组合的性质
组合讲义
组合一、基本定义及性质1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3、组合数公式：(1)(2)(1)!m mnnmmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n-=,,(n m N m n ≤∈*且4、组合数的性质1：mn n m n C C -=．规定：10=n C ；5、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC二、典型例题 例1、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？例3、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：例6、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例7、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例8、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本例9、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？例10、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？例11、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？例12、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？例13、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前问：此考生共有多少种不同的填表方法？例14．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例15．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？三、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A ．42B ．21C ．7D ．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线9．计算：（1）315C ；（2）3468C C ÷．10．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合14．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ； 16．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；17．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．18、从1,2,3,,20 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法19．正12边形的对角线的条数是 ．20．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 21．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个22．有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A ．70B ．80C ．82D ．8423．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 （ ）种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A24．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9625．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能26．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法27．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数28．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 29．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法30．在200件产品中，有2件次品从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 四、课后作业：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个 2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）A ．42B ．30C ．20D ．125．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A 6．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A7．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．8．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法9．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个10．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 ___________个平行四边形11．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体12．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈，且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种 13．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果其中的城市A 、B 必选，并且在旅游过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则不同的游览路线有 种14．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有 种不同的调换方法15．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法16．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是（）A．64B．20C．18D．1017．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90B．180C．270D．54018．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有种19．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（4）女生按指定顺序排列．20．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法21．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法22．,,,,A B C D E5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A、B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军”；对B说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能有种不同的情况23．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备种不同的素菜种24．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种25．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为个。
组合数 公式
组合数公式组合数公式什么是组合数？组合数是数学中一个重要的概念，表示从一个元素集合中取出若干元素而不考虑元素的顺序的方式的总数。
组合数经常在概率论、统计学以及组合数学等领域中使用，并有许多相关的公式。
公式一：组合数的定义公式组合数的定义公式如下：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n表示元素集合中的元素个数，k表示从中取出的元素个数，n!表示n的阶乘。
公式二：组合数的递推公式组合数的递推公式可以通过组合数的定义公式化简得到：C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)这个公式表示从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n−1个元素中选取k−1个元素的方式数加上从n−1个元素中选取k个元素的方式数。
公式三：组合数的性质公式组合数有以下两个性质公式：1.C(n,k)=C(n,n−k)，即从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n个元素中选取n−k个元素的方式数。
2.C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)，即组合数的递推公式。
例子解释假设有一箱子里有红球和蓝球，其中分别有5个红球和3个蓝球。
现在要从箱子中选取2个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的定义公式，可以计算出结果：C(8,2)=8!2!(8−2)!=8!2!6!=8∗72∗1=28所以，从这个箱子中选取2个球的方式有28种。
再假设箱子里的球数稍有不同，有5个红球和4个蓝球。
现在要从箱子中选取3个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的递推公式，可以将问题化简：C(9,3)=C(8,2)+C(8,3)=8!2!(8−2)!+8!3!(8−3)!=28+56=84所以，从这个箱子中选取3个球的方式有84种。
综上所述，组合数公式能够帮助我们计算从一个元素集合中选取若干元素的不同方式数。
无论是组合问题还是概率问题，组合数公式都具有重要的应用价值。
公式四：组合数的乘法公式组合数有一个重要的乘法公式：C(n,k)=C(n−1,k−1)∗n k这个公式可以通过组合数的定义公式推导得到。
高三排列组合知识点大全
高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。
在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。
在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。
组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。
二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。
这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。
2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。
比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。
四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。
下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。
1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。
比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。
组合图形的知识点总结
组合图形的知识点总结一、基本图形在讨论组合图形之前，我们需要先了解一些基本的几何图形，包括：正方形、长方形、圆形、三角形等。
1. 正方形：四边相等、四角相等的四边形。
2. 长方形：有两对相等的对边，并且四个角都是直角的四边形。
3. 圆形：平面上全体离中心的距离都相等的点的集合。
4. 三角形：有三条边和三个角的多边形。
这些基本图形是组合图形的组成部分，我们可以通过组合这些基本图形来构造复杂的图形。
二、组合图形的概念组合图形是由基本图形通过一定的方式组合而成的新图形。
在组合图形中，每个基本图形都是组成组合图形的一个部分。
组合图形可以通过平移、旋转、翻转等操作来组合，从而形成新的图形。
例如，我们可以通过两个相同的长方形组合而成一个正方形；或者通过一个长方形和一个三角形组合而成一个复合图形。
这些组合图形可以进一步应用到解决各种几何问题中。
三、组合图形的性质组合图形具有一些特殊的性质，这些性质帮助我们更好地理解和应用组合图形。
1. 组合图形的周长：组合图形的周长等于所有基本图形的周长之和。
例如，一个由两个相同的长方形组合而成的正方形，其周长等于两个长方形的周长之和。
2. 组合图形的面积：组合图形的面积等于所有基本图形的面积之和。
例如，一个由一个长方形和一个三角形组合而成的复合图形，其面积等于长方形的面积加上三角形的面积。
3. 组合图形的对称性：组合图形通常具有一定的对称性，可以通过对称性来简化分析和计算。
例如，一个由两个相同的基本图形组合而成的组合图形，通常具有一定的对称性。
四、组合图形的应用组合图形广泛应用于解决各种几何问题和实际问题中。
下面我们来看几个实际问题的例子。
例1：一个篮球场的形状是一个长方形，上面有一个半圆形的篮球场地，求篮球场地的面积。
解：篮球场地的形状可以分解成一个长方形和一个半圆形的组合图形。
首先计算长方形的面积，然后计算半圆形的面积，最后将两者相加即可得到篮球场地的总面积。
例2：一个房间的地板是一个正方形，中间有一个圆形地毯，求地毯的面积。
组合c的性质
组合c的性质
组合C是一种新型的组合，它由三种不同的元素组成：硅、铝和锰。
它的特点是，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境。
组合C的组成元素有硅、铝和锰，它们的特性是：硅具有良好的耐热性和耐腐蚀性，可以抵抗高温和酸碱环境；铝具有良好的耐热性和耐腐蚀性，可以抵抗高温和腐蚀性环境；锰
具有良好的耐热性和耐磨性，可以抵抗高温和磨损环境。
组合C的优点是，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境，因此可以用于制造各种耐腐蚀、耐热、耐磨的零件和装置。
例如，它可以用于制
造汽车发动机的燃烧室、排气管、排气系统等，也可以用于制造火箭发动机的燃烧室、排
气管、排气系统等。
组合C的缺点是，它的成本比其他组合要高，而且它的加工性能也不是很好，因此在加工过程中可能会出现一些问题。
总之，组合C是一种新型的组合，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境，因此可以用于制造各种耐腐蚀、耐热、耐磨的零件和装置。
但是，它的成本比其他组合要高，而且它的加工性能也不是很好，因此在加工过程中可能会出现
一些问题。
组合数的两个性质
例6．6本不同的书，按下列条件，各有多少种不 同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（2）甲、乙、丙各得2本； （3）分为三份，一份1
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； （6）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
组合数的两个性质
定州二中 徐龙
本节课应达到的能力
• 进一步熟悉组合数的公式 • 理解并掌握组合数的两个性质 • 能够运用组合数公式及两个性质解
决有关问题
上节知识回顾
一、组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
上节知识回顾
10
10
C C 或
7
10-7
10
10
意义解释
推广
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素，因为从n个不 同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合是 一一对应的，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元 素中取出n-m个元素的组合数，即
性质 1
二、组合数公式
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
一个小计算
计算C3nn+21
C3n-2 n+21
组合数的两个性质
观察：
C7
10 !
1098
120
10 7 ! 3!
3!
C3
10 !
1098
120
10 3! 7 !
3!
组合数公式大全
组合数公式大全组合数是数学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中选取r个元素的组合的数量。
在组合数的计算中，有多种公式和方法可供选择。
本文将介绍一些常用的组合数公式，帮助读者理解和计算组合数。
1. 乘法公式：组合数的一个基本性质是乘法公式。
当n和r为非负整数时，组合数C(n, r)可以通过以下公式计算：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘。
2. 递推公式：递推公式是一种常见的计算组合数的方法，通过逐步递推得到结果。
C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)如果r为0或r等于n，则C(n, r)为1。
3. Pascal三角形：Pascal三角形是一种展示组合数的图形表示方法，利用递推公式来计算组合数。
Pascal三角形的第n行第r个数表示C(n, r)。
例如，Pascal三角形的第4行为：1 3 3 1，表示C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1。
4. 二项式定理：二项式定理是组合数的一个重要公式，将一个二项式展开为一系列项的和。
(x + y)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * y + ... + C(n, n-1) * x * y^(n-1) + C(n, n) * y^n5. 组合数的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从n个元素中选择r个等于从n个元素中选择n-r个。
- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，符合递推公式的性质。
- 对于任意正整数n，有C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n，表示从n个元素中选择0个到n个元素的所有组合数之和等于2的n次方。
6. Lucas定理：Lucas定理是组合数的一个重要定理，用于计算模p的组合数。
对于非负整数n和p，设n = nk * pk + ... + n1 * p + n0，其中0 <= ni < p，0 <= i <= k。
数学：《组合(三)》
课堂小结
1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步，是处理组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、 特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除 法或分类解决； 4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问 题.
5.需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
例题解读：
例5．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有C C C 90 种方法； 1 3 3 C6C52C3 A3 360 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； 4 3 ③“1、1、4型”，有 6 A3 90 种方法， C
课堂练习：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
1 1 1 解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有2( A82 C2C7C7 ) 种方法； 1 2 ②若不取6，则有C7 A7 种方法， 1 2 2 1 1 1 根据分类计数原理，一共有2( A8 C2C7＝602 7 A7 + C7 ) C 种方法
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 数必须少于男生，有____种选派方法； 280 （3）分成三组，每组3人，有_______种不同分法.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从 n 个不同元中取出m个元ห้องสมุดไป่ตู้的排列数
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!
m n
课前演练
计算(1) : C 与C
2 5
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
C C 378
1 3 4 9
2 3 3 9 5 12 1 4 3 9 3 2 3 9
(5)方法一：C C C C C C 756 方法二：C C C 756
0 3 5 9
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
(6)方法一：C C C C C C 666
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多 少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选；
C C 36
3 3 2 9
0 3 5 9
（2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
C C 126
1 1 4 9
C C 126
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不 同选法？4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
3 3 2 9 2 3 3 9 1 3 4 9
方法二：C C C 666
5 12 0 3 5 9
例5、某医院有内科医生12名，外 科医生8名，现要派5人参加支边 医疗队，至少要有1名内科医生和 1名外科医生参加，有多少种选法？
解法一（直接法）：C C C C C C C C
1 4 12 8 2 3 12 8 3 2 4 1 12 8 12 8 5 5 0 8 12 8
3
5
(2) : C 与C
2 6
4
6
组合数的两个性质
性质1 :
m Cn
nm Cn
.
性质1的应用 的计算简化
n (1)当m> 2时，利用这个公式，可使
c
m n
c c
9
98
7
97 9
2
100 99 c100 c100 1 2 4950
9 8 c9 36 1 2
2
10
例题分析
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循 环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例题分析
例3.(1)平面内有10个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个 点为端点的有向线段共有多少条？ 例4.(1)凸五边形有多少条对角线？ 2 C5 5 5 (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ n(n 1) n(n 3) 2 Cn n n 2 2
解法二（间接法）：C C C C C
5 20 0 12
例6、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、 4名仅通法语，还有2名英、法语皆通。现欲 从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译 法语，一共可列多少张不同的名单？
课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
2
（2）当m=n时, 有
cn cn 1
n
0
所以规定
0 cn
1
性质 2 : C C C .
m n 1 m n m 1 n
例１ 计算：
(1) C ;
198 200
(2) C C ;
3 99
2
2 99
(3)
C C C C .... C
2 2 2 3 4 5 6