不等式2课时作业
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
高中数学2-3二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
第2课时 一元二次不等式的应用必备知识基础练1．不等式xx －2＜0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x ≤2}C ．{x |x <0或x ≥2}D ．{x |0<x <2}2．不等式2－xx≥0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x ≤2}C ．{x |x <0或x ≥2}D ．{x |x <0或x >2}3．[2022·河北廊坊高一期末]关于x 的一元二次不等式2x 2－kx ＋38>0对于一切实数x都成立，则实数k 满足( )A ．{k |k <3}B ．{k |k <－3}C ．{k |－3<k <3}D ．{k |k >3}4．若关于x 的不等式x 2－ax ＋4<0的解集为∅，则实数a 的取值集合为( ) A ．{a |－4≤a ≤4} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |－1≤a ≤2} D ．∅5．关于x 的不等式x 2－mx ＋1＞0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |0＜m ＜4} B ．{m |m ＜－2或m ＞2} C ．{m |－2≤m ≤2} D ．{m |－2＜m ＜2}6．[2022·湖南怀化高一期末](多选)集合A ＝{x |x －2x ＋1<0}也可以写成( ) A ．{x |(x －2)(x ＋1)<0} B ．{x |x ＋1x －2<0} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}7．不等式x －1x>0的解集为________． 8．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产x (千件)防护服的利润为y (千元)，且y ＝－x 2＋50x －600，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过________(千件).关键能力综合练1．不等式1x －1≥－1的解集为( ) A ．(－∞，0]B ．(－∞，0]∪(1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[0，＋∞)2．若不等式ax 2＋ax －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．－16≤a <0 B ．a >－16 C ．－16<a ≤0 D ．a <03．对任意实数x ，不等式2kx 2＋kx －3<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．0<k <24 B ．－24<k ≤0 C ．0<k ≤24 D ．k ≥244．关于x 的不等式3x ＋a x －1≤1的解集为{x |－52≤x <1}，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－72C ．32D ．4 5．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．10<x <20B ．15≤x <20C ．18<x <20D ．15≤x <256．[2022·福建厦门高一期末](多选)已知a ∈R ，关于x 的不等式 a （x －1）x －a>0的解集可能是( )A ．{x |1<x <a }B ．{x |x <1或x >a }C ．{x |x <a 或x >1}D ．∅7．已知“∃x ∈R ，使得2x 2＋ax ＋12≤0”是假命题，则实数的a 取值范围为________．8．已知函数f (x )＝ax 2－x －1，若f (x )<0的解集是{x |－12<x <1}，则a ＝________；若f (x )≤0恒成立，则a 的取值范围是________．9．已知f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1，若f (x )>0的解集为{x |－1<x <－12}．(1)求实数a 的值； (2)求关于x 的不等式ax ＋3x －1≤0的解集．10．[2022·湖北襄阳高一期末]关于实数x 的不等式2kx 2＋kx －38<0.(1)若k ＝1，求该不等式解集；(2)若该不等式对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．核心素养升级练1．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <122．若关于x 的不等式x 2＋mx ＋1≤0在0<x ≤2上有解，则实数m 的取值范围是________． 3．某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元(x 为正整数)，则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12 600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？第2课时 一元二次不等式的应用必备知识基础练1．答案：D解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）<0x －2≠0，解得：0<x <2，所以不等式xx －2<0的解集为{x |0<x <2}．2．答案：B解析：由原式得x (x －2)≤0且x ≠0，解得0<x ≤2，即不等式的解集为{x |0<x ≤2}． 3．答案：C解析：由题意Δ＝(－k )2－4×2×38<0，解得－3<k < 3.4．答案：A解析：由题意，得x 2－ax ＋4≥0恒成立，则Δ≤0，a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4. 5．答案：D解析：不等式x 2－mx ＋1>0的解集为R ， 所以Δ<0，即m 2－4<0， 解得－2<m <2. 6．答案：ABD解析：对于集合A ，解不等式x －2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）<0x ＋1≠0，解得－1<x <2，所以A＝{x |－1<x <2}，故D 正确．对于A 选项，{x |(x －2)(x ＋1)<0}＝{x |－1<x <2}，故A 正确；对于B 选项，解不等式x ＋1x －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －2）<0x －2≠0，得－1<x <2，即{x |x ＋1x －2<0}＝{x |－1<x <2}，故B 正确；对于C 选项，与集合A ＝{x |－1<x <2}比较显然错误，故C 错误． 7．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：x －1x>0同解于x (x －1)>0，解得：x <0或x >1，即原不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).8．答案：30解析：由题意，有y ＝－x 2＋50x －600≥0，即x 2－50x ＋600≤0， 解得20≤x ≤30，所以每天生产的防护服数量最多不能超过30千件．关键能力综合练1．答案：B 解析：1x －1≥－1，即1x －1＋1≥0，x x －1≥0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）≥0x －1≠0，解得x ≤0或x >1，故不等式1x －1≥－1的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞). 2．答案：C解析：当a ＝0时，ax 2＋ax －4<0，即－4<0，成立；当a ≠0时，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝a 2＋16a <0，解得－16<a <0. 综上所述：－16<a ≤0. 3．答案：B解析：当k ＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝k 2＋24k <0⇒－24<k <0，于是－24<k ≤0.4．答案：D解析：由3x ＋a x －1≤1⇔2x ＋a ＋1x －1≤0⇔(2x ＋a ＋1)(x －1)≤0且x 不等于1，由题意得，－a ＋12＝－52，解得a ＝4. 5．答案：B解析：由题意，得x [45－3(x －15)]>600，即x 2－30x ＋200<0，∴(x －10)(x －20)<0，解得10<x <20.又每盏的最低售价为15元，∴15≤x <20.6．答案：BCD解析：当a <0时，不等式等价于(x －1)(x －a )<0，解得a <x <1； 当a ＝0时，不等式的解集是∅；当0<a <1时，不等式等价于(x －1)(x －a )>0，解得x >1或x <a ； 当a ＝1时，不等式等价于(x －1)2>0，解得x ≠1；当a >1时，不等式等价于(x －1)(x －a )>0，解得x >a 或x <1.7．答案：－2<a <2解析：∵“∃x ∈R ，使得2x 2＋ax ＋12≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使2x 2＋ax ＋12>0”是真命题，∴判别式Δ＝a 2－4×2×12<0，∴－2<a <2. 8．答案：2 a ≤－14解析：由题意，知－12，1是方程ax 2－x －1＝0的两个根，所以－12＋1＝1a，所以a ＝2，若f (x )≤0为ax 2－x －1≤0, 当a ＝0时不等式不成立；当a ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝b 2－4ac ＝1＋4a ≤0解得a ≤－14， 所以a 的取值范围是a ≤－14.9．解析：(1)依题意，－1，－12是方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两根，且a <0，于是得⎩⎪⎨⎪⎧－1－12＝－a －1a－1×（－12）＝－1a，解得a ＝－2， 所以实数a 的值为－2.(2)由(1)知，a ＝－2，则原不等式为：－2x ＋3x －1≤0，即2x －3x －1≥0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（2x －3）（x －1）≥0x －1≠0，解得x <1或x ≥32，所以原不等式的解集为{x |x <1或x ≥32}．10．解析：(1)当k ＝1时，原不等式为：2x 2＋x －38<0，解得－34<x <14，所以不等式解集为{x |－34<x <14}．(2)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 恒成立，当k ＝0时，－38<0恒成立，故k ＝0满足题意；当k ≠0时，要使得不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k 2－4×2k ×（－38）<0，解得－3<k <0； 综上：－3<k ≤0.核心素养升级练1．答案：C解析：∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32.2．答案：m ≤－2 解析：因为0<x ≤2，所以，由x 2＋mx ＋1≤0得m ≤－x 2＋1x，因为关于x 的不等式x 2＋mx ＋1≤0在0<x ≤2上有解，所以只需m 小于等于－x 2＋1x的最大值，又－x 2＋1x ≤－2x x＝－2，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以m ≤－2，即实数m 的取值范围是m ≤－2.3．解析：设该旅店某晚的收入为y 元，则y ＝(50＋10x )(200－10x )，x ∈N *，由题意y >12 600，则(50＋10x )(200－10x )>12 600， 即10 000＋1 500x －100x 2>12 600， 即x 2－15x ＋26<0， 解得：2<x <13，且x ∈N *， ∴70<50＋10x <180，x ∈N *，所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间(不包括70元，180元).。
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：§2.2 第2课时 基本不等式的应用练习题
第2课时 基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答 案』 A『解 析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答 案』 D『解 析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答 案』 A『解 析』 由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答 案』 AC『解 析』 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答 案』 B『解 析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答 案』 4『解 析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答 案』 3＋2 2 『解 析』 ∵2m ＋n ＝1， 则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 『答 案』 160『解 析』 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32， 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？ 解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45， 即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答 案』 A『解 析』 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答 案』 AC『解 析』 设矩形的长和宽分别为x ，y ， 则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答 案』 16『解 析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 a ≤0『解 析』 因为x >－1，所以x ＋1>0， 则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解 析』 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ， 由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
基本不等式习题课
练习1：已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值.
练习2、已知a, b R ，且a 2b 1， 1 1 求 的最小值. a b
(3)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
b >0，若 3是 1.设 a >0，
得最小值为（
3a 与 3b
1 1 的等比中项，则 a b
( 2)设0 x 1,则函数y x(1 x )的最大值是____;
2.凑系数 ：使和成为定值
1 变式( 2).设0 x , y x(1 2 x )最大值是 ____ . 2
练习2：已知
1 0 x ，求 y x(1 3x) 的最大值。 3
2 5 练习： 已知 x 0, y 0 ， 1 , x y 求x+y的最小值。
B）
B. 4
（2009年天津理6）
A. 8
C. 1
D.
1 4
变式1： x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。 解：由题意得2x+8y=xy
2 8 x 0, y 0 1 y x 2 8 则x y ( x y )( ) y x
2x 8 y 10 y x 10 2 16 18
2 2 2
(a，b∈R)；
(a，b∈R).
以上各式当且仅当 a ＝ b 时取等号，并注意各式 中字母的取值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则
ab a b 2ab ab 2 2 ab
2
2
其中当且仅当a＝b时取等号.
不等式的基本性质(2)
课题：不等式的基天性质(2 课时 )教课目的：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
3.提升逻辑推理和分类议论的能力；培育条理思想的习惯和仔细谨慎的学习态度。
教课要点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教课难点：不等式的性质的运用教课过程：第1课时：问题情境：现有 A、B、 C、 D 四个长方体容器， A、 B 容器的底面积为 a2，高分别为 a、 b，C、D 容器的底面积为 b2，高分别为 a、b，此中 a≠ b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问假如你是甲，能否必定能保证两个容器所盛水比乙的多剖析：依题意可知：A、B、C、 D 四个容器的容积分别为a3、 a2b、ab2、b3，甲有 6 种取法。
问题能够转变为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依照：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不一样的两点中，右侧的点表示的实数比左侧的点表示的实数大。
在右图中，点 A 表示实数 a，点 B 表示实数 b，点B A x A 在点 B 右侧，那么 a＞ b。
而 a－b 表示 a 减去 b 所得的差，因为 a＞ b，则差是一个正数，即a－ b＞ 0。
命题：“若 a＞ b，则 a－ b＞ 0”建立；抗命题“若a－ b＞ 0，则 a＞ b”也正确。
近似地：若 a＜b，则 a－ b＜ 0；若 a＝ b，则 a－ b＝0。
抗命题也都正确。
结论： (1) “ a＞ b”?“ a－ b＞ 0”(2)“a＝ b”?“ a－ b＝ 0”(3)“a＜ b”?“ a－ b＜ 0” ——以上三条即为比较大小的依照：“作差比较法” 。
正负数运算性质： (1) 正数加正数是正数； (2) 正数乘正数是正数； (3) 正数乘负数是负数； (4)负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质 1：若 a＞ b， b＞ c，则 a＞c (不等式的传达性)证明：∵ a＞ b∴ a－b＞0∵b＞ c ∴ b－ c＞ 0∴(a －b) ＋ (b －c) ＝ a－ c＞ 0 ( 正负数运算性质 )则 a＞c反省：证明要求步步有据。
不等式的性质(第二课时
(二)
学习要求： 1.能够推导出不等式的性质. 2.初步掌握不等式性质的应用.
一. 复习
1.不等式的定义： 用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
2.初中所学不等式的性质： ①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数， 不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变。
推论2.(加法法则)若a>b,c>d,则a+c>b+d
证明: a b a c b c cd bcbd
ac bd
结论：同向不等式对相加，不等号不变
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递性)
(a c) (b c) a b 0
a c b c
Байду номын сангаас
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递性)
即：a>b,b>c a>c.
定理3:若a>b,则a+c>b+c．(可加性)
推论1.(移项法则)若a+b>c,则a>c-b
3.实数的性质(不等式的基本原理)
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
人教版高中数学必修五课时作业16：第2课时 基本不等式的应用
第2课时 基本不等式的应用一、选择题1.已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A.4B.2C.1D.14考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.2.已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为() A.2 2 B.4 2C.16D.不存在考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立. 3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4 D.－4考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2 (x －1)·1x －1＋6＝8， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3. 4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B.4 C.92D.5 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 5.若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( )A.3B.72C.4D.92考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号. 6.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b >0，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A.9B.8C.4D.2考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 A解析 将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c≥2 4c b ·b c＝4， 当且仅当4c b ＝b c时等号成立. 由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题7.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号， 所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14， 即S 的最大值为14. 8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 20解析 总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160， 当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20时取等号. 9.设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为____________________.考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号. ∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.10.设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________. 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 三、解答题11.已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}.(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b 1－x，求函数f (x )的最小值. 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4. (2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x >0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x 1－x ＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x，即x ＝13时，等号成立， ∴f (x )的最小值为9.12.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元). 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000 元.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示.(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N *)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36 ＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元.(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”). 故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元.四、探究与拓展14.已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.5考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立.15.若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A.2∈M ,0∈MB.2∉M ,0∉MC.2∈M ,0∉MD.2∉M ,0∈M 考点 基本不等式中的参数问题题点 基本不等式中的参数问题答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1. 当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)2－2k 2＋3k 2＋1＝(k 2＋1)2－2(k 2＋1)＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2(k 2＋1)·5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号).∴2∈M ,0∈M .。