辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期12月月考试题 数学(文) Word版含答案
【最新题库】2015-2016年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
22．（ 12 分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为 F（﹣ 1，0），点 F 到右
顶点的距离为 +1． （ 1）求该椭圆方程； （ 2）已知经过点 F 且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A， B 两点，点 M （﹣ ，0），
求 ? 的值；
（ 3）若经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，点 M（﹣ ，0），问 ?
15．（ 5 分）已知两点 F1（0，﹣ 1），F2（ 0，1），且 | F1F2| 是| PF1| 与 | PF2| 的等差
中项，则动点 P 的轨迹方程是
=1 ．
【解答】 解：∵ F1（0，﹣ 1）， F2（0，1）， ∴ | F1F2| =2， ∵ | F1F2| 是| PF1| 与 | PF2| 的等差中项， ∴ 2| F1F2| =| PF1|+| PF2| ， 即 | PF1|+| PF2| =4， ∴点 P 在以 F1， F2 为焦点的椭圆上，
B．2
C．3
D．4
9．（5 分）已知 F 是抛物线 y2=8x 的焦点， A，B 是该抛物线上两个不同的点，
| AF|+| BF| =12，则线段 AB 中点 M 的横坐标为（
）
A．16
B．8
C．6
D．4
10．（ 5 分）已知函数 y=f（x），其导函数 y=f （′x）的图象如图所示，则 y=f（x）
A．﹣ 2
B．2
C．﹣ 1
） D．1
【解答】 解：∵等差数列 { an} 满足 a3+a9=2， ∴由等差数列的性质可得 a6= （a3+a9）=1 故选： D．
5．（5 分）在△ ABC中， B=30°， C=45°，c=1，则 b=（
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沈阳二中2014——2015学年度上学期第三阶段测试 高二（16届）语文试题 本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，满分150分，考试时间150分钟，考试结束后请将答题卡交回。
第Ⅰ卷 阅读题 课内基础知识（9分，每小题3分） 1. 下列各选项中，不都含有通假字的一项是（3分）（ ） A. 诲女知之乎 如日月之食焉 而谁以易之 B. 举直错诸枉 无欲速，无见小利 乡也吾见于夫子而问知 C. 毋吾以也 莫春者，春服既成 君子一言以为知 D. 夫子矢之曰 植其杖而芸 且而与其从辟人之士也 2. 下列各选项中，词类活用分类正确的一项是（3分）（ ） ①?不仁者远矣? ②足食，足兵? ③子路从而后?④?能使枉者直? ⑤举直错诸枉 ⑥所谓立之斯立? ⑦?过而不改 ?⑧非道弘人 ⑨?犹天之不可阶而升也 A. ①/②⑧/③⑦⑨/④⑤⑥ B. ①③④/②⑥⑧/⑤/⑦⑨ C. ①④⑤/②⑧/③⑦/⑥⑨ D. ①④/②⑥⑧/③⑦⑨/⑤ 3. 下列各选项中，加点词的解释全都正确的一项是（3分）（ ） A. ①叔孙武叔毁仲尼（毁：诽谤） ②当仁，不让于师（当：遇到） ③请事斯语矣（事：从事） ④加之以师旅（加：攻打） B．①多见其不知量也（多：多数） ②抑为之不厌（抑：不过） ③异乎三子者之撰（撰：陈述） ④且知方也（方：方法） C. ①舍瑟而作（作：站起来） ②天下有道，丘不与易也（易：变革） ③使子路反见之（见：引见） ④请问其目（目：条目） D. ①今之从政者殆而（殆：危险） ②如会同（如：如同） ③小人之过也必文（文：掩饰） ④不仁者不可以久处约（约：贫困） 二、古代诗文阅读（36分） （一）文言文阅读（19分） 阅读下面的文言文，完成4～7题。
高进之，沛国人。
父瓒，有拳勇，尝送友人之丧，丧反，友妻为士宦所掠，瓒救之，杀七人，而友妻亦刎颈死，遂亡命江湖。
进之生十三年，母刘死，葬毕，走四方，求父不得。
沈阳二中2016届高三数学12月月考试题理科含答案
沈阳二中2016届高三数学12月月考试题（理科含答案）沈阳二中2015-2016学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三（16届）数学试题(理科)说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设，则（）A．B．C．D．2.已知数列满足x1＝1，x2＝23，且1xn－1＋1xn＋1＝2xn(n≥2)，则xn等于()A.23n-1B.23nC.n＋12D.2n＋13．下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆否命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知函数的图像是连续不断的，有如下的，的对应表123456136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数存在零点的区间有()A．区间B．区间C．区间D．区间5.已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β6.已知的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．27.已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比有x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a等于()A.nB.2nC.n2D.nn8.6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A.40种B.48种C.60种D.68种9.设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[0，]D．[0，]10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.B.C.D.11.如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.4B.C.D.12.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．14.等比数列中，a3=9前三项和为S3=3x2dx，则公比q的值是________．15.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为．16．已知椭圆（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则=_____ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列中，a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2).(1)求数列的通项公式；(2)求数列1an的前n项和Sn.18．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，3sinCcosC－cos2C＝12，且c＝3.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值.19．（本小题满分12分）某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率; (3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=P(χ2k)0.050.010k3.8416.63520．（本小题满分12分）如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．21．（本小题满分12分）已知椭圆M的左、右焦点分别为F1(－3，0)、F2(3，0)，且抛物线x2＝4y的焦点为椭圆M的顶点，过点P(0,2)的直线l与椭圆M交于不同的两点A、B.(1)求椭圆M的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若S△OAB＝45，是否存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足OQ→＝m(OA→＋OB→)？若存在，试求出m的值；若不存在，试说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．数学试题答案(理科)1-----12BDCCADDBBABB13.1214.1或﹣15.16.17.解(1)∵a1＝2，an＝an－1＋2n(n∈N*，n≥2)，∴a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，……，an－an－1＝2n，以上各式相加得an＝a2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)，当n＝1时，a1＝2也适合上式，∴an＝n(n＋1)(n∈N*).--------------------------------5分(2)由(1)得an＝n(n＋1)，∴1an＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，∴Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an＝11－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.---------------10分18.解(1)∵3sinC cosC－cos2C＝12，∴32sin2C－12cos2C＝1，即sin2C－π6＝1，∵0Cπ，∴2C－π6＝π2，解得C＝π3.----------------6分(2)∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0，由正弦定理asinA＝bsinB得b＝2a.①∵c＝3，由余弦定理得9＝a2＋b2－2abcosπ3，②联立方程①②得a＝3，b＝23.------------------------------12分19.解:(1)300×=90,---------------------------------2分所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4时的概率的估计值为0.75.---4分(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4时,75人的每周平均体育运动时间不超过4时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得χ2=≈4.7623.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12分20.解答：（Ⅰ）证明：如图，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；----------------------------------------------4分（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），设M（x0，y0，z0），由，得，∴x0=0，，则M（0，λ，），设平面BDM的法向量，则，∴，令x=1，得．∵平面ABF的法向量，∴，解得：．∴M（0，），∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处．-------------------------12分21.解(1)由题意得抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0,1).所以椭圆M的一个顶点为(0,1)，又其焦点为F1(－3，0)，F2(3，0).故c＝3，b＝1，a＝2.所以椭圆M的方程为x24＋y2＝1.--------------2分(2)当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，此时A、B为椭圆M短轴的两个端点，A、B、O三点共线，显然不符合题意.当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2.联立方程x24＋y2＝1，y＝kx＋2，代入消去y整理得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系可得，x1＋x2＝－16k4k2＋1，x1x2＝124k2＋1，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－16k4k2＋12－4×124k2＋1＝14k2＋12[(－16k)2－48(4k2＋1)]＝164k2－34k2＋12，故|x1－x2|＝44k2－34k2＋1，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝41＋k24k2－34k2＋1.而点O到直线l的距离d＝21＋k2，所以△OAB的面积S＝12|AB|d＝1241＋k24k2－34k2＋121＋k2＝44k2－34k2＋1.设t＝4k2－30，故k2＝t2＋34，所以S＝4t4t2＋34＋1＝4tt2＋4＝4t＋4t，因为t0，所以t＋4t≥2t4t＝4，当且仅当t＝4t，即t＝2时取得等号，此时k2＝74，解得k＝±72，S取得最大值1.故△OAB面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8分(3)由(2)可知，△OAB的面积S＝44k2－34k2＋1＝45，即54k2－3＝4k2＋1，两边平方整理得4k4－23k2＋19＝0，解得k2＝1或k2＝194.设Q(x0，y0)，由OQ→＝m(OA→＋OB→)，解得x0＝m(x1＋x2)＝－16km4k2＋1，y0＝m(y1＋y2)＝m(kx1＋2＋kx2＋2)＝m[k(x1＋x2)＋4]＝m－16k24k2＋1＋4＝4m4k2＋1.故Q－16km4k2＋1，4m4k2＋1，由点Q在椭圆M上可得－16km4k2＋124＋4m4k2＋12＝1，整理得64k2m2＋16m2＝(4k2＋1)2，解得m2＝4k2＋116，故m2＝516或m2＝54.因为m1，故m＝52.---------------------------------------------1 2分所以存在实数m＝52，使得椭圆M上存在点Q，满足OQ→＝m(OA→＋OB→).22.解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．--------------------------------------2分∴b的取值范围是．（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，ymin=4+2b．综上所述：----------------------------6分（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！----------------12分。
辽宁省沈阳二中2015届高三上学期12月月考数学(文)试题及答案
沈阳二中2015届高三上学期12月月考数学（文）试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1．已知R 是实数集，集合3|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,{}N=y y x =+,则()R NC M =( ).[0,2]A .[2,)B +∞ .(,2]C -∞ .[2,3]D,得到如下的列联表:由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,算得27.8K ≈ 附表:参照附表,得到的正确结论是 （ ） A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”3．已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则；④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 5．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 6.点(),a b 在直线23x y +=上移动，则24ab+的最小值是（ ）A.8B. 6C.D.7．直线l：(y k x =与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A . [)0,πB . 3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C .0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D . 3[,)(,]4224ππππ 8. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A . 28π+B . 88π+ C . 48π+ D . 68π+9．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a≤－1有唯一解,则a 的取值为( )A B D ．10.已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ，0t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为 A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭11．已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩ (](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( ) A ．83⎫⎪⎪⎭， B ．C ．4833⎛⎫⎪⎝⎭， D ．43⎛ ⎝12.函数()||()x x af x e a R e =+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值范围是 （ ）正视图侧视图俯视图A ．[]1,1-∈a B.]0,1[-∈a C ．[0,1]a ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈e e a ,1第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为 ________14．在数列{}n a 中，121,(1) 1.nn n a a a +=+-=记n s 是数列{}n a 的前n 项和，则100s =15.已知正三棱锥-P ABC ,点,,,P A B C 的球面上,若,,PA PB PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为_____________. 16．在ABC ∆中，16,7,cos ,5AC BC A O ABC ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+ 01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=.. （I ）求2sin cos 22A CB ++的值； （II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值.18. （本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),,第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人. (Ⅰ)求第七组的频率;(Ⅱ)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上(含180cm)的人数;(Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,x y ,事件=E {5x y -≤},事件F ={15->x y },求()P E F .19. （本小题满分12分）如图,PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面,2,AD PA CD ===E 、F 分别是AB 、PD 的中点.(1)求证:AF//平面PCE;(2)求证:平面PCE ⊥平面PCD; (3)求四面体PEFC 的体积.20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，都有22n n n a S a =-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设()131.2n n a n n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈；都有1n n b b +>成立.21. （本小题满分12分）已知中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆过点P ,且它的离心率21=e . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点,若椭圆上一点C 满足OC ON OM λ=+,求实数λ的取值范围.22．（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()323333f x x x ax a =-+-+ （Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当x ∈ [0，2]时，求|f(x)|的最大值．参考答案一.选择题: D C C D B C B A D C B A二.填空题: 13. 54 14.130015.16. 17．18．解：(Ⅰ)第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=; ……3分(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=, 身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=, 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=, 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=,由于0.040.080.20.320.5++=<,0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ,则170175<<m 由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,所以身高在180cm 以上(含180cm)的人数为0.18800144⨯=人 ………7分(Ⅲ)第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况,因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况,故7()15P E =由于max 19518015x y -=-=,所以事件F ={15->x y }是不可能事件,()0P F = 由于事件E 和事件F 是互斥事件,所以7()()()15P E F P E P F =+=…………12分 19．解：20. 解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，……………① 当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，………………②………………2分 由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分 (1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>-…１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈由已知得:2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 所以椭圆的标准方程为: 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ (Ⅱ) 因为直线l :y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切所以2112(0)t k t t -=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈把t kx y +=代入22186x y +=并整理得: 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ,则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 因为,),(2121y y x x OC ++=λ, 所以,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC ┈┈9 又因为点C 在椭圆上, 所以,222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 222222221134()()1t kt tλ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++tt ┈┈┈┈┈ 11 所以 202λ<<,所以 λ的取值范围为(0)(0,2) ┈┈┈┈ 1222．解。
2015-2016年辽宁省沈阳二中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．49．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是．15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选：D．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=．复数z+的虚部是：．故选：A．3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵1＞a=2﹣0.5=，b=log20152016＞1，c=sin1830°=sin30°=，∴b＞a＞c，故选：D．4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g （x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选：A．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+【解答】解：由向量和共线知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2．故选：B．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x 4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B．12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）【解答】解：根据题意可得∴构造函数﹣1∵，∴x所在区间为（0.3，0.4）即cos72°的值所在区间为（0.3，0.4）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是﹣．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是[，] ．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=5．【解答】解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5，故答案为：516．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F （1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x ﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（3分）（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n﹣2a n=a n+1+2．+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…（5分）所以a n+1所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…（8分）设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…（11分）所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…（13分）20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解答】解：（Ⅰ）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元（2分）∵C（0）==4，∴k=1000；（3分）∴y=0.2x+×4=0.2x+，x≥0﹒（6分）（Ⅱ）y=0.2（x+5+）﹣1≥0.2×40﹣1=7当x+5=，即x=15时，y min=7∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元（12分）21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…（1分）由为偶函数，得为偶函数，显然有．…（2分）又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…（3分）又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…（4分）显然，当时，不符合题意．…（5分）当时，应满足，注意到，解得．…（7分）所以．…（8分）（Ⅱ）证明：因为，所以．…（9分）要证不等式成立，即证．…（10分）因为，…（12分）所以=．所以成立．…（14分）22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．。
【数学】辽宁省沈阳市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试(文).docx
沈阳二中 2015—— 2016 学年度上学期期中考试高二（ 17 届）数学（文科）试题第Ⅰ卷（60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合 Ax | x a 1 ， Bx | x 2 5x 4 0 ，若 AB, 则实数 a 的取值范围是（）A. 2,3B. 2,3C.[2,) D .( ,3]2.设 a R ,则 “a 1 ”是 “直线 l 1 : ax2 y1 0 与直线 l 2: x ( a 1) y 4 0 平行 ”的（）A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3． fx 在 x 0 处可导 , a 为常数 ,则 lim f x 0 a xf x 0a x（）xxA ． f ' x 0B.2af ' x 0C ． af ' x 0D ． 0xy ，则下列关系式恒成立的是（）4.a a 0 a1已知实数 x, y 满足A.x 3 y 3B.sin xsin y C.ln x21 ln y 21D .1121y 21x5.如果执行如图所示的程序，那么输出的值k =（）A.3B.4C.5D.66.若函数 f(x)＝ 2x 3－ 9x 2＋ 12x － a 恰好有两个不同零点，则 a 可能为 ()A ． 4B ． 6C ．7D ． 87.若定义在区间（ -2，-1）的函数f ( x) log( 2a 3 )( x2) 满足 f ( x) 0，则实数 a 的取值范围（）A. 3,2 B. 2, C.3, D. 1,3 2228. 下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是．．．．．()A ．①②B．③④C．①③D．②④n的前n项和为S n,若1 a542 a6≤3 ，则S6的取值范围是 ( )9.设等差数列a≤≤ ，≤A. 3,33B.15,39C.12,42D. 15,4210.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M, 若在点M处的切线平行于的一条渐近线,则=（）A ．B．C．D．11. f x 是定义在0，上的非负可导函数，且满足xf ' x f x0 ，对任意正数a, b, 若 a b，则必有（）A.af ( b) bf aB.bf ( a) af bC.af ( a) bf b D .bf (b) af a12.下列三图中的多边形均为正多边形，M、 N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的 F 1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2， e3，则()A ． e 1＞ e 2＞ e 3B ． e 1＜e 2＜e 3C ． e 1＝ e 3＜ e 2D ． e 1＝ e 3＞ e 2第Ⅱ卷 （90 分）二、填空题 : 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知方程x 2y21表示的曲线是焦点在 x 轴上且离心率为1的椭圆，则 mm214.定义在 R 上的偶函数 y f x在 0,上单调递增， 则不等式 f2 x 1f 3 的解集为15.已知 f ( x)x3f '( 2) x 2x ，则 f ( x) 的图像在点2 , f 2 处的切线斜率是33 316.已知 f ( x)xe x , g( x)( x1) 2 a, 若 x 1 , x 2 R, 使得 f x 2g x 1 成立，则实数 a 的取值范围是三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17.（本小题满分 10 分）已知函数 f xk 2 x 42x 3kx 2 2x ，是否存在实数 k ，使函数在1,2 上递减，在32,上递增？若存在，求出所有 k 值；若不存在，请说明理由 .18.（本小题满分 12 分）设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c, a2bsin A（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）求 cosAsinC 的取值范围。
2015-2016学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式（x﹣1）（x+2）≤0的解集为（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）2．已知命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1 B．∀x∈R，cosx≥1 C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞13．“x＞2”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{a n}满足a3+a9=2，则a6=（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．15．在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1，则b=（）A．B．C．D．6．双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x7．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]8．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知F是抛物线y2=8x的焦点，A，B是该抛物线上两个不同的点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点M 的横坐标为（）A．16 B．8 C．6 D．410．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取极小值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取极大值11．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=．14．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5=．15．已知两点F1（0，﹣1），F2（0，1），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是．16．已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知函数f（x）=x2+ax+4（Ⅰ）当a=﹣5时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．18．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=5，c=7，求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在点x=1处有极小值﹣1．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．20．已知等差数列{a n}满足a3=5，a5+a7=22，等差数列{a n}的前n项和S n（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=2x﹣lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）若对任意x≥1，函数f（x）的图象总在直线y=ax﹣2的上方，求实数a的取值范围．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），点F到右顶点的距离为+1．（1）求该椭圆方程；（2）已知经过点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，点M（﹣，0），求•的值；（3）若经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M（﹣，0），问•是否为定值？并说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式（x﹣1）（x+2）≤0的解集为（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】原不等式等价于或，由此能求出结果．【解答】解：∵不等式（x﹣1）（x+2）≤0，∴或，解得﹣2≤x≤1，∴不等式（x﹣1）（x+2）≤0的解集为[﹣2，1]．故选：B．2．已知命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1 B．∀x∈R，cosx≥1 C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞1【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接依据依据特称命题的否定写出其否定．【解答】解：命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为∃x∈R，cosx＞1故选C3．“x＞2”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x＞1，我们不一定能得出x＞2；x＞2时，必然有x＞1，故可得结论【解答】解：由x＞1，我们不一定能得出x＞2，比如x=1.5，所以x＞1不是x＞2的充分条件；∵x＞2＞1，∴由x＞2，能得出x＞1，∴x＞1是x＞2的必要条件∴x＞2是x＞1的充分不必要条件故答案为A．4．已知等差数列{a n}满足a3+a9=2，则a6=（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得a6=（a3+a9），代值计算可得．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a3+a9=2，∴由等差数列的性质可得a6=（a3+a9）=1故选：D5．在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1，则b=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由C，c，B的值，利用正弦定理求出b的值．【解答】解：∵在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1，∴由正弦定理可得：b===，故选：B．6．双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，可得双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线中a=2，b=5，∴双曲线的渐近线方程是=．故选C．7．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．8．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用“1”的代换的思想，将转化为（）（x+y），展开，利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵x+y=1，∴=（）（x+y）=+2=4，当且仅当，即x=y=时取“=”，∴的最小值为4．故选：D．9．已知F是抛物线y2=8x的焦点，A，B是该抛物线上两个不同的点，|AF|+|BF|=12，则线段AB中点M 的横坐标为（）A．16 B．8 C．6 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：F是抛物线y2=8x的焦点F（2，0）准线方程x=﹣2，设A（x1，y1）B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=12，解得x1+x2=8∴线段AB的中点横坐标为：4．故选：D10．已知函数y=f（x），其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取极小值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取极大值【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误．由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，可知B、D错误．故选C．11．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线的通径与∠AF1B=90°，得到a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知，双曲线的通径为：，因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若∠AF1B=90°，所以2c=，所以2ca=c2﹣a2，所以e2﹣2e﹣1=0，解得e=1±，因为e＞1，所以e=．故选C．12．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【考点】函数单调性的性质；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得==代入可求．【解答】解：∵q=2，∴====．故答案为：．14．数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5=．【考点】数列的求和．【分析】S5=a1+a2+…+a5=，然后利用裂项求和法进行运算．【解答】解：S5=a1+a2+…+a5====．故答案为．15．已知两点F1（0，﹣1），F2（0，1），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是=1．【考点】轨迹方程．【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．【解答】解：∵F1（0，﹣1），F2（0，1），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2，c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是=1．故答案为：=1．16．已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，﹣1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，，∵线段AB的中点坐标为（1，﹣1），∴=，∵直线的斜率为=，∴=，∵右焦点为F（3，0），∴a2﹣b2=9，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为：．故答案为：．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知函数f（x）=x2+ax+4（Ⅰ）当a=﹣5时，解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=5时，解不等式x2+5x+4＞0即可；（Ⅱ）不等式f（x）＞0的解集为R，利用△＜0求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=5时，不等式f（x）＞0为x2+5x+4＞0，可化为（x+4）（x+1）＞0，解得x＜﹣4或x＞﹣1，∴该不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）；（Ⅱ）若不等式f（x）＞0的解集为R，即x2+ax+4＞0的解集为R；∴△=a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4，∴实数a的取值范围是（﹣4，4）．18．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=5，c=7，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．（Ⅱ）由正弦定理可求sinA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式可求sinB，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．（Ⅱ）∵C=，a=5，c=7，∴由正弦定理可得：sinA===，可求cosA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S△ABC=acsinB==10．19．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在点x=1处有极小值﹣1．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，直接f′（1）=0，f（1）=﹣1，fqca，b．（Ⅱ）利用导数的几何意义即可求线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2﹣6ax+2b，函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，∴f（1）=﹣1，f′（1）=0∴1﹣3a+2b=﹣1，3﹣6a+2b=0解得a=，b=﹣．（Ⅱ）∵f（x）=x3﹣x2﹣x，f（0）=0，∴f′（0）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=﹣x，即x+y=0．则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y=0．20．已知等差数列{a n}满足a3=5，a5+a7=22，等差数列{a n}的前n项和S n（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）b n=2n a n=（2n﹣1）•2n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=5，a5+a7=22，∴，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．S n=n+=n2．（II）b n=2n a n=（2n﹣1）•2n．∴数列{b n}的前n项和T n=1×2+3×22+5×23…+（2n﹣1）•2n．2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣4，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+4．21．已知函数f（x）=2x﹣lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）若对任意x≥1，函数f（x）的图象总在直线y=ax﹣2的上方，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，由此能求出f（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）分离参数，问题转化为a≤2﹣+在x∈[1，+∞）恒成立，根据函数的单调性，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2x﹣lnx的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=2﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）=f（）=1+ln2；最小值（Ⅱ）若对任意x≥1，函数f（x）的图象总在直线y=ax﹣2的上方，则2x﹣lnx﹣ax+2≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即a≤2﹣+在x∈[1，+∞）恒成立，令h（x）=2﹣+，（x≥1），h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞e3，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜e3，∴h（x）在（0，e3）递减，在（e3，+∞）递增，∴h（x）min=h（e3）=2﹣，∴a≤2﹣．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），点F到右顶点的距离为+1．（1）求该椭圆方程；（2）已知经过点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，点M（﹣，0），求•的值；（3）若经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M（﹣，0），问•是否为定值？并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c和a+c，解得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）写出直线方程x=﹣1，代入椭圆方程求得A，B的坐标，进一步求得的坐标，代入数量积公式得答案；（3）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积公式求解．【解答】解：（1）由题意得c=1，a+c=，∴a=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的方程为；（2）把x=﹣1代入，解得：y=，∴A（﹣1，），B（﹣1，），又M（﹣，0），∴，则•=；（3）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+k，联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．y1y2=（kx1+k）（kx2+k）=，∴•=====．又由（2）知，当直线l垂直于x轴时•=﹣．∴•是定值﹣．2016年6月24日。
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高一上学期12月月考试题 数学 word版
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高一上学期12月月考试题 数学测试时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1、已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2,4}A =，{2,3,4}B = 则U A B = ð()A. {1}B. {2,3}C. {1,2,4}D. ∅2、已知函数21()1,0()2log ,0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩ 则1(())2f f =()A. 0B. 12-C. 1D. 32- 3、将()ln 1y x =-的图象向()平移1个单位，再作关于直线y x =对称的图象，可得到e xy =的图象。
A. 上B. 下C. 左D. 右4、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列说法正确的是()A. 若//,//,//m n m n αα则B. 若,,//αγβγαβ⊥⊥则C. 若//,//,//m m αβαβ则D. 若,,//m n m n αα⊥⊥则5、函数2311(),(1,)(,1)3133x f x x x -=∈---+ 的值域是() A. 15(,)(,)42-∞-+∞ B. 15(,)42- C. 15(,0)(,)42-+∞ D. 15(,)(0,)42-∞-6、若直线22(23)()410m m x m m y m +-+--+=在x 轴上的截距是1，则实数m=()A. B. 2 C. 12-D. 12-或27、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A. 12B. 10C. 8D.68、已知{}A =正四棱柱，{}B =直四棱柱，{}C =长方体，{}D =直平行六面体，则()A. A C B D ⊆⊆⊆B. C A B D ⊆⊆⊆C. C A D B ⊆⊆⊆D. A C D B ⊆⊆⊆9、设数2(log )f x 的定义域是()2,4，则函数2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域是()A. ()2,4B. ()2,8C. ()8,32D. 1(,1)210、三棱台111ABC A B C -中，11:1:3AB A B =， 则三棱锥111A ABC B A B C --与的体积比为()A. B. 1:3 C. 1: D. 1:911、下列说法正确的是()①要得到函数()lg 1y x =-的图象，只需将函数()lg y x =-的图象向左平移一个单位. ②要得到函数()lg 1y x =-的图象，只需将函数()lg y x =-的图象向右平移一个单位. ③要得到函数()lg 1y x =-的图象，只需将函数()lg 1y x =+的图象关于y 轴做对称. ④要得到函数()lg 1y x =-的图象，只需将函数()lg 1y x =-的图象关于y 轴做对称. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④12、如图，PA 垂直于O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，对于下列说法，正确的个数是()①BC PAC ⊥. ②AF PBC ⊥. ③EF PB ⊥. ④AE PBC ⊥. A. 4 B. C. 2 D . 3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，45ABC ∠= ,AB AD ==DC BC ⊥，这个平面图形的面积为______14、用二分法求函数()f x 在区间[]0,2上零点的近似解(精确到0.01)，若()()020f f <，取区间中点11x =，计算得()()100f f x <，则此时可以判定零点0x ∈______(填区间)15、三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，且2,1AB AD AC ===，则,A B 两点在三棱锥的外接球上的球面距离为______16、已知)2()log e f x a x =⋅+（,a b 为常数，e 为自然对数的底），且()lg(log e)f ππ=， 则()lg(ln )f π=___________三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）化简：（1）a（222234278()+(lg5)2lg 2(lg2)(log 81)(log 64)27-+-+⋅ 18、（本小题满分12分）已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30 ，求正四棱锥的侧面积、全面积、体积.19、（本小题满分12分）已知221y x ax =++ （1）若当[1,2]x ∈-时，y 的最大值为4，求a . （2）若当[1,2]a ∈-时，y 的最大值为4，求x .20、（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，,G H 分别是CE 和CF 的中点.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求证：平面BDGH //平面AEF ； （3）求多面体ABCDEF 的体积.21、（本小题满分12分）在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ABCD ⊥，底面ABCD 是平行四边形，112AB AD A B ==，60BAD ∠= . （1）求证：1BB AC ⊥.（2）连结,AC BD ，设交点O ，连结1B O .设12,2AB D D ==，求三棱锥1B ABO -外接球的体积.22、（本小题满分12分） 已知函数22(log )log (1)f x x =+. （1）求()f x .（2）用定义证明()f x 在其定义域上为增函数. （3）解不等式12()log (421)x x f x <--+.参考答案一、选择题：ACCDA DBDAB CD二、填空题：13、4+ 14、(0,1) 15 16、2e π- 三、解答题：17、解：（1）a …………5 （2）174 (10)18、解：（1）=32S 侧 ……4 （2）=48S 全 ……8 （3）V =……12 19、解：（1）设()y f x =，则22()()1f x x a a =++-当(1)2a a ---≥-- 即12a ≤-时，max ()(1)224f x f a =-=-= 解得：1a =- 当(1)2a a ---<-- 即12a >-时，max ()(2)544f x f a ==+= 解得：14a =-114a a ∴=-=-或 (6)（2）设(),y g a = 则2()2(1)g a xa x =++ 当20x =即0x =时，()1g a = 不符合题设，舍去 当20x >即0x >时，2max ()(2)414g a g x x ==++=解得： 2x =-+或2x =-当20x <即0x <时，2max ()(1)214g a g x x =-=-+=解得：3x =（舍）或1x =-21x x ∴=-=- (12)20、（1）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD =BD ，且AC ∈平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF (4)（2）证明：在 CEF 中，因为,G H 分别是CE 和CF 的中点，所以GH // EF 又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH//平面AEF .设AC BD =O ，连接OH ，在 ACF 中，因为OA =OC ，CH =HF ，所以OH// AF ， 又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以OH//平面AEF ，因为OH GH =H ，OH ，GH ⊂平面BDGH 所以平面BDGH //平面AEF (8)（3）由（1）得AC ⊥平面BDEF，又因为AO =，四边形BDEF的面积13S =⋅= 所以四棱锥A-BDEF的体积1143V AO =⋅⋅=， 同理，四棱锥C-BDEF 的体积24V =， 所以多面体ABCDEF 的体积等于8. …………12 21、解：（1）111111111ABCD AC BDAC BDD AB AD BB AC DD ABCD DD AC AC DD BB BB BDD ⎫⎫⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥=⎬⎪⎭⇒⊥⎬⎪⊥⇒⊥⎭⎪⎪⇒⇒⊂⎭ 是是四棱台与交于一点…………6 （2）1111111111111111222////AB A B BD B D B D OD BD OD B D DO AC B D OD D D B O B O ABCD D D ABCD O ABB AB AD AO OB ABCD ⎫=⇒=⎫⇒=⎬⎪=⇒⎬⎭⎪⇒⎭⎫⇒⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎪⎭⇒-⎬=⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭⎭ 为是四棱台三棱锥三条侧棱互相垂直是2R V ⇒===12 22、解：（1）设2log x t =，则2t x =，∴2()log (21)t f t =+ ∴2()log (21)x f x =+. …………3 （2）设12,x x 是R 上任意两个不相等的实数，且12x x <，则210x x x ∆=-> ∴22112122221()()log (21)log (21)log 21x x x x y f x f x +∆=-=+-+=+2121 (21)(21)22x x x x +-+=- ∵21x x > ∴2122x x > ∴21(21)(21)0x x +-+>∵21210, 210x x +>+> ∴2121 >121x x ++ ∴212221log >log 1021x x +=+即0y ∆> ∴()f x 在R 上为增函数. (8)（3）原不等式化为：22log (21)log (421)x x x+<-+ ∴21421210x x x x ⎧+<-+⎪⎨+>⎪⎩ ∴1222x x +<即12x x +< 解得：1x > ∴解集为(1,)+∞. (12)。
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沈阳二中2015—2016学年度上学期12月月考高二（17届）数学试题（文科）说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ） A ． (1,2) B ． [1,2) C ． (1,2] D ．[1,2]2. 复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z （ ）A ．25B ．C ．5D ．3. 已知2log 3log a =+2log 9log b =-，3log 2c =则的大小关系是A ． a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ． a b c >> （ ）4. 已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 已知A 、B 、C 是圆O ： x 2＋y 2＝r 2上三点，且，则等于（ ）A ．0 B.12 C.32 D ．－326.已知数列{an }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．a n ＝2n －1B ． a n ＝2nC ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －37. 函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 8.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m等于（）A．5 B．6 C．7 D．89. 存在两条直线x＝±m与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．(1，2) B．(1，3) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)10.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集为（）A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1} 11.若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F和M(4,4)且与l相切的圆共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个12.已知双曲线221916x y-=，过其右焦点F的直线交双曲线于,P Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则MFPQ的值为（）A．53B．56C．54D．58第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．14.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋at＝7at，(a、t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t＝________.15.已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．16.已知函数22(2)e,0,()43,0,xx x xf xx x x⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k=+，若函数()g x恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）若函数2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y m =(m>0)相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列。
(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若点0,0()A x y 是()y f x =图象的对称中心，且0[0,]2x π∈,求点A 的坐标。
18.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明:2a =求数列{}n a 的通项公式;19．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，其中学习积极性高的同学中，积极参加班级工作的有18名，不太主动参加班级工作的有7名；学习积极性一般的同学中，积极参加班级工作的有6名，不太主动参加班级工作的有19名。
（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？参考公式：2K 统计量的表达式是：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-＝20.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴端点到焦点的距离为2。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A,B 是椭圆C 上的任意两点， O 是坐标原点，且OA ⊥OB ①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值；②任取以椭圆C 的长轴为直径的圆上一点P ，求P ∆AB 面积的最大值22（本小题满分12分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1,ln 1,)(23x x a x c bx x x x f 的图象过坐标原点O,且在点))1(,1(--f 处的切线的斜率是5-.（Ⅰ）求实数c b 、的值；（Ⅱ）求)(x f 在区间[]2,1-上的最大值；(Ⅲ)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由。
12月月考数学答案（文科）1. C2. C3. B4. D5. A6.A7. C8. B9. C 10. A 11. C 12. B13. 2 14. 55 15.(1，2) 16. 73,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．解：(Ⅰ) 21cos 211()sin sin cos sin 2)2242ax f x ax ax ax ax ax π-=-=-=++…由题意知，m 为()f x 的最大值，所以m =………5 (Ⅱ)由题设知，函数()f x 的周期为2π，∴2a = (7)∴1())42f x x π=++.令sin(4)04x π+=,得4 ()4x k k Z ππ+=∈,∴ ()416k x k Z ππ=-∈, 由0 ()4162k k Z πππ≤-≤∈，得1k =或2k =， 因此点A 的坐标为31(,)162π或71(,)162π.---------------------------1018.(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= ---------4(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. --------------------------1219.解：(Ⅰ)2×2列联表--------------------------------------------------4(Ⅱ) 设H 。
：学生的学习积极性与对待班级工作的态度没有关系262425257619185022⨯⨯⨯⨯⨯⨯）－（＝的观测值k K ＝13150≈11.5 ------------8 ∵k ＞6.635（或∵k ＞10.828）∴有99%的把握说学习的积极性与对待班级工作的态度有关系。
（或有99.9%的把握说学习的积极性与对待班级工作的态度有关系。
）-------1220.解析：（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-，()2101af x x x'=+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．(3)404af '=+= 16a = ------- 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-，(1,)x ∈-+∞216282(1)(3)()21111x x x x f x x x x x ---'=+-==+++令()0f x '=，得1,3x x == -- 6分 ()f x '和()f x 随x 的变化情况如下：22.解：（Ⅰ）当1<x 时，c bx x x x f +++-=23)(，则b x x x f ++-='23)(2。
依题意得：⎩⎨⎧-=-'=5)1(0)0(f f ，即⎩⎨⎧-=+--=5230b c 解得0==c b …………….3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,)(23x x a x x x x f①当11<≤-x 时，)32(323)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f 得320==x x 或 又2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f 。
∴)(x f 在)1,1[-上的最大值为2. ②当21≤≤x 时, x a x f ln )(=.当0≤a 时, 0)(≤x f ,)(x f 最大值为0； 当0>a 时, )(x f 在]2,1[上单调递增。