2 正弦交流电路

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电工电子技术-第2章正弦交流电路

区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3

电工电子技术第2章

第2章正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如图2-5 有向线段的表示正弦量幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。图2-6 u和i的相量图即超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相；当φ=±90º 时，称u与i正交。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章正弦交流电路

第2章正弦交流电-2.2单一元件正弦交流电路

③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的相量图如图所示。 1 U I ＝— 1 ×100×10=500（var） ④Q＝UI＝— m m 2 2
相量图
2.2单一元件正弦交流电路电阻 Nhomakorabea路电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C
q q＝Cu 或 C＝— u 电容量的单位是F（法[拉]）。具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
相量图
③电压、电流的相量图如图所示。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电感元件
（1）电感参数L
Ψ Ψ=LI 或 L＝— I
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越密，电感量越大。
p>0，吸收能量
p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω Um 100V ②Im＝—＝ ———＝10（A） XL 10Ω φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）

电工第2章正弦交流电路

函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T，其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f，其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除以，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率在关联参考方向下，电阻元件的瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V，试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和电流i1、i2的瞬时值表达式。解：以电压u为参考量，则电压u的表达式为由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为，与实轴正向的夹角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示

2.正弦交流电路

解： I = 100∠30o A = 100e j30° A
•
= 100(cos 30° + j sin 30°)A = 86.6 + j 50 A
U = 220∠ − 60 o V = 220e - j60°V = 220(cos 60° − j sin 60°)V = 110 − j190.5V
= i = I m sin (ω t + ϕ ) = I m e
？
jϕ
= Im ϕ
②只有正弦量才能用相量表示，只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。同频率的正弦量才能画在同一相量图上
& ⋅ A = A e jθ1 ⋅ A e jθ2 = A A e j (θ1 +θ2 )= A A ∠θ +θ A1 &2 1 2 1 2 1 2 1 2
乘法：模相乘，乘法：模相乘，角相加
| A1 | ∠ θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1−θ 2 ) | A1 | = = = e = • jθ 2 | A2 | | A2 | A 2 | A2 | ∠ θ 2 | A2 | e A1
ϕ = ϕu − ϕi
ϕ
3 ϕ =− π 4
应有ϕ ≤180 °
ϕu
ϕi
ϕ > 0, u 超前 i ϕ 角度 ϕ = 0 ，u 与 i 同相位 ϕ < 0, 则 u 滞后 i 一个ϕ角 π ϕ =± ，则说 u 与 i 正交
ϕ =π ，则说 u 与 i 反相
2
特殊相位关系：特殊相位关系：

第2章(正弦交流电路)

i u
P>0
充电储存能量
i
u
放电
i u
p
放电
P<0
释放能量
充电
(1-41)
无功功率Q：电容瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电容电路中能量交换的规模。
因为：
p = i u = -2UI sinwt· coswt =-UI· sin2wt
所以：
Q =-UI=-I2 XC =-U2/XC
Q
的单位：乏、千乏(var、kvar) 电容性无功功率取负值电感性无功功率取正值
t
i1 i1
j1 = j 2
i1 与 i2 同相
Dj=j1-j20
t
j1
j2
i1
i1 超前于 i2
i2
j1 j2
t
Dj=j1-j20
i1 滞后于 i2
(1-9)
3、正弦量的有效值
最大值瞬时值
i = Im sin (wt + j )
但是，在工程应用中常用有效值表示交流电
的大小。常用交流电表指示的电压、电流读数，
i
u
P
i
u
释放能量
i
u
i
u
+
P >0
储存能量
P <0
+
P >0
P <0
wt
(1-35)
无功功率Q：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。
因为：
p = i u = 2UI sinwt· coswt =UI· sin2wt
所以：
Q =UI=I2 XL =U2/XL

第2章_正弦交流电路

ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法相量：表示正弦量的复数。相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点，大写字母上打点，表示相量模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论：同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数运算，求出相量解，运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表达式。这种分析方法称为相量法。达式。这种分析方法称为相量法相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ：幅值（最大值）角频率（弧度/ ω ：角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ：初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)：幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常最大的瞬时值，量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。最大值必须用带下标m的大写字母表示。如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前，超前滞后u 或i滞后滞后

第2章正弦交流电路

同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。反相:相位相反，相位差为180°。下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
电气与自动化工程学院
2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位表示正弦量的变化进程，也称相位角。初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
电气与自动化工程学院
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不一定相同，设电路中电压和电流为：
26
电气与自动化工程学院
2.3.3 电容元件的交流电路电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t

则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:

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例2.1.2
电工电子学
chapter 2
21
15.12.17
已知复数A= 660 ，B＝ 8－30 ，求它们的和、差、积和商。
A＝ 6cos60 ＋j6sin60 ＝ 3 ＋j 3 3
解:
B＝ 8cos（－ 30）＋j8sin （－ 30）＝ 4 3 －j4 A B＝(3 4 3 ) j(3 3－4 ） A－B＝(3－4 3 )＋j(3 3＋4 ）
电工电子学
chapter 2
2
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2.1 正弦交流电的基本概念
15.12.17
交流电（AC，alternating current circuit）：大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电。正弦波、方波、三角波、锯齿波等；直流电（DC，direct～）
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15.12.17
若购得一台耐压为 220V 的电器，是否可用于 220V 的线路上?
电工电子学
chapter 2
11
~ 220V
电器
最高耐压 =220V
电源电压
有效值 U = 220V 最大值 Um =
2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。
A B ( a 1 jb 1 ) ( a 2 jb 2 ) ( a 1 a 2 ) j ( b1 b 2 )
A B r1 ψ 1 r2 ψ 2 r1 r2 ( ψ 1 ψ 2 )
A r1 ψ 1 r1 (ψ 1 ψ 2 ) B r2 ψ 2 r2
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15.12.17
有效值：将一个周期量在一个周期内作用于电阻产生的热量换算为与之热效应相等的直流量，该直流量的大小称为周期量的有效值。
热效应相当 i(t) I R
正弦交流电的基本概念
10
电工电子学

T
0
i 2 R dt ＝ I RT
2
0≤t≤T
chapter 2
则有
1 I T

T
0
i 2 dt
（有效值，均方根值）
2.1
有效值用大写字母表示:U,I。
对正弦电量
i I m sin( t )
Im I 2
2 I 1 T 2 m I [ I sin( t )] dt I m T 0 T

T
0
Im 1 cos 2 ( t ) dt 2 2
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3.相位、初相和相位差
f(t ) 0
时间起点
t
15.12.17
f ( t ) Am sin( t )
相位(相位角) ：任意瞬间正弦量的电角度 ( t + )
初相或初相角：t=0时的相位角。时间起点：t＝0的时刻。变化起点：正弦量由负变正的零点。
总结：
加减用代数式A＝a＋jb，实部相加减，虚部相加减；乘除用极坐标式A=r∠ ,模相乘除，幅角相加减。
j —旋转算子 j =1∠90º
1 j 1 90 j
j 2 1
e
j9 0
cos 90 j s in 90 j
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2.1
人的耳朵能够听到的说话声、乐声的频率为20～ 20000Hz
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2.幅值与有效值——反映正弦量大小的量。
15.12.17
i ( t ) I m sin t
瞬时值，小写字母表示：u，i。
电工电子学
chapter 2
9
最大值，大写字母表示,下标加 m： Um，Im。
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15.12.17
1.周期与频率——反映正弦量变化快慢的量。
Im

T
t
电工电子学
chapter 2
7
周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。单位：秒（s）。频率f ：正弦量在单位时间内变化的周数。单位：赫兹（ Hz ）。周期与频率的关系：
15.12.17
第二章
正弦交流电路
sinusoidal a-c circuit
电工电子学
chapter 2
1
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15.12.17
主要内容
正弦交流电的基本概念正弦交流电路的相量模型简单正弦交流电路的分析正弦交流电路的功率与功率因数的提高交流电路的频率特性三相正弦交流电路
AB＝4830
A ＝ 0.7590＝ 0.75j B
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15.12.17
4. 正弦量的相量表示法正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。 +j Im ω Ψ +1 Im
电工电子学
chapter 2 2.1 正弦交流电的基本概念
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二、正弦量的表示法
15.12.17
1.三角函数式表示法
电工电子学
chapter 2
17
u 100 2 sin( 314 t 120 )
i 10 2 sin( 314 t 60 )
2.波形图表示法要求给出波形图，从图中确定正弦量的三要素，从而可以写出三角函数式或其他表达式 Im
1 f T
角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数。单位：弧度/秒（ rad/s）。
2 2 f 角频率与周期及频率的关系： T
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15.12.17
正弦交流电的基本概念
8
电工电子学
chapter 2
* 电网频率：中国 50 Hz 美国、日本 60 Hz * 有线通讯频率：300 ~ 5000 Hz * 无线通讯频率： 30 kHz ~ 3×104 MHz
电工电子学
chapter 2
5
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一、正弦量及其三要素
15.12.17
正弦交流电的基本概念
6
电工电子学
chapter 2 2.1
Im
i I m sin t

T
Im：幅值（最大值）
t
特征量:
ω：角频率
：初相角（或初相位）
i 0 T
t

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在分析正弦稳态电路时有：
电工电子学
chapter 2 2.1 正弦交流电的基本概念
18
15.12.17
一个正弦量由它的幅值、角频率和初相位三个要素所决定的。在单一频率正弦信号作用下的线性交流电路中，激励与响应都是同频率的正弦量。
chapter 2
15
= ?ψ2ψ1 1 O 2 t
不同频率的正弦信号不能进行相位比较！！！！
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例2.1.1
电工电子学
chapter 2
16
15.12.17
（1）试指出它的频率、周期、角频率、幅值、有效值及初相位各为多少？（2）画出波形图。
15.12.17
i1
2
i 1 i 1 m sin( t 1 )
t
i2
i 2 i 2 m sin( t 2 )
电工电子学
chapter 2
13
1
t
相位差为：
2
t 1 2 1
相位差是绝对值，不随计时起点的不同而改变；初相位是相对量，计时起点发生改变，随之改变。
电工电子学
chapter 2
3
u t
u
t
T
T
u t
T
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15.12.17
正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电压、电流，也称作正弦量。一般表达式为：
f ( t ) Am sin( t )
t u ) 电压: u U m sin(
π 在某电路中， i 100sin( 6280 t ) mA 4

解： 6280rad / s
1 1 T 1 ms f 1000
6280 f 1000Hz 2π 2π
i 100 0
I m 100 mA
t
I m 100 I 70.7 mA 2 2 π 或 45 4
15.12.17
sin ( e
j
e
j
)
2
复数A的几种表达形式
2j
电工电子学
chapter 2
19
b
A
r ψ a
＋1
A re j