高考数学总复习 1-3 充分条件与必要条件但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 1-3 充分条件与必要条件但因为测试新人教B版1.(文)(2011·福建文，3)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)(2011·大纲全国文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[答案] A[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b∴a>b＋1是a>b的充分条件又∵a>b⇒a－b>0⇒／a>b＋1∴a>b＋1不是a>b的必要条件∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．[点评]如a＝2＝b，满足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2时，a2>b2，但a>b不成立；a>b⇔a3>b3.故B、C、D选项都不对．2．(2011·湖南湘西州联考)已知条件p：a<0，条件q：a2>a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由a2>a得，a<0或a>1.所以q是p成立的必要不充分条件，其逆否命题綈p也是綈q的必要不充分条件3．(文)(2011·聊城模拟)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]k＝1时，圆心O(0,0)到直线距离d＝12<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线距离d＝|k|2<1，∴－2<k<2，故选A.(理)(2011·通化模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是() A．－3<m<1 B．－4<m<2C．0<m<1 D．m<1[答案] C[解析] 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0，即2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m －2)2－4×2(m 2－1)>0，解得－3<m <1，只有C 选项符合要求．[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m <1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集． 4．(文)(2011·太原模考)“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.(理)(2011·沈阳二中月考)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θcos θ＝－2sin θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.5．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是3m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1.∴“m ＝－1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件．6．(文)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2011·海南五校联考)下列说法错误．．的是( ) A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 [答案] A[解析] ∵sin θ＝12⇒θ＝k ·360°＋30°，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，∴“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．故选A.7．(2010·江苏省南通市调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.[答案] －23[解析] x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔ 1·m ＋(m ＋1)·2＝0， 得m ＝－23.8．给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． ②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是{a n }为递增数列的充分不必要条件．③已知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件． ④“m >n ”是“(23)m <(23)n ”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ①②[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y 21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题； ④∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当m >n 时，⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，反之，当(23)m <⎝⎛⎭⎫23n 时，有m >n ，因此m >n ⇔⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，故④是假命题．9．(2011·济南三模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r的取值范围是________．[答案] (0，125][解析] 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r ≤125. 10．(2010·浙江温州十校联考)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1<5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.11.(文)(2011·湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝3.故是充分不必要条件． [点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于－1,1，2，－2}，∴应选A.(理)(2011·杭州二检)已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B. 12．(文)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，a ⊥α，b ⊥β，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bb ⊥β，∴a ∥β或a ⊂β，∵a ⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a ⊥b ，故选C.(理)(2011·山东济宁一模)已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6[答案] D[解析] 由x －1x≤0，得0<x ≤1；∵p 是q 的充分条件，设A ＝(0,1]，B 是不等式4x ＋2x －m ≤0的解集，则A ⊆B ， ∴当x ∈A 时，不等式4x ＋2x －m ≤0恒成立， 由4x ＋2x －m ≤0得，m ≥4x ＋2x ＝(2x ＋12)2－14，因为0<x ≤1，所以m ≥(2＋12)2－14＝6，即m ≥6.13．(文)(2011·福建质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 注意到z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．当a >12时，有a ＋2>0,1－2a <0，故点M 在第四象限；反过来，当点M 在第四象限时，有a ＋2>0且1－2a <0，由此解得a >12.所以“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件，故选C.(理)(2011·宁夏三市联考)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.14．(文)(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.(理)(2011·黑龙江铁岭六校第二次联考)命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}，命题Q ：在△ABC 中，A >B 是cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真[答案] A[解析] 由lg[x (1－x )＋1]>0，得x (1－x )＋1>1， 解得0<x <1，即命题p 正确； 由cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)得，1＋A ＋π22<1＋B ＋π22，化简得sin A >sin B .因为A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，即命题q 不正确．15．(2011·日照模拟)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)a ＝1时，p ：x 2－4x ＋3<0，即p ：1<x <3，q ：⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3x <－4或x >2，即q ：2<x ≤3， 由p ∧q 为真知，2<x <3.(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0， 若a <0，则3a <x <a ，不合题意； 若a >0，则a <x <3a ，由题意知，a,3a )，∴⎩⎨⎧a ≤23a >3，∴1<a ≤2.*16.(2011·蚌埠质检)设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围； (2)证明：当x >0时，1＋ln x x≤1.[解析] (1)显然函数定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝1x －p ＝1－px x.当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p ∈(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：↗↘从上表可以看出：当p >0时，有唯一的极大值点x ＝1p.当p >0时在x ＝1p 处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ，此极大值也是最大值， 要使f (x )≤0恒成立，只需f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ≤0，即p ≥1. ∴p 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1.由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取最大值，即f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. 故当x >0时，1＋ln xx≤1.1．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.2．(2010·山东聊城模拟)设不等式|2x －a |<2的解集为M ，则“0≤a ≤4”是“1∈M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 解绝对值不等式可得M ＝⎝⎛⎭⎫a －22，a ＋22，故0≤a ≤4时，不一定推出1∈M ，反之若1∈M ，则有⎩⎨⎧a －22<1a ＋22>1⇒0<a <4，故“0≤a ≤4”是“1∈M ”的必要但不充分条件．3．(2010·上海十三校联考)“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1－xx，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．4．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )[答案] C[解析] 直线x ＋y ＝0与直线x －a y ＝0垂直⇔1×1＋1×(－a )＝0⇔a ＝1. 5．(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4.6．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，所以可以推得A ∩B ＝{4}，反之，如果“A ∩B ＝{4}”可以推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．7．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， 又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0 故f (x )在点x 0处切线斜率为0 ∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值 ∴f (x )≥f (x 0)恒成立 故C 选项为假命题，选C. [点评] 可以用作差法比较．8．(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx ＋cx ，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx －x ，易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.9．(2011·山东济南一中阶段考试)给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”； ③“若x ∈R ，则x 2＋1≥1”的逆否命题是真命题； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件． 其中假命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] D[解析] 若“p 且q ”为假命题，则p 和q 中至少有一个为假命题，故①错；根据否命题的定义，易知②正确；因为原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故③正确；在△ABC 中，因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理asin A ＝bsin B，知sin A >sin B ，反之亦成立，故④正确．。