上海戴氏教育-一元二次方程

一对一个性化学科优化学案1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a++=≠四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法：12,x x=24b ac-≥0)注意：（1）一定要注意0a≠，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.2．根的判别式及应用(24b ac∆=-)：(1)一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根；鹰击长空—基础不丢③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12cx x a⋅= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；|12x x -=（3）①方程有两正根，则121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；④方程一根大于1，另一根小于1，则12(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：例：用配方法解24610x x -+= 第一步，将二次项系数化为1：231024x x -+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 23124x x -=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -+=-+ 第四步，完全平方：235()416x -=第五步，直接开平方：34x -=，即:134x =,234x =+5．一元二次方程的应用：解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。

•最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义。

一元二次方程的定义、解法例1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.变式1-1、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 变式1-2、方程（a 2-4）x 2+（a-2）x+3=0，当a 时，它是一元二次方程，当a 时，它是一元一次方程．变式1-3若x=2是关于x 的方程x 2-x-a 2+5=0的一个根，则a 的值为变式1-4已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为例2、解下列方程：（1）2(1)4x -=; (2)2230x x --= (3)22740t t --=（用配方法）变式2、解方程:(1)、2210x x --=（用配方法）(2)、 (3)、2310x x -+=x x -=-3)3(2可以攻玉—经典例题例3、若关于x 的方程227(21)04x k x k +-+-=有两个相等的实数根，求k 的取值范围。

变式3、已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.一元二次方程根与系数的关系例4、关于的一元二次方程的两个实数根分别为． （1）求的取值范围；（2）若，求的值.变式4、设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，求2211223x x x x ++的值．x 0132=-++m x x 21,x x m 010)(2222121=-++x x x x m例5、某专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，同时又要让利于顾客，赢得市场，每千克核桃应降价多少元？一、填空题1、关于x的方程2(3)20m x --=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ____ . 2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ . 3、方程2310x x -+=的根的情况是_______________________________.4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.6.(2010兰州)已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是． 7.（2010台州）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为． 二、选择题1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2、方程23270x +=的解是（ ） A. B.C. D. 无实数根01)12=++-x x m （高分秘籍—过手训练3、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ） A. 1B. 2C. 3D.4、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程230x x m +-=的一个根，那么a 的值是（）A 、1或2B 、0或3-C 、1-或2-D 、0或35、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ） A.B.C. 1D. 26.一元二次方程230x kx +-=的一个根是1x =，则另一个根是（ C ） A. 3 B ．1- C ．3- D ．2-7.（2010甘肃）近年来，全国房价不断上涨，某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元， 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为( )A ．()212000x +=B ．()2200013600x +=C ．()()3600200013600x -+=D ．()()23600200013600x -+=三、解答题 1、解下列方程：(1)、2314x x -=(2)、(3)、(4)、2、若方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b ，求 的值．2.（2010绵阳）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．3．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程 有 两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2−x 12−x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．4．商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？1．（2002•甘肃）方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m=±2 B ．m=2 C ．m=-2 D ．m ≠±22．将方程x （x+5）=5x+9化为一元二次方程的一般形式，下面形式正确的是（ ） A ．x （x+5）-5x=9 B ．x 2+5x=5x+9 C ．x 2+5x-9=5x D ．x 2-9=0 3．（2007•泰州）先化简，再求值 ： ，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根． 4．（2013•乐山）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k+1）x+k 2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时， 求k 的值．突飞猛进—考试连线5．（2011•孝感）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值．6．（2010•襄阳）如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？。