闫老师_平分面积问题的探究
中考25题常考类型------面积均分问题
中考 25 题常考类型 ------ 面积均分问题本节课讲了两种类型，第一种三角形和不规则四边形面积均分问题；第二种特殊的四边形面积均分问题。
在讲三角形面积均分时学生很容易就理解三角形的中线就能均分三角形面积。
但是在具体的题中要求过三角形一边的某一个定点均分三角形面积。
这道题学生觉得有难度，需要老师架一个梯度，帮助学生突破这种过定点等分的情形，其中需要用到蝴蝶模型，所以在讲过定点面积等分问题前给学生铺垫了蝴蝶模型。
即就是平行线剪的三角形面积相等，借助同底等高，不仅可以面积相等，还可以根据平行线做的位置不同转变三角形的位置。
引入：等腰三角形面积等分---一般三角形面积等分得到结论：三角形的中线能够等分三角形的面积。
师：在没有任何条件限制下，等分三角形面积我们知道找三角形中线即可。
那么要是有条件限制呢？比如过三角形ABC一边BC上的一定点P的直线如何等分三角形面积？先抛出问题，引发学生独立思考，再进行小组合作。
师：在解决这个问题前我们先来看一个模型---蝴蝶模型。
引入蝴蝶模型。
小结：我们发现蝴蝶模型存在等积转化的方法，即可以构造平行线，转化面积。
师：我们思考这个问题，已经会用中线等分面积了，那如何使得过定点的直线等分三角形面积？生：（思考中）生：（小组合作中）生：我考虑借助蝴蝶模型进行等积转化。
师：很好，给其他同学也提供了思路，可以朝这个方向思考。
再思考蝴蝶模型在什么线中产生的？生：平行线中产生，所以要构造平行线。
师：很棒，那么我们是等积转化，如何转化？在什么情况下可以转化成等分面积的情形呢？生：在已知中线可以等分面积的基础上，考虑结合中点构造平行线和蝴蝶模型。
生：我连接AP，取BC边上的中点M，连接AM，过M作MD平行于AP交AB于点D，连接DP，构造平行线，得到等积模型，从而得到三角形APM和三角形ADP面积相等，将这两个三角形面积进行转化，得到四边形DPCA的面积等于三角形AMC的面积，即就是四边形DPCA的面积等于三角形ABC的一半，即直线DP即为所求的直线。
评课稿范文集合15篇
评课稿范文集合15篇评课稿范文集合15篇评课稿范文1一、探究安排合理，注重知识联系闫老师能够通过多媒体教学手段引入，给学生提供相关的资料，创建生动的教学情境。
激发和推动学习者的认知活动、实践活动和情感活动，从而更容易理解这部分知识，能加深对新知识的掌握。
在教学中，从减数分裂的概念入手、结合分裂的特点、精子的形成过程以及染色体、DNA 的变化等层层推进，让学生自主探究，从而形成知识框架，体验成功之感。
二、设计问题情境，培养自主探究闫老师教学设计思路符合教学内容实际，结合学生现有的认知结构，然后在现有的基础水平上建构新的知识，培养了学生自主探究的兴趣。
首先是对上节课的内容进行回顾，“细胞增殖的方式有哪些”，“有丝分裂各个时期的特点”，“有丝分裂过程中染色体行为怎样变化”等。
然后再由此引入新课细胞减数分裂，再通过学生自主学习和师生的共同探讨来概括减数分裂的概念，和精子的形成过程的内容.三、科学设计练习，注重能力培养闫老师通过自己设计练习，形成一定的梯度，层层推进，采用启发诱导的方式，来培养学生良好的思维习惯、思考问题、解决问题的能力。
一方面既完成了既定的教学目标，使全体学生都能在课堂上掌握好基础知识，另一方面通过不同层次的练习，培养了学生综合运用知识解题的能力，达到了教学目的。
四、优点1、整堂课思路清晰，环节紧凑，重难点突出，设计合理。
学生的课堂习惯非常好，每个人都能积极的参与到课堂中，课堂效果较好。
（1）整节课学生情绪高涨，兴致勃勃。
（2）充分体出了学生的.主体和教师的主导作用。
（3）最后环节让学生计算身高，设计好，调动了学生的积极性。
2、要求学生将掌握的方法用于解题实践．培养学生思维的灵活性、流畅性开发学生智力、培养学生能的同时提高学生解题方法的水平。
3、课堂气氛活跃。
老师善于激发学生的学习欲望。
4、例题、习题的搭配合理，能联系学生的生活，尊重学生原有的基础知识。
5、老师以学生熟悉的生活提出问题，激起学生学习数学的兴趣，进一步体会到数学知识与现实生活紧密联系着，数学知识来源于生活，并在生活中得以应用。
巧借转化，妙解问题——“面积”题目一组
智汇好题目转化思想是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎、变换、分解、整合、表征、化简等，转化为已知的、熟悉的、简单的问题，使问题能够顺利解决的一种数学思想。
转化思想的教学常渗透在“图形与几何”领域内容的教学中，但相关题目往往比较简单，对转化思想的运用浮于表面，导致学生对转化思想的理解不够深入。
基于此，笔者设计了一组有关“面积”的题目，引导学生巧借转化方法解决数学与生活中的实际问题，积累图形与几何的学习经验，感受转化思想的巧妙，为其日后运用转化思想打好基础。
【题目】第1题 哪块黑板的面积大教室的两块黑板上分别设计了一些艺术字装饰（如图1），每个艺术字的方块面积都相同，请问，哪块黑板的面积大？把你的思考用画或写的方法表达清楚。
数习学学真爱好我玩学数学使我快乐① ②图1第2题 画出分割图形的过程小傅不知道怎么求这个不规则图形（如图2）的面积，于是打电话求助了几个同学，同学们在电话里只告诉了他算式和答案。
小傅想弄清楚各种算法分别是怎样列式的。
请大家帮帮他，根据给出的算式，画出分割图形的过程，再说说你是怎样想的。
（1）3×5+2×4；（2）（4+3）×2+（5-2）×3；（3）（3+4）×5-（5-2）×4；（4）2×4+3×（5-2）+3×2。
3542图2第3题 铺地砖小林家储藏室的地面是一个边长为2.4米的巧借转化，妙解问题*——“面积”题目一组陈博文 林怡颖*本文系南京市教育科学“十四五”规划2021年度教师教育综合改革研究专项课题“知行合一：小学生数学实践智慧的培育研究”（编号：LJG\2021\09）的阶段性研究成果。
76智慧教学 2023年12月77The Horizon of Education正方形，他想在暑假时给储藏室铺上地砖，于是购买了长方形的地砖，但之后觉得正方形的地砖更好看，便准备把长方形的地砖锯成正方形。
中考培优-中考综合题-------面积平分问题
中考综合题-------面积平分问题破解策略等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：如图，12l l ∥，点123A A A ，，在上，点B ，C 在上，则123A BC A BC A BC S S S ∆∆∆==． 图形等分面积的常见类型有： （1）已知：△ABC ．作法：作中线AD ．结论：直线AD 平分△ABC 的面积．（2）已知：平行四边形ABCD ．作法：过对角线交点O 作直线．结论：过点O 的直线平分平行四边形ABCD 的面积．（3）已知：梯形ABCD ，AD ∥BC ．作法：过中位线EF 中点O （或上、下底边中点连线HG 的中点O ）作直线，且与上、下底均相交． 结论：过点O 且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD 的面积．（4）已知：△ABC ，P 为AC 边上的定点．作法：作△ABC 的中线AD ，连结PD ，过点A 作AE ∥PD ，交BC 于点E ． 结论：直线PE 平分△ABC 面积．（5）已知：四边形ABCD ．作法：连结AC ，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，连结AE ，作△ABE 的中线AF ． 结论：直线AF 平分平行四边形ABCD 的面积．（6）已知：四边形ABCD ，点P 为AD 上的定点．作法：连结PB ，PC ．作AE ∥PB ，DF ∥PC ，分别交直线BC 于点E ，F ，连结PE ，PF ，作△PEF 的中线PG ． 结论：直线PG 平分四边形ABCD 的面积．（7）已知：五边形ABCDE ．作法：连结AC ，AD ，作BF ∥AC ，EG ∥AD ，分别交直线CD 于点F ，G ，连结AF ，AG ，作△AFG 的中线AH ．结论：直线AH 平分五边形ABCDE 的面积．进阶训练1．如图，已知五边形ABOCD 各定点坐标为A （3，4），B （0，2），O （0，0），C （4，0），D （4，2），请你构造一条经过顶点A 的直线，将五边形ABOCD 平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式． 答：如图：AD21直线的表达式为843y x =-． 【提示】 连结AO ，作BM ∥AO 交x 轴于点M ，连结AC ，作DN ∥AC 交x 轴于点N ，取MN 中点F ，则直线AF 将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分．作AH ⊥x 轴于点H ，则△BMO ∽△AOH ，可得点M 的坐标．同理可得点N 的坐标．从而求得点F 的坐标．确定直线AF 的表达式．2．过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1：2的两部分．答：如图：【提示】 连结AC ，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，取BE 的一个三等分点F 或G ，则直线AF 或AG 即为所求． 3．设w 是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w 的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w 的“化方”． （1）阅读填空 如图1，已知矩形ABCD ，延长AD 到点E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆，延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连结AH ，EH ．因为AE 为直径，所以∠AHE ＝90°， 所以∠HAE ＋∠HEA ＝90°．因为DH ⊥AE ，所以∠ADH ＝∠EDH ＝90°． 所以∠AHD ＝∠HED ，所以△ADH ∽． 所以AD DH DH DE=，即2=DH AD DE ⋅ 因为DE ＝DC ，所以2DH ＝，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图2，请作出与平行四边形ABCD 等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）． （3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图3，△ABC 的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． 3．（1）△HDE ；AD ·DC ； （2）作图如下：（3）矩形；作图如下：（4）作图如下：【提示】（2）作法：①分别过点A ，D 作直线BC 的垂线，垂足分别为11B C ，； ②延长AD 至点E ，使得1DE DC =； ③以AE 为直径作半圆；图2DCBA图1HGFED C B A11AD EFGHEGFABCDDCBA④延长1C D交半圆于点H；⑤以DH为边向右作正方形DFGH．则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）作法：①作△ABC的中位线MN；②分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D；③延长BC至点F，使得CF＝CD；④以BF为直径作半圆；⑤延长DC交半圆于点G；⑥以CG为边向右作正方形CGHI．则正方形CGHI与△ABC等积．（4）作法：①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；②作△EBC的中位线MN；③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；④延长BC至点H使得CH＝CG；⑤以BH为直径作半圆；⑥延长GC交半圆于点I；⑦以CI为边向右作正方形CIJK．则正方形CIJK 与四边形ABCD等积．n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈）练习题1．问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b ＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．AB CAB CD2．探索发现：（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD 的面积为．联系拓展：（2）在图2中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC的中点，若▱ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．（3）在图3中，E、F分别是▱ABCD 的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若▱ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为．解决问题：（4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF 应满足怎样的数量关系，并说明理由．3．如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积；问题探究（1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．（2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CD为边作正方形GCEF，当CG=a 时，求△BDF的面积．问题解决（3）李大爷家有一块正方形的果园如图4所示，由于修建道路，图中三角形BCE区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上．请你在图4中通过画图来确定M点的位置，并简要叙述画法和理由；若AB=4，CE=a，求出上图中tan∠MDC的值．4．问题提出（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为；问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）5．提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2说明）（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．6．（1）请在图①中画出与△ABC面积相等的三个三角形：△ABC1、△ABC2、△ABC3，其中点C1、C2、C3为△ABC所在平面上异于点C的三个不同点；（2）请在图②中射线BC上通过画图确定一点E，使得S△ABE =S四边形ABCD，并简要叙述画法和理由；问题解决（4）李大爷家有一块果园如图③中的四边形ABCD，由于修路，图中三角形CEF区域将被占用，现决定在DF的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，已知∠A=135°，∠B=60°，∠D=105°，AB=350m，BE=（100+50）m，CF=300m，DF=100m，若所补区域为三角形DFG，且点G在射线EF上，请求出符合条年的FG的长度．7．问题探究（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为对角线AC上一点，且AC=3AP，请问在边CD上是否存在一点E，使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2：3两部分，如果存在求出DE的长；如果不存在，请说明理由；解决问题（3）如图3，现有一块矩形空地ABCD，AB=80米，BC=60米，P为对角线AC上一点，且PC=3AP，计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF，使得E、F分别在线段AD、AB上，且EF经过点P，若每平方米的造价为100元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计）．8．平面上有三点M、A、B，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点．问题探究：（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q 为点A的等距点；（2）如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ 的长；若不存在，说明理由．9．提出问题在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．探究问题（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长；（2）如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过BC边．请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离．10.我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中用尺规作图作出△ABC的一条“等分积周线”；（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法‘若不能，请说明理由．（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．。
中考几何平分面积问题方法总结
中考几何平分面积问题方法总结1、三角形的面积平分①三角形的中线将三角形面积平分②构造以下模型，通过等面积转换，作出面积平分线如图，在梯形ABCD中，易证△OAB和△OCD面积相等，我们不妨称之为“蝴蝶模型”。
构造蝴蝶模型的关键点：平行线构造蝴蝶模型的目的：等面积转换例1、如图，过△ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分△ABC的面积.简答：取BC中点M，连接AM，则△ABM和△ACM的面积相等，连接AP，过M作AP的平行线MN，构造“蝴蝶模型”如图，∵△OAN和△OPM面积相等，∴△BNP和四边形ACPN面积相等。
2、平行四边形的面积平分结论1：过平行四边形中心的任意一条直线，平分该平行四边形的面积。
结论2：任何图形，只要能找到它的中心，那么过中心的直线平分这个图形的面积。
例2、如图平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点，过点P求作一条直线，使其平分平行四边形ABCD的面积。
简答：连接BD、AC交于O点，则直线PO即为所求作的直线。
可用全等证明，过程略。
例3、现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮师傅设计三种不同的分割方案.简答：如图所示，三种方法都是取大小两个平行四边形的中心，连接即可。
3、梯形的面积平分结论1：梯形上下底中点的连线平分该梯形的面积。
结论2：过梯形上下底中点的连线的中点，且与上下底有交点的直线，平分该梯形的面积。
例4、如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线，使直线平分五边形ABCDE的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.简答：（1）取梯形上下两底中点连线的中点O，取矩形的中心P，则直线OP即为所求作直线l；（2）这样的直线有无数条，设直线l与AE交于M，与BC交于N，取MN中点G，则过G点且与线段AE、BC均有交点的直线平分五边形ABCDE的面积。
第五讲 等分面积探究(教师版)
第五讲
等分面积探究
一、平行线等积变换
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典题精练
例题1
如图，李大爷家有一块三角形的菜地，今年，李大爷想在这块菜地上种番茄和土豆，并且保证种植面积相等．现有一根足够长的绳子，请你帮助李大爷用这根绳子把三角形菜地分成面积相等的两部分．
1
1结论应用：
2
李大爷家有一块正方形的果园如图所示，由于修建道路，图中的三角形
1
问题探究
作一条直线将的
，，
点修条路将四边形面积等分为相等的两部分，这样的路存在不？若存在求出路的长度，若不存在，说明理由．
即为所求．
1
两条直线将一个图形分成面积相等的三个部分，我们把这两条直线叫做这个图形的
典题精练
1
我们知道对于任何一个封闭的平面图形，是否存在既平分周长，又平分面积的直线．
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回答：。
陕西省中考数学试题研究类型面积平分问题练习
类型1 面积平分问题1. 问题探究(1)定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．写出一个你所学过的是筝形的特殊四边形：______；如图①，已知筝形ABCD ，连接AC ，试证明直线AC 平分该筝形ABCD 的面积； (2)如图②，已知四边形ABCD ，AB ＝AD ，BC ＝DC .在四边形ABCD 中找一点P ，连接PB 、PD ，使折线B —P —D 平分筝形ABCD 的面积，并说明理由； 问题解决(3)现有一块如图③所示的菜田ABCD ，且D 处有一水井，现要过水井D 修一条灌溉水渠，该水渠近似为一条直线，且水渠两边菜田的面积相等，已知AB ＝AD ＝20 m ，BC ＝DC ＝20 5 m ，∠BAD ＝90°，则是否能修出这样的水渠？若能，求出该水渠的长度；若不能，请说明理由．第1题图解：(1)菱形(或正方形)； 证明：如解图①，第1题解图①在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD BC ＝DC AC ＝AC， ∴△ABC ≌△ADC (SSS)． ∴直线AC 平分筝形ABCD 的面积；(2)如解图②，连接AC ，取AC 的中点P ，连接BP 、DP ，则折线B —P —D 平分筝形ABCD 的面积．第1题解图②理由如下：∵S △ABP ＝S △BPC ，(三角形等底同高面积相等) ∴S △ABP ＝12S △ABC ，同理，S △ADP ＝12S △ADC ，∴S △ABP ＋S △ADP ＝12S △ABC ＋12S △ADC .∴S 四边形ABPD ＝12S 四边形ABCD .即S 四边形ABPD ＝S 四边形BCDP .∴折线B —P —D 平分筝形ABCD 的面积； (3)能．如解图③，设直线DG 平分筝形ABCD 的面积，连接AC 、BD 交于点O ，第1题解图③∵OC >OA ，则S △ABD <S △CBD ， ∴点G 在BC 边上．过点D 作线段DG 交BC 于点G ，设BG ＝x ，△DBG 的边BG 上的高为h ， ∵AB ＝AD ＝20，∠BAD ＝90°， ∴BD ＝20 2.又∵△CBD 是等腰三角形，则有CO ＝DC 2－DO 2＝2000－200＝302， ∴12BC ·h ＝12BD ·CO ＝12×205h ＝12×202×30 2 ＝600，∴h ＝12 5.若△DGC 的面积等于四边形ABGD 的面积，即S △DCG ＝S △ABD ＋S △BDG ，则有12(205－x )h ＝12×20×20＋12xh ，即105h －12xh ＝200＋12xh ，∴x ＝2035，即BG ＝13BC .过点G 作GH ⊥BD 于点H ，∵AC ⊥BD ，GH ⊥BD ，∴GH ∥AC ，△BGH ∽△BCO ， 则BH ＝13BO ，GH ＝13CO ，∴BH ＝16BD ，DH ＝BD －BH ＝56BD ＝5032，GH ＝13CO ＝102，∴GD ＝DH 2＋GH 2＝2500×29＋200＝20317. ∴能修出这样的水渠，该水渠的长度为20317 m.2. 问题提出(1)如图①，已知△ABC ，过点A 作线段AD 交BC 边于点D ，使得AD 平分△ABC 的面积； 问题探究(2)如图②，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，AM ＝2，在BC 边上确定一点Q ，使得线段MQ 平分平行四边形ABCD 的面积，并求出MQ 的长； 问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中有四边形ABCD ，A (0，2)、B (2，0)、C (4，0)、D (6，4)，过点A 作线段AE 交DC 于点E ，使得AE 平分四边形ABCD 的面积，并求点E 的坐标．第2题图解：(1)如解图①，取BC 边上的中点D ，连接AD ，线段AD 即为所求；第2题解图① 第2题解图②(2)如解图②，连接AC 、BD 交于点O ，连接MO 并延长，交BC 于点Q ， 则MQ 即可平分平行四边形ABCD 的面积，且AM ＝CQ ， 过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点M 作MF ⊥BC 于点F ， ∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴四边形AEFM 是矩形，AE ＝MF ，AM ＝EF ＝2. 在Rt △ABE 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴BE ＝3，AE ＝33，∴FQ ＝BC －BE －EF －QC ＝8－3－2－2＝1，在Rt △MFQ 中，∠MFQ ＝90°，FQ ＝1，MF ＝AE ＝33， ∴MQ ＝FQ 2＋MF 2＝12＋（33）2＝27；(3)如解图③，连接BD ，取BD 的中点P ，连接AP 、PC ，则BP ＝PD ， ∴S △ABP ＝S △ADP ，S △BCP ＝S △CDP ，∵S 四边形ABCP ＝S △ABP ＋S △BCP ，S 四边形ADCP ＝S △ADP ＋S △DCP ， ∴S 四边形ABCP＝S 四边形ADCP ，第2题解图③连接AC ，过点P 作PE ∥AC 交CD 于点E ，连接AE 交PC 于点F ，则S △APE ＝S △CPE ， ∴S △APF ＝S △CEF ， ∴S △ADE ＝S 四边形ABCE ，∴线段AE 平分四边形ABCD 的面积．设直线AC 的解析式为y AC ＝kx ＋b (k ≠0)，将点A (0，2)，C (4，0)代入， 可求得直线AC 的解析式为y AC ＝－12x ＋2，∵B (2，0)，D (6，4)，∴线段BD 的中点P 的坐标为(4，2)， ∵AC ∥PE,∴设直线PE 的解析式为y PE ＝－12x ＋m ，将点P (4，2)代入，可求得直线PE 的解析式为y PE ＝－12x ＋4.设直线CD 的解析式为y CD ＝ax ＋n ， 将点C (4，0)，D (6，4)代入，可求得直线CD 的解析式为y CD ＝2x －8， ∵直线y CD ＝2x －8与y PE ＝－12x ＋4交点为E ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －8y ＝－12x ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝245y ＝85， ∴点E 的坐标为(245，85)．3. 问题提出(1)如图①，已知直线a ∥b ，点A 、B 分别是直线a 上不同的两点，分别过点A 、B 作AC ⊥b ，BD ⊥b ，垂足记为点C 、D ，则线段AC 和线段BD 的数量关系为AC ________BD ；(填“>”，“<”或“＝”) 问题探究(2)如图②，在△ABC 中，点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，过点A 作直线a ∥BC ，点P 是直线a 上的任意一点，连接PM 、PN 、MN ，若四边形BCNM 的面积为3，则△PMN 的面积为________； 问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD, AD ∥BC ，∠B ＝60°，AB ＝10米，AD ＝30米，BC ＝8米，点E 是BC 上一点，且BE ＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E 修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD 上的点F 处，且EF 恰好将四边形ABCD 的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF 的位置(在图中画出EF )，并求EF 的长(结果保留根号)．第3题图解：(1)＝；【解法提示】两平行线间的距离处处相等． (2)1；【解法提示】在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点， ∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴S △AMN ＝14S △ABC ，∴S 四边形MNCB ＝3S △AMN ， ∴S △AMN ＝1.又∵直线a ∥BC ，MN ∥BC ，∴直线a ∥MN ， ∴S △PMN ＝S △AMN ＝1.(3)如解图，在CD 上取点G ，使得CG ＝DG ，过点G 作HK ∥AB ，分别交AD 于点H ，交BC 的延长线于点K ，连接BH 、AK ，相交于点O ，连接EO 并延长交AD 于点F ，此时EF 即为所求．第3题解图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △ABQ 中，AB ＝10米，∠ABQ ＝60°， ∴BQ ＝5米，AQ ＝53米． ∵BE ＝2米，∴EQ ＝3米．过点E 作EP ⊥DA 交DA 的延长线于点P ，则四边形EQAP 是矩形， ∴PE ＝AQ ＝53米，AP ＝EQ ＝3米． ∵G 是CD 的中点，CK ∥HD ，∴∠KCG ＝∠HDG ，∠CKG ＝∠DHG ，CG ＝DG ， ∴△CKG ≌△DHG (AAS)，∴CK ＝DH ，又由作图及题知HK ∥AB ，AD ∥BC ， ∴四边形ABKH 是平行四边形， ∴AH ＝BK ，∴AH ＝BC ＋CK ＝BC ＋HD ＝AD －HD ， ∴HD ＝12(AD －BC )＝12×(30－8)＝11米，∴AH ＝AD －HD ＝30－11＝19米， ∵FH ＝BE ＝2米，∴AF ＝AH －FH ＝17米，∴PF ＝PA ＋AF ＝3＋17＝20米，在Rt △EPF 中，由勾股定理得EF ＝PE 2＋PF 2＝（53）2＋202＝519米．。
小学数学教学的教法和学法主要有哪些
小学数学教学的教法和学法主要有哪些小学数学教学的教法和学法主要有哪些?19种小学数学教学方法总结良好的方法能使我们更好地发挥运用天赋的才能,而拙劣的方法则可能阻碍才能的发挥.------[英]贝尔纳“数学为其他科学提供了语言、思想和方法”,“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题”.（小学数学课程标准）数学思维方法分为两种,形象思维方法和抽象思维方法.小学数学要培养学生的形象思维能力,并在此基础上,为发展抽象思维能力打下坚实的基础.一、形象思维方法形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法.它的思维基础是具体形象,并从具体形象展开来的思维过程.形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料.它的认识特点是以个别表现一般,始终保留着对事物的直观性.它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象.它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象,对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律,或求出对象.它的思维目标是解决实际问题,并且在解决问题当中提高自身的思维能力.1、实物演示法利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题,及条件与条件,条件与问题之间的关系,在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法.这种方法可以使数学内容形象化,数量关系具体化.比如：数学中的相遇问题.通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语,而且为学生指明了思维方向.再如,在一个圆形（方形）水塘周围栽树问题,如果能进行一个实际操作,效果要好得多.二年级数学教材中,“三个小朋友见面握手,每两人握一次,共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数,共可以摆成多少个两位数”.像这样的有关排列、组合的知识,在小学教学中,如果实物演示的方法,是很难达到预期的教学目标的.特别是一些数学概念,如果没有实物演示,小学生就不能真正掌握.长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习,都依赖于实物演示作思维的基础.所以,小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教（学）具,而且这些教（学）具用过后要好好保存,可以重复使用.这样可以有效地提高课堂教学效率,提升学生的学习成绩.绩.2、图示法借助直观图形来确定思考方向,寻找思路,求得解决问题的方法.图示法直观可靠,便于分析数形关系,不受逻辑推导限制,思路灵活开阔,但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上,一旦图示与实际情况不相符,易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区,最后导致错误的结果.比如有的数学教师爱徒手画数学图形,难免造成不准确,使学生产生误解.在课堂教学当中,要多用图示的方法来解决问题.有的题目,图画出来了,结果也就出来的；有的题,图画好了,题意学生也就明白了；有的题,画图则可以帮助分析题意、启迪思路,作为其他解法的辅助手段. 例1 把一根木头锯成3段需要24分钟,锯成6段需要多少分钟?（图略）思维方法是：图示法.思维方向是：锯几次,每次用几分钟.思路是：锯3段锯了几次,每次用几分钟,锯6段锯了几次,需要多少分钟.例2 判断等腰三角形中,点D是底边BC的中点,图甲的面积比图乙的面积大,图甲的周长比图乙的周长长.（图略）思维方法：图示法.思维方向：先比较面积,再比较周长.思路：作条辅助线.图甲占的面积大,图乙所占面积小,所以“图甲的面积比图乙的面积大”是正确的.线段AD比曲线AD短,所以“图甲的周长比图乙的周长长”是错误的.3、列表法运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法.列表法清晰明了,便于分析比较、提示规律,也有利于记忆.它的局限性在于求解范围小,适用题型狭窄,大多跟寻找规律或显示规律有关.比如,正、反比例的内容,整理数据,乘法口诀,数位顺序等内容的教学大都采用“列表法”.用列表法解决传统数学问题：鸡兔同笼问题.制作三个表格：第一张表格是逐一举例法,根据鸡与兔共20只的条件,假设鸡只有1只,那么兔就有19只,腿共有78条……这样逐一列举,直至寻找到所求的答案；第二张表格是列举了几个以后发现了只数与腿数的规律,从而减少了列举的次数；第三张表格是从中间开始列举,由于鸡与兔共20只,所以各取10只,接着根据实际的数据情况确定列举的方向.4、探索法按照一定方向,通过尝试来摸索规律、探求解决问题思路的方法叫做探究法.我国著名数学家华罗庚说过,在数学里,“难处不在于有了公式去证明,而在于没有公式之前,怎样去找出公式来.”苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者,而在儿童的精神世界中,这种需要特别强烈.“学习要以探究为核心”,是新课程的基本理念之一.人们在难以把问题转化为简单的、基本的、熟悉的、典型的问题时,常常采取的一种好方法就是探究、尝试.第一、探究方向要准确,兴趣要高涨,切忌胡乱尝试或形式主义的探究.例如,教学“比例尺”时,教师创设“学生出题考老师”的教学情境,师：“现在我们考试好不好?”学生一听：很奇怪,正当学生疑惑之时,教师说：“今天改变过去的考试方法,由你们出题考老师,愿意吗?”学生听后很感兴趣.教师说：“这里有一幅地图,你们用直尺任意量出两地的距离,我都能很快地告诉你们这两地之间的实际距离,相信吗?”于是学生纷纷上台度量、报数,教师都一个接一个地回答对应的实际距离.学生这时更感到奇怪,异口同声地说：“老师您快告诉我们吧,您是怎样算的?”教师说：“其实呀,有一位好朋友在暗中帮助老师,你们知道它是谁吗?想认识它吗?”于是引出所要学习的内容“比例尺”.第二、定向猜测,反复实践,在不断分析、调整中寻找规律.例3 找规律填数.（1）1、4、、10、13、、19；（2）2、8、18、32、、72、 .第三,独立探究与合作探究结合.独立,有自由的思维时空；合作,可以知识上互补,方法上互相借鉴,不时还能碰撞出智慧的火花.小学数学教学活动中,教师应尽量创设让学生去探究的情景,创造让学生去探究的机会,鼓励有探究精神和习惯的学生.5、观察法通过大量具体事例,归纳发现事物的一般规律的方法叫做观察法.巴浦洛夫说:"应当先学会观察,不学会观察永远当不了科学家.”小学数学“观察”的内容一般有：①数字的变化规律及位置特点；②条件与结论之间的关系；③题目的结构特点；④图形的特点及大小、位置关系.如：观察一组算式：25×4＝4×25,62×11＝11×62,100×6＝6×100……归纳出乘法交换率：在乘法算式里,交换两个因数的位置,积不变.“观察”的要求：第一、观察要细致、准确.例4 找出下列各题错在哪里,并改正.（1）25×16=25×（4×4）=（25×4）×（25×4）；（2）18×36+18×64=（18+18）×（36+64）例5 直接写出下列各题的得数：（1）3.6+6.4 (2)3.6+6.04(3)125×57×0.04 (4)(351－37－13)÷5第二、科学观察.科学观察渗透了更多的理性因素,它是有目的,有计划地察看研究对象.比如,在教学长方体的认识时,要做到“有序”观察：（1）面——形状、个数、面与面之间的关系；（2）棱——棱的形成、条数、棱与棱之间的关系（相对的棱相等；相对的棱有四条；长方体的棱可以分为三组）；（3）顶点——顶点的形成、个数,认识顶点的一个重要作用是引出长方体长、宽、高的概念.第三, 观察必定与思考结合.例6710618这是一年级下学期的一道思考题,如果只观察不思考,这道题目让干什么就不知道.6、典型法针对题目去联想已经解过的典型问题的解题规律,从而找出解题思路的方法叫做典型法.典型是相对于普遍而言的.解决数学问题,有些需要用一般方法,有些则需要用特殊（典型）方法.比如,归一、倍比和归总算法、行程、工程、消同求异、平均数等.运用典型法必须注意：（1）要掌握典型材料的关键及规律.例7 已知爸爸比儿子大30岁,爸爸今年的年龄正好是儿子的7倍.爸爸、儿子今年分别是多少岁?关键点在：爸爸比儿子大30岁,爸爸的年龄比儿子多几倍.典型题都有典型解法,要想真正学好数学,即要理解和掌握一般思路和解法,还要学会典型解法.（2）熟悉典型材料,并能敏捷地联想到所适用的典型,从而确定所需要的解题方法. 例8 见到“某城市有一条公共汽车线路,长16500米,平均每隔500米设一个车站.这条线路需要设多少个车站?”这样题目,就应该联想到上面所讲到的“锯木头用多少分钟”的典型问题.（3）典型和技巧相联系.例9 甲乙两个工程队共有82人,如果从乙队调8人到甲队,两队人数正好相等.甲乙两队原来各有多少人?这题目的技巧：调前、调后两队总人数没变.先算调后各队人数,再算原来各队人数.7、放缩法通过对被研究对象的放缩估计来解决问题的方法叫做放缩法.放缩法灵活、巧妙,但有赖于知识的拓展能力及其想象能力.例16 求12和9的最小公倍数.求两个数的最小公倍数一般的方法是“短除式”方法,它是根据这两个数的质因数情况来求出它们的最小公倍数的.但也有两个典型方法：一是“如果两个数是互质数,那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积”；二是“如果大数是小数的倍数,那么这两个数的最小公倍数就是大数”.现在我们根据典型方法二,进行扩展运用,放大“大数”来求12和9的最小公倍数.12不是9的倍数,就把它放大2倍,得24,仍然不是9的倍数,放大3倍,得36,36是9的倍数,那么,12和9的最小公倍数就是36.这种方法的关键点在于,如果大数不是小数的倍数,就把大数翻倍,但一定从2倍开始,如果一下子扩大6倍,得数是它们的公倍数,而不是最小的了.例17 期末考试,小刚的语文成绩和英语成绩的和是197分；语文和数学成绩加起来是199分；数学和英语成绩加起来是196分.想一想,小刚的哪科成绩最高?你能算出小刚的各科成绩吗?思路一：“放大”.通过观察发现,语、数、外三科成绩在题目中各出现两次,我们求197+199+196的和,这个和是“语数外成绩的2倍”,除以2得三科成绩之和,再减去任意两科的成绩,就得到第三科的成绩.思路二：“缩小”.我们用语数成绩的和减去语外的成绩,199－197=2（分）,这是数学减英语成绩的差.数学和英语的和是196分,再求数学的分数就不难了.放缩法有时运用在估算和验算上.例18 检验下列计算结果是否正确?（1）18.7×6.9=137.3; (2)17485÷6.6=3609.对于（1）用总体估计,放大至19×7=133,估计得数要小于133,所以本题结果错误.对于（2）用最高位估计,把17看作18,把6.6看作6,18÷6=3,显然答数的最高位不会是3,故本题结果也不正确.例19 把鸡和兔放在一起,共有48个头,114只足,问鸡、兔各有几只.这是一道鸡兔同笼的典型问题,我们也用放缩法,不妨把鸡和兔的足数缩小2倍,那么,鸡的足数和它的头数一样,而兔的足数是它的只数的2倍.所以,总的足数缩小2倍后,鸡和兔的总足数与它们的总只数相差数就是兔的只数.8、验证法你的结果正确吗?不能只等教师的评判,重要的是自己心里要清楚,对自己的学习有一个清楚的评价,这是优秀学生必备的学习品质.验证法应用范围比较广泛,是需要熟练掌握的一项基本功.应当通过实践训练及其长期体验积累,不断提高自己的验证能力和逐步养成严谨细致的好习惯.（1）用不同的方法验证.教科书上一再提出：减法用加法检验,加法用减法检验,除法用乘法验算,乘法用除法验算.（2）代入检验.解方程的结果正确吗?用代入法,看等号两边是否相等.还可以把结果当条件进行逆向推算.（3）是否符合实际.“千教万教教人求真,千学万学学做真人”陶行知先生的话要落实在教学中.比如,做一套衣服需要4米布,现有布31米,可以做多少套衣服?有学生这样做：31÷4≈8（套）按照“四舍五入法”保留近似数无疑是正确的,但和实际不符合,做衣服的剩余布料只能舍去.教学中,常识性的东西予以重视.做衣服套数的近似计算要用“去尾法”.（4）验证的动力在猜想和质疑.牛顿曾说过：“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”“猜”也是解决问题的一种重要策略.可以开拓学生的思维、激发“我要学”的愿望.为了避免瞎猜,一定学会验证.验证猜测结果是否正确,是否符合要求.如不符合要求,及时调整猜想,直到解决问题.二、抽象思维方法运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程,叫抽象思维,也叫逻辑思维.抽象思维又分为：形式思维和辩证思维.客观现实有其相对稳定的一面,我们就可以采用形式思维的方式；客观存在也有其不断发展变化的一面,我们可以采用辩证思维的方式.形式思维是辩证思维的基础. 形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理.辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律.小学数学要培养学生初步的抽象思维能力,重点突出在：（1）思维品质上,应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性.（2）思维方法上,应该学会有条有理,有根有据地思考.（3）思维要求上,思路清晰,因果分明,言必有据,推理严密.（4）思维训练上,应该要求：正确地运用概念,恰当地下判断,合乎逻辑地推理.9、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法.根据数学题意,对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质,依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法.这个方法的思维意义就在于,训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识.例20、三个连续自然数的和是18,则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数.例21、判断：能被2除尽的数一定是偶数.这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念.只有这两个概念全理解了,才能做出正确判断.10、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法.它体现的是由一般到特殊的演绎思维.公式法简便、有效,也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法.但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解,并能准确运用.例22、计算59×37+12×59+5959×37+12×59+59＝59×（37+12+1）…………运用乘法分配律＝59×50 …………运用加法计算法则＝(60-1) ×50 …………运用数的组成规则＝60×50－1×50 …………运用乘法分配律＝3000-50 …………运用乘法计算法则＝2950 …………运用减法计算法则11、比较法通过对比数学条件及问题的异同点,研究产生异同点的原因,从而发现解决问题的方法,叫比较法. 比较法要注意：(1)找相同点必找相异点,找相异点必找相同点,不可或缺,也就是说,比较要完整.(2)找联系与区别,这是比较的实质.(3)必须在同一种关系下（同一种标准）进行比较,这是“比较”的基本条件.(4)要抓住主要内容进行比较,尽量少用“穷举法”进行比较,那样会使重点不突出.(5)因为数学的严密性,决定了比较必须要精细,往往一个字,一个符号就决定了比较结论的对或错.例23、填空：0．75的最高位是（）,这个数小数部分的最高位是（）；十分位的数4与十位上的数4相比,它们的（）相同,（）不同,前者比后者小了（）.这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”,还有“数位和数值”的区别等.例23、六年级同学种一批树,如果每人种5棵,则剩下75棵树没有种；如果每人种7棵,则缺少15棵树苗.六年级有多少学生?这是两种方案的比较.相同点是：六年级人数不变；相异点是：两种方案中的条件不一样.找联系：每人种树棵数变化了,种树的总棵数也发生了变化.找解决思路（方法）：每人多种7-5=2（棵）,那么,全班就多种了75+15=90（棵）,全班人数为90÷2=45（人）.12、分类法俗语：物以类聚,人以群分.根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法,叫做分类法.分类是以比较为基础的.依据事物之间的共同点将它们合为较大的类,又依据差异点将较大的类再分为较小的类.分类即要注意大类与小类之间的不同层次,又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉. 例24、自然数按约数的个数来分,可分成几类?答：可分为三类.（1）只有一个约数的数,它是一个单位数,只有一个数1；（2）有两个约数的,也叫质数,有无数个；（3）有三个约数的,也叫合数,也有无数个.13、分析法把整体分解为部分,把复杂的事物分解为各个部分或要素,并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法.依据：总体都是由部分构成的.思路：为了更好地研究和解决总体,先把整体的各部分或要素割裂开来,再分别对照要求,从而理顺解决问题的思路.也就是从求解的问题出发,正确选择所需要的两个条件,依次推导,一直到问题得到解决为止,这种解题模式是“由果溯因”.分析法也叫逆推法.常用“枝形图”进行图解思路.例25、玩具厂计划每天生产200件玩具,已经生产了6天,共生产1260件.问平均每天超过计划多少件?运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法.它体现的是由一般到特殊的演绎思维.公式法简便、有效,也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法.但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解,并能准确运用.例22、计算59×37+12×59+5959×37+12×59+59＝59×（37+12+1）…………运用乘法分配律＝59×50 …………运用加法计算法则＝(60-1) ×50 …………运用数的组成规则＝60×50－1×50 …………运用乘法分配律＝3000-50 …………运用乘法计算法则＝2950 …………运用减法计算法则11、比较法通过对比数学条件及问题的异同点,研究产生异同点的原因,从而发现解决问题的方法,叫比较法. 比较法要注意：(1)找相同点必找相异点,找相异点必找相同点,不可或缺,也就是说,比较要完整.(2)找联系与区别,这是比较的实质.(3)必须在同一种关系下（同一种标准）进行比较,这是“比较”的基本条件.(4)要抓住主要内容进行比较,尽量少用“穷举法”进行比较,那样会使重点不突出.(5)因为数学的严密性,决定了比较必须要精细,往往一个字,一个符号就决定了比较结论的对或错.例23、填空：0．75的最高位是（）,这个数小数部分的最高位是（）；十分位的数4与十位上的数4相比,它们的（）相同,（）不同,前者比后者小了（）.这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”,还有“数位和数值”的区别等.例23、六年级同学种一批树,如果每人种5棵,则剩下75棵树没有种；如果每人种7棵,则缺少15棵树苗.六年级有多少学生?这是两种方案的比较.相同点是：六年级人数不变；相异点是：两种方案中的条件不一样.找联系：每人种树棵数变化了,种树的总棵数也发生了变化.找解决思路（方法）：每人多种7-5=2（棵）,那么,全班就多种了75+15=90（棵）,全班人数为90÷2=45（人）.12、分类法俗语：物以类聚,人以群分.根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法,叫做分类法.分类是以比较为基础的.依据事物之间的共同点将它们合为较大的类,又依据差异点将较大的类再分为较小的类.分类即要注意大类与小类之间的不同层次,又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉. 例24、自然数按约数的个数来分,可分成几类?答：可分为三类.（1）只有一个约数的数,它是一个单位数,只有一个数1；（2）有两个约数的,也叫质数,有无数个；（3）有三个约数的,也叫合数,也有无数个.13、分析法把整体分解为部分,把复杂的事物分解为各个部分或要素,并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法.依据：总体都是由部分构成的.思路：为了更好地研究和解决总体,先把整体的各部分或要素割裂开来,再分别对照要求,从而理顺解决问题的思路.也就是从求解的问题出发,正确选择所需要的两个条件,依次推导,一直到问题得到解决为止,这种解题模式是“由果溯因”.分析法也叫逆推法.常用“枝形图”进行图解思路.例25、玩具厂计划每天生产200件玩具,已经生产了6天,共生产1260件.问平均每天超过计划多少件?思路：要求平均每天超过计划多少件,必须知道：计划每天生产多少件和实际每天生产多少件.计划每天生产多少件已知,实际每天生产多少件,题中没有告诉,还得求出来.要求实际每天生产多少件玩具,必须知道：实际生产多少天,和实际生产多少件,这两个条件题中都已知.枝形图：（略）14、综合法把对象的各个部分或各个方面或各个要素联结起来,并组合成一个有机的整体来研究、推导和一种思维方法叫做综合法.用综合法解数学题时,通常把各个题知看作是部分（或要素）,经过对各部分（或要素）相互之间内在联系一层层分析,逐步推导到题目要求,所以,综合法的解题模式是执因导果,也叫顺推法.这种方法适用于已知条件较少,数量关系比较简单的数学题.例26、两个质数,它们的差是小于30的合数,它们的和即是11的倍数又是小于50的偶数.写出适合上面条件的各组数.思路：11的倍数同时小于50的偶数有22和44.两个数都是质数,而和是偶数,显然这两个质数中没有2.和是22的两个质数有：3和19,5和17.它们的差都是小于30的合数吗?和是44的两个质数有：3和41,7和37,13和31.它们的差是小于30的合数吗?这就是综合法的思路.15、方程法用字母表示未知数,并根据等量关系列出含有字母的表达式（等式）.列方程是一个抽象概括的过程,解方程是一个演绎推导的过程.方程法最大的特点是把未知数等同于已知数看待,参与列式、运算,克服了算术法必须避开求知数来列式的不足.有利于由已知向未知的转化,从而提高了解题的效率和正确率. 例27、一个数扩大3倍后再增加100,然后缩小2倍后再减去36,得50.求这个数.例28、一桶油,第一次用去40%,第二次比第一次多用10千克,还剩余6千克.这桶油重多少千克? 这两题用方程解就比较容易.16、参数法用只参与列式、运算而不需要解出的字母或数表示有关数量,并根据题意列出算式的一种方法叫做参数法.参数又叫辅助未知数,也称中间变量.参数法是方程法延伸、拓展的产物.例29、汽车爬山,上山时平均每小时行15千米,下山时平均每小时行驶10千米,问汽车的平均速度是每小时多少千米?上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2.而应该用上下山的路程÷2.例30、一项工作,甲单独做要4天完成,乙单独做要5天完成.两人合做要多少天完成?其实,把总工作量看作“1”,这个“1”就是参数,如果把总工作量看作“2、3、4……”都可以,只不过看作“1”运算最方便.17、排除法排除对立的结果叫做排除法.排除法的逻辑原理是：任何事物都有其对立面,在有正确与错误的多种结果中,一切错误的结果都排除了,剩余的只能是正确的结果.这种方法也叫淘汰法、筛选法或反证法.这是一种不可缺少的形式思维方法. 例31、为什么说除2外,所有质数都是奇数?这就要用反证法：比2大的所有自然数不是质数就是合数.假设：比2大的质数有偶数,那么,这个偶数一定能被2整除,也就是说它一定有约数2.一个数的约数除了1和它本身外,还有别的约数（约数2）,这个数一定是合数而不是质数.这和原来假定是质数对立（矛盾）.所以,原来假设错误.例32、判断：（1）同一平面上两条直线不平行,就一定相交.（错）。
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2014年中考数学密押压轴题题型
平分面积问题的探究
---鹏晟骄子闫晟涵
近年来，中考中常遇到用一条直线平分一个平面图形面积的作图题，如何迅速解决这类问题呢，我认为首先要掌握好以下一些常用的基本规律。
一.中心对称图形的面积平分
在初中数学阶段，我们经常遇到的中心对称图形有圆和平行四边形等。
1. 圆
我们知道，圆的对称中心就它的圆心，只要经过圆的圆心作一条直线，便可以将这个圆的面积平分。
2. 平行四边形
我们知道，平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，只要经过对角线的交点作一条直线，便可以将这个平行四边形的面积平分。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，同样也可以用这种方式将面积平分。
一般地，对于中心对称图形，我们经过它的对称中心作一条直线便可以将它的面积平分。
二、组合图形的面积平分
掌握了中心对称图形的面积平分规律，我们再来解决组合图形的面积平分就不是什么难 事了，一般只要通过适当的方法将图形分解成两个中心对称图形的组合，问题便解决了。
例1. 如图1,AF ∥ED ∥BC ，AB ∥EF ∥CD ，请用一条直线将它分成面积相等的两部分。
作法1：如图1.1,延长FE 交BC 于G ，将图形分割成平行四边形ABGF 和平行四边形EGCD 的和，分别作出这两个平行四边形的对称中心M 和N ，过点M 、N 作直线MN ，由平分平行四边形的面积规律可知，直线MN 将图形的面积分成了两等分；
作法2：如图1.2,延长DE 交AB 于G ，将图形分割成平行四边形AGEF 和平行四边形GBCD 的和，分别作出这两个平行四边形的对称中心M 和N ，过点M 、N 作直线MN ，同理可知，直线MN 将图形的面积分成了两等分；
作法3：如图1.3,延长AF 、CD 交于G ，将图形分割成平行四边形ABCG 和平行四边形FEDG 的差，分别作出这两个平行四边形的对称中心M 和N ，过点M 、N 作直线MN ，同理可知，直线MN 将图形的面积分成了两等分。
A
B
C
D E
F 图1
A
B
C
D E
F 图1.1
G
M
N
A
B
C
D E
F
图1.2
G M
N
A
B
C
D E F
图1.3
G M
N
例2. 如图2,由4个相同大小的圆组成，请用一条直线将它分成面积相等的两部分。
作法1：如图2.1,直线l 可将图形分成面积相等的两部分；
作法2：如图2.2,将图形分成左右两个中心对称图形的和，然后过这两个中心对称图形的对称中心作直线l ，直线l 便可将图形分成面积相等的两部分；
作法3：如图2.3,将图形分成上下两个中心对称图形的和，然后过这两个中心对称图形的对称中心作直线l ，直线l 便可将图形分成面积相等的两部分；
作法4：如图2.4,将图形补成两个中心对称图形的差，然后过这两个中心对称图形的对称中心作直线l ，直线l 便可将图形分成面积相等的两部分。
一般地，对于组合图形，如能分解成两个中心对称图形的和（或差），只要过这这两个中心对称图形的对称中心作直线便可将图形分成面积相等的两部分。
三.梯形的面积平分
梯形不是一个中心对称图形，自然找不到对称中心了，那如何用一条直线将梯形的面积平分呢？
如图3,在梯形ABCD 中，AD ∥BC 。
作法：分别取AD 、BC 、AB 、CD 边的中点E 、F 、G 、H ，连接EF 、
GH 交于点O ，过点O 作直线MN 分别交AD 、BC 于M 、N 。
根据梯形的面积公式我们不难发现，EF 所在的直线将梯形ABCD
的面积分成了两等分，同时我们又很容易证明△MOE ≌△NOF ，于是
S △MOE ＝S △NOF ，因此，直线MN 将梯形ABCD 的面积分成了两等分。
一般地，对于梯形，我们经过上下底连线与中位线的交点作一
条直线（直线必须与上下底相交）便可以将这个梯形的面积平分。
C B
G A D H O
E F
N
M 图3
A B
图4
C
四.三角形的面积平分
相信我们对平面几何中的面积平分并不陌生，生活中也有很多类似的应用。
比如要用一条直线平分一个三角形的面积，这其中也蕴涵了许多数学知识。
我们的发现就是从中延伸开来的。
首先，我们从一道分地题谈起。
问题1:如图(1)是一片可近似看作三角形的土地，P 是BC 边上的一根木桩。
现要在另外两边上找一点插上另一根木桩，使得两木桩所在的直线能将这块地分成面积相等的2份，如何确定这条分界线呢？
三角形面积的平分使我们想到了中点，若在BC 上取中点D ，则中线AD 将ΔABC 面积平分，可现在P 不是中点。
假设存在一点E ，显然E 在AC 上（假
设点P 在BD 之间），为了使S ΔCEP=2
1
S ΔABC,只需S Δ
AOE=S ΔPOD 即可，即S ΔAPD=S ΔAPE ，要解决这一问题，只需AP ∥ED 。
于是，我们总结出方法如下(见图2)：
1. 取BC 中点D ，连接AD 。
2. 连接AP ，过点D 作AP 平行线交AC 于点E
3. 连接PE ，则PE 就是所作的平分线。
上题中,PC,CE,BC,AC 始终满足关系式
CP ·EC ﹦AC ·DC ﹦2
1
AC ·BC 图（2）
我们知道，三角形任何一条中线所在的直线都可以将这个三角形的面积平分，那如何经过三角形任一边上的一点作一条直线将这个三角形的面积平分呢？ 如图4,在△ABC 中，点D 是BC 边上的任意一点。
取BC 边上的中点E ，连接AD 、AE ，过点E 作EF ∥AD 交AC 于F ，过D 、F 作直线DF 交AE 于G 。
根据三角形的面积公式我们容易知道S △ABE ＝S △ACE ，由作法可知，四边形ADEF 为梯形，根据梯形的性质可知S △AGF ＝S △DGE ，因此，直线DF 将△ABC 的面积分成了两等分。
掌握了以上这些基本的平分规律，相信面对中考中的此类作图题，我们便胸有成竹了。
等分任意四边形面积问题
C
如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
(1)三角形有____________条面积等分线，平行四边形有____________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB≠CD，且S △ABC ＜S △ACD ，过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由．
答案：
解：(1)根据“面积等分线”的定义知，一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所
在的直线，所以三角形有3条面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线、平行四边形的中位线所在的直线也是平行四边形的面积等分线，所以平行四边形有2+2=4条面积等分线；
(2)如图①所示：正方形BF 的中垂线交CD 于点E ，连接AE ，AE 即为这个图形的一条面积等分线；
(3)如图②所示．能，过点B 作BE∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ． ∵BE∥AC，
∴△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等， ∴有S △ABC =S △AEC ，
∴S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △AEC =S △AED ； ∵S △ACD ＞S △ABC ，
所以面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F ，则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线．
解析：
分析： (1)读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线； (2)由(1)知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
(3)能．过点B 作BE∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ．根据“△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等”推知S △ABC =S △AEC ；然后由“割补法”可以求得S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ACD +S △AEC =S △AED ．
一定要过最大角顶点做对角线的平行线来做等积三角形。
否则等积三角形的那个底边中点有可能在那延长线上，就不成功了。