二维随机变量（X, Y）的概率分布．
(2) X 与Y 的相关系数XY (3) Z=X2+Y2的概率分布．
XY 0
1
0 0.4 a
1
b 0.1
若随机事件{ X =0}与{ X+Y =1}相互独立，则
(A) a=0.2, b=0.3 (C) a=0.3, b=0.2
(B) a=0.1, b=0.4 (D) a=0.4, b=0.1
23.设X1，X2，…，Xn，…，为独立同分布的随机变量序列，
且均服从参数为(>1)的指数分布，记 (x)是标准正态分布函数，则
(A)
lim
P
n
n i 1
Xi
n n
x
x
(B) lim
P
n i 1
Xi
n
x
x
n
n
(C)
lim
P
n i 1
Xi
n
x
x
n
n
பைடு நூலகம்
(A) P(AB)> P(A)
(B) P(AB)> P(B)
(C) P(AB)= P(A)
(D) P(AB)= P(B)
32. 设随机变量(X, Y)的概率分布为
X Y 1
0
1
1 a
0 0.2
0 0.1 b 0.2
1
0 0.1 c
其中a, b, c 为常数, 且X的数学期望E(X)= 0.2, P{Y 0|X 0 }=0.5 , 记Z=X+Y. 求
(1) a, b, c 的值.
(2) Z的概率分布.
(3) P{X=Z}
33.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的 概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标 的概率为
(A) 3 p(1 p)2 (B) 6 p(1 p)2
(C) 3 p2 (1 p)2 (D) 6 p2 (1 p)2
2
n2
2
Xi X Yj Y
E i1
j 1
n1 n2 2
_______
3.设随机变量X服从正态分布N(0，1), 对给定的(0, 1)，
数u满足P{X> u}=，若P{| X |<x}=，则x等于
(A) u
2
(B) u1 2
20. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={(x, y) |1 x 3, 1 y 3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|XY|概率密度p(u).
21. 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…， X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=_____.
22. 二维随机变量（X, Y）的概率分布是
其样本方差为S2, 则E(S2)=_______.
28.设随机变量X服从N(1，12), Y 服从N(2，22)， 且P{|X 1|<1} > P{|Y 2|<1}, 则
(A) 1< 2
(B) 1>2
(C) 1< 2
(D) 1>2
1
2
29.设随机变量X的概率密度为
(D)
lim
P
n i 1
Xi
x
x
n n
24. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
f
(x,
y)
1 0
0 x 1, 0 y 2x 其它
求 (1) (X, Y)的边缘概率密度fX (x), fY (y). (2) Z=2XY的概率密度fZ (z).
0
0 x 1 1 x 2 其它
其中是未知参数(0<<1). X1，X2，X3，…，Xn为来自
总体的简单随机样本, 记N为样本值X1，X2，X3，…，Xn
中小于1的个数. 求
(1) 的矩估计
(2) 的最大似然估计
31. 设A , B为两个随机事件, 且P(B)>0, P(A|B)=1,则有____.
f
(
x)
1 4
1 x 0 0 x2
0
其他
令Y=X2, F(x, y)为二维随机变量(X, Y) 的分布函数.
求: (1) Y的概率密度fY(y). (2) Cov (X, Y)
(3)
F
1 2
,
4
30. 设总体X的概率密度为 f (x； ) 1
(3)
P Y
1 2
X
1
2
25.设X1，X2，…，Xn(n>2)为独立同分布的随机变量， 且均服从N（0, 1）, 记
X
1 n
n i 1
Xi
Yi X i X i=1, 2, …n.
求: (1) Yi 的方差 DYi , i=1, 2,…n. (2) Yi 与Yn 的协方差Cov(Yi , Yn ).
5.设随机变量X的分布函数为
F
(x;
,
)
1
x
,
x
0
其它
其中参数>0, >1. 设X1, X2, X3, … , Xn为来自总体的简
单随机样本
(1) 当=1时， 求未知参数的矩估计量 (2) 当=1时，求未知参数的极大似然估计量 (3) 当=2时，求未知参数的极大似然估计量
A1={掷第一次出现正面}， A2={掷第二次出现正面}，
A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现二次}，则
(A) A1, A2 , A3相互独立
(B) A2 , A3，A4相互独立
(C) A1, A2 , A3两两独立
(D) A2 , A3，A4两两独立
9.设随机变量X的概率密度为f
(x)
35.在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值 小于 1 的概率为____________．
2
36. 设随机变量X与Y独立分布, 且X的概率分布为
X 1 2
P
2
1
3
3
记 U maxX ,Y, V minX ,Y
(I) 求(U, V)的概率分布; (II) 求(U, V)的协方差Cov(U, V).