平行四边形性质和判定复习讲义
平行四边形的性质及判定复习课教案
平行四边形的性质及判定复习课教案平行四边形的性质及判定复习课教案「篇一」一教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的'一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
高中几何知识解析平行四边形的性质与判定
高中几何知识解析平行四边形的性质与判定在高中几何学中，平行四边形是一类重要的图形，具有特殊的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行解析，并介绍如何准确地判定一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这一定义，我们可以得出平行四边形的一些重要性质。
1. 对边性质：平行四边形的对边相等。
证明：设ABCD是一个平行四边形，AD和BC是平行四边形的两对对边。
根据平行线性质，我们可以得知∠DAB和∠CBA是对应角，由此可得∠DAB=∠CBA。
同理，∠ABC和∠BAD也是对应角，因此∠ABC=∠BAD。
根据等角的余角性质，我们可以得到∠BAC+∠CBA=180°和∠ABC+∠BAD=180°，进一步推导可得∠BAC=∠CBA=∠ABC=∠BAD=180°/4=45°。
由于三角形的内角和等于180°，所以三角形ABC和三角形ABD的第三个角∠ACB和∠ADB 也都是45°。
根据等腰三角形的性质，我们可以得知AD=BC，即平行四边形的对边相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角互补，即两对对角的和为180°。
证明：设ABCD是一个平行四边形，对边AD和BC分别平行。
由于平行线的性质，我们可以得知∠BAC和∠CDA是对应角，对应角的性质告诉我们∠BAC=∠CDA。
同理，∠ABC=∠BDA。
根据等角的补角性质，我们可以得到∠BAC+∠BDA=180°和∠ABC+∠CDA=180°，进一步推导可得∠BAC+∠ABC+∠CDA+∠BDA=360°，也就是四个角的和为360°。
但是，平行四边形ABCD只有四个内角，因此这四个角的和应该是四个直角，即360°=4×90°=180°×2。
综上所述，平行四边形的对角互补，对角的和为180°。
平行四边形的性质与判定复习课
FC
达标
• 1、平行四边形的周长为36cm，相邻两边 的比为1:2，则它的两邻边长分别是
____________
• 2、在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、
CD三条边的长度分别为(x+3)，(x-4)和16，
则这个四边形的周长是
。
达标
3、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD, GH ∥ AB, EF 、 GH相交于点O，则图中共有_____个平行四边形．
于G, 交BC于H, 连结EH、HF、FG、GE,
求证: 四边形EHFG是平行四边形.
E
证明: 在 ABCD中
A1
G
3
D
AD∥BC, OA=OC, ∴∠1=∠2, ∠3=∠4,
O
∴△AOG≌△COH ∴ OG = OH
B
42
H
C
又∵ AE=CF ∴ OE=OF
F∴四边形EHFG是平行四边形.
合作探究
证明：连接BD交AC于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
∴OB=OD OA=OC
∵ AE=CF ∴OA-AE=OC-CF
即OE=OF ∴四边形BFDE是平行四边形
变式2、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在
对角线AC上, 且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形
证明：连接BD交AC于O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
∴OB=OD OA=OC
∵ AE=CF ∴ AE-OA=CF-OC
即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
变式3、已知：如图，在□ABCD中，点E,F在
对角线AC所在的直线上, 且AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
(完整版)平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定知识点1 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作“□ABCD ”。
知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：对角线互相平分。
知识点3 平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
、知识点4 两条平行线的距离。
知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。
性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
例1、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ．猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。
DACDE F【变式练习】已知，在□ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF交AB于G，BE交CD于H。
求证：EH=FG。
例2、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。
求证：四边形AECF是平行四边形。
例3、▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F（1）求证：CE=CF；（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，求∠BDG．【变式练习】1、如图,中，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．A G BCD HE21ABFCMNE2、在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．例4、如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。
平行四边形的性质和判定讲义
CFBE D A 平行四边形一、知识梳理1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为 ．例2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ .例4。
.中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？例5、如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角形共有 （ ）A ．2B ．3对C ．6对D ．8对OFEDC B A 3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等．例6、有以下四个说法：①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长．②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值．③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值．④两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形的面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC，则．例7、如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10，AD=8，AC BC,求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积变式训练：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、平行四边形的周长为20cm ，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。
平行四边形性质与判定讲义
平行四边形的性质与判定ＤＡＢＤＡＢD AE OFCB3124定理:已知如图，四边形ABCD 为平行四边形，试证明平行四边形的两组对边分别相等、平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对角相等。
例1 已知：如图， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ． 求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．例2 已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积。
例3 如图2-32所示．在ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，DN=BM ．求证：EF 与MN 互相平分．5题图例4如图2-33所示．Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BG 平分∠ABC ，EF ∥BC 且交AC 于F ．求证：AE=CF ．例5如图2-34所示．ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BM=MC=DC ．求证：∠EMC=3∠BEM ．课堂练习1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长。
2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．5．判断对错（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。
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A B
E
C
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D A
B
O
C
D
E A
B E C
F
D A
B
C
D
F E
G
平行四边形性质与判定综合应用(2)
6.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD ＝∠BAF 。
① 求证：ΔCEF 是等腰三角形；
② 观察图形，ΔCEF 的哪两边之和恰好等于ABCD 的周长？并说明理由。
7.如图所示，
ABCD 中的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 经过点O 与AD 延长线交
于E ，与CB 延长线交于F ， 求证：OE=OF
8.如图所示，在ΔABC 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DE ∥AC 交AB 于D ， 过D 作DF ∥BC 交AC 于F 。
求证： AD=FC 9.如图,
ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,
100=∠DGE .
(1) 求证：DF=BG ; (2)求AFD ∠的度数.
10. 如图，平行四边形ABCD 的相邻边AD ：AB=5：4，过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AE=4cm ，求AF 的长．
C
D
B
A
F
O
M
N
D
C
B
A
N
M
Q P
D
C
B A
F E D
B
A
11、如图，已知AC 是□ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，求证：四边形BMDN 是平行四边形.
12. 如图,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,
试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.
13、如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q.
(1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?
14、□ABCD 中，E 、F 在AC 上，AE=CF ，求证：四边形DEBF 是平行四边形.
A
B
C
D
E
15.如图，AC ∥ED ，点B 在AC 上且AB=ED=BC ,找出图中的平行四边形。
并说明理由。
16、如图，已知AC 、BD 为平行四边形ABCD 对角线，点E 、F 为AC 上的两点且AE=CF,那么四边形BEDF 是平行四边形吗？请说明理由。
17、已知： 平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点O ，E 、F 是直线AC 上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE 是平行四边形。
18、已知：如图所示，在ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证四边形AECF
是平行四边形.
D
E F
B
A
C
19、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN.。