§2.2 初边值问题的分离变量法

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由X ( l ) hX ( l ) 0得：
B( cos l h sin l ) 0
B 0 cos l h sin l 0
(2.9) (2.10) (2.11)
即，应满足： 令 v l
tan l h
则
v tan v lh
由边界条件(2.3)、(2.4)，得
X (0) 0, X ( l ) hX ( l ) 0
下面讨论固有值问题(2.6)、(2.7)：
（ⅰ）当 0 时，只有平凡解 X 0 ；
（ⅱ）当 0时，
X A cos x B sin x
(2.8)
由X (0) 0 得： A 0
X m X n )dx ( n m ) X m X n dx 0 0 ( X m X n 0
X m X n )dx (Xm Xn
0 l
l
l

Xm X n )dx ( X m Xn Xm Xn )dx 0 ( X m X n 0
T V V T a V T 2 V aT
2 2 T a T 0,
V V 0
x2 y2 l 2
Helmholts方程
代入边界条件, 得 V
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0
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V V 0 得偏微分方程固有值问题： (I) V x2 y2 l 2 0
J n() 有无穷多个正根，从小到大分别记为：
n) (m ( m 1,2,)
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为使 R l

0， 只需取
( n) m
l
( n) m
( m 1,2,) ， ，
2
( n) ( n) 相应的有， Rm (r ) J n ( m r ) l
2 2 R ( ) R ( ) ( n ) R( ) 0 2
可用幂级数解法, 得到原点处有界的解为
R( ) J n ( )
2
n
( 1) k 0 k !( n k )! 2
k
2k
(2.20) 0 ( m n) 0 sin m x sin n xdx M n 0 ( m n) (2.21)
l
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1 Ak Mk

0 ( x ) sin
0 () sin
l
l
k xdx
(2.22)
代入(2.18)得：
1 u( x , t ) k 1 M k k d e
¶ Ô È Î Ò à p 0¾ õ Ê Ç Ò » Ö Â Ê Õ Á ²
µ Ä ¡ £µ ± ( x ) Î ª Ó Ð ½ ç º ¯ Ê ý Ê ±£ ¬± í ´ ï Ê ½ (2.23)Ö Ð µ Ä ¼ ¶ Ê ý ¹ × Ó Ú
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3 当 0 时，方程的通解为 ○
A cos B sin ；
是周期为 2 只有当 n ， 即 n2 (n 1, 2, )时，
的函数
n An cos n Bn sin n ；
综上所述， n n2 ( n 0,1, 2, )是固有值问题 (II)的 固有值，相应的固有函数是
其中h为正常数。 分离变量法求解： 令 u( x, t ) X ( x )T (t ) 代入(2.1)，得： 即：
2
XT a 2 X T
T X 2 aT X
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T a 2T 0
(2.5) (2.6) (2.7)
X X 0
0
l
i .e ., sin m x sin n xdx 0 ( m n)
0
l
(2.20)
当m n k时 记M k X k dx
2 0
l
1 cos 2 k x M k sin k xdx dx 0 0 2 tan k l l sin 2 k l l l 2 4 k 2 2 k 1 tan 2 k l k tan k l h l h Mk 0 (2.21) 2 2 2( h k )
§2
初边值问题的 分离变量法
2015-3-6
1.一个空间变量的情形
ut a 2 u xx 0 ( t 0, 0 x l ), t 0 : u ( x ), x 0 : u 0, x l : u x hu 0, ( 2.1) ( 2.2) ( 2.3) ( 2.4)
(2.13)
可用图解法求解(2.13) :
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f
f tan v
求解( 2.13)得： v v k ( k 1,2) 且v k 满足
v2
O
v1

2
f
v lh
v
1 ( k ) v k k 2
从而(2.11)的解，即， (2.6)(2.7)的固有值为：
l
l
l
Xm Xn ) 0 (Xm Xn
X m ( l )( hX n ( l )) ( hX m ( l )) X n ( l ) 0
( n m ) X m X n dx 0
0
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l
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当m n时 ( n m ) 0 所以 X m X n dx 0
0
2 r R rR ( r ) R 0 2
由自然周期条件,得
( ) ( 2 )
0 下面求解固有值问题 (II) ( ) ( 2 )
1 当 0 时，方程没有非零周期解； ○ 2 当 0 时，方程的周期解为 A ； ○ 0 0
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3.混合问题古典解的存在性
Ó É Ó Ú ± í ´ ï Ê ½ (2.23)Ö Ð º ¬ Ó Ð Ò ò × Ó e µ ±t Ê ±£ ¬¼ ¶ Ê ý
a 2 k t
£ ¬Ò ò ´ Ë ¶ Ô È Î Ò à 0£ ¬
k 1

p k
e
a 2 k t
k 1 a 2 k t
sin k x
(2.18)
是满足泛定方程(2.1)及边界条件(2.3)、(2.4)的解。 为使(2.18)满足初始条件(2.2)，须成立：
( x ) Ak sin k x
k 1
(2.19)
由于固有函数系X k sin k x在[0, l ]上正交，即
n) 从而 (Ⅰ)的固有值为 (m ，相应的固有函数为
( n) U nm Rm ( r ) n () n) n) (m (m a nm J n ( r ) cos n bnm J n ( r ) sin n l l
将 代入T 的方程，得T
(n) m
( n) m
作极坐标变换 x Байду номын сангаас r cos , y r sin
1 1 Vrr r Vr r 2 V V 0, 0 r l ,0 2 V ( l , ) 0 (齐次边界条件) V (0, ) (自然边界条件) (自然周期条件) V ( r , ) V ( r , 2 )
a 2 k t
sin k x
(2.23)
固有函数系X k sin k x在[0, l ]上的正交性证明：
证明：
n X n 0 Xn m X m 0 Xm
(1) ( 2)
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用 X m , X n 分别乘以(1)、(2)式，相减后在[0, l ]上积分：
代入初始条件，得
n) n) (m (m a nm J n ( l r ) cos n bnm J n ( l r ) sin n ( r , ) n 0 m 1
(m j ) 0, l 2 r Jn( r) Jn( r ) dr l ( n) 0 l l J ( n 1 m ) 0, ( m j ) 2
l 2 l
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2.圆形区域上的热传导问题
u t a 2 ( uxx u yy ), x 2 y 2 l 2 , t 0 u( x , y ,0) ( x , y ) u 2 2 2 0 x y l (2.25)
解: 令 u( x , y, t ) T ( t )V ( x , y ), 代入方程, 得
图2.1
vk k l
2
( k 1,2,)
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相应的固有函数为：
vk X k Bk sin k x Bk sin x ( k 1,2,) l k时，T满足：T a 2 k T 0
(2.15)
解得：
n An cos n Bn sin n (n 0,1, 2, )
下面讨论R(r): 由自然边界条件和齐次边界条件,得
R(0) , R( l ) 0
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2 2 r R rR ( r )R 0 讨论固有值问题 (Ⅲ) R(0) , R( l ) 0 令 r , 并将 n2 代入方程得n阶Bessel方程
( n) m ( n) k