平面向量复习题教师版

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

专题11 平面向量(教师版)

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，221(3)1BC t =+-=u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即 22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u ur |>|BC uuu r |；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r>0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC u u ur |>|BC uuu r |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v 1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r . 故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【名师点睛】已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：几何表示坐标表示模|a |=⋅a a 2211x y =+a夹角cos θ⋅=⋅a ba b121222221122cos x x y y x y x y θ+++=⋅6．（2018年高考浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A 3 1 B 3C ．2 D ．23【答案】A【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离23=321，为√3−1.选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7．【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=o1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =.设()01DE tDC t =≤≤u u ur u u u r AE BE ⋅u u u r u u u r ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u v u u u v r u u u r u u u r u u u v=233322t t -+ ()01t ≤≤所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.8．【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 9．【2017年高考全国III 卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．2C 5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.10．【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．11．【2017年高考北京卷理数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.12．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为25=c a b ，0⋅=a b ，所以225⋅=⋅a c a a b 2=，222||4||55||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,3,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则3,0)B ，535)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为33y x =. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =1y =-，所以3,1)E -.所以35)3,1)12BD AE =-=-u u u r u u u rg g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.14．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．3【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，得2213,22AB AC =u u u r u u u r 即3,AB =u u u r u u r 故3ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；25【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-，所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max242025y =+==故答案为0；25【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.16．【2018年高考全国III 卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.17．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．18．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.19．【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|123+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，12，OA u u u r与OCu u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720n m +=⎪⎪⎨⎪=⎪，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考天津卷理】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．22．【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则123-e e 12λ+e e实数的值是___________．【答案】33【解析】∵221212112122(3)()333λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e e e e ，222121211223|(3)3232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，2222212121122||()21λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e22321cos601λλλ=+︒=+3λ=【名师点睛】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：. （2）由向量的数量积的性质有||=⋅a a a cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求解.23．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b则54cos 54cos θθ++-=+-a b a b 令54cos 54cos y θθ=+-[]221022516cos 16,20y θ=+-，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=+a b a bλ∴θ0180θ︒≤≤︒λ54cosθ-能力有一定的要求．。

专题16 平面向量(选填压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题16 平面向量（选填压轴题）目录①向量模问题（定值，最值，范围） (1)②向量数量积（定值，最值，范围） (12)③向量夹角（定值，最值，范围） (21)④向量的其它问题 (27)①向量模问题（定值，最值，范围）A ．314B ．132【答案】C【详解】在ABC V 中，由BAC ∠=4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O 为坐标原点，0PA PC ⋅=，则O P 的最大值为（）A ．2B ．31+C ．2【答案】D【详解】因为2O C ≤，所以点C 在圆22:4O x y +=的内部或圆周上，又动点P 满足0PA PC ⋅=，当点C 在圆O 内时，延长AC 交圆则,,M A M P O N A D A M A =⊥<当点C 在圆O 上时，,M N 两点重合，所以AM AN ≤，当且仅当点C 在圆则O P O M M P O M A M ≤+=+因为O M A M O N M N A +≤++222||||||4ON AN OA +==，所以(,)c x y =的终点在以32⎛ ⎝所以1|2|22a c a c -=-，几何意义为由儿何意义可知22a c -=设OC c = ，则,C A a c C B =- 所以C 点在以AB 为直径的圆上运动，由2352c a c =⋅- ，得23()4c a - 因此O C 的终点C 在以点D 直线l ，于是c tb - 是圆D 上的点与直线所以min2c tbEF DE -==-=12．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量则b的最小值是【答案】5【详解】AC a = ，AD b =，AB c = )()0a c a ⋅-=r r r ，即CD CB ⋅=uu u r uu r 的中点O ，则有1122OC BD ==2b c +r r，根据三角形的三边关系可知不妨设(1,0),,e OE a OA b OB====，由π,6a e =知，点A 在直线3(3y x x =>由题意π,456b b e e --= ，可知4,5b e b e --记(4,0)C ，(5,0)D ，则π,6BC BD =，②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线B DA ．316-B ．-【答案】B【详解】由已知，2BA = ，所以cos BA BC BA BC ⋅=∠由ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以1sin2bc 所以2()4bc b c bc =+≥，则16bc ≥π1A ．32-【答案】CA．-2B．【答案】B=【详解】由题意，A B A D ===，所以22BC DC BD∠=∠，即AC 所以ACB ACD7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则A．(22,422)-+-C．(2,4)【答案】A【详解】正八边形ABCDEFGHGF=，设OF x=，由余弦定理得，2△中，222OFG+-x x11．（2023春·山东淄博·高一统考期末）圆C ，D ，且2OC OD ⋅= ，则【答案】846+/468+【详解】因为点,C D 在圆O由三角函数定义知(2cos C 则(22cos ,22CA θ=--于是(22cos CA CB θ⋅=- 同理442sin (DA DB θ-⋅=设a MA =，b MB = ，c 若对任意实数x ，y 都有|则B ，C 在以M A 为直径的圆上，过b MB =在OD 上的射影最长为()b c a b AC DE ⋅-=⋅=⋅【答案】2【详解】设AG ADAE mAB λ⎧=⎪⎪=⎨，由向量共线的充要条件不妨设③向量夹角（定值，最值，范围）12OQ BQ BO BC BC μ=-=-= (cos 1OC OA OC OQ AOC OC OA ⋅⋅∠==④向量的其它问题1．（2023·北京西城·统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【详解】每次跳跃的路径对应的向量为()()()()()()()()111122223,4,4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5a b c d a b c d =====--=--=-=-u r u r u r u r u u r u r u r u u r，因为求跳跃次数的最小值，则只取()()()()11113,4,4,3,5,0,0,5a b c d ====u r u r u r u r，设对应的跳跃次数分别为a b c d ,,,，其中,,,a b c d ∈N ，可得()()1111345,43533,33OQ aa bb cc dd a b c a b d =+++=++++=u u u r u r u r u r u r故选：B．3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在4．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知2a b λ+ 与3a b λ+的夹角是锐角，则【答案】()(,61,-∞-- ()(6．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）的中点，直线A E 和直线C【答案】2【详解】记BA BG BA= ，BH =因为1BG BH ==，则平行四边形因为A 、E 、F 三点共线，则使得AF AE λ= ，即BF BA λ-= 因为E 为B C 的中点，所以，BF。

平面向量习题课(教师)

平面向量习题课1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 平行的单位向量为________．解：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭2．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM |＝12|BC |＝2. 答案：24．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝________.解：a |a |和b|b |分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p |＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 35．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶2EX ：设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝_____. 解：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S△APD S△ABC＝12×15＝110.答案：1106．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解：分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使得AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S △ABM S△ABC＝BM BC ＝14.7．若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．解：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35. 答案：358．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．解：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ，即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5.答案：459．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ＝2GO ，若CD ∥AG ，且AD＝15AB ＋λAC (λ∈R )，则实数λ的值为________．解：法一：因为AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BO ＝AB ＋23(AO －AB )＝13AB ＋23AO ＝13AB ＋13AC ，CD ＝AD －AC ＝15AB ＋(λ－1)AC ，又因为CD ∥AG ，所以λ－1＝15，即λ＝65.法二：不妨设CD ＝m AG ，则有AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋m AG ＝AC ＋m (AO ＋OG )＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ＋13 OB ＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC －13 BO ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12( BA ＋BC ) ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12(BA ＋AC －AB ) ＝m ＋33AC ＋m3AB .又AD ＝15AB ＋λAC ，所以m 3＝15，从而m ＝35，所以λ＝m ＋33＝65. 答案：6510．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________________. 解：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0，又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c )BC ＋(4b －5c )CA ＝0，从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0，故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶1211．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －1312．如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且m ＋4n ＝1，则|MN |的最小值为________．解：法一：由于M ，N 是EF ，BC 的中点，AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，m ＋4n ＝1，所以AN ＝12AB ＋12AC ，AM ＝12AE ＋12AF ＝m 2AB ＋n 2AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2n AB ＋n 2AC ，所以MN ＝AN －AM ＝2n AB ＋1－n 2AC .而AB ·AC ＝1×1×cos 120°＝－12，所以||MN ＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.法二：以点N 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线NA 为y 轴建立平面直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，A ＝120°，得N (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以AF ＝n AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ，AE ＝m AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，－12m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n －12(由于m ＋4n ＝1)，从而点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n ，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ＋12，线段EF 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －34，34n ＋14，所以||MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋142＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .14．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．15．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.解：(1)因为|a|＝cos2(λθ)＋cos2[(10－λ)θ]，|b|＝sin2[(10－λ)θ]＋sin2(λθ)，所以|a|2＋|b|2＝2.(2)因为a⊥b，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ10，k∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sinλπ20－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sinλπ20－sinλπ20·cosλπ20＝0，所以a∥b.16．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE＝m AB，AF＝n AC，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN . 设AM ＝λAN (λ∈R )，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )，所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )．因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n .(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m )AB ＋12(1－n )AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m )AB ＋12m AC ，所以|MN |2＝14(1－m )22AB ＋14m 22AC ＋12(1－m )m ·AB ·AC ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，故当m ＝12时，|MN |min ＝34.17．如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC ＋OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，当t ＝22时，其最小值为12，即|OC ＋OD |的最小值为22.(2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤3π2，因为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12所以CE ＝OE －OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12－(cos α，sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α，－12－sin α. DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，故CE ·DE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－22，14＋22.18．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎨⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α，故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α(2cos α＋sin α)2.因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数．所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12，所以(λ＋μ)min ＝12.。

平面向量复习题及答案

ABCDE F例题讲解1、(易向量的概念)下列命题中,正确的是( )A.若a b ,则a 与b 的方向相同或相反B.若a b ,b c ,则a cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a =b ,b =c ,则a =c . 2、(易线性表示)已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足12OB OA OC 33=+,则|AB |:|BC |=( )A.3:1B.1:3C.2:1D.1:23、(易坐标运算)已知向量a = (1,3),b = (3,n ),若2a –b 与b 共线,则实数n 的值是( ) A.6B.9C.323+D 323-4、(易向量的概念)向量(4,5)AB =-按向量(1,2)a =平移后得向量A B '',则A B ''的坐标为( )A.(4,5)-B.(5,3)-C.(1,2)D.(3,7)- 5、(中线性表示)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点, F 是EC 的中点,若AB =a ,AC =b ,则AF =( )A.1344+a bB.1344-a bC.1788+a bD.1788-a b 6、(中坐标运算)若函数()cos21f x x =+的图象按向量a 平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a 可以是( )A.(,1)4π-B.(,1)2π-C.(,1)4π D.(0,1)二、填空题:共3小题7、(易线性表示)设,a b 是两个不共线的非零向量,若向量2k +a b 与8k +a b 的方向相反,则k =8、(易线性运算)若=+a b c ,化简3(2)2(3)2()+-+-+=a b b c a b9、(中坐标运算)已知正△ABC 的边长为1 ,则23BC CA AB ++等于检测题1、(易线性运算)已知非零向量,a b 满足a =λ,b b =λa (R λ∈),则λ= ( ) A.1- B.1± C.0 D.02、(易向量不等式)设,a b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是 ( )A.+≤+a b a bB.-≤+a b a bC.-≤+a b a bD.≤+a a b 3、(中坐标运算)已知a =(3,1)-,b =(1,2)-,(2)-+a b (+a k )b ,则实数k 的值是 ( )A.53B.2511 C.12- D.17- 4、(中坐标运算)已知平面向量=a (,1)x ,=b 2(,)x x -,则向量+a b ( ). A.平行于第一、三象限的角平分线 B.平行于y 轴 C.平行于第二、四象限的角平分线 D.平行于x 轴5、(中坐标运算)将二次函数2y x =的图象按向量a 平移后,得到的图象与一次函数25y x =-的图象只有一个公共点(3,1),则向量=a ( )A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)6. 如图,在正六边形ABCDEF 中,已知AC =c ,AD =d ,则AE = (用c 与d 表示).巩固练习1. 若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+,1232b e e =-+，则a b ⋅=（ C ） A .1 B . 4- C . 72- D .722. 设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （） A.(15,12)- B.0 C.3- D.11- 答案 C3. 在ABC ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（）A ．22B ．42 C ．23 D ．2答案A4. 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为（）A ．10B ．20C ．－10D ．205. 已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅（5）222q )(p q p ⋅=⋅其中真命题的个数是（）A ．0 B ．1 C ．2 D ．36. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA OB CO ++=0,则△ABC 的内角A 等于（） A.30 B.60 C.90 D.1207. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（）A ．1142+a bB ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 答案 B8. 已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π答案 C9. 在平行四边形ABCD 中，若BC BA BC AB +=+，则必有( ) A.ABCD 是菱形 B.ABCD 是矩形 C.ABCD 是正方形 D.以上皆错10.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 二.填空题11. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则⋅+⋅+⋅的值等于 . 答案－2512. 设p = (2,7)，q = (x ,-3)，若p 与q 的夹角)2,0[πθ∈，则x 的取值范围是13. 若平面向量a ，b 1=+，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a .答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析 )0,1(=+b a 或)0,1(-，则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a .14. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值是________。

平面向量专题(优秀经典专题梳理练习及答案详解)

n＝－1.
7、设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
7、解析：(1)因为 a 与 b－2c 垂直，所以 a·(b－2c)＝0，即 4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝0,4sin (α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
643 2
5、解析：由 a·(b－a)＝a·b－|a|2＝2＝6cos θ－1，
∴cos θ＝1， 2
∴θ＝π. 答案：C 3
→
→
→
→
→
6、已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN
＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
②若
Ax1
,
y1
,
Bx2
,
y
2
，则
uuur AB
x2
x1,
y2
y1
；
③若 ar =(x,y)，则 ar =( x, y)；
④若
ar
x1,
y1
,
r b
x2 ,
y2
，则
ar
//
r b
x1 y2
x2
y1
0
。
3、平面向量的相关计算
rr ①向量的模与平方的关系： a a
ar 2
|
ar
|2
。
②乘法公式成立

平面向量练习题---教师版

平⾯向量练习题---教师版平⾯向量综合练习题⼀、选择题1、已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r ，（2）若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r（3）若不平⾏的两个⾮零向量b a ,，满⾜||||b a =，则0)()(=-?+b a b a （4）若a 与b 平⾏，则b a b a ?=?其中命题正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．32、已知),0,1(),2,3(=-=b a 向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为（）A ．16-B ．16C ．71- D ．173、若平⾯向量b 与向量)2,1(-=a 的夹⾓是o180，且53||=b ，则=b ( ) A ．)6,3(- B ．)6,3(- C ．)3,6(- D ．)3,6(-4、设向量a r ＝(－2，1)，b r ＝(λ，－1) (λ∈R)，若a r 、b r的夹⾓为钝⾓，则λ的取值范围是（）(A) (－∞, －21) (B) (－21, ＋∞) (C) (21, ＋∞) (D) (－21, 2)∪(2, ＋∞) 5、设平⾯向量|3|,//),,2(),2,1(b a b a y b a ρρρρρρ+-==则若等于（）A ．5B ．6C ．17D ．266、已知ABC ?的三个顶点,,A B C 的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满⾜1CP =u u u r，B ．31-C ．31+D ．37、已知a r 、b r 是⾮零向量且满⾜(3)a b a -⊥r r r ，(4)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹⾓是（）A ．56πB ．23πC ．3π D ．6π8、如图,在平⾏四边形ABCD 中,a AB =，b AD =，NC AN 3=，则BN =u u u r（）(⽤a ，b 表⽰) A ．→→-b a 4341 B ．→→-b a 4143C ．→→-a b 4341 D ．→→-a b 4143 9、在ABC ?中，点P 是AB 上⼀点，且,3132CB CA CP+=Q 是BC 中点，AQ 与CP 交点为M ，⼜CP t CM =，则t 的值为（）C2C ．43D ．5410、已知△ABC 所在平⾯上的动点M 满⾜222AM BC AC AB ?=-u u u u r u u u ru u u r u u u r ，则M 点的轨迹过△ABC 的（） A ．内⼼ B ．垂⼼ C ．重⼼ D ．外⼼11、已知O ，N ，P 在ABC ?所在平⾯内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的（）（A ）重⼼外⼼垂⼼（B ）重⼼外⼼内⼼（C ）外⼼重⼼垂⼼（D ）外⼼重⼼内⼼12、已知?ABC 和点M 满⾜0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r，若存在实数n 使得AB AC nAM +=u u u r u u u r u u u u r 成⽴，则n =( )A ．2B ．3C ．4 D.513、在△ABC 中，N 是AC 边上⼀点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的⼀点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( ).A.19 B .13C ．1D ．3 14、在ABC ?中，点P 是BC 上的点，AC AB AP PC BP µλ+==,2,则（）.3231.12.====µλµλ，，C A3132.21.====µλµλ，，D B 15、若向量,,a b c v v v 两两所成的⾓相等，且1,1,3a b c ===v v v ，则a b c ++v v v 等于（）B. 5C. 2或5D.2或516、若(2,1)a =r ，(3,4)b =r，则向量a 在向量b ⽅向上的投影为（）A ．52B ．2C ．5D ．1017、已知向量),1(),,1(x b x a =-=，若2b -a 与a 垂直，则=a （）. A ．1B ．2C ．2D ．418、如图，已知ABC ?中，AB=3,AC=4,BC=5,AD ⊥BC 于D 点，点P 为BC 边所在直线上的⼀个动点，则AP AD ?u u u r u u u r满⾜（）.A.最⼤值为9B.为定值25144C.最⼩值为3D.与P 的位置有关19、已知向量11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r ，若||2a =r ，||3b =r ，6a b ?=-r r ，则1122x y x y ++ 的值为( ) A ．23 B ． 32- C ．56 D ．56-ABCD(第22题图)，AB AQ BA BP n ?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r，则（）A ．24m n ==，B ．31m n ==，B ．C ．26m n ==，D ．3m n =，但m n ，的值不确定21、如图,在平⾯四边形ABCD 中,BC AB ⊥,DC AD ⊥.若a AB =,b AD =,则=?BD AC （）A ．22b a -B ．22a b -C ．22b a +D ．ab22、若函数()2sin()(210)63f x x x ππ=+-<<的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于B 、C 两点，则()OB OC OA +?=u u u r u u u r u u u r （）A ．－32B ．－16C ．16D ．3223、定义：||||||sin a b a b θ?=r r r r ，其中θ为向量a r 与b r 的夹⾓，若||2a =r ，||5b =r ，6a b ?=-r r ，则||a b ?r r等于（）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．624、动点P 在函数sin 2y x =的图象上移动，动点(,)Q x y 满⾜π(,0)8PQ =u u u r ，则动点Q 的轨迹⽅程为（）A ．πsin 28y x ??=+ B.πsin 28y x ??=- C. D.πsin 24y x ??=- 25、在?ABC 中，,a BC =CA =b ,AB =c , 且满⾜：|a |＝1， |b |＝2， |c |＝3，则a ·c ＋c ·a 的值为( ).A ．4 B.72 C ．－4 D ．－7226、若三点(2,3),(3,4),(,)A B C a b 共线，则有（）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -=27、已知向量a r ，b r ，满⾜a r ＝3，b r＝23，且a r ⊥(a r ＋b r )，则a r 与b r 的夹⾓为( ).A.π2 B .2π3 C.3π4 D.5π628、设⾮零向量a r 、b r 、c r 满⾜|a r |=|b r |=|c r |，a r +b r =c r ，则向量a r 、b r间的夹⾓为（）A ．ο150B ．ο120C ．ο60D ．ο3029、已知1e u r 、2e u u r 是夹⾓为60?的两个单位向量，则122a e e =+r u r u u r 与1232b e e =-+r u r u u r 的夹⾓的正弦值是（）A.32 B. 12- C. 12D. 32-30、设点O 是⾯积为4的ABC ?内部⼀点，且有20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则AOC ?的⾯积为（）A ．2B ．1 C.12 D.1331、如果向量(,1)a k =v 与(4,)b k =v共线且⽅向相反，则k =( ) A.2± B .2- C.2 D.0 32、设向量(2,0)=r a ，(1,1)=rb ,则下列结论中正确的是 A ．=r r a b B ．12r ra b =C ．//r r a bD ．()-⊥r r)0,2.(A )2,0.(-B )0,2.(-C )2,0.(D 。

平面向量及其应用全章综合测试卷(基础篇)(教师版)

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的； ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直；长度相等的向
量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故 A 错；
若 ⋅ = ⋅ , ≠ 0 ，则 = 或与, 都垂直，故 B 错；
13．（5 分）（2024·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩
．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速
度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速
A．1
B．2
）
C． 2
D． 3
1
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得cos = 2，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵sin2 + sin2−sinsin = sin2，
∴2 + 2− = 2，cos =
2 2−2
2
1
= 2，可得sin = 1−cos2 =
∵2 + 2− = ( + )2−3 = 2， + = 4， = 2，
∴ = 4，
1
1
所以三角形的面积为 = 2sin = 2 × 4 ×
3
2
= 3.
故选：D.
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）（2024·高一课时练习）下列说法中正确的是（
【解答过程】由题设sin = 1−cos2 =

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知识梳理：向量加法，向量减法及数乘的几何意义，运算律，坐标表示；平面向量基本定理及共线定理如果→→21,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于平面中任一向量→
a ，有且只有一对实数21,λλ，使→→→+=2211e e a λλ。

),(,90,,1||||y x j y i x a j i j i =+=>=<==→→→→→→→ ，),(),,(2211y x b y x a ==→→，
),(2121y y x x b a ++=+→→,),(2121y y x x b a --=-→→,),(11y x a λλλ=→
知识点1：向量的概念、向量形式的三角形不等式：|||-|||≤|±|≤||+||
1．⑴若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等⇔它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的有 (4),(5)
2.已知==,23的最大值为_________;最小值为_____________;
知识点2：用已知向量表示未知向量及向量的加法减法及数乘的坐标运算
加法：平行四边形法则（同一起点），三角形法则（首尾顺次连接）。

减法：三角形（箭头指向被减向量）
1．化简（1）--+= EC 。

（2）AB BC CD ++=__________。

（3）AB AD DC --=______。

（4）()()AB CD AC BD ---=___________。

2.(2014年福建文10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ D ）
..2.3.4AOM B OM C OM D OM
3．(2014年全国课标1理15)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =
+，则AB 与AC 的夹角为 90 ．
解：∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，∴AB 与AC 的夹角为090。

4.(2014年全国课标1文)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ A ）
A. AD
B. 12AD
C. 12
BC D. BC 解：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+=()
111222AB AC AB AC AD +=+=, 选A. 5.(2014年江苏12.) 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，
3=，2=⋅，则⋅的值是 22 .
6.(2014年福建8)在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ B ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e
7.【2012高考广东文3】若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =
A. (4,6)
B. (4,6)--
C. (2,2)--
D. (2,2)
解：选A (4,6
)A C A B B C =+= 8.(2014年广东卷）已知向量)1,3(),2,1(==b a ，则=-a b （ B ）
A. )1,2(-
B. )1,2(-
C. )0,2(
D. )3,4(
9.(2014年北京文3).已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ A ）
A.()5,7
B.()5,9
C.()3,7
D.()3,9
10．已知平面向量()()1,1,1,1-==，则向量=-2
321（ D ） A ．(21)--， B ．(21)-， C ．(10)-， D ．(1
2)，知识点3：向量共线的条件及三点共线
→→→→→→=⇔≠a b a a b λλ使有且只有一个实数,)0(// 三点共线C B A BC AB ,,//⇔→
→ )1(,,,,=++=⇔μλμλC B A 三点共线平面内
已知),(),,(2211y x b y x a ==→→,， ⇔→
→b a //01221=-y x y x (无限制条件) 1．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= -2/3 2.已知向量()0,1,(,),(1,3)OA OB k k OC ===，若//AB AC ，则实数k = －1
3.已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则23a b +=（ B ）
A.(5,10)--
B. (4,8)--
C.(3,6)--
D.(2,4)--
4．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = 3/4
5.(2014年陕西13. )设20πθ<
<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，
若b a //，则=θt a n ___1/2____. 6. 求与),4,3(=→a 共线的单位向量______ (3/5,4/5)or(-3/5,-4/5);
练习.已知向量=（1,0），=（1,1），则与+2同向的单位向量的坐标表示为__；
解:由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，
则221,30,
x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >
，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故⎝⎭c =.即与2+a b
同向的单位向量的坐标为⎝⎭.
知识点4：数量积，模，夹角，投影及垂直应用
数量积： []πθθ,0,cos ||||∈=⋅→→→→b a b a ，
=；夹角
:=
；
垂直：0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 投影：向量→a 在向量→b
→→向量→b 在向量→a
→→
1．在边长为1的正△ABC 中，AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅= -3/2
2．△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB -9_________
3.(2014年大纲卷6)已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -∙=（）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
4.(14年重庆文12).已知向量=⋅=--=b a b a b a 则，且的夹角为与,10||),6,2(60__10____
5.(2014年新课标2）3.设向量b a ,
6,10=
=+，则b a ⋅= ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5 6. 设向量和的长度分别为4和3，夹角为60°，则|+|的值为（ C ） A.37 B.13 C.37 D.13
7.【2012高考新课标文15】已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=
；则_____b =解：
∵|2-a b |=平方得224410-
=a a b+b ，即260--=|b |
，解得|b
|=
8.(2014年大纲卷4).若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（）
A
．2 B C ．1
D 9.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则
λ=________. 10． 15cos 4,15sin 2==→→b a ，3=⋅→→b a ，则→→b a ,的夹角为 300
11．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 1200 12. b a ,,21==的夹角为60°，若()()b a m b a -⊥+53，则m 的值为___
8
23__． 13．如图，平面内有三个向量、OB 、OC ,其中与与OB 的夹角为120°，
与OC 的夹角为30°,且||＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λ+μ
OB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 6 . 14.(2014年天津8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，
BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF
?，23CE CF ?-，则l m +=（）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712
..6
51μλ132-12232-)y -2()-2(32-60cos 2-60cos 2-4--))((,,2C x y x y CF x CE 选则设=+∴=+=+=°°=+=++===μλ。