2第二课时4.1.1(2)分数指数幂教学设计教案
分数指数幂教案
分数指数幂一、 教学目标1、 知识与技能目标（1） 掌握分数指数幂的含义；（2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.3、 情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.二、 教学重难点1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化.三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程1、 复习引入(1) n 次方根一般地，如果*(,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根.练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ；③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 .(2)n 次根式*,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中na =；当n a =；当n ||a =.练习：①4= ；3= ；5= ；= = = .2、 新课内容22==，102522=1052=；53==，155333=1533=；3a ==，1234a a =124a =.（0a >）通过计算并观察能得到什么结论？m na =其中0a >且*,1n N n ∈>.(1) 引出正分数指数幂的含义：规定：m na=*,,1n m N n ∈>，①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0.练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；344= ；问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢？即m na -=？.回忆：初中学过的负整数指数幂1(0)mm aa a-=≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m naa -=≠）. 练习：32a-= ；122-= ；23(3)--= ； 23(3)--= ；（3）知识巩固例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的m 和n ,再逆向进行形式的转化.解：①3,2n m ==23x =；②3,4n m ==43a =； ③5,3n m ==35a -=；④5,7n m ==753-=.练习1：66P 1题，2题3、小结（1）理解分数指数幂的含义（2）熟练掌握分数指数幂与根式之间的互化五、 作业布置：71P 1题，2题六、 教学反思我认为本节课直接将知识呈现于学生，他们可能会更易接受，但失去了探索知识的过程，且不能启发学生对问题的思考，而由特殊到一般要分几种情况，同学们易混乱。
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时 根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I ）复习回顾引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n nn b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。
结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
分数指数幂课程设计二
分数指数幂课程设计二。
一、教学大纲1.分数指数的概念（1）分数指数的定义：正实数的分数指数幂是指一个正实数的幂次方的指数是一个分数。
（2）分数指数的含义：分数指数表示的是指数为分数时，底数的幂次方需要根号或分数幂次方来表示。
如2的1/2次方表示为根号下2，2的1/3次方表示为2的开3次方。
（3）分数指数与整数指数的联系：整数指数是分数指数的特殊情况。
当指数为自然数时，分数指数的定义就是整数指数的拓展。
2.分数指数的性质（1）分数指数的加减法：分数指数的加减法可以用指数乘法公式进行推导。
如：a^(b+c)=a^b * a^ca^(b-c)=a^b / a^c（2）分数指数的乘除法：分数指数的乘除法需要用到指数运算法则和根号的概念。
如：a^(b*c)=(a^b)^ca^(b/c)=c√a^b（3）分数指数的零次幂和负次幂：分数指数的零次幂等于1，分数指数的负次幂可以用整数指数的规律进行推导。
a^0=1a^(-n)=1/a^n, (a不等于0)（4）分数指数与根号的关系：分数指数可以使用根号来表示。
二、教学策略1.针对分数指数概念的教学策略（1）引导学生理解分数指数的概念：可以通过实际应用来引导学生去理解分数指数的概念，如温度的变化规律以及物体的增长规律。
（2）梳理分数指数概念的难点：针对学生理解分数指数概念的难点，可以利用多媒体课件、数据分析软件、教学视频等教学资源。
（3）给予学生分数指数各类例题的练习：通过让学生多做几个分数指数的例题，可以让学生更加清晰分数指数的概念与性质。
2.针对分数指数性质的教学策略（1）强调分数指数的运算法则：可以通过多个例子引导学生去理解分数指数的运算法则，让学生能够更加清晰分数指数的乘除和加减法。
（2）引导学生树立自主思考的意识：在教学过程中，需要引导学生养成自主思考的习惯，让学生能够根据已经学习到的基本知识，去发掘新的知识点。
（3）引导学生发现分数指数的特殊性质：通过引导学生去发现分数指数的特殊性质，可以让学生通过掌握少量分数指数的性质，就能够快速掌握分数指数的运算法则。
分数指数幂(2)教案 苏教版必修1
分数指数幂（2）教案苏教版必修1 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址3.1.1 分数指数幂（2）教学目标：．理解正数的分数指数幂的含义，了解正数的实数指数幂的意义；2．掌握有理数指数幂的运算性质，会进行根式与分数指数幂的相互转化，灵活运用乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．教学重点：分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．教学难点：分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．教学过程：一、情景设置．复习回顾：说出下列各式的意义，并说出其结果（1）（2）（3）（4）2．情境问题：将25，24推广到一般情况有：（1）当m为偶数时，；（2）当m为n的倍数时，．如果将表示成2s的形式，s的最合适的数值是多少呢？二、数学建构．正数的正分数指数幂的意义：（）2．正数的负分数指数幂的意义：（）3．有理数指数幂的运算法则：，，三、数学应用（一）例题：．求值：（1）；（2）；（3）（4）2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中a＞0）（1）；（2）；（3）（4）小结：有理数指数幂的运算性质．3．化简：；4．化简：（1）（2）．5．已知求的值．（二）练习：化简下列各式：．；2．；3．4．当时，求的值四、小结：．分数指数幂的意义；2．有理数指数幂的运算性质；3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂．五、作业：课本P63习题3.1（1）2，4，5．。
分数指数幂教案
2.1.1第二课时分数指数幂教案【教学目标】1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.【教学重难点】教学重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质.（3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.教学难点：（1）分数指数幂概念的理解（2）有理数指数幂性质的灵活应用.【教学过程】1、导入新课同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂2、新知探究提出问题（1）整数指数幂的运算性质是什么？（2）观察以下式子，并总结出规律：0a>1025a a===；842a a===；1234a a===；1052a a===.（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？*(0,,,x m n N>∈且n>1)(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)nma a m n N n=>∈>.提出问题（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？（2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？（4） 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？（5） 分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么样的后果？（6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明0a >的必要性，教师及时作出评价.讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、应用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81-- 点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.320)a a a>点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.变式训练求值：（1）（24、拓展提升已知11223,a a+=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a aa a a aa a-----++-点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值5、课堂小结（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)nma a m n N n=>∈>，正数的负分数指数幂的意义是*10,,,1),nmnma a m n N na-==>∈>零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.（3） 有理数指数幂的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈【板书设计】一、分数指数幂二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题2.1A 组 2、4.。
《分数指数幂》教学设计
教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。
（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。
（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。
〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。
教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。
例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。
当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。
设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。
人教版高中数学教案-分数指数幂
2. 1.1第二課時分數指數冪教案【教學目標】1.通過與初中所學知識進行類比，理解分數指數冪的概念進而學習指數冪的性質.2.掌握分數指數冪和根式的互化，掌握分數指數冪的運算性質培養學生觀察分析、抽象類別比的能力3.能熟練地運用有理數指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.【教學重難點】教學重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質.（3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.教學難點：（1）分數指數冪概念的理解（2）有理數指數冪性質的靈活應用.【教學過程】1、導入新課同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那麼整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題—分數指數冪2、新知探究提出問題（1）整數指數冪的運算性質是什麼？a>（2）觀察以下式子，並總結出規律：01051025525===；a a a a()884242===；()a a a a③1212344434()a a a a ===； ④1010522252()aa a a ===.（3） 利用（2）的規律，你能表示下列式子嗎？435,57a ，n m x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意義來解釋（3）的式子嗎？（5）你能推廣到一般情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比（2）的規律表示，借鑒（2）（3），我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他同學鼓勵提示.討論結果：形式變了，本質沒變，方根的結果和分數指數冪是相通的.綜上我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：規定：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n nm ma a a m n N n =>∈>.提出問題（1） 負整數指數冪的意義是怎麼規定的？ （2） 你能得出負分數指數冪的意義嗎？（3） 你認為應該怎樣規定零的分數指數冪的意義？ （4） 綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？（5） 分數指數冪的意義中，為什麼規定0a >，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？ （6） 既然指數的概念從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？活動：學生回顧初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明0a >的必要性，教師及時作出評價.討論結果：有了人為的規定後指數的概念就從整數推廣到了有理數.有理數指數冪的運算性質如下：對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、應用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--點評：本題主要考察冪值運算，要按規定來解.要轉化為指數運算而不是轉化為根式. 例2 用分數指數冪的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算.對結果不強求統一用什麼形式但不能不倫不類.變式訓練求值：（1）363333••； （2）346627()125mn4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-點評:：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值5、課堂小結 （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>，正數的負分數指數冪的意義是*1(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義. （2） 規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. （3）有理數指數冪的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈ 【板書設計】 一、分數指數冪 二、例題 例1 變式1 例2 變式2【作業佈置】課本習題2.1A 組 2、4.2.1.1-2分數指數冪課前預習學案一． 預習目標 1. 通過自己預習進一步理解分數指數冪的概念 2.能簡單理解分數指數冪的性質及運算二． 預習內容１．正整數指數冪：一個非零實數的零次冪的意義是： ． 負整數指數冪的意義是： ．２．分數指數冪：正數的正分數指數冪的意義是： ．正數的負分數指數冪的意義是： ． ０的正分數指數冪的意義是： ．０的負分數指數冪的意義是： ．３．有理指數冪的運算性質：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那麼rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的運算，可以先把根式化成分數指數冪，然後利用 的運算性質進行運算．三． 提出疑惑通過自己的預習你還有哪些疑惑請寫在下面的橫線上課內探究學案一． 學習目標 1. 理解分數指數冪的概念2.掌握有理數指數冪的運算性質，並能初步運用性質進行化簡或求值學習重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質. （3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.學習難點：（1）分數指數冪概念的理解 （2）有理數指數冪性質的靈活應用.二． 學習過程 探究一１．若0a >，且,m n 為整數，則下列各式中正確的是 （ ） A 、mmnna a a ÷= B 、mn m n aa a = C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0，下列不等式中正確的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意義，則ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比較a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三個數的大小關係是________． 探究二例１：化簡下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常數）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=，求aa aaxxx x --++33的值．三． 當堂檢測１．下列各式中正確的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．aa 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等於（ ） A 、16aB 、8a C 、4a D 、2a３．下列互化中正確的是（ ）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yx Ｄ．331x x-=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,則b b a a --的值等於（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意義的ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１課後練習與提高１．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b aab=，ｂ＝９ａ，則ａ等於（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１，則x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈則)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()nx x 21++的值．。
高中数学分数指数幂教案(二)新课标 人教版 必修1(B)
分数指数幂(二)三维目标 一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）①532=________；②481=________；③102=________；④3123=________.生：①2 ②3 ③25 ④34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？ （组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）102=25=2210，3123=34=3312.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？ （生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：32a ，b ，45c 等通过类比可以写成什么形式？说明了什么问题?生：a 32，b 21，c 45.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式. 师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =nm a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为a －n =n a1（a ≠0，n ∈N *）. 师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：anm -=nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？ （组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31和（－1）62应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）31=31-=－1；（－1）62=62)1(-=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子32a =a 32（a ＞0）中，若无a ＞0这个条件，32a =|a |32；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，53)2(-=－532=－253.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上. （二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质：①a r a s =a r +s （a ＞0，r 、s ∈Q ）； ②（a r ）s =a rs （a ＞0，r 、s ∈Q ）； ③（ab ）r =a r b r （a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. （三）例题讲解【例1】 求值：832；2521-；（21）－5；（8116）43-.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写）解：832=（23）32=23×32=22=4；2521-=（52）21-=5)21(2-⨯=5－1=51； （21）－5=（2－1）－5=25=32； （8116）43-=（32）)43(4-⨯=（32）－3=827.【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）：a 3·a ；a 2·32a ；3a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤） 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27； a 2·32a =a 2·a 32=a322+=a 38；3a =（a ·a 31）21=（a 34）21=a 32.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）： （1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）； （2）（m 41n83-）8.解：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）=［2×（－6）÷（－3）］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a ；（2）（m 41n83-）8=（m41）8（n83-）8=m 2n －3=32n m . 【例4】 计算下列各式： （1）（325－125）÷425；（2）322aa a ⋅（a ＞0）.解：（1）（325－125）÷425=（532－523）÷521=532÷521－523÷521=52132-－52123-=561－5=65－5；（2）322a a a ⋅=32212a a a ⋅=a 32212--=a 65=65a .三、巩固练习课本P 63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程） 解：1.a 21=a ；a 43=43a ；a53-=531a；a32-=321a.2.（1）32x =x 32；（2）43)(b a +=（a +b ）43；（3）32)(n m -=（m －n ）32； （4）4)(n m -=（m －n ）24=（m －n ）2； （5）56q p =（p 6q 5）21=p216⨯q215⨯=|p |3q 25；（6）mm 3=m213-=m 25.3.（1）（4936）23=［（76）2］23=（76）3=343216；（2）23×35.1×612=2×321×（32）31×（22×3）61=231311+-×3613121++=2×3=6；（3）a 21a 41a83-=a834121-+=a 83（a ＞0）；（4）2x 31-（21x 31－2x 32）=2×21×x 3131+-－2×2×x )32(31-+-=x 0－4x －1=1－x4.四、课堂小结师：本节课你有哪些收获?能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =nm a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a nm =nm a1=nma1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则①a r a s=a r+s（a＞0，r、s∈Q）；②（a r）s=a rs（a＞0，r、s∈Q）；③（ab）r=a r b r（a＞0，b＞0，r、s∈Q）.五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。
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课题 4.1.1.（2）分数指数幂课型新授第几
课时
2
教材分析
本节内容是在前面n次根式的基础上讨论和研究。
分数上的指数幂的学习则在n次根式的学习的的基础上进行的拓展和延伸，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解根式这一基本概念，另一方面它又为接下来实数指数幂的运算法则的学习作必要的准备。
学情分析
1、现阶段的学生的运算能力较差。
2、学生在新知识的探究问题的能力稍有欠缺，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。
课时教学目标
1.理解分数指数幂的概念．
2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．
教学重点与难点教学重点：
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质
教学难点：
根式、分数指数幂进行互化．
教学
方法
与
手段
问题解决教学法
板书设计
4.1.1.（2）分数指数幂
1．整数指数幂的概念．
a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘)；
a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝1
a n (a ≠0，n ∈N +)．例1：
一、根式的性质
(1)(n a )n ＝a ．例2：
(2)当n 为奇数时，n a n ＝a ；
当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝{a （a ≥0）
－a （a ＜0）.小结：
二、分数指数幂a 1
n ＝n a (a ＞0)；
a m
n ＝n a m ＝(n a )m (a ＞0，m ，n ∈N +，且m
n 为既约分数)．
a －m n ＝1
a m n
(a ＞0，m ，n ∈N +，且m
n 为既约分数)．
作业设计
教材P74，练习4.1.1；1、2、3题
教学反思
本节课的是为让学生突破所学的根式，学会将一般的根式通过一定的方式方法转化为常用的分数指数幂的形式，从而能够达到用辩证的思维去看待不同的问题的目的，最终将有理指数幂推广到实数指数幂的形式。