九年级数学 与圆有关的比例线段例题解析

即 AB CD＝AD BC．
例３ 如图，已知：⊙O 的弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 M，E 是⊙O 上一点，过 E 点的切线交
CD 的延长线于点 P，BE 交 CD 于点 F． 求证：PF 2＝PD PC.
证明 ∵ PE 为切线，PDC 为割线， ∴ 由切割线定理得 PE 2＝PD PC. 连结 AE. ∵ AB 为直径， ∴ ∠A＝90o－∠B. 又 ∵ AB⊥CD， ∴ ∠PFE＝∠MFB＝90o－∠B.
从相交弦定理到切割线定理（以及它们的推论）充满着点的运动、特殊与一般的丰富内容． 相交弦定理
若⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于点 P. 则 PA PB＝PC PD.
AC P
若 AB 是⊙O 的直径（特殊的弦），
弦 CD⊥AB 于点 P（特殊的位置） 则 PA PB＝PC PD＝PC2.
点，AN 的延长线交⊙O 于点 M. 求证 (1)PC＝2PA； (2)MB2＝MN MA.
证明 (1) 由切割线定理
得 PA2＝PB PC
∵ PB＝ 1 BC＝ 1 PC
3
4
∴ PA2＝ 1 PC2 4
A
C
oN BP
M
则 PA＝ 1 PC，即 PC＝2PA. 2
(2) 连结 A PC，
证明 ∵ △PAB∽△PDA（想一想，为什么？）
∴ AB ＝ PA . AD PD
又 ∵ △PBC∽△PCD
2
∴ BC ＝ PC . CD PD
（这就是从结论的要求，结合条件去做做） 又 ∵ PA＝PC（想一想，又为什么？）
∴ PA ＝ PC ． PD PD
则 AB ＝ BC （比比后得出结论） AD CD
三、典型题例
例１ ⊙O 的 AB、CD 两弦相交于点 P. (1) 若 PA＝7，PB＝6，PC＝5，则 CD＝ (2) 若 AB＝9，CD＝6，PA＝8，则 PC＝ (3) 若 AB＝12，PA＝4，PC＝PD，则 PC＝
； ；
；
(4) 若 PA＝PB＝4，PC＝ 1 PD，则 CD＝
．
4
解 (1) PA PB＝PC PD
∵ ∠A＝∠PEF，∠A＝∠PFE，
A E
o
C MF D P B
∴ ∠PEF＝PFE，PE＝PF. 则 PF2＝PD PC.
说明 解决圆的有关问题，常需要把圆的知识结合起来，如这道题从切割线定理开始，联系到直径
所对的圆周角是直径、弦切角定理等．
例４ 如图，已知 BC 为⊙O 的弦，延长 CB 到 P，使 BC＝3BP，PA 切⊙O 于点 A，N 为 PC 的中
图，PA 切⊙O 于点 A，割线 PBC 交⊙O 于 B、C．
则 PA2＝PB PC.
A
显然，易证得△PAB∽△PCA．
则 PA ＝ PC ，即 PA2＝PB PC. PB PA
o
C
B
P
这里值得提醒大家，学习中既要懂得定理产生的过程，
又要注意在应用时不要再去判定相似，而是可以直接使用定理．
2.学会用运动的观点看问题，体会特殊和一般的关系，提高认识问题的能力．
(1)两条弦（或延长线）及交点首先要确定； (2)由这个交点引出的四条线段要确定，因为所有定理或推论都是这四条线段间的关系．
1
3.我们知道，直径也是弦，而且它具备特殊性；在从圆外一点引圆的无数条割线中，过圆心的一条 割线是唯一的，也是特殊的，解题时对此要引起重视．
例 已知：P 是⊙O 外的一点，PAB 是不经过圆心 O 的一条割线，PO 交⊙O 于点Ｃ，⊙O 的半径
AB 的延长线交 BT 于点 C，BC＝4cm，CD＝2cm．求 AB 的长．
证法１ 连结 OB，则 OB⊥CT. ∵ ∠OAB＝∠OBA＝∠BAC， ∴ AC∥OB，则 AC⊥CT. 由切割线定理得
DC
A
B
o T
3
BC2＝CD AC，则 AC＝ BC2 ＝ 16 ＝8(cm). CD 2
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
为 r，OP＝d，则 PA PB 等于（ ）
Ａ.d(d－r)
Ｂ. d(d＋r)
Ｃ.d 2－r 2
Ｄ.d 2＋r 2
解 延长 PC 交⊙O 于点 D,
B
则 PA PB＝PC PD. ∵ OC＝OD＝r,OP＝d， ∴ PC＝d－r，PD＝d＋r
A D oC P
则 PA PD＝(d－r) (d＋r)＝d 2－r 2.选Ｃ．
C A o PB
oB D
当圆的两条弦所在的直线相交于圆外一点 P， 则 PA PB＝PC PD 仍然成立. 易证 △PAD∽△PCB，
则 PA ＝ PC ， PD PB
即 PA PB＝PC PD.
D
A o
C
B DP
若是割线 PBA 与⊙O 的两个交点 A、B 在⊙O 上逐渐靠拢，并重合时，则得
PD＝ PA PB ＝ 7 6 ＝8.4
PC
5
则 CD＝PC＋PD＝13.4
(2) ∵ AB＝9，PA＝8， ∴ PB＝1.
又 CD＝6， ∴ PD＝6－PC.
则 PC (6－PC)＝81， ∴ PC＝2 或 4.
(3) ∵ AB＝12，PA＝4， ∴ PB＝8.
则 PC2＝12×4，PC＝4 3 （舍去负值）．
AC P
o B
D
(4) 设 PC＝x，则 PD＝4x. ∴ x 4x＝4 4，x＝2， 则 CD＝PC＋PD＝5x＝10.
说明
(1)为了解题时避免失误，应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理；
(2)由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数，以建立方程进
行求解；
(3)注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长．
PA PB＝PC PD
A(B) A
PA2＝PC PD（切割线定理）．
o
B D
P
C
若是割线 PDC 的 C、D 两点也是如此运动， 则 PA2＝PC PD＝PC 2
PA＝PC（切线长定理）．
A(B)
o P
C(D)
弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究中一定要 注意：
力.
例６ 如图，DA 切⊙O 于点 A，割线 DCB 交⊙O 于点 C、B．求证： CD ＝ AC2 . BD AB2
分析 从结论考虑，( AC )2 是△ACD 与△BAD 的
AB
A
相似比的平方；而 CD 又是这两个同高的三角形的底 BD
的比，因此容易想到选择通过面积的方法去解决．
证明 设△ACD 的面积为 S1，△ABD 的面积为 S2．
o
B
C
D
∵ △ACD∽△BAD， ∴ S1 ＝( AC )2.
S2
AB
（相似三角形面积的比等于相似比的平方）
又 ∵ S1 ＝ CD （同高的两三角形面积的比等于底的比） S2 BD
则 CD ＝ AC 2 ． BD AB2
4
AB＝ BC 2 AC 2 ＝ 16 64 ＝4 5 (cm).
证法２
延长 AO 交⊙O 于点 E，连结 BE. ∵ AE 为直径， ∴ ∠ABE＝90o. 又 ∵ ∠BAC＝∠BAE， ∠ABC＝∠E， ∴ ∠C＝∠ABE＝90o.
DC
A
B
o T
E
（以下证法同证法１）
说明 解题时善于从不同角度获取信息，既有助于巩固基础知识的学习，又可以活跃思维，提高能
例２ 如图，已知：PA、PC 是⊙O 的切线，A、C 为切点，割线 PDB 交⊙O 于点 D、B.求证：AB
CD＝AD BC.
A
分析 从条件知，PA＝PC，△PAD∽△PBA，
B
△PCD∽△PBC； 由结论知，欲证 AB CD＝AD BC，即证
AB ＝ BC . AD CD
o
DP
C
因此，可以用“做做比比”的方法证得结论．
2
2
∴ ∠PAN＝∠PNA.
又 ∵ ∠MNB＝180o－∠PNA，∠ABM＝180o－∠ACM＝180o－∠PAN，
∴ ∠MNB＝∠ABM.
则 △ABM∽△BNM
∴ AM ＝ BM ， BM NM
即 MB2＝MN AM.
例５ A、B 是⊙O 上的两点，过点 B 作⊙O 的切线 BT，D 是 AB 上的一点，且∠DAB＝∠OAB，
初三数学同步辅导教材（第 16 讲）
一、教学内容
本周主要学习 7.12 解决和圆有关的比例线段．
二、重点、难点剖析
1.和圆有关的比例线段是学习的重要内容．理解、掌握好相交弦定理、切割线定理是基本要求．运 用定理解决一些有关的计算、证明问题又是考查的主要目标．
和圆有关的比例线段的几个定理及推论，都是通过相似三角形的判定而获得的，如切割线定理，如