专题七 第3讲 坐标系与参数方程

α，
(t 为参数)，圆
(θ 为参数)．
π (1)当 α＝ 时，求 C1 与 C2 的交点坐标； 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并 指出它是什么曲线． π 解 (1)当 α＝ 时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C2 3 y＝ 3(x－1)， 2 2 的普通方程为 x ＋y ＝1，联立方程组 2 2 x ＋y ＝1， 1 3 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0)，( ，－ )． 2 2
(t为参数)．
x＝－2＋4t， 5.直线 y＝－1－3t
(t
x＝2＋5cos θ， 为参数)被圆 y＝1＋5sin θ
(θ 为参数)所截得的弦长为________． 6
解析 将直线化为普通方程：3x＋4y＋10＝0； 将圆化为普通方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝25， 圆心为(2,1)，半径为 5， 则圆心到直线 3x＋4y＋10＝0 的距离 |3×2＋4×1＋10| 20 d＝ ＝ ＝4， 2 2 5 3 ＋4 则弦长的一半为 3，则弦长为 6.
解析 曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝ 0. 由ρcos θ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0 得x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为 3π 极坐标为 2， 4 .
探究提高 解决这类问题一般有两种思路．一是将极 坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
第3讲 坐标系与参数方程 感悟高考 明确考向
(2010·广东 广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ 广东 ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为_____．
π 1，2
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 化为直角坐标方程为 x ＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1 化为直角坐标方程为 y－x
几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π (3)直线过 M(b， )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2 3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2－r2＝0 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； π (3)当圆心位于 M(r， )，半径为 r：ρ＝2rsin θ. 2
π 2． 设直线过极坐标系中的点 M(2， )， 且平行于极轴， 2 ρsin θ＝2 则它的极坐标方程为________．
解析 在相应的直角坐标系中，直线的方程为 y＝2.
x＝3＋4t 3．直线 y＝4－5t
5 － (t 为参数)的斜率为________． 4
解析
y－4 －5t 5 k＝ ＝ ＝－ . 4t 4 x－3
变式训练 2 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程 π π 为 ρsin(θ＋ )＝1，圆 C 的圆心是 C(1， )，半径为 1. 4 4 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．
(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C π π 上的一个动点，则∠AOD＝4－θ或∠AOD＝θ－4， π π OA＝ODcos(4－θ)或OA＝ODcos(θ－4)， π 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－4)． (2)直线l的直角坐标方程为x＋y－ 2＝0， 2 2 圆心C的直角坐标为( 2 ， 2 )， 故C点满足直线l的方程，则直线l经过圆C的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为直径，为2. 解
π 4．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝6，直线l的
3 x＝1＋ t 2 (t 为参数) 1 y＝1＋ t 2 参数方程为____________________的参数方程为 π x＝1＋tcos6， y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 故答案为 y＝1＋1t. 2
定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐 标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范 围．要注意转化的等价性．
变式训练 1 求曲线 ρ＝4sin θ 的直角坐标方程．
解 ∵ρ＝4sin θ，
∴ρ2＝4ρsin θ， ∴x2＋y2＝4y， 即 x2＋(y－2)2＝4. ∴曲线的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4.
题型二 曲线的极坐标方程的应用 例 2 (2010·广东)在极坐标系(ρ， θ)(0≤θ<2π)中， 曲线 ρ ＝ 2sin θ 与 ρcos θ ＝ － 1 的 交 点 的 极 坐 标 为
3 ( 2, π) ________． 4
思维启迪
(1)化为直角坐标方程求交点，再将交点
坐标化为极坐标． (2)直接联立极坐标方程求解．
1 1 (2)∵sin θ＝ ，∴ρsin θ＝ ρ， 3 3 1 2 2 ∴y＝ x ＋y ，∴x2＝8y2， 3 2 2 1 2 2 ∴y＝ x，y＝－ x.又 y＝ x ＋y >0， 4 4 3 2 2 ∴y＝ x(x>0)和 y＝－ x(x<0)． 4 4
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一
6． (2010·陕西)已知圆 C
x＝cos α， 的参数方程为 y＝1＋sin α
(α
为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线
(－1,1)，(1,1) l 与圆 C 的交点的直角坐标为________________．
易错提醒
(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.
(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．
主干知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极 轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设 M 是 平面内的任意一点， 它的直角坐标、 极坐标分别为 (x，y)和(ρ，θ)，则 ρ2＝x2＋y2 x＝ρcos θ . ， y y＝ρsin θ tan θ＝x(x≠0) 2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
题型三 参数方程及其应用 例3 (2009·海南)已知曲线
x＝－4＋cos C1： y＝3＋sin t
t，
(t 为参数)，曲线
x＝8cos θ， C2： y＝3sin θ
(θ 为参数)．
(1)化 C1， 2 的方程为普通方程， C 并说明它们分别表 示什么曲线； π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝ ，Q 为 C2 上的 2 x＝3＋2t， 动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： (t 为 y＝－2＋t 参数)距离的最小值． 思维启迪 点用参数表示，直线用普通解法的形式表
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin2α，－cos αsin α)， 故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为 1 2 x＝2sin α y＝－1sin αcos α 2 (α 为参数)．
12 2 1 P 点轨迹的普通方程为(x－ ) ＋y ＝ . 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ，0)，半径为 的圆． 4 4
6．圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ x2 y2 (1)椭圆 2＋ 2＝1 的参数方程为 (θ 为 a b y＝bsin θ
参数)．
x＝asec θ x2 y2 (2)双曲线 2－ 2＝1 的参数方程为 (θ 为 a b y＝btan θ
参数)． (3)抛物线
x＝2pt2 2 y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
4．直线的参数方程 过定点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方 x＝x0＋tcos α， 程为 (t 为参数)． y＝y0＋tsin α 5．圆的参数方程 圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x ＋rcos θ 0 (θ 为参数，0≤θ≤2π)． y＝y0＋rsin θ
探究提高
(1)参数方程化普通方程的关键是消参
数．要根据参数的特点进行． (2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，如本例 以 θ 为参数，就比较有利于问题的解决．
变式训练 3
x＝1＋tcos (2010·全国)已知直线 C1： y＝tsin α x＝cos θ， C2： y＝sin θ
x＝x0＋tcos θ 4．重点掌握直线的参数方程 y＝y0＋tsin θ
(t 为参
数)，理解参数 t 的几何意义.
知能提升演练
一、填空题 1． 极坐标方程分别为 ρ＝cos θ 与 ρ＝sin θ 的两个圆的 2 圆心距为________． 2
1 1 解析 圆心分别为( ，0)和(0， )． 2 2
规律方法总结
x＝ρcos θ 1．极坐标方程与普通方程互化核心公式： y＝ρsin θ
，
2 2 2 ρ ＝x ＋y . y tan θ＝x 2．过点 A(ρ0，θ0) 倾斜角为 α 的直线方程为 ρ＝ ρ0sin(θ0－α) .特别地，①过点 A(a,0)，(a>0)，垂直于极 sin(θ－α) 轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＝a.②平行于极轴且 π 过点 A(b， ) (b>0)的直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝b. 2 3．圆心在点 A(ρ0，θ0)半径为 r 的圆方程为 r2＝ρ2＋ρ2 0 －2ρρ0cos(θ－θ0)．