【易错题】冀教版九年级上《第26章解直角三角形》单元试卷(教师用)

【易错题解析】冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（）A. 3B. 4C. 5D.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】Rt△ABC中，∠C=90°，∴cosA= ，∵AC=4，cosA= ，∴，∴AB= ，故答案为：D.【分析】根据余弦函数的定义，由cosA=，即可建立方程，求解得出AB的长。

2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan∠DCB的值是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：作DE⊥BC于E，由直角三角形的性质，得AB=2CD=2BD=10．由勾股定理，得BC=8，由等腰三角形的性质，得CE= BC=4，由勾股定理，得DE= =3，tan∠DCB= = ．故答案为：D．【分析】作DE⊥BC于E，由直角三角形和等腰三角形的性质可求AB和CE的长，再根据锐角三角函数的定义可求tan∠DCB的值。

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A. 7sin35°B. 7cos35°C. 7tan35°D. °【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】在Rt△ABC中，cosB= ，∴BC=AB•cosB=7cos35°，故答案为：B．【分析】余弦的定义：角的余弦=角的邻边÷角的斜边.4.若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】∠α=90°-30°=60°，cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5.关于x的一元二次方程x2﹣4sinα•x+2=0有两个等根，则锐角α的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】B【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：根据题意得△=16sin2α﹣4×2=0，所以sinα= ，所以锐角α=45°．故选B．【分析】先利用判别式的意义得到△=16sin2α﹣4×2=0，然后求出α的正弦值，再利用特殊角的三角函数值确定锐角α的度数．6.若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k=180°，解得k=30°，最小角的正切值=tan30°=．故选：C．【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．7.某舰艇以28海里/小时向东航行．在A处测得灯塔M在北偏东60°方向，半小时后到B处．又测得灯塔M在北偏东45°方向，此时灯塔与舰艇的距离MB是（）海里．A. 7(+1)B. 14C. 7(+)D. 14【答案】C【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：作MC⊥AB，垂足为C．∵∠MBC=45°，∴∠BMC=45°，设BC=CM=a，在Rt△ACM中，=tan30°，则=，解得，a=7+7．则MB=a=7（+）故选：C．【分析】作MC⊥AB，垂足为C．设BC=CM=a，然后在Rt△ACM中，利用∠MAC的正切值，得到=tan30°，从而得到=，然后求出a的长．8.如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（）A. °米B. °米C. 4＋4sin40°米D. 4cos40°米【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】原来树的长度是（PB+PA)的长．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根据∠PBA 的度数，通过解直角三角形求出PB的长．【解答】Rt△PAB中，∠PBA=40°，PA=4；∴°°；∴°故选B．【点评】此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．9.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=3：2，顶宽是7米，路基高是6米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 11米C. 15米D. 17米【答案】C【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图所示，等腰梯形ABCD是铁路路基的横断面，腰AB、CD的坡度为3: 2，BC=7米，BE=CF=6米.在Rt△ABE中,tanA= ，BE=6米，∴AE= =4米，∴DF=AE=4米，∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=4+7+4=15(米).故答案为：C.【分析】构造直角三角形及矩形，利用正切先求BE，AE，再由AD=AE+EF+FD，利用解直角三角形的知识进行计算即可。

10.如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，同角三角函数的关系【解析】【解答】①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC= ∠BAD=45°，由作图可知：AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=22.5°，∵PQ是AE的中垂线，∴AE⊥PQ，∴∠AOL=90°，∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，∴∠LKB=∠BAE=22.5°；故①正确；②∵OG是AE的中垂线，∴AG=EG，∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，∴EG∥AB，故②正确；③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，∴∠ALO=∠AGO，∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，∴∠CGF=∠BLK，在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK= ，故③正确；④连接EL，∵AL=AG=EG，EG∥AB，∴四边形ALEG是菱形，∴AL=EL=EG＞BL，∴，∵EG∥AB，∴△CEG∽△CBA，∴△，△故④不正确；本题正确的是：①②③，故答案为：A．【分析】根据正方形的性质得出∠BAC= ∠BAD=45°，由作图可知：AE平分∠BAC，故∠BAE=∠CAE=22.5°，由作图可知：PQ是AE的中垂线，故AE⊥PQ，然后根据三角形的内角和即可得出∠LKB=∠BAE=22.5°；根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AG=EG，根据等边对等角及等量代换得出∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，根据内错角相等，二直线平行得出EG∥AB；根据三角形的内角和得出∠ALO=∠AGO，又根据对顶角相等得出∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，故∠CGF=∠BLK，，根据等角的同名三角函数相等及三角函数的定义得出tan∠CGF=tan∠BLK=;连接EL,首先判断出四边形ALEG是菱形，根据菱形的性质及直角三角形的性质得出AL=EL=EG＞BL，≠,然后判断出△CEG∽△CBA，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可判断S△CGE：S△CAB≠1：4。

二、填空题（共10题；共33分）11.计算：=________．【答案】﹣1【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：原式= = =－1．故答案为：－1．【分析】根据实数的混合运算性质即可求解。

12.已知在△ABC中，BC=6，AC=6 ，∠A=30°，则AB的长是________．【答案】12或6【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如图1所示，过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A=30°，AC=6 ，∴CD= AC=3 ，AD=AC•cos30°=6 × =9．在Rt△CDB中，∵BC=6，CD=3 ，∴BD= = （）=3，∴AB=AD+BD=9+3=12；如图2所示，同理可得，CD= AC=3 ，AD=AC•cos30°=6 × =9，BD=3，∴AB=AD﹣BD=9﹣3=6．综上所述：AB的长为12或6．故答案为：12或6．【分析】分三角形ABC是锐角三角形和三角形ABC是钝角三角形两种情况讨论：当三角形ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D．在直角三角形ACD中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，所以CD= AC，在Rt△CDB中，由勾股定理可求得BD。

13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= ，则BC的长是________．【答案】6【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵sinA= ，∴= ，解得BC=6．故答案为：6．【分析】根据∠A的正弦函数的意义可列出方程求BC的长。

14.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则tan A的值为________【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴tanA==，故答案为：．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，注意正切=对边÷邻边．15.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5,CD=3，则tanC等于________【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】连接BD，则EF是△ABD的中位线，∴BD=4，在△BCD中，∵32+42=52，∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，∴tanC=．【分析】根据中位线的性质得出EF∥BD，且等于BD，进而得出△BDC是直角三角形，求出即可．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB=，点D，E分别在边AB，AC上，DE⊥AC，DE=6，DB=20，则tan∠BCD的值是________．【答案】【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE==，∴AE=×6=8，∴AD==10，∵DE∥BC，∴=，即=，解得CE=16，在Rt△CDE中，tan∠CDE===，∴tan∠BCD=．故答案为．【分析】由于∠ACB=90°，DE⊥AC可判断DE∥BC，根据平行线的性质得∠ADE=∠B，∠BCD=∠CDE，在Rt△ADE中，利用正切的定义可计算出AE=8，则利用勾股定理可计算出AD=10，接着运用平行线分线段成比例定理计算出CE=16，然后在Rt△CDE中，根据正切的定义得到tan∠CDE==，于是得到tan∠BCD=．17.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．【答案】30【考点】勾股定理的应用，解直角三角形的应用【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠ADB=60× =30 （m）．故答案为：30 ．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．18.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．【答案】10【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用【解析】【解答】解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比.过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得出AE:DE=1：1.2，即可求出旗杆的总高AB的长。