Euler方法及其改进方法
改进的euler公式
改进的euler公式
【原创实用版】
目录
1.欧拉公式的概述
2.改进的欧拉公式的背景和原因
3.改进的欧拉公式的推导过程
4.改进的欧拉公式的应用和优势
5.结论
正文
欧拉公式是数学领域中非常著名的公式，它描述了复指数函数的性质，即 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
这个公式将实数、虚数和三角函数联
系在一起，展示了数学的统一性和美妙性。
然而，传统的欧拉公式在某些情况下并不适用，因此，人们提出了改进的欧拉公式。
改进的欧拉公式的背景和原因主要是由于在一些特殊的数学问题中，传统的欧拉公式无法给出正确的结果。
例如，当 x 为奇数时，传统的欧
拉公式无法描述 e^(ix) 的性质。
因此，为了解决这些问题，数学家们开始研究改进的欧拉公式。
改进的欧拉公式的推导过程相对复杂，它涉及到一些高级的数学概念和方法，如解析延拓、傅里叶级数等。
具体来说，改进的欧拉公式可以表示为 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) + r(x)，其中 r(x) 是一个余项，表示欧拉公式在某些特殊情况下的修正。
改进的欧拉公式的应用和优势主要体现在它能够更准确地描述复指
数函数的性质，尤其是在一些特殊情况下。
例如，当 x 为奇数时，改进
的欧拉公式可以给出正确的结果，而传统的欧拉公式则会出现错误。
此外，改进的欧拉公式还可以应用于一些实际问题，如信号处理、图像处理等。
欧拉算法与改进的欧拉算法实例
题目再现：2. 当病人采取服用口服药或肌肉注射来治疗疾病时，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。
假定身体系统是一个单房室系统，设t 时刻体内药物的总量为x(t)，则x(t)满足：问题分析：运用欧拉公式求微分方程的数值解。
微分方程为：11dx ,(0)0dtk t k De kx x -=-= 1，欧拉折线法：设h=0.1,即n=201时，1k 0.6=，k 0.2=，D=200.MATLAB 程序如下所示：clearf=sym('0.6*200*exp(-1*0.6*t)-0.2*x ');a=0; b=20;h=0.1;n=(b-a)/h+1;t=0; x=0;szj=[t,x];for i=1:n-111dx ,(0)0dt k t k De kx x -=-=10011100 ,(,)()k t k k k k k k kt x x x h f t x x h k De kx t t h -++==⎧⎪=+=+-⎨⎪=+⎩x=x+h*subs(f,{'t','x'},{t,x});t=t+h;szj=[szj;t,x];endszj ;x=dsolve(‘Dx=120*exp(-0.6*t)-0.2*x’,'x(0)=0','t')T=[0:0.1:20];X=subs(x,T);plot(szj(:,1),szj(:,2),'or-',T,X,’b-’)输出结果为：解析解：x=其中红线代表的是数值解，蓝线代表的是解析解。
可见，数值解的误差还是比较小的。
二、改进的欧拉法：有公式：[]11100(,)(,)2()i i i i i i h x x f t x f t x x x t +++=++= 与欧拉公式结合使用，有(0)1(1)()111(,)[(,)(,)],0,1,2 (2)i i i i k k i i i i i i x x hf t x h x x f t x f t x k +++++=+=++= 设h=0.1,即n=201时，1k 0.6=，k 0.2=，D=200.MATLAB 程序如下所示：clearf=sym('0.6*200*exp(-1*0.6*t)-0.2*x');a=0; b=20;h=0.1;n=(b-a)/h+1;t=0; x=0;szj=[t,x];for i=1:n-1m=0;p=0;q=0;m=x;q=subs(f,{'t','x'},{t,m});x=m+h*q;if abs(p-x)>0.1p=x;x= m+h/2*(q+subs(f,{'t','x'},{t+h,x}));endt=t+h;szj=[szj;t,x];endszj ;x=dsolve('Dx=120*exp(-0.6*t)-0.2*x', 'x(0)=0','t')T=[0:0.1:20];X=subs(x,T);plot(szj(:,1),szj(:,2),'or-',T,X,'b-')可见，改进后的欧拉算法误差更小，极其精确，基本与原曲线重合。
euler 采样方法
euler 采样方法（原创实用版3篇）目录（篇1）1.Euler 采样方法的概述2.Euler 采样方法的原理3.Euler 采样方法的优缺点4.Euler 采样方法的应用实例5.Euler 采样方法的局限性和改进方向正文（篇1）一、Euler 采样方法的概述Euler 采样方法是一种在离散系统中广泛应用的时间步进方法，由数学家 Euler 首次提出，主要用于求解常微分方程的初值问题。
该方法通过对方程的解在每个时间步长上进行局部线性近似，从而获得离散系统中各个时刻的解。
二、Euler 采样方法的原理Euler 采样方法的基本思想是，将连续时间系统中的状态变量在每个时间步长上进行线性插值。
具体来说，设在某一特定时间步长 k，系统的状态变量为 x_k，对其进行局部线性近似，可得：x_{k+1} = x_k + h*f(x_k)其中，h 为时间步长，f(x_k) 为系统状态变量 x_k 的瞬时变化率，即系统的运动方程。
通过不断迭代上述公式，我们可以得到离散系统中各个时刻的状态变量。
三、Euler 采样方法的优缺点1.优点：Euler 采样方法简单易懂，实现起来较为方便，且具有一定的数值稳定性。
对于一些简单的系统，该方法可以得到较好的结果。
2.缺点：Euler 采样方法的数值稳定性较差，特别是在处理非线性系统或高阶系统时，可能会出现较大的误差。
此外，该方法对于系统的初始条件较为敏感，初始条件的微小变化可能导致结果的显著差异。
四、Euler 采样方法的应用实例Euler 采样方法在物理、工程和生物学等领域的数值模拟中都有广泛应用。
例如，在求解牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等方面，Euler 采样方法都可以发挥重要作用。
五、Euler 采样方法的局限性和改进方向虽然 Euler 采样方法在许多情况下可以得到合理的结果，但其数值稳定性和精度仍然有待提高。
为了克服这些问题，研究者们提出了许多改进的 Euler 方法，如改进的欧拉方法（Euler with improvement）、四阶龙格库塔法（4th order Runge-Kutta method）等。
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程微分方程是描述自然现象中变化的数学模型，它是数学和科学研究中的重要工具。
然而，许多微分方程并没有精确的解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
本文将介绍一些常用的数值方法来求解微分方程，包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单、最基础的数值方法之一。
它基于微分方程解的定义，通过离散化自变量和因变量来逼近解析解。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0。
将自变量x分割成若干个小区间，步长为h，得到x0, x1, x2, ..., xn。
根据微分方程的定义，我们可以得到递推公式 yn+1 = yn + h*f(xn, yn)。
用代码表示即为：```def euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*fnx.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```二、改进的欧拉方法欧拉方法存在着局部截断误差，即在每个小区间上的误差。
改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，可以减小截断误差。
它的递推公式为yn+1 = yn + h*(f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1))/2。
用代码表示即为：```def improved_euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*(fn + f(xn1, yn + h*fn))/2x.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种更加精确的数值方法，它通过计算多个递推式的加权平均值来逼近解析解。
Euler法与改进Euler法知识讲解
yn1 yn dy h dx
常用方法
(2) 用数值积分近似积分
dy xn1
xn1
dx f ( x, y)dx (n 0,1, )
xn dx
xn
即
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx
xn
进一步: 令 yn1 y( xn1) , yn y( xn )
xn x0 nh, n 0,1,2 .
二、建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.
一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy
y xn1 yxn
xn1 xn
f xn , y(xn )
dx x y , n n
进一步 : 令 yn1 y(xn1) , yn y(xn )
y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 )
dx x y , 0 0
几何意义
等步长为h，则 x1 x0 h，可由切线算出y1 ： y1 y0 hf（x0 , y0）
逐步计算出y
y( x)
在
xn
点
1
的
值
：
yn1 yn hf（xn , yn） n 0，1，2，
注意：这是“折线法”而非“切线法” y 除第一个点是曲线切线外，其他点不是！
能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多, 而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程 的数值解法
常微分方程数值解法
重点 研究一阶常微分方程的初值问题的数值解
其一般形式为:
dy
dx
f (x, y)
y( x0 ) y0
a xb
Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式
Comparison with exact results
Temperature, θ(K)
1500
1000
500
0 0
-500
-1000
-1500
Exact solution
h=120 h=240
100
200
300
400
500
Tim e, t (sec)
h=480
Figure 4. Comparison of Euler’s method with exact solution for different step sizes 5
考虑形如
k
ynk ynk 1 h i fni i0
的 k步法，称为阿当姆斯（Adams)方法. k为显0式方法， 为隐k 式0方法，通常称为阿
当姆斯显式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adam -Monlton公式.
22
阿当姆斯显式公式
kp
公式
c p1
1 1 yn1 yn h fn
y( xn ) f ( xn , yn )
y( xn )
d dx
f
( xn ,
yn )
0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))]
=hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y'(xn) [fy’]n+
O局 故(h部修y3n)截正+1断 的= 误Eyun差l+er:h法yy(’具xddyn(x有y+(x1x)20n–))阶+fy精0n(+.xy15度0,=hy。2y)y(,”xxn)(–xnxy)n0+=OO((hh33))
数值计算中的常微分方程数值模拟
数值计算中的常微分方程数值模拟在数值计算中，常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是一个重要的研究对象。
常微分方程的数值模拟是通过数值方法对其进行近似求解的过程，该过程对于模拟物理系统、生物学过程以及工程问题等具有重要意义。
本文将介绍常微分方程数值模拟的几种常用方法，并分析其特点与应用。
一、欧拉法（Euler's Method）欧拉法是最简单的常微分方程数值模拟方法之一，其基本思想是将连续的微分方程进行离散化，使用一阶差分近似代替微分。
具体步骤如下：1. 建立微分方程：设待求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)为已知函数。
2. 初始化：选择初始条件y0 = y(x0)，以及离散步长h。
3. 迭代求解：根据欧拉法的迭代公式yn+1 = yn + h * f(xn, yn)进行近似求解。
欧拉法的优点是简单易实现，但在处理复杂问题和大步长时存在精度较低的问题。
二、改进的欧拉法（Improved Euler's Method）为了提高欧拉法的精度，改进的欧拉法在迭代过程中使用两个不同的斜率近似值，从而对解进行更准确的预测并修正。
具体步骤如下：1. 建立微分方程：同欧拉法。
2. 初始化：同欧拉法。
3. 迭代求解：根据改进的欧拉法的迭代公式yn+1 = yn + h * (k1 +k2)/2进行近似求解，其中k1 = f(xn, yn)，k2 = f(xn + h, yn + h * k1)。
改进的欧拉法在精度上优于欧拉法，但仍然不适用于高精度要求的问题。
三、龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）龙格-库塔法是一类常微分方程数值模拟方法，通过计算多个不同次数的斜率来逼近解。
其中，四阶龙格-库塔方法是最常用的一种方法。
具体步骤如下：1. 建立微分方程：同欧拉法。
2. 初始化：同欧拉法。
3. 迭代求解：根据四阶龙格-库塔方法的迭代公式yn+1 = yn + h * (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6进行近似求解，其中k1 = f(xn, yn)，k2 = f(xn + h/2, yn + h/2 * k1)，k3 = f(xn + h/2, yn + h/2 * k2)，k4 = f(xn + h, yn + h * k3)。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化的现象的重要工具，具有广泛的应用范围。
对于一般的微分方程，往往很难找到解析解，这时候就需要使用数值解法来近似求解微分方程。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法及其原理。
一、欧拉方法（Euler's Method）欧拉方法是最基本也是最容易理解的数值解法之一。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过给定的初始条件，在离散的点上逐步计算出函数的近似值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，利用欧拉方法可以得到近似解：y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)其中，h是步长，x_n和y_n是已知点的坐标。
欧拉方法的优点在于简单易懂，但是由于是一阶方法，误差较大，对于复杂的微分方程可能不够准确。
二、改进的欧拉方法（Improved Euler's Method）改进的欧拉方法又称为改进的欧拉-柯西方法，是对欧拉方法的一种改进。
它通过在每一步计算中利用两个不同点的斜率来更准确地逼近函数的值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉方法的迭代公式为：y_n+1 = y_n + (h/2) * [f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n + h * f(x_n, y_n))]相较于欧拉方法，改进的欧拉方法具有更高的精度，在同样的步长下得到的结果更接近真实解。
三、四阶龙格-库塔方法（Fourth-Order Runge-Kutta Method）四阶龙格-库塔方法是一种更高阶的数值解法，通过计算多个点的斜率进行加权平均，得到更为准确的解。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，四阶龙格-库塔方法的迭代公式为：k1 = h * f(x_n, y_n)k2 = h * f(x_n + h/2, y_n + k1/2)k3 = h * f(x_n + h/2, y_n + k2/2)k4 = h * f(x_n + h, y_n + k3)y_n+1 = y_n + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6四阶龙格-库塔方法是数值解法中精度最高的方法之一，它的计算复杂度较高，但是能够提供更为准确的结果。
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《常微分方程》课内实验任务书
学生姓名:张学阳1009300132
及学号：
学院:理学院
班级:数学101
课程名称：常微分方程
题目:Euler方法及其改进方法
指导教师
李鹏松教授
姓名及职称：
朱秀丽讲师
方向实验师
2012年10月17日
《常微分方程》课内实验
实验一 Euler 方法及其改进方法
一、实验目的
1．通过用Matlab 编程运用Euler 方法及其改进方法求解常微分方程初值问题，更进一步掌握常微分方程及其数值解法课程的理论内容，加深对数值解法的理解。
2．熟悉Matlab 编程环境。
二、实验学时和类型
本次实验为2学时、设计性实验。
三、实验内容
1.实验题目
运用Euler 方法及其改进方法求解常微分方程初值问题，具体问题在课内实验习题中学生任意抽取。
2.实验原理
Euler 方法：⎩⎨⎧+==+)
,()(100n n n n y x hf y y x y y
Euler 改进方法：[]⎪⎩
⎪
⎨⎧++==+++),(),(2)(11100n n n n n n y x f y x f h
y y x y y 3.设计思想
在能够获得精确解的题目抽取题目，分别应用Euler 方法、Euler 改进方法求解数值结果，将所得结果列表或者画图，参照精确结果，对Euler 方法、Euler 改进方法的计算误差进行分析。
4.参考程序源代码
%fun 为目标函数字符串 %x0为自变量初始值。
%y0为fun(x0);
%bou=[a,b]自变量区间 %h 为步长
fun='1/x^2-y^2';
bou=[1,6];
a=bou(1);
b=bou(2);
x0=1;
y0=0;
h=0.1;
n=ceil((b-a)/h);
xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1)';
lengthx=length(xx);
xx(1)=x0;yy(1)=y0;
for i=2:n+1
x=xx(i-1);y=yy(i-1);
k=eval(fun);
yy(i)=yy(i-1)+h*k;
end
Ys=dsolve('Dy=1/x^2-y^2','y(1)=0','x');
for i=1:lengthx
x=xx(i);
exacty(i)=eval(Ys);
end
YY=exacty';
yend=[xx,yy,YY]
p=plot(xx,yend(:,2),'k-o','LineWidth',1,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',4);
hold on;
pp=plot(xx,yend(:,3),'r-.+','LineWidth',0.8,...
'MarkerEdgeColor','r',...
'MarkerFaceColor','m',...
'MarkerSize',6);
legend([p,pp],'Eula','jiequejie');
%fun为目标函数字符串
%x0为自变量初始值。
%y0为fun(x0);
%bou=[a,b]自变量区间
%h为步长
fun='1/x^2-y^2';
bou=[1,6];
a=bou(1);
b=bou(2);
x0=1;
y0=0;
h=0.1;
n=ceil((b-a)/h);
xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1)';
lengthx=length(xx);
xx(1)=x0;yy(1)=y0;
for i =2:n+1
x=xx(i-1);y=yy(i-1);
k1=eval(fun);
x=xx(i);y=yy(i-1)+h*k1;
k2=eval(fun);
yy(i)=yy(i-1)+h/2*(k1+k2);
end
Ys=dsolve('Dy=1/x^2-y^2','y(1)=0','x');
for i=1:lengthx
x=xx(i);
exacty(i)=eval(Ys);
end
YY=exacty';
yend=[xx,yy,YY]
p=plot(xx,yend(:,2),'k-o','LineWidth',1,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',4);
hold on;
pp=plot(xx,yend(:,3),'r-.+','LineWidth',0.8,...
'MarkerEdgeColor','r',...
'MarkerFaceColor','m',...
'MarkerSize',6);
legend([p,pp],'gjeula','jingquejie');
n=ceil((b-a)/h);
xx=linspace(a,b,n+1)'; yy=zeros(1,n+1)';
xx(1)=x0;yy(1)=y0;
四、注意事项
课后请认真完成实验报告,可以和同学一起研究学习，但坚决杜绝互相抄袭实验报告，发现作弊者实验成绩按零分处理并上报理学院学生工作办公室。
每位同学最后需要上交实验报告和实验指导任务书纸制文件各1份，并提交电子版存档。