湘教版解读-11认识三角形

生活中自行车很常见，是我们的一种重要交通工具。

你在这幅画中，除了发现圆的这个几何图形，还能发现哪种重要的几何图形? 知识点1 （知识详解，（1）三角形的定义：由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 叫做三角形.）（2）相关概念：如图1.1-1，①三角形的表示法：△ ABC ②三条边：AB AC BC ③三个顶点：A B 、C ；④三个内角：/ A / B为公共角的三角形是 ____________【分析】BE 的对角的顶点不在线段1.新课导读**认识三角形问题链接问题探究 2.教材解读三角形的概念（重点）/掌握）/C.【知识拓展】 通过三角形的定义可知， 三角形的特征有: ③首尾顺次连接. 【 教①三条线段; ②不在同一条直线上; 这是判定是否是三角形的标准. 材 栏请说出图中所tJT 的三和形，■W ■牛三柏，形 的£采边和1个内仰.（课本P4）【教材栏目答疑】△ ABD A ABC A D BC △ ABD 的边、角分别为线段 AB 线段AD 线段DB / ABD △ABC 的边、角分别为线段 AB AC CB 与/ A 、/ C 、/ CBA △ D BC的边、角分别为线段 DB DG CB 与/ C / CDB / CBD【新课导读点拨】三角形。

【例11如图1.1-2，在△ BCE 中, BE 的对角是 ,/ CBE 的对边是 ，以/ ABE 上,即该角的顶点是除 B 和E 之外的第三个字母；以图 1.1-图 1.1-/ A 为公共角的三角形必有一个字母是A,另外两个字母是 BCDEI 中任取两个字母，当然也要看这三个字母是否能构成三角形. 【解】/ ECB / E ;A AEC △ ABD △ ABC 【解题策略】按三角形的有关 概念来，注意/ A 可以是不同三角形的内角。

知识点2三角形的分类（/难点/掌握） （知识详解）按三角形中的最大内角与 90。

的大小关系分： 直角三角形 三角形锐角三角形钝角三角形 【知识拓展】 【探究交流】锐角三角形与钝角三角形可以合称为斜三角形。

有没有新的分类方法？ 【点拨】有。

可以按边分类：三角形等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 。

C 等边三角形 （1）已知一个三角形的三个内角分别为 35 ° , 55° 和 90°; （2）已知一个三角形的二个内角分别为 35 ° , 105 O（3）已知一个三角形的三个内角分别是 80°、50° 和50° 【分析】找出 三角形中的最大内角再与 90° 的大 小比。

【解】（1）直角三角形，（2）钝角三角形， (3) 锐角三角形【例2】下列三角形分别是什么三角形: 【规律•方法】 仔细分析三角形中角所具备的特征， 大小比。

知识点3 三角形的三边关系（重点、难点） （知识详解）三角形任意两边之和大于第三边。

【知识拓展】（1）这里的“两边”指的是任意两边. 最短”的具体运用. 边“【/规律方法小结】判断三条线段能否组成三角形，判断时可以检查是否任意两边之和大于 第三边，也可以检查较小的两边的和是否大于第三边； 而较简洁的是：若两条较短的线段长 度这个大于第三边，则这三条线段可以组成三角形，反之，则不能组成三角形. 找出三角形中的最大内角再与 90°的三角形的三边关系是“两点之间，线段 （2）由“三角形两边的和大于第三边”可得“三角形两边的差小于第三 【教材栏目答疑】“问题:（课本P5）【答疑】三角形任意两边之差小于第三边 【例3】下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗(1) 5cm, 8cm, 2cm (2) 5cm, 8cm, 13cm (3) 5cm, 8cm, 5cm【分析】只要比较两较短线段之和与最长线的大小即可.【解】(1)v 5 + 2 = 7< 8 ，不满足两边之和大于第三边.••不能摆成三角形 (2 )••• 5 + 8 = 13=13 ，出现两边之和等于第三边的情况.••不能摆成三角形 (3)••• 5 +5= 10>8，两较小边之和大于第三边，.••能摆成三角形【规律•方法】 三角形第三边的取值范围是 ：两边之差 <第三边 <两边之和 知识点4三角形的角平分线、中线和 高(重点/难点/掌握 (知识详解)1. 如图1.1-3图1，从△ABC 的顶点A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D 所得 线段AD叫做△ ABC 勺边BC 上的高.2. 如图1.1-3图2,连接△ ABC 的顶点A 和它所对的边 BC 的中点D,所得线段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的中线.图 1.1-3边是相交的.这个角的顶点与交点之间的线段 才是这个内角的平分线.即三角形的角平分线.④图1.1-43.如图 1.1-3 的角平分线.【知识拓图3,画/A 的平分线AD 交/A 所对的边BC 于点D,所得线段AD 叫做△ ABC(1)三角形的角平分线与一个角的平分线不同 .一个内角的角平分线与它的对 (2)三角形的角平分线、中线、高是线段；(3)三角形的角平分线与中线、高都有三条，且它们交于一点，三角形的角平分线与中线 的交点在形内，而三角形的高交点有三种可能： 锐角三角形的三条高都在三角形内，于一点(图1.1-4图 (图1.1-4 图 1.1-4 图 5)角边 (图 3) 4) 且相交 .直角三角形有一条高在三角形的内部， 而另两条高恰是它的两条直.钝角三角形有三条高，一条高在三角形内，另两条高在三角形外图1图3C【规律方法小结】 [X {H 用 ft 尺甘别作锐角摘卅肝C |'皿 H 形DFF fflFG/fj他形陀尺的各边1M 鬧说・a/'、 —\I 第;*題）（2）观累你所作側旳自比较三个三菊形屮 必惮酗j 位.尸 角®的娄哩何什么关系？/■(?（课本P8）【答疑】见【知识拓展】第 3点。

【教材栏目答疑】帕圏I-•成口氏尸彷别是厶血「的总边 W'I'/t£ 求心DEF 的廊悭你可LH 这样帝虑，（1） 连结山匡心「的仰枳昱多■V.F （2） 山第（门题*価能求HlAECFl 的血积吗？ 山ADF 和典DRE 的曲i 积呢勺ftZ<\ zW ：.（课本P9）【答疑】（1） △ AEC 面积等于EC 乘以EC 上的高再除以2，而EC 是BC 的一半，△ AEC 的高 等于△ ABC 的高，则△ AEC 面积等于^ ABC 面积的一半（2）同理得△ FEC 面积等于^ AEC 面积的一半，等于△ ABC 面积的四分之一ADF 面积等 于^ ADC 面积的一半， 面积的四分之一。

【例4】如图1.1-5 , 三角形个数为（A. 3个等于△ ABC 面积的四分之一。

△ DBE 等于△ ABE 面积的一半，等于△ ABC 在^ ABC 中, D 是BC 边上的任意一点，AH L BC 于 H 。

图中以AH 为高的 ）B. 4个C. 5个D. 6个【分析1 AH 可看作点A 到直线BC 的垂线段，因此 A 、H 表示的点必然一个是三角形的顶点， 另一个是垂足。

显然点 A 是三角形的顶点，另外两个字母是可从“ B D 、H C ”中任取两个 字母，所以以 AH 为高的三角形可以是△ ABD △ ABH △ ABC △ ADH △ ADC △ AHC 【解1 D【解题策略/ 1按高的概念来，并有条理地寻找三角形！ 这里可从左向右看或按字母看组成！ 【例51如图1.1-6 , AD 是三角形的中线，现把三角形△ ADC 沿 AD 翻折，得△ ADC ，它和 △ ABD 交于点£,则^ AC E 和^ BED 的面积之比为 ______________【分析1本题没有数值，似乎很难算。

观察： AD 是^ ABC 的中线，则S AABD = S A ACDo 又△ ADC沿AD 翻折得△ ADC ,则它的面积不变，而要研究的两个三角形有重叠部分， 则它们同减去一个相同的部分，剩下的面积仍相等。

【解1得^ AC E 和^ BED 的面积之比为1: 1。

【解题策略1运用中线，得到等底同高的一些三角形，再由操作得到图形面积上的一些性质。

3.典例剖析基本知识题类型1运用三角形的概念解题。

【例61 )如图1.1-7 , ( 1 )图中有 为:图 1.1-7【分析】按三角形的概念【解1 (1) 3;A ABC △ ACD A CDB. (2) a ； b ; AB.个三角形；这几个三角形分别表示(2)在^ ABC 中,/ A 的对边是 ;/B 的对边是;/ ACB 勺对边是解决。

图 1.1-【解题策略】三角形的个数一定要注意要有顺序的去数，做到不重不漏 类型2判断三条线段是否构成三角形。

【例7】下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？.(1) 5c m 8c m 2cm ； (2) 5c m 8c m 13c m (3) 5cm, 8c m 5c m 【分析】用两边之和大于第三边来解。

【解】(1)v 5+ 2 = 7< 8 ,不满足两边之和大于第三边.••不能摆成三角形.(2 )••• 5+ 8= 13 = 13,出现两边之和等于第三边的情况.••不能摆成三角形 . (3)v 5+ 5 = 10>8,两较小边之和大于第三边，•能摆成三角形.【解题策略】如果三条线段长能够构成三角形， 则任意两边之和大于第三边，但是当两条较 短线段长之和大于第三边的话，那么另外两组不等式也是成立的. 类型3三条重要线段的考查【例8】如图1.1-8所示， 论不正确的是( )•••/ DAF =1/ DAC •选项 B 正确；•••/ EAF=/ EAD+/ DAF =21 / BAD+1 / DAC=^ CAB.二选项 A 正确；排除 A 、B 、D.故选 C.2 2【解】C【解题策略】按角平分线定义解题【例9】如图1.1-9所示，能说明 AD 是△ ABC 的中线的条件的有()①点D 是BC 的中点；②BD=CD;③BD=1BC;④BC=2CD.2已知AE 是^ ABD 的角平分线，AF 是^ ACD 的角平分线，则下列结 A. / EAF=1 / CAB2B. / DAF =丄 / DAC2C. / DAF=1/ EAF2D./ EAD= 1/ BAD2••• AE 是^ ABD 的角平分线, •••/ EAD= 1/ BAD 「•选项 D 正确；••• AF 是^ ACD 的角2平分线, C【分A.1个B.2 个C.3 个D.4 个【分析】由于线段AD 的一个端点A 是^ ABC 的一个顶点，①、②、③、④中的条件均可判 断点D 是边BC 的中点.,所以①、②、③、④中的条件均可说明 AD 是△ ABC 的中线，故选D.【解】D.【解题策略】 判断AD 是否是△ ABC 的中线，关键是判断点 D 是否是边BC 的中点.如果点D是边BC 的中点，贝U AD 是^ ABC 的中线，否则 AD 不是△ ABC 的中线. 综合应用题类型4三角形三边关系的应用技巧【例10】（如图1.1-10，在开阔地带有四个村庄 A B 、C D 饮水困难，现准备一水泵厂, 向这四个村庄同时送水，问该水厂建在何处，所需水管最短？请说明理由.图 1.1-10【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边.【解】水泵厂建在线段 AB CD 的交点处，理由如下，如图：令 O的一点 M,连接 MA MB MC MD 三角形三边关系有 MA+MB+MC+MD>AB+CD 取 AB CD 交点O 处所需水管最短.【解题策略】 本题也可以根据“两点之间，线段最短.”作出解答.【例11】已知△ ABC 三边分别为a 、b 、c,C C 化简：l a — b — c I + |b — c — a I + |c — a — b I【分析】 要化简 |a — b — c I + |b — c — a I + |c — a — b I ，需要知道 a — b — c 、b —c — a 、 c — a — b 是正数还是负数，然后根据绝对值的性质进行化简.【解】••• a < b + c , b <c + a , c < a + b•••I a — b — c I + I b — c — a I + I c — a — b I =— (a — b — c ) — (b —c — a ) — (c — a —b )【解题策略】 —C 、b —c — a 、c — a — b 、a +b + c 、a + b — c 、a — b + c 、类型5角平分线的判别【例12】如图1.1-11 , AD 是△ ABC 的角平分线，DE// AB, DF// AC, EF 交AD 于点O.请问: DO 是△ DEF 的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.D.4AB CD 交于点O,另取异于 MA+MB>AB MC+MD>CD 所以a +b +c — b + c + a — c + a + b = a +b + c利用三角形两边之和大于第三边以及三角形周长的概念，我们容易判断b +c — a 的正负性.a — b图 1.1-图1.1-13 ( 2)【规律-方法】等。