复变函数与积分变换问题详解(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2
y
v ex ( y cos y x sin y) ex (sin y) ex ( y cos y x sin y sin y) x
v ex (cos y y( sin y ) x cos y) ex (cos y y sin y x cos y ) y
所以 u
v ,
u
v
xy
y
x
所以 f( z)处处可导，处处解析 .
v
xy
y
x
所以 v xv,v源自xyv ,即 u u v v 0
y
xyxy
从而 v 为常数， u 为常数，即 f(z)为常数 .
(3) Ref (z)=常数 .
证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, u x
u0 y
因为 f( z)解析， C-R 条件成立。故 u x
u 0 即 u=C2 y
从而 f( z)为常数 .
而 lim u x, y x, y 0,0
x 3 y3
lim
x, y 0,0
x2
y2
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7
—
∵
x3 x2
y3 y2
xy x y 1 x2 y2
∴ 0≤
x3 x2
y3 3 y2 ≤ 2 x
y
x3 y3
∴
lim
x, y 0,0
x2
y2
0
同理
x3
lim
x, y 0,0
x2
y3 y2
0
∴ lim f z 0 f 0 x, y 0,0
证明：因为 f ( z) 0 ，所以 u x
u 0, v
y
x
v 0.
y
所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数 .
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题1
习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i -++++++.①解：i 4πππe cos isin 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭ ()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,k n k n k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1k n =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2i i i i +-+-++①解：2i -+== 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i1i 22++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==． ∴z z =． 命题成立． 5、设z ,w ∈，证明： z w z w ++≤ 证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w w z zw z w wz wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅ ()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤ ∴z w z w ++≤． 6、设z ,w ∈，证明下列不等式．()2222Re z w z z w w +=+⋅+()2222Re z w z z w w -=-⋅+ ()22222z w z w z w ++-=+并给出最后一个等式的几何解释． 证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w -=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证． ∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3 352π2π;;1;8π(1);.cos sin7199ii ii+⎛⎫--+⎪+⎝⎭①解：()()()()35i17i35i7i117i17i+-+=++-3816i198ie5025iθ⋅--===其中8πarctan19θ=-．②解：e iiθ⋅=其中π2θ=．π2e ii=③解：ππi i1e e-==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin99⎛⎫+⎪⎝⎭解：∵32π2πcos isin199⎛⎫+=⎪⎝⎭．∴322πiπ.3i932π2πcos isin1e e99⋅⎛⎫+=⋅=⎪⎝⎭8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；的平方根.⑴i的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cos isin0,1,22233++⎛⎫+=+=⎪⎝⎭k ki k∴1ππ1cos isin i662=+z．2551cosπisinπi662=+=z3991cosπisinπi662=+=z⑵-1的三次根()()132π+π2ππcosπisinπcos isin0,1,233k kk++=+=∴1ππ1cos isin332=+=z2cosπisinπ1=+=-z3551cosπisinπ332=+=-z的平方根．解：πi4e⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin0,122k kk⎛⎫++⎪=⋅+=⎪⎝⎭∴π11i8441ππ6cos isin6e88⎛⎫=⋅+=⋅⎪⎝⎭z911πi8442996cosπisinπ6e88⎛⎫=⋅+=⋅⎪⎝⎭z．9.设2πe,2inz n=≥. 证明：110nz z-+++=证明：∵2πie nz⋅=∴1nz=，即10nz-=．∴()()1110nz z z--+++=又∵n≥2．∴z≠1从而211+0nz z z-+++=11.设Γ是圆周{:},0,e.iz r r a c rz cα=>=+-令:Im0z aL zbβ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,其中e ibβ=.求出Lβ在a切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为Lβ={z: Imz ab-⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥Lβ．过C作直线平行Lβ，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以Lβ在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.(1)argπ;(2);1(3)1|2;(4)Re Im;(5)Im1 2.zz zz iz zz z==-<+<>><且解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=12．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
1 i 1 i 1 i 2 2 2
4、证明：当且仅当 z z 时，z 才是实数．
3
1 1 3 1 8
3 1 3
2
2
3
3
3
证明：若 z z ，设 z x iy ，
3 2 2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y x y 2x y i
③解： 2 i 3 2i 2 i 3 2i 5 13 65 ．
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
za 因为 L ={z: Im =0}表示通过点 a 且方 b
向与 b 同向的直线，要使得直线在 a 处与圆相切， 则 CA⊥ L ．过 C 作直线平行 L ，则有∠BCD=β， ∠ACB=90° 故 α-β=90° 所以 L 在 α 处切于圆周 T 的关于 β 的充要条件
习题二xy所以4i的一段即平面上扇形域即是以原点为焦点张口向右抛物线如图所示limlimlimlim的极限不同所以极限不存在limlimlimlim00lim00lim00lim所以fz在整个为正整数所以fz在整个xyxy时才满足cr方程
复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
复变函数与积分变换 （修订版）
1 i 3 ∴ Re 1, 2
④解： ∵
3
1 i 3 Im 0． 2
2 2 2 2 π π cos isin i i 2 4 4 2 2 2
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
(
)
证明∵ z + w = ( z + w) ⋅ ( z + w) = ( z + w) z + w = z ⋅ z + z ⋅ w + w⋅ z + w⋅ w = z + zw+ z⋅ w + w = z + w
≤
2 2 2 2
(
)
∴ −8π 1 + 3i = 16π ⋅ e 2π 2π ⎞ ⑤解： ⎛ + i sin ⎟ ⎜ cos 9 9 ⎠ ⎝
5、Imz>1，且|z|<2． 解：表示圆盘内的一弓形域。
iϕ (2) 记 w = ρ e ，则
0<θ <
π ,0 < r < 2 4 映成了 w 平面 π . 2
习题二 1 z 下圆周 | z |= 2 的像.
上扇形域，即
0 < ρ < 4, 0 < ϕ <
−7i
⎤ = x ( x − y ) − 2 xy + ⎡ ⎣ y ( x − y ) + 2x y ⎦ i
2 2 2 2 2 2
= x3 − 3 xy2 + ( 3 x2 y − y3 ) i
∴
Re ( z
3
)=x
3
− 3 xy
2
,
Im ( z 3 ) = 3 x 2 y − y 3 ．
⎛ 1 + i ⎞ (1 + i ) 1 − i ⎜ 2 ⎟= 2 = 2 ⎝ ⎠
复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
π ⎛ 2 i 2 ⎞ 4 解： 3 + 3i= 6 ⋅ ⎜ + i = 6 ⋅ e ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝
复变函数与积分变换答案马柏林李丹横晏华辉修订版,习题2
习题二1、 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像、 解:设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2253442uv +=即()()222253221u v +=,表示椭圆、2、 在映射2w z =下,下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形,设e i w ϕρ=或i w u v =+、(1)π02,4r θ<<=; (2)π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b 、(a, b 为实数) 解:设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=,则π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段,即 π04,.2ρϕ<<=(2) 记e i w ϕρ=,则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域,即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+,则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-就是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+就是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示、3、 求下列极限、(1) 21lim 1z z →∞+; 解:令1z t=,则,0z t →∞→、 于就是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++、 (2) 0Re()lim z z z→; 解:设z =x +y i,则Re()i z x z x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在、 (3) 2lim (1)z i z i z z →-+; 解:2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+、(4) 2122lim 1z zz z z z →+---、 解:因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+、4、 讨论下列函数的连续性: (1) 22,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩解:因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时,f (z )的取值不同,所以f (z )在z =0处极限不存在、 从而f (z )在z =0处不连续,除z =0外连续、 (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩解:因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续、5、 下列函数在何处求导？并求其导数、(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数);解:因为n 为正整数,所以f (z )在整个z 平面上可导、1()(1)n f z n z -'=-、 (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++、 解:因为f (z )为有理函数,所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导、从而f (z )除1,i z z =-=±外可导、2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57z f z z +=-、 解:f (z )除7=5z 外处处可导,且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---、 (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++、 解:因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z++--+--+++=====+++、 所以f (z )除z =0外处处可导,且2(1i)()f z z+'=-、6、 试判断下列函数的可导性与解析性、(1) 22()i f z xy x y =+;解:22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微、22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂, u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导,在全平面上不解析、(2) 22()i f z x y =+、解:22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微、2,0,0,2u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂、 所以f (z )在z =0处可导,在全平面上不解析、(3) 33()23i f z x y =+;解:33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微、226,0,9,0u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂=时,才满足C-R 方程、从而f (z )0=处可导,在全平面不解析、 (4) 2()f z z z =⋅、解:设i z x y =+,则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程、从而f (z )在z =0处可导,处处不解析、7、 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数、(1) ()0f z '=;证明:因为()0f z '=,所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂、 所以u ,v 为常数,于就是f (z )为常数、(2) ()f z 解析、证明:设()i f z u v =-在D 内解析,则()u v u v x y x y∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数,所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数,u 为常数,即f (z )为常数、(3) Re f (z )=常数、证明:因为Re f (z )为常数,即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析,C-R 条件成立。
复变函数与积分变换答案（马柏林、李丹横、晏华辉）修订版,习题3
习题三1. 计算积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故 ()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤()()111()Cz d z x i x dx i x i-=-++=⎰⎰ (2)设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ 3. 计算积分d Cz z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .解 (1)设z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2)设i z e θ=. θ从32π到2π22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=. θ从32π到2π23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰6. 计算积分()sin zCz ez dz -⋅⎰ ,其中C 为0za =>.解()sin sin zzCCCz ez dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内解析∴sin 0zCezdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰ 故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径C 为（1）11:2C z =（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=（4）43:2C z i -= 解：（1）在12z =所围的区域内，21(1)z z +只有一个奇点0z =. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z iπππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故42111111()2(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)20cos 2izdz π+⎰(2)z ie dz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos izdz z +⎰解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2)2zz iiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i iz dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11. 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C 为 (1) 1z i -= (2) 1z i += (3) 2z =解 (1)221()()z z ziz iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ (2)221()()z z zi z iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin1111z z z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1.(1) 5zC e dz z ⎰ (2) 3cos C z dz z ⎰(3) 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰ (2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3) 0'220tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰ ,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周(2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周解：(1) C内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2) C内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,3223632u x x y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy y x ∂=--∂ 22666ux xy y y∂=--+∂ 22612u x y x∂=-∂ 22612ux y y ∂=-+∂ 从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. (2) 设w u i υ=+,cos 1x u e y =⋅+ sin 1x e y υ=⋅+∴cos x u e y x ∂=⋅∂ s i n x ue y y∂=-⋅∂ 22cos x u e y x ∂=⋅∂ 22cos x u e y y∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. sin x e y x υ∂=⋅∂ cos x e y yυ∂=⋅∂ 22sin xe y x υ∂=⋅∂ 22s i n x y e yυ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22u x y =-,22xx yυ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+不是解析函数证明: 2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y∂=-∂ ∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+(2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y =0,上式变为22()i()2x f x x C =-+从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取（x 0,y 0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ 由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭23.设12()()()()n p z z a z a z a =--- ,其中(1,2,,)i a i n = 各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k , 其零点分别为12,,...k a a a1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi ()()...()111111...2πi 2πi 2πi 111111...1...2πi 2πi nnk k n k k C Cn C C C nC C k n k z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆C R : R z =，将C 与Z 包含在内则f(z )在以C 及RC 为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z A zζζζ=-+-⎰ 设Z 在C 内，则f(z )=0，即 R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰ 故有：1()2πi C f d A z ζζζ=-⎰ 。
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习题二1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2253442uv +=即()()222253221u v +=，表示椭圆.2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ϕρ=或i w u v =+.（1）π02,4r θ<<=； （2）π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=，则π02,4r θ<<=映射成w 平面虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2ρϕ<<=(2) 记e i w ϕρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+是以原点为焦点，口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限. (1) 21lim 1z z →∞+; 解：令1z t=,则,0z t →∞→. 于是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z→; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在.（3） 2lim (1)z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.（4） 2122lim 1z zz z z z →+---. 解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.4. 讨论下列函数的连续性： (1) 22,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 解：因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在. 从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续. (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩ 解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.1()(1)n f z n z -'=-. (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++. 解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导.从而f (z )除1,i z z =-=±外可导.2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57z f z z +=-. 解：f (z )除7=5z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---. (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++. 解：因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z++--+--+++=====+++. 所以f (z )除z =0外处处可导，且2(1i)()f z z+'=-.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) 22()i f z xy x y =+; 解：22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微.22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂， u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(2) 22()i f z x y =+.解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.2,0,0,2u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(3) 33()23i f z x y =+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.226,0,9,0u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂=时，才满足C-R 方程.从而f (z )0±=处可导，在全平面不解析. (4) 2()f z z z =⋅.解：设i z x y =+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程.从而f (z )在z =0处可导，处处不解析.7. 证明区域D 满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ()0f z '=;证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂. 所以u ,v 为常数，于是f (z )为常数.(2) ()f z 解析. 证明：设()i f z u v =-在D 解析,则()u v u v x y x y∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数，所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数，u 为常数，即f (z )为常数.(3) Re f (z )=常数.证明：因为Re f (z )为常数，即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析，C-R 条件成立。
故0u u x y∂∂==∂∂即u =C 2 从而f (z )为常数.(4) Im f (z )=常数.证明：与（3）类似，由v =C 1得0v v x y ∂∂==∂∂ 因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y∂∂==∂∂,即u =C 2 所以f (z )为常数.5. |f (z )|=常数.证明：因为|f (z )|=C ，对C 进行讨论.若C =0，则u =0,v =0,f (z )=0为常数.若C ≠0，则f (z ) ≠0,但2()()f z f z C ⋅=，即u 2+v 2=C 2则两边对x ,y 分别求偏导数，有220,220u v u v u v u v x x y y∂∂∂∂⋅+⋅=⋅+⋅=∂∂∂∂ 利用C-R 条件，由于f (z )在D 解析，有u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以00u v u v x x u v v u x x ∂∂⎧⋅+⋅=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪⋅-⋅=⎪∂∂⎩ 所以0,0u v x x∂∂==∂∂ 即u =C 1,v =C 2,于是f (z )为常数.(6) arg f (z )=常数.证明：arg f (z )=常数，即arctan v C u ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 于是222222222()()(/)01(/)()()v u v u u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ∂∂∂∂-⋅⋅-⋅'∂∂∂∂===+++ 得00v u u v x x v u u v y y ∂∂⎧⋅-⋅=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪⋅-⋅=⎪∂∂⎩C-R 条件→ 00v u u v x x v u u v x x ∂∂⎧⋅-⋅=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪⋅+⋅=⎪∂∂⎩ 解得0u v u v x x y y∂∂∂∂====∂∂∂∂，即u ,v 为常数，于是f (z )为常数.8. 设f (z )=my 3+nx 2y +i(x 3+lxy 2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值.解：因为f (z )解析，从而满足C-R 条件.222,3u u nxy my nx x y∂∂==+∂∂ 223,2v v x ly lxy xy∂∂=+=∂∂ u v n l x y ∂∂=⇒=∂∂3,3u v n l m y x∂∂=-⇒=-=-∂∂ 所以3,3,1n l m =-=-=.9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数.(1) f (z )=x 3+3x 2y i-3xy 2-y 3i证明：u (x,y )=x 3-3xy 2, v (x ,y )=3x 2y -y 3在全平面可微,且222233,6,6,33u u v v x y xy xy x y x y x y∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂ 所以f (z )在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处解析.22222()i 336i 3(2i)3u v f z x y xy x y xy z x x∂∂'=+=-+=-+=∂∂. (2) ()e (cos sin )ie (cos sin )x x f z x y y y y y x y =-++.证明：(,)e (cos sin ),(,)=e (cos sin )x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且 e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u x y y y y x y y y y x∂=-+=-+∂ e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u x y y y y x y y y y y∂=---=---∂ e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v y y x y y y y x y y x∂=++=++∂ e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v y y y x y y y y x y y∂=+-+=-+∂ 所以u v x y ∂∂=∂∂, u v y x∂∂=-∂∂ 所以f (z )处处可导，处处解析.()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)x x x x x x x x z z z z u v f z x y y y y y y x y y x xy y x y y y y y x y z ∂∂'=+=-++++∂∂=+++++=++=+10. 设()()333322i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ⎧-++≠⎪=+⎨⎪=⎩求证：(1) f (z )在z =0处连续．(2)f (z )在z =0处满足柯西—黎曼方程．(3)f ′(0)不存在．证明.(1)∵()()()()0,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=+而()()()()()3322,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+∵()3322221x y xy x y x y x y -⎛⎫=-⋅+ ⎪++⎝⎭∴3322302x y x y x y --+≤≤ ∴()()3322,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()3322,0,0lim 0x y x y x y →+=+ ∴()()()(),0,0lim 00x y f z f →==∴f (z )在z =0处连续．(2)考察极限()0()0limz f z f z→- 当z 沿虚轴趋向于零时，z =iy ，有()()()3200111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--⎡⎤-=⋅=+⎣⎦． 当z 沿实轴趋向于零时，z =x ，有()()[]01lim01i x f x f x→-=+ 它们分别为i ,i u v v u x x y y ∂∂∂∂+⋅-∂∂∂∂ ∴,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ ∴满足C-R 条件．(3)当z 沿y =x 趋向于零时，有()()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1ix y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++ ∴0lim z f z→∆∆不存在．即f (z )在z =0处不可导．11. 设区域D 位于上半平面，D 1是D 关于x 轴的对称区域，若f(z)在区域D 解析，求证()()F z f z =在区域D 1解析．证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )，因为f (z )在区域D 解析．所以u (x ,y ),v (x ,y )在D 可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂． ()()()()(),iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ϕψ=---=+，得(),u x y x xϕ∂-∂=∂∂ ()(),,u x y u x y y y y ϕ∂-∂-∂==-∂∂∂ (),v x y x xψ-∂-∂=∂∂ ()(),,v x y v x y y y y ψ∂-∂-∂=+=∂∂∂ 故φ(x ,y ),ψ(x ,y )在D 1可微且满足C-R 条件,x y y x ϕψϕψ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 从而()f z 在D 1解析13. 计算下列各值(1) e 2+i =e 2∙e i =e 2∙(cos1+isin1)(2)22π22i 33333ππ1e e e e cos isin e 332iπ--⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (3)()()2222222222i i 222222Re e Re e e Re e cos isin e cos x yx y x yx y x y x x y x x y y y x y x y y x y -+-++++=⋅⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⋅-+-⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭(4)()()i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x-+-+---=⋅=⋅=14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f (z )=z +e z 的极限．解：令z =r e i θ，对于∀θ，z →∞时，r →∞．故()()()i i e i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θθθθθ→∞→+∞+=+=∞． 所以()lim z f z →∞=∞．15. 计算下列各值．(1)()()3ln 23i iarg 23i i πarctan 2⎛⎫-+-+=- ⎪⎝⎭(2)()()ππln 3ln iarg 3ln i ln i 66⎛⎫==-= ⎪⎝⎭(3)ln(e i )=ln1+iarg(e i)=ln1+i=i(4)()()πln ie ln e iarg ie 1i 2=+=+16. 试讨论函数f (z )=|z |+ln z 的连续性与可导性．解：显然g (z )=|z |在复平面上连续，ln z 除负实轴及原点外处处连续． 设z =x +i y，()()()||,i ,g z z u x y v x y =+()(),,0u x y v x y ==在复平面可微．()1222122u u x y x x y -∂∂=+⋅==∂∂00v v x y∂∂==∂∂ 故g (z )=|z |在复平面上处处不可导．从而f (x )=|z |+ln z 在复平面上处处不可导．f (z )在复平面除原点及负实轴外处处连续．17. 计算下列各值．(1) ()()()()()1i π1i i 2πi 1i ln 1i 1i ln 1i 4ππi 2π44π2π4π2π41i e e e ππe i 2π44ee ππe cos isin 44ππe cos isin 44k k k k k -⎛⎫-⋅+ ⎪-+-⋅+⎝⎭⎛-+ ⎝+++====+-++=⋅⎡⎤⎛⎛=⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎡⎤⎛⎛⋅-+- ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ (2)(()())()()(()()(5ln 3ln 3i π2πi 3π233e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+⋅++-=====++=⋅++ (3)()()i i ln1iln1i ln1i 02πi i 2πi 2π1e e e e e k k k ----⋅+⋅+-⋅=====()()()1i1iln1i lnππ1i ln1i2πi1i2πi i44ππππi2π2πi i2π2π4444π2π4π2π4e ee ee e eππe cos isin44()4ek kkk k kkk+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+-++-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+- ⎪⎝⎭--======⋅⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎫=⋅⎪⎭18. 计算下列各值(1)()()()()iπ5i iπ5i iπ5iπ5555555e e e ecosπ5i22e e1e e e ech5222+-+--+---+++==-+---+===-=-(2)()()()()()i15i i15i i5i5555555e e e esin15i2i2ie cos1isin1e cos1isin12ie e e esin1i cos122---+--------==+-⋅-=++=⋅-⋅(3)()()()()()()()()i3i i3ii3i i3i22e esin3i sin6isin22itan3icos3i e e2ch1sin32i----------===-+-(4) ()()()222i i2222222222221sin e e sin ch i cos sh2isin ch cos shsin ch sh cos sin shsin shy x y xz x y x yx y x yx y y x x yx y-+-=⋅-=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-++⋅=+(5)(())()arcsin i i ln i i ln1i ln1i2π0,1,i ln1iπ2πkkk=-=-±⎧⎡⎤-+⎣⎦⎪==±⎨⎡⎤⎪-++⎣⎦⎩(6)()()()i1i12i i21 arctan12i ln ln i21i12i2551iπarctan2ln524k++⎛⎫+=-=-⋅-+⎪-+⎝⎭=++⋅19. 求解下列方程(1) sin z=2．解：()(((1arcsin 2ln 2i ln 2i i1i ln 22πi 212πi ln 2,0,1,2z k k k ⎡⎤==±=-±⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-±++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+±+=± ⎪⎝⎭(2)e 10z -=解：e 1z =即()πln 1ln 2i2πi 31ln 22πi 3z k k =+=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (3)πln i 2z = 解：πln i 2z = 即πi 2e i z == (4)()ln 1i 0z -+= 解：()π1ln 1i i 2πi 2πi 44z k k ⎛⎫-+=⋅+=+ ⎪⎝⎭．20. 若z =x +i y ，求证(1) sin z =sin x ch y +icos x ∙sh y 证明：()()()i i i i i i i e e e e sin 2i 2i1.e e 2isin ch i cos .sh x y x y iz z y x y x z x y x y+-+⋅--+---===-=⋅+ (2)cos z =cos x ∙ch y -isin x ∙sh y 证明：()()()()()()()i i i i i i i i e e 1cos e e 221e e 21e cos isin e .cos isin 2e e e e .cos isin .22cos .ch isin .sh z z x y x y y x y x y y y y y y z x x x x x x x y x y-+-+-+----+==⋅+=+=⋅++-⎡⎤+-+=-⎢⎥⎣⎦=- (3)|sin z |2=sin 2x +sh 2y 证明：()i i 1sin e e sin ch icos sh 2iy x y x z x y x y -+-=-=⋅+⋅()()2222222222222sin sin ch cos .sh sin ch sh cos sin sh sin sh z x y x y x y y x x y x y =+=-++=+(4)|cos z |2=cos 2x +sh 2y证明：cos cos ch isin sh z x y x y =- ()()2222222222222cos cos .ch sin .sh cos ch sh cos sin .sh cos sh z x y x y x y y x x y x y=+=-++=+21. 证明当y →∞时，|sin(x +i y )|和|cos(x +i y )|都趋于无穷大． 证明：()()i i i i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=-=⋅- ∴i i i i 1sin e 2e e e e y x y x y x y y x yz e -+--+--=⋅-== 而()()i i 11sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥ 当y →+∞时，e -y →0，e y →+∞有|sin z |→∞．当y →-∞时，e -y →+∞，e y →0有|sin z |→∞． 同理得()()i i11cos i e e e e 22y x y x y y x y -+--+=+-≥ 所以当y →∞时有|cos z |→∞．。