Euler方法与改进的Euler方法的应用
微分方程数值解法
微分方程数值解法微分方程数值解法微分方程数值解法【1】摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。
关键词:常微分方程数值解法 Euler方法改进Euler法1、Euler方法由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点的积分曲线，并且在该曲线上任一点处的切线斜率等于函数的值。
根据数值解法的基本思想，我们取等距节点，其中h为步长，在点处，以为斜率作直线交直线于点。
如果步长比较小，那么所作直线与曲线的偏差不会太大，所以可用的近似值，即：，再从点出发，以为斜率作直线，作为的近似值，即：重复上述步骤，就能逐步求出准确解在各节点处的近似值。
一般地，若为的近似值，则过点以为斜率的直线为：从而的近似值为：此公式就是Euler公式。
因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。
Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线。
举例说明：解： ,精确解为：1.2 -0.96 -1 0.041.4 -0.84 -0.933 0.9331.6 -0.64 -0.8 0.161.8 -0.36 -0.6 0.242.0 0 -0.333 0.332.2 0.44 0 0.44通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。
2、改进Euler法方法构造在常微分方程初值问题 ,对其从到进行定积分得:用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：用和来分别代替和得计算格式:这就是改进的Euler法。
解：解得：由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出问题的精确解是误差0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.021400.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.051830.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.094112.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式
Comparison with exact results
Temperature, θ(K)
1500
1000
500
0 0
-500
-1000
-1500
Exact solution
h=120 h=240
100
200
300
400
500
Tim e, t (sec)
h=480
Figure 4. Comparison of Euler’s method with exact solution for different step sizes 5
考虑形如
k
ynk ynk 1 h i fni i0
的 k步法，称为阿当姆斯（Adams)方法. k为显0式方法， 为隐k 式0方法，通常称为阿
当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adam -Monlton公式.
22
阿当姆斯显式公式
kp
公式
c p1
1 1 yn1 yn h fn
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn )
d dx
f
( xn ,
yn )
0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))]
=hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y'(xn) [fy’]n+
O局 故(h部修y3n)截正+1断 的= 误Eyun差l+er:h法yy(’具xddyn(x有y+(x1x)20n–))阶+fy精0n(+.xy15度0,=hy。2y)y(,”xxn)(–xnxy)n0+=OO((hh33))
euler 采样方法
euler 采样方法【实用版3篇】目录（篇1）1.Euler 采样方法的概念2.Euler 采样方法的原理3.Euler 采样方法的优缺点4.Euler 采样方法的应用实例正文（篇1）1.Euler 采样方法的概念Euler 采样方法是一种在离散时间步长内对连续系统进行数值求解的采样方法，它是以数学家 Euler 的名字命名的。
该方法通过对连续系统在离散时间步长内的状态进行采样，从而得到离散时间步长内的系统状态，进而求解系统的运动规律。
2.Euler 采样方法的原理Euler 采样方法基于微积分的数值求解原理，其核心思想是利用Taylor 级数将非线性微分方程在每个采样时间步长内进行线性近似。
具体来说，Euler 采样方法通过在每个时间步长内对系统状态变量及其导数进行线性插值，从而得到该时间步长内的系统状态和导数值。
然后，将这些值代入微分方程，求解得到下一个时间步长的系统状态。
3.Euler 采样方法的优缺点优点：a.Euler 采样方法原理简单，实现容易，计算效率较高。
b.Euler 采样方法可以处理非线性微分方程，适用范围广泛。
缺点：a.Euler 采样方法的精度受到采样时间步长的限制，当采样时间步长较大时，求解结果的精度较低。
b.Euler 采样方法在某些情况下可能产生数值不稳定现象，例如在处理具有较大时间步长和非线性项的微分方程时。
4.Euler 采样方法的应用实例Euler 采样方法广泛应用于各种数值求解问题，例如：a.常微分方程的数值求解，如求解弹簧振动问题、神经网络动力学等。
b.偏微分方程的数值求解，如求解热传导方程、波动方程等。
目录（篇2）1.Euler 采样方法的概念和原理2.Euler 采样方法的优缺点3.Euler 采样方法的应用案例4.Euler 采样方法的局限性和改进方向正文（篇2）1.Euler 采样方法的概念和原理Euler 采样方法是一种在离散时间步长内对连续系统进行数值求解的常用方法。
数值计算中的常微分方程数值模拟
数值计算中的常微分方程数值模拟在数值计算中，常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是一个重要的研究对象。
常微分方程的数值模拟是通过数值方法对其进行近似求解的过程，该过程对于模拟物理系统、生物学过程以及工程问题等具有重要意义。
本文将介绍常微分方程数值模拟的几种常用方法，并分析其特点与应用。
一、欧拉法（Euler's Method）欧拉法是最简单的常微分方程数值模拟方法之一，其基本思想是将连续的微分方程进行离散化，使用一阶差分近似代替微分。
具体步骤如下：1. 建立微分方程：设待求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)为已知函数。
2. 初始化：选择初始条件y0 = y(x0)，以及离散步长h。
3. 迭代求解：根据欧拉法的迭代公式yn+1 = yn + h * f(xn, yn)进行近似求解。
欧拉法的优点是简单易实现，但在处理复杂问题和大步长时存在精度较低的问题。
二、改进的欧拉法（Improved Euler's Method）为了提高欧拉法的精度，改进的欧拉法在迭代过程中使用两个不同的斜率近似值，从而对解进行更准确的预测并修正。
具体步骤如下：1. 建立微分方程：同欧拉法。
2. 初始化：同欧拉法。
3. 迭代求解：根据改进的欧拉法的迭代公式yn+1 = yn + h * (k1 +k2)/2进行近似求解，其中k1 = f(xn, yn)，k2 = f(xn + h, yn + h * k1)。
改进的欧拉法在精度上优于欧拉法，但仍然不适用于高精度要求的问题。
三、龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）龙格-库塔法是一类常微分方程数值模拟方法，通过计算多个不同次数的斜率来逼近解。
其中，四阶龙格-库塔方法是最常用的一种方法。
具体步骤如下：1. 建立微分方程：同欧拉法。
2. 初始化：同欧拉法。
3. 迭代求解：根据四阶龙格-库塔方法的迭代公式yn+1 = yn + h * (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6进行近似求解，其中k1 = f(xn, yn)，k2 = f(xn + h/2, yn + h/2 * k1)，k3 = f(xn + h/2, yn + h/2 * k2)，k4 = f(xn + h, yn + h * k3)。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化的现象的重要工具，具有广泛的应用范围。
对于一般的微分方程，往往很难找到解析解，这时候就需要使用数值解法来近似求解微分方程。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法及其原理。
一、欧拉方法（Euler's Method）欧拉方法是最基本也是最容易理解的数值解法之一。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过给定的初始条件，在离散的点上逐步计算出函数的近似值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，利用欧拉方法可以得到近似解：y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)其中，h是步长，x_n和y_n是已知点的坐标。
欧拉方法的优点在于简单易懂，但是由于是一阶方法，误差较大，对于复杂的微分方程可能不够准确。
二、改进的欧拉方法（Improved Euler's Method）改进的欧拉方法又称为改进的欧拉-柯西方法，是对欧拉方法的一种改进。
它通过在每一步计算中利用两个不同点的斜率来更准确地逼近函数的值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉方法的迭代公式为：y_n+1 = y_n + (h/2) * [f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n + h * f(x_n, y_n))]相较于欧拉方法，改进的欧拉方法具有更高的精度，在同样的步长下得到的结果更接近真实解。
三、四阶龙格-库塔方法（Fourth-Order Runge-Kutta Method）四阶龙格-库塔方法是一种更高阶的数值解法，通过计算多个点的斜率进行加权平均，得到更为准确的解。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，四阶龙格-库塔方法的迭代公式为：k1 = h * f(x_n, y_n)k2 = h * f(x_n + h/2, y_n + k1/2)k3 = h * f(x_n + h/2, y_n + k2/2)k4 = h * f(x_n + h, y_n + k3)y_n+1 = y_n + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6四阶龙格-库塔方法是数值解法中精度最高的方法之一，它的计算复杂度较高，但是能够提供更为准确的结果。
.欧拉(euler)齐次方程方法
文章题目：探讨欧拉（Euler）齐次方程方法及其应用一、欧拉（Euler）齐次方程方法简介欧拉齐次方程方法是数学中常用的一种求解微分方程的方法，它主要适用于一阶线性微分方程。
欧拉齐次方程方法的核心思想是将微分方程转化为一个以积分的形式表示的方程，从而通过积分求解出微分方程的解析解。
欧拉齐次方程方法在工程、物理、经济、生物等领域都有着广泛的应用，因此深入理解并掌握欧拉齐次方程方法对于解决实际问题具有重要意义。
二、欧拉齐次方程方法的具体步骤1. 首先, 对给定的微分方程进行变量代换，将其转化为欧拉形式。
2. 其次, 解出转化后的欧拉方程的通解，得到一个包含待定常数的通解表达式。
3. 最后, 利用已知的初始条件或边界条件，求解待定常数，得到微分方程的特解。
三、欧拉齐次方程方法在实际问题中的应用欧拉齐次方程方法可以应用于很多实际问题，比如弹簧振子的运动方程、放射性物质的衰变规律、生物种群的增长模型等。
通过欧拉齐次方程方法的求解，可以得到这些实际问题的精确解，从而更好地理解和预测实际问题的发展规律。
四、欧拉齐次方程方法的个人观点和理解我认为欧拉齐次方程方法是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们更深入地理解微分方程的解析解，同时也可以应用于解决实际问题。
通过掌握欧拉齐次方程方法，我们可以更好地应对工程、物理、经济、生物等领域中的复杂问题，为实际问题的解决提供有力的数学支持。
总结与回顾欧拉齐次方程方法是一种解决微分方程的重要方法，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过对欧拉齐次方程方法的深入探讨和理解，我们可以更好地应对复杂的实际问题，并为问题的解决提供可靠的数学支持。
以上便是我对欧拉齐次方程方法的一些个人观点和理解，希望能对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎随时和我交流讨论。
欧拉（Euler）齐次方程方法是微分方程中的重要工具，它可以用于解决许多不同领域的实际问题。
通过欧拉齐次方程方法，我们可以求解微分方程的解析解，从而更好地理解和预测实际问题的发展规律。
偏微分方程数值解例题答案
yyy[y例11110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y yì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Euler 方法方法改进的Euler 方法方法准确值准确值n xn yny)(n x y0.1 0.9000000 0.9009500 0.9006235 0.2 0.8019000 0.8052632 0.8046311 0.3 0.7088491 0.7153279 0.7144298 0.4 0.6228902 0.6325651 0.6314529 0.5 0.5450815 0.5576153 0.5563460 0.6 0.4757177 0.4905510 0.4891800 0.7 0.4145675 0.4310681 0.4296445 0.8 0.3610801 0.3786397 0.3772045 0.9 0.3145418 0.3326278 0.3312129 1.0 0.2741833 0.2923593 0.2909884 从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高. 例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题ïîïíì=££+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy 在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果. 解 对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。
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CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告Euler 方法与改进的Euler 方法的应用一、问题背景在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。
大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。
这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。
二、数学模型在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。
定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。
另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
在本文中主要讨论的是给定初值条件的简单Euler 方法和改进的Euler 方法来求解常微分方程。
三、算法及流程Euler 方法是最简单的一种显式单步法。
对于方程()y x f dxdy ,= 考虑用差商代替导数进行计算，取离散化点列nh x x n +=0，L n ,2,1,0=则得到方程的近似式()()()()n n n n x y x f hx y x y ,1≈-+ 即()n n n n y x hf y y ,1+=+ 得到简单Euler 方法。
具体计算时由0x 出发，根据初值，逐步递推二得到系列离散数值。
简单Euler 方法计算量小，然而精度却不高，因而我们可以构造梯形公式()()[]η=++=+++0111,,2y y t f y t f h y y n n n n n n 其中()N a b h -=。
这是一个二阶方法，比Euler 方法精度高。
但是上述公式右边有1+n y ，因而是隐式差分方程，可以用迭代方法计算1+n y 。
初值可以由Euler公式提供，一般而言迭代一两次即可。
在计算中的迭代公式为()()()()()()[]()L k y x f y x f h y y y x hf y y n k n n n n n k n n n n ,2,1,0,,2,111110=++=+=+++++ 容易看出这实际上是一种预估-校正方法。
改进的Euler 方法又称为Henu 方法。
MATLAB 实现过程：（1）简单Euler 方法函数function [t,x]=Euler(fun,t0,tt,x0,N)% MyEuler 用前向差分的欧拉方法解微分方程% fun 表示f （t,x ）% t0,tt 表示自变量的初值和终值% x0表示函数在x0处的值，其可以为向量形式% N 表示自变量在[t0,tt] 上取得点数h=(tt-t0)/N; % 步长ht=t0+[0:N]'*h; % 时间tx(1,:) = x0'; % 赋初值for k = 1:Nf=feval(fun,t(k),x(k,:));f=f';x(k+1,:) =x(k,:)+h*f;end将文件以文件名Euler.m 保存。
（2）改进的Euler 方法函数function [t,x]=GjEuler(fun,t0,tt,x0,N)%改进的Euler 方法解微分方程h=(tt-t0)/N;%计算所取的两离散点之间的距离t=t0+[0:N]'*h;%表示出离散的自变量xx(1,:)=x0';for i=1:Nf1=h*feval(fun,t(i),x(i,:));f1=f1';f2=h*feval(fun,t(i+1),x(i,:)+f1);f2=f2';x(i+1,:)=x(i,:)+1/2*(f1+f2);end将文件以文件名GjEuler.m 保存。
四、计算结果与分析计算常微分方程的初值问题()[]()21,3,112-=∈+=x t x x tdt dx 编写函数文件，打开Editor 编辑器，输入以下语句并以文件名GjEuler.m 保存。
function f=GjEuler(t,x)f=1/t*(x^2+x);再编写主函数文件，打开Editor 编辑器，输入下列语句并以文件名GjEuler_main.m保存文件。
function GjEuler_main()% 比较改进Euler 法、简单Euler 法及文芬方程符号解[t,x]=Euler('GjEuler_fun',1,3,-2,15); % Euler 方法¨[tgj,xgj]=GjEuler('GjEuler_fun',1,3,-2,15); % 改进的Euler 方法的解sh=dsolve('Dx=1/t*(x^2+x)','x(1)=-2','t'); % 符号计算for k=1:16 % 时间离散化st(k)=t(k); % 取数值方法的离散的时间sx(k)=subs(sh,st(k));endplot(t,x,'*',tgj,xgj,'+',st,sx)[t,x,xgj,sx']% t 时间% x 简单Euler 方法计算结果% xgj 改进Euler 方法的计算结果% sx 符号计算结果[t,sx'-x,sx'-xgj]% 两种方法的计算误差%plot(t,sx'-x,'+',t,sx'-xgj,'*')运行程序，在MATLAB 命令窗口输入：>>GjEuler_main运行结果如下所示：ans =[ 1, -2, -2, -2 ][ 17/15, -26/15, -6854/3825, -34/19][ 19/15, -6058/3825, -3726675967822917/2251799813685248, -38/23][7/5，-6694439885567781/4503599627370496,-438605242064379/281474976710656, -14/9][23/15,-399017934858279/281474976710656,-3346897597239529/2251799813685248,-46/31][5/3,-3076228012319145/2251799813685248,-6443669915380311/4503599627370496,-10/7][9/5,-5972253212408169/4503599627370496,-6244734289756621/4503599627370496,-18/13][29/15,-1456996799034161/1125899906842624,-3041377995996661/2251799813685248,-58/43][31/15,-2854895172348175/2251799813685248,-2974161832326041/2251799813685248,-62/47][11/5,-5611129535974289/4503599627370496, -2917483895703271/2251799813685248, -22/17][7/3,-5527499547085519/4503599627370496, -5738095816108559/4503599627370496, -14/11][37/15,-5455688972551323/4503599627370496,-5654358103897161/4503599627370496,-74/59] [13/5,-5393344808589217/4503599627370496, -2790627213541703/2251799813685248, -26/21] [41/15,-5338702448959659/4503599627370496,-2758440471997471/2251799813685248,-82/67] [43/15,-5290411912308893/4503599627370496,-2729881239997317/2251799813685248,-86/71] [3, -2623711206582523/2251799813685248, -1352184591147197/1125899906842624, -6/5] 其中时间和改进的Euler方法两列的结果序列就是我们要的结果。
为了分析问题，下图给出了分析解和Euler方法的结果进行比较。
其中“*”线代表的是Euler法，“+”线代表的是改进Euler法，“—”线代表的是分析解。
可以看出，改进的Euler方法比原方法要精确许多，在本例中的区间内，几乎改进后的方法和分析方法重合，而Euler方法则有比较大的误差。
运行结果中还有下列数据：ans =[ 1, 0, 0][17/15, -16/285, 176/72675][19/15, -6016/87975, 45154339887667/51791395714760704][7/5, -2800435813076915/40532396646334464, 6797504630227/2533274790395904][23/15,-578292948083527/8725724278030336,171034084903991/69805794224242688][5/3,-984402050618465/15762598695796736,69693133957217/31525197391593472][9/5, -3425501531362731/58546795155816448, 116752474167145/58546795155816448] [29/15,-2651332238403269/48413695994232832,174864634112039/96827391988465664] [31/15, -5431515348121151/105834591243206656, 174017670838551/105834591243206656] [11/5, -3689989690587999/76561193665298432, 57630325880151/38280596832649216][7/3, -2247899765246235/49539595901075456, 68659194007205/49539595901075456][37/15,-11380723044888647/265712378014859264,340755704515795/265712378014859264] [13/5, -3833349331259339/94575592174780416, 56376328559315/47287796087390208] [41/15, -11602105364083519/301741175033823232, 167926901640221/150870587516911616] [43/15, -11690322179931253/319755573543305216, 166784062878179/159877786771652608] [ 3, -392242849198873/11258999068426240, 5523514680241/5629499534213120] 上面结果给出的是简单Euler、改进Euler与分析解的误差比较结果，将其画出图像得到下面的图形：“+”线表示的是Euler方法误差，“*”线表示的是改进方法的误差。