分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换

S
C ( t) E Q S S ( t)
Fs
= EQ = =
S ( t) S ( 0)M ( t) EQ
C ( t) S ( t)
S ( s) S ( 0)M ( s)
M ( s) S ( s) M ( s) S ( s)
C ( t) Fs M ( t)
C ( s) C ( s) = M ( s) S ( s)
d1 =
ln (S ( 0) K ) + rT + Ρ2 T 2H 2
∫
定理 4 的证明 由欧式期权定义, + C ( T , S ( T ) ) = (S ( T ) - K ) = (S ( T ) - K ) 其中, x + = m ax ( x , 0) , I A ( x ) =
1, x ∈ A 0, x | A , 故由定理 1, 2 得:
1 1 < H < 1 时, 分数布朗运动具有长程关联性 . 本文仅考虑 < H < 1 情形 . 2 2 (R ) , F , P ) 中的分数布朗运动, 其中, 8 = ∶S ′ (R ) 为 R 上的速 设 B H ( t) 为概率空间 (S ′ 减函数 Schw a rz 空间 S (R ) 的对偶空间.
S ( t) = s ( 0) exp rT -
Ρ2 2H t + Ρ B H ( 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
I S (T ) Ε K
( 3. 1)
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20 期
肖艳清, 等: 分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换
金融实证研究表明, 股票的市场价格有长程依赖性质和自相似性质, 因此, 我们可以在 经典的B lack 2Scho les 定价模型中用一个具有长期记忆的过程来代替布朗运动, 最简单的修 正就是引入分数布朗运动作为随机性的来源. 由于分数布朗运动既不是半鞅也不是马氏过 程, 经典的随机计算理论不能用来研究股票的价格进程 . L in ( 1995 ) [ 1 ] 和 D ecreu sefond,
证毕 . 推论 3 设 X 为市场中一个 T 时刻到期的未定权益, 满足 X M ( t) ∈ L 1 (Q ) , 则其价格 过程为: 0 ( t, X ) = S ( t) E Q S
X X F t 特别的, 0 ( 0, X ) = S ( 0) E Q S . S (T ) S (T )
3 分数 B- S 期权定价公式
肖艳清, 等: 分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换
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2 分数布朗运动与拟鞅定价方法
这一节中, 我们回顾分数B 2S 市场中的拟鞅定价方法, 具体可参见文献 [ 428 ].
2. 1 拟鞅与测度变换
定义 2. 1. 1 设 ( 8 , F , P ) 为 一 概 率 空 间, H ∈ ( 0, 1) 为 一 常 数, 称 高 斯 过 程 {B H ( t) } t∈R + = {B H ( t, Ξ) ; t ∈ R + , Ξ ∈ 8 } 为具有 H u rst 参数 H 的 ( 1 维) 分数布朗运动, 若 {B H ( t) } t∈R + 满足: B H ( 0) = 0 且
收稿日期: 2008201224 基金项目: 湖南省教育厅资助科研项目 (06C300)
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20 期
定义 2. 1. 2 [ 5 ] 假设 G =
∑ ∫g
n= 0 R
n
∞
n
( s) dB H n ( s) ∈ .
∞
3
,.
3
为赋予归纳拓扑的随机分布空
间, 则 G 关于 F H ( t) = Ρ{B H ( s) , 0 Φ s Φ t} 的拟条件期望定义为:
E t [G ] ∶ = E [ G F H ( t) ] ∶ =
E s [ G ( t) ] = G ( s) , ( Π t > s).
显然, B H ( t) 以及 G ( t) =
2. 2 拟鞅定价公式
f ( s) dB ∫
0
t
H
1, 2 ( s) , f ∈ L H (R ) 为拟鞅 .
考虑一分数B 2S 市场中有两种资产, 一种是无风险资产 ( r 表示常数无风险利率) , 其价 格过程满足: ( 2. 1) dM ( t) = rM ( t) d t, M ( 0) = 1, 0 Φ t Φ T 另一种是股票, 其价格满足如下分数随机微分方程: ϖ ( 2. 2) dS ( t) = Λ S ( t) d t + ΡS ( t) dB H ( t) , S ( 0) = S , 0 Φ t Φ T 其中, Λ, Ρ ≠ 0 为常数 . H u, O k senda l ( 2003) 已证明该市场无套利并且是完备的 . 在风险中 性测度 Q 下, 我们有 ( 2. 3) dS ( t) = rS ( t) d t + ΡS ( t) dB H ( t) , S ( 0) = S , 0 Φ t Φ T , ϖH ( t) = B H ( t) - Λ - r t, B H ( t) , B ϖH ( t) 分别为Q , P 下的分数布朗运动 其中 B . 在风险中性测 Ρ 度 Q 下方程 ( 2. 3) 的解为:
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C ( 0, S ( 0) ) = E Q [M
定理 4 执行价格为 K 到期日为 T 的欧式买权在在 0 时刻的价格为: - rT C ( 0, S ( t) ) = S ( 0) N ( d 1 ) - K e N ( d 2 ) , 其中, Ρ T 2H ln (S ( 0) K ) + rT - Ρ2 T 2H 2 d2 = Ρ T 2H N ( ) 表示累积标准正态分布函数 . 为证明定理 4, 我们需要如下引理, 详见 [ 6 ]. 引理 5 设函数 f 使得 E [ f (B H ( t) ] < ∞, 则, 对每个 0 Φ t Φ T , 我们有: ( x - B H ( t) ) 2 1 E Q [ f (B H ( T ) ] = exp f (x ) d x 2 H 2 H R 2 ( T 2H - t2H ) 2Π( T - t )
摘要: 研究分数B 2S 市场中的期权定价问题. 通过选取不同的资产作为计价单位及相应的测度变换, 将经
典模型中的计价单位变换方法推广到分数布朗运动市场环境, 既丰富了分数期权定价的拟鞅方法, 也得到了 分数期权定价公式的新的推导方法.
关键词: 分数布朗运动; 计价单位; 拟鞅方法; 期权
1 引 言
U stunel ( 1999)
定义了关于分数布朗运动的依路径的 R iem ann 2St ielt jes 积分理论, 但在这 种 随机积分下, Rogers ( 1997 ) [ 3 ] 证明了该市场模型存在套利 . 但是, D uncan, H u, etc. [4 ] [5 ] ( 2000) , H u, O k senda l ( 2003) 证明了基于W ick 乘积和白噪声分析的分数 Ito 积分情形
(N um era ire ) 是局部无风险的银行帐户, 其定义为: M ( t) = exp
r ( s) d s ∫
0
t
, 其中 r ( s) 为短
期利率. 我们可以通过选取不同于 M ( t) 的资产作为计价单位, 也能得到类似的等价鞅测度 的方法对期权定价, 具体来说, 设 S ( t) 为一个无红利支付的资产价格过程, 则也可以用 S ( t) 作为计价单位构筑一个概率测度 Q S , 使得在此测度下, 市场中的任何财富的价格过程相对 于 S ( t) 都为鞅. 钱晓松[ 9 ] 利用这种思想研究了跳扩散模型, 并得到了随机利率的期权定价 公式以及资产交换期权定价公式. 但是, So t t inen, V a lkeila ( 2002) [ 10 ] 指出, 分数B 2S 市场中 不存在等价鞅测度. 本文将测度变换的思想推广到分数布朗运动环境中, 通过构筑所谓的等 价拟鞅测度, 给出期权定价的一种新的方法, 丰富了已有的分数期权定价理论 .
+ B H ( t) = E [B H ( t) ] = 0, Π t ∈ R , E [B H ( t) B H ( s) ]
=
1 2H { t + s2H 2
t-
s
2H
}, s, t ∈ R + ,
其中, E 表示关于概率 P 的期望. 当H = 当
1 时, B H ( t) 即为标准布朗运动, 记为 B ( t). 2
[2 ]
下, 分数B 2S 市场不存在套利. H u, O k senda l ( 2003) 建立了一个欧式期权定价公式, 随后, [6 ] N ecu la ( 2002) 引入所谓的拟鞅定价方法, 将 [ 4 ] 的结果推广到一般的情形, 更多的情形可 参见O k senda l B. ( 2004) [ 7 ] , B iag in i, O k senda l ( 2007) [ 8 ]. 众所周知, 在经典的期权定价理论中, 市场无套利等价于存在一个风险中性概率测度, 使得在此概率测度下, 市场中任何财富的贴现价格过程为鞅 . 通常用来贴现的计价单位
第 38 卷第 20 期 2008 年 10 月 M A TH EM A T